21版：§2.6 对数与对数函数（步步高）
步步高高三复习用书 第二章 2.6 精品
§2.6 对数与对数函数1.对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ). (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0，且a ≠1). (3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0).3.对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 知识拓展1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log m n a b ＝nmlog a b .其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( √ )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.( √ ) 题组二 教材改编2.[P74T3]lg 427－23lg8＋lg 75＝________.答案 12解析 原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.3.[P82A 组T6]已知132a -=，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________.答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1. ∴c >a >b .4.[P74A 组T7]函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________.答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析 由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1. ∴12<x ≤1. ∴函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝⎛⎦⎤12，1.题组三 易错自纠5.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A.d ＝ac B.a ＝cd C.c ＝ad D.d ＝a ＋c答案 B6.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1,0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1,0<c <1 答案 D解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.7.(2017·杭州高级中学最后一模)若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________. 答案24解析 因为0＜a ＜1，所以f (x )在[a,2a ]上是减函数. 所以f (x )max ＝f (a )＝log a a ＝1， f (x )min ＝f (2a )＝log a 2a ＝1＋log a 2，由条件得1＝3(1＋log a 2)，解得a －2＝8，所以a ＝24.题型一 对数的运算1.(2017·湖州中学期中)设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，那么( ) A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2b D.2c ＝1a ＋2b答案 B解析 设3a ＝4b ＝6c ＝k ，所以a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ， 变形为1a ＝log k 3，1b ＝log k 4，1c ＝log k 6，所以2c ＝log k 36，2a ＋1b ＝log k 36，故2c ＝2a ＋1b. 2.(2013·浙江)已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B.2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC.2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y D.2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x＋lg y＝2lg(xy ).故选D.3.计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 题型二 对数函数的图象及应用典例(1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析 由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B.(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C.(1，2)D.(2，2)答案 B解析 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22， 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.引申探究若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________. 答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析 若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解， 则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点， 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 跟踪训练 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1，＋∞)解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小典例设a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝log 618，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.a >c >b D.c >b >a答案 A解析 a ＝1＋log 43，b ＝1＋log 53，c ＝1＋log 63， ∵log 43>log 53>log 63，∴a >b >c . 命题点2 解对数不等式典例(1)若log a 23<1，则a 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞) 解析 当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内为增函数，所以log a 23<log a a 总成立.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 23<log a a ，得a <23，故0<a <23.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞). (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 31x ，x >0则不等式f (x )>1的解集为________.答案 ⎝⎛⎭⎫－1，13解析 若x ≤0，则不等式f (x )>1可转化为3x ＋1>1得x ＋1>0，即x >－1，∴－1<x ≤0；若x >0，则不等式f (x )>1可转化为13log 1,x >得x <13，∴0<x <13.综上，不等式f (x )>1的解集是⎝⎛⎭⎫－1，13. 命题点3 和对数函数有关的复合函数 典例已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0且a ≠1).(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a .t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华(1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响. (2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题. 跟踪训练 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >bB.b >c >aC.c >b >aD.c >a >b答案 D解析 a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1. 又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大. 由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，4) B.(－4,4]C.(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D.[－4,4) 答案 D解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.(3)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0， 解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一.(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，若指数相同而底数不同，则构造幂函数，若底数相同而指数不同，则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <a <cD.a <c <b(2)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.c <b <a C.c <a <bD.b <c <a(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.a <c <b(4)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝⎛⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >a >bD.a >c >b答案 (1)C (2)B (3)A (4)B 解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性， 可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .(2)∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. (3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有四种可能： ①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ； ④0<c <b <a <1.对照选项可知A 中关系不可能成立. (4)易知y ＝f (x )是偶函数. 当x ∈(0，＋∞)时， f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |， 且当x ∈[1，＋∞)时， f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)， 所以b >a >c .1.设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A.b <a <cB.c <a <bC.c <b <aD.a <c <b 答案 B解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2.∵b ＝21.1，∴b >2.∵c ＝0.83.1，∴0<c <1.即c <a <b ，故选B.2.(2017·杭州教学质检)设函数f (x )＝|ln x |(e 为自然对数的底数)，满足f (a )＝f (b )(a ≠b )，则( )A.ab ＝e eB.ab ＝eC.ab ＝1eD.ab ＝1 答案 D解析 ∵|ln a |＝|ln b |且a ≠b ，∴ln a ＝－ln b ，∴ab ＝1.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是( ) A.5B.3C.－1D.72答案 A解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， 331log log 2231(log )3131213,2f -=+=+=+= 所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝5. 4.(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080 ＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N最接近的是1093.故选D. 5.已知函数f (x )＝lne x e －x ，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( )A.6B.8C.9D.12答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝2 012， ∴503(a ＋b )＝2 012，∴a ＋b ＝4.∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝8， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号.6.若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞答案 A解析 令M ＝x 2＋32x ， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0， 所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0， 所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).7.(2017·浙江绍兴一中适应性考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f (f (x ))＝1的解集为________.答案 12{1，e e } 解析 由于f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝1ln 2e ＝12. 由f (f (x ))＝1可得f (x )＝0或f (x )＝e ，又当x ≤0时，f (x )＝e x ∈(0,1]，那么由f (x )＝0可得ln x ＝0，解得x ＝1；由f (x )＝e 可得ln x ＝e ，解得x ＝e e ，故对应方程的解集为{1，e e }.8.若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为________. 答案 [1,2)解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1， 解得1≤a <2，即a ∈[1,2).9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________. 答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0， 所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1. 综上可知x ≥0.10.设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________.答案 (0,1)解析 由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点， ∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1).11.已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1， 又2×12－a >0，所以13<a <43，且a <1，故13<a <1； 当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，且2×12－a >0， 解得a <0，且a <1，此时无解.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.12.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，12()log .f x x =(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0， 则12()log ().f x x -=-因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以x <0时，12()log (),f x x =-所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 21x ，x >0，0，x ＝0，log 21(－x )，x <0. (2)因为f (4)＝12log 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x2－1|<4，解得－5<x<5且x≠±1，而x2－1＝0时，f(0)＝0>－2成立，所以－5<x<5，即不等式的解集为(－5，5).13.(2016·浙江)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则()A.(a－1)(b－1)＜0B.(a－1)(a－b)＞0C.(b－1)(b－a)＜0D.(b－1)(b－a)＞0答案 D解析由a，b＞0且a≠1，b≠1，及log a b＞1＝log a a可得，当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a ＜1时，0＜b＜a＜1，代入验证只有D满足题意.14.(2017·浙江三市联考)下列命题正确的是()A.若ln a－ln b＝a－3b，则a＜b<0B.若ln a－ln b＝a－3b，则0<a<bC.若ln a－ln b＝3b－a，则0<b<aD.若ln a－ln b＝3b－a，则b<a<0答案 C解析显然有a>0，b>0，可排除A，D；设ab＝t，则a＝bt，若ln a－ln b＝a－3b，则有ln t＝bt－3b，b＝ln tt－3，由b＝ln tt－3＞0，得0<t<1或t>3，不能确定a<b，排除B；同理若ln a－ln b＝3b－a，则ln t＝3b－bt，b＝ln t3－t>0,1<t<3，即a b>1，a >b ，C 正确，故选C.15.关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题： ①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数；③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数.其中是真命题的序号为________.答案 ①③④解析 ∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ， 令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x 2， 可知当x ∈(0,1)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，即f (x )在x ＝1处取得最小值lg 2.由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.16.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m (x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由x ＋1x －1>0， 解得x <－1或x >1，∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1 ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，∴f(x)＝ln x＋1x－1是奇函数.(2)∵x∈[2,6]时，f(x)＝ln x＋1x－1>lnm(x－1)(7－x)恒成立，∴x＋1x－1>m(x－1)(7－x)>0，∵x∈[2,6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在[2,6]上恒成立.令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，∴x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.。
《 对数与对数函数》课件
1 题目1
已知log35≈1.465，求log325的值。
3 题目2
已知log23≈1.585，求log63的值。
2 解答1
log325=log3((5)2)=2log35≈2×1.465≈2.93。
4 解答2
log63=log23/log26≈1.585/1.585≈1。
例题: 求解对数方程
1 题目1
求解方程log2(3x-2)=3。
3 题目2
求解方程log2x-14=log2(x-1)。
2 解答1
化为指数形式得：23=3x-2，解得x=7/3。
4 解答2
化为指数形式得：(2x-1)log42=x-1，解得x=3。
例题: 理解对数运算的应用
1 题目1
已知ab=c，则logac=?
2 解答1
根据对数的定义得：logac=b。
定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
对数函数的图像特征
随着x的增加而变化
当x>1时，y随x的增加而增加；当x=1时，y=0；当 0<x<1时，y随x的减小而增加；当x<0时，对数函数 无意义。
渐近线
对数函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴的反比 例函数。
对数函数的性质
1
单调性
当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1
3 题目2
已知log23≈1.585，log27≈2.807，求log521 的值。
4 解答2
log221=log2(3×7)=log23+log27≈1.585+2.80 7=4.392。利用换底公式得： log521=log221/log25≈4.392/2.322≈1.892。
20-21版：复习课（步步高）
d＝
5 5 |4cos
θ＋3sin
θ－6|，
则|PA|＝sind30°＝2 5 5|5sin(θ＋α)－6|，
其中 α 为锐角，且 tan α＝43.
当
sin(θ＋α)＝－1
时，|PA|取得最大值，最大值为225
5 .
当
sin(θ＋α)＝1
时，|PA|取得最小值，最小值为2
5
5 .
三、极坐标与参数方程
∴x＋94y2＋y－92x2＝cos2θ＋sin2θ＝1，
即5x2＋4xy＋17y2－81＝0.
x＝aet＋2 e－t， (2)
bet－e－t y＝ 2
(t 为参数，a，b>0).
解
由xy＝ ＝abeett＋－22 ee－－tt，，
解得22abxy＝ ＝eett＋ －ee－ －tt， ，
① ②
∴①2－②2，得4ax22－4by22＝4，
y＝tsin α
求 l 的斜率.
反思 感悟
(1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点. (2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解.当然也可以转化为极坐标下 求解，关键是根据题目特点合理转化.
跟踪训练4
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x＝4cos
t，
(t为参数)，
y＝2 3sin t
①
∵点P(3,2)是弦AB的中点，
由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0. 即 sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝4π.
∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝
4·sin82π4＝8.
反思 感悟
应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式. (2)要注意直线倾斜角的取值范围. (3)设直线上两点对应的参数值分别为t1，t2. (4)套公式|t1－t2|求弦长.
20-21版：章末复习课(步步高)
章末复习课一、导数几何意义的应用1．导数的几何意义，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直的问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度为中低档．2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算，数学抽象等核心素养．例1 设函数f (x )＝13x 3＋ax 2－9x －1(a >0)，直线l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，当l 的斜率最小时，直线l 与直线10x ＋y ＝6平行．(1)求a 的值；(2)求f (x )在x ＝3处的切线方程．解 (1)f ′(x )＝x 2＋2ax －9＝(x ＋a )2－a 2－9，f ′(x )min ＝－a 2－9，由题意知－a 2－9＝－10，∴a ＝1或－1(舍去)．故a ＝1.(2)由(1)得a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋2x －9，则k ＝f ′(3)＝6，f (3)＝－10.∴f (x )在x ＝3处的切线方程为y ＋10＝6(x －3)，即6x －y －28＝0.反思感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点(x 0，y 0)的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，若不是切点可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)，求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型． 跟踪训练1 已知直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2，3)，则b ＝________. 答案 －15解析 设f (x )＝x 3＋ax ＋1，由题意知f (2)＝3，则a ＝－3.f (x )＝x 3－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(2)＝3×22－3＝9＝k ，又点(2，3)在直线y ＝9x ＋b 上，∴b ＝3－9×2＝－15.二、函数的单调性、极值、最值问题1．利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数等为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题．难度为中高档．2．通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．例2 已知函数f (x )＝ln x －m x(m ∈R )． (1)当m ＝－2时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若函数f (x )在区间[1，e]上取得最小值4，求m 的值．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝ln x ＋2x(x >0)， 则f ′(x )＝x －2x 2， 当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f (2)＝ln 2＋1，无极大值．(2)f ′(x )＝x ＋m x 2， ①当m ≥－1时，f ′(x )≥0，x ∈[1，e]，f (x )在[1，e]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝－m ＝4，解得m ＝－4不满足m ≥－1，故舍去，②当－e<m <－1时，x ∈(1，－m )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(－m ，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，f (x )min ＝f (－m )＝ln(－m )＋1＝4，解得m ＝－e 3，不满足－e<m <－1，故舍去．③当m ≤－e 时，f ′(x )≤0，x ∈[1，e]，f (x )在[1，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝1－m e＝4， 解得m ＝－3e ，满足m ≤－e.综上m ＝－3e.反思感悟 (1)极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另外，函数有极值未必有最值，反之亦然．(2)判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：①确定函数f (x )的定义域；②解方程f ′(x )＝0的根；③检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号：若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值．跟踪训练2 设函数f (x )＝13x 3－x 2－mx . (1)若f (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求m 的取值范围；(2)若x ＝－1是函数的极值点，求函数f (x )在[0，5]上的最小值．解 (1)f ′(x )＝x 2－2x －m ，由题意可知，f ′(x )＝x 2－2x －m <0在(0，＋∞)上有解，所以m >x 2－2x ，则m >－1，即m 的取值范围为(－1，＋∞)．(2)因为f ′(－1)＝1＋2－m ＝0，所以m ＝3.所以f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝3.所以当x ∈(0，3)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(3，5)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )在[0，5]上的最小值为f (3)＝9－9－9＝－9.三、导数在实际问题中的应用1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具， 多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档．2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，提升逻辑推理及数学运算等核心素养． 例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的建造成本为160πr 2元，所以蓄水池的总建造成本为(200πrh ＋160πr 2)元，又200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0，53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上单调递增；当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得极大值也为最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．反思感悟 (1)应用导数解决实际问题的关键是认真分析题意，建立函数模型．由于是实际问题，要注意根据问题的实际情况，确定函数的定义域．(2)根据所建立的函数模型，用导数求最大、最小值．跟踪训练3 某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y (元)．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大． 解 (1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x )元，月平均销售量为a (1－x 2)件， 则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)，∴y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0<x <1)．(2)y ′＝5a (4－2x －12x 2)，令y ′＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍)， 当0<x <12时，y ′>0；12<x <1时，y ′<0， ∴函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0<x <1)在x ＝12时取得极大值也是最大值， 此时售价为20×⎝⎛⎭⎫1＋12＝30(元)，答改进工艺后，每个配件的销售价为30元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大．四、函数方程思想1．利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图像，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．一般出现在高考题解答题中，难度为中高档．2．通过解决函数方程问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．例4设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．解(1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f(x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)可知y＝f(x)的图像的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f(x)的图像有3个不同的交点，需5－42＝f(2)＜a＜f(－2)＝5＋4 2.则方程f(x)＝a有3个不同的实根时，所求实数a的取值范围为(5－42，5＋42)．(3)方法一f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值范围为(－∞，－3]．方法二直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f(1)＝0，曲线f(x)在点(1，0)处的切线斜率f′(1)＝－3，由(2)中草图知，要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，需k≤－3.故实数k 的取值范围为(－∞，－3]．反思感悟 讨论方程根的个数、研究函数图像与x 轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图像的草图，数形结合求解．跟踪训练4 已知函数f (x )＝e x ＋1x －a，a ∈R ，试讨论函数f (x )的零点个数． 解 函数f (x )的定义域为{x |x ≠a }．(1)当x ＞a 时，e x ＞0，x －a ＞0，∴f (x )＞0，即f (x )在(a ，＋∞)上无零点．(2)当x ＜a 时，f (x )＝e x (x －a )＋1x －a ，令g (x )＝e x (x －a )＋1，则g ′(x )＝e x (x －a ＋1)．由g ′(x )＝0得x ＝a －1.当x ＜a －1时，g ′(x )＜0；当x ＞a －1时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(－∞，a －1)上单调递减，在(a －1，a )上单调递增，∴g (x )min ＝g (a －1)＝1－e a －1.∴当a ＝1时，g (a －1)＝0，则x ＝a －1是f (x )的唯一零点；当a ＜1时，g (a －1)＝1－e a －1＞0，则f (x )没有零点；当a ＞1时，g (a －1)＝1－e a －1＜0，则f (x )有两个零点．1．(2020·全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图像在点(1，f (1))处的切线方程为() A ．y ＝－2x －1 B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1答案 B解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.2．(2019·天津)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x ＞1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，e]D ．[1，e] 答案 C解析 方法一 当a ＝0时，不等式f (x )≥0恒成立，排除D ；当a ＝e 时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2e x ＋2e ，x ≤1，x －eln x ，x ＞1，当x ≤1时，f (x )＝x 2－2e x ＋2e 的最小值为f (1)＝1＞0，满足f (x )≥0；当x ＞1时，由f (x )＝x －eln x 可得f ′(x )＝1－e x ＝x －e x，易得f (x )在x ＝e 处取得极小值(也是最小值)f (e)＝0，满足f (x )≥0恒成立，排除A ，B.故选C.方法二 若x ≤1，f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＝(x －a )2－a 2＋2a .当a ≤1时，可得f (x )的最小值为f (a )＝－a 2＋2a ，令f (a )≥0，解得0≤a ≤2，故0≤a ≤1；当a ＞1时，可得f (x )的最小值为f (1)＝1≥0，满足条件．所以a ≥0.若x ＞1，由f (x )＝x －a ln x 可得f ′(x )＝1－a x ＝x －a x，当a ≤1时，f ′(x )＞0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，故只需1－a ln 1≥0，显然成立；当a ＞1时，由f ′(x )＝0可得x ＝a ，易得f (x )的最小值为f (a )＝a －a ln a ，令f (a )≥0，解得a ≤e ，故1＜a ≤e ，所以a ≤e.综上，a 的取值范围是[0，e]．3．(2020·全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a.若f ′(1)＝e 4，则a ＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2， 可得f ′(1)＝a e (1＋a )2＝e 4， 即a (1＋a )2＝14，解得a ＝1. 4．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b .(1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．解 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3. 若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减； 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫a 3，0上单调递减．(2)满足题设条件的a ，b 存在．理由如下①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝b ＝－1，最大值为f (1)＝2－a ＋b ＝1.解得a ＝0，b ＝－1，此时a ，b 满足条件．②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区间[0，1]上的最大值为f (0)＝b ＝1，最小值为f (1)＝2－a ＋b ＝－1.解得a ＝4，b ＝1，此时a ，b 满足条件．③当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，1]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b . 若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0<a <3矛盾． 若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0<a <3矛盾． 综上，当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]上的最小值为－1，最大值为1.。
20-21版：2.2.1 第2课时 对数的运算（步步高）
√2 D.3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4.如果 lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么
√A.x＝acb53
B.x＝35acb
C.x＝a＋3b－5c
D.x＝a＋b3－c3
解析 lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lg acb53， ∴由 lg x＝lg acb53，可得 x＝acb53.
3 达标检测
PART THREE
1.log531＋log53 等于
√A.0
B.1
C.－1
10 D.log5 3
12345
2.若 lg 2＝m，则 lg 5 等于
A.m
1 B.m
√C.1－m
10 D. m
解析 lg 5＝lg 120＝lg 10－lg 2＝1－m.
12345
3.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是
第二章 2.2.1 对数与对数运算
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件. 2.掌握换底公式及其推论. 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
内
自主学习
容
题型探究
索
达标检测
引
课时对点练
1
PART ONE
自主学习
知识点一 对数运算性质
1
A.4
B.2
C.2
√D.4
解析 log29×log34＝llgg 92×llgg 43＝2llgg23×2llgg32＝4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
§2.6 对数与对数函数(步步高高三复习)详解
思维启迪 解析 答案 思维升华
(1) 函 数 的 单 调 性 是 函 数 最 重 要
的性质，可以用来比较函数值的
(2)已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函
数，且在(－∞，0]上是增函数，设 a＝
f(log47)，b＝f(log13)，c＝f(0.2－0.6)，则 a，
2
b，c 的大小关系是
(B )
(2)对数的性质
① ＝ aloga N N ；②logaaN＝
N (a>0 且 a≠1)．
(3)对数的重要公式 ①换底公式： logbN＝llooggaaNb (a，b 均大于零且不等于 1)； ②logab＝log1ba，推广 logab·logbc·logcd＝ logad .
基础知识
题型分类
思想方法
2
b，c 的大小关系是
()
A．c<a<b C．b<c<a
B．c<b<a D．a<b<c
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
对数函数的图象和性质
【例 2】 (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是 ()
思维启迪 解析 答案 思维升华
(1) 结 合 函 数 的 定 义 域 、 单 调
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝12x，x≥4，
1
fx＋1，x<4，
为___2_4____．
则 f(2＋log23)的值
解析 因为 2＋log23<4，
所以 f(2＋log23)＝f(3＋log23)，
2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第二章 2.6对数与对数函数
③alogaN＝ N (a>0，a≠1，且N>0)； ④logaaN＝ N (a>0，且a≠1). (3)对数的换底公式 logab＝llooggccba (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
3.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
(1)_(_0_，__＋__∞__) (2)_R__
(3)过定点 (1,0) ，即x＝1时，y＝0
性 (4)当x>1时， y>0 ； 质 当0<x<1时，_y_<_0__
(5)当x>1时， y<0 ； 当0<x<1时，_y_>_0__
(6)在(0，＋∞)上是_增__函__数__ (7)在(0，＋∞)上是_减__函__数__
4.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数 y＝logax (a>0且a≠1)互为反函数， 它们的图象关于直线 y＝x 对称.
概念方法微思考
1.根据对数换底公式：(1)说出logab，logba的关系？ 提示 logab·logba＝1； (2)化简 logam bn . 提示 logam bn＝mn logab. 2.如图给出4个对数函数的图象. 比较a，b，c，d与1的大小关系. 提示 0<c<d<1<a<b.
基础自测
D.10－10.1
解析 两颗星的星等与亮度满足 m2－m1＝25lg EE21， 令m2＝－1.45，m1＝－26.7， lg EE12＝52·(m2－m1)＝52(－1.45＋26.7)＝10.1， EE12＝1010.1.
20-21版：4.4.1 对数函数的概念（步步高）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.已知函数f(x)＝
1 1－x
的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则
M∩N等于
A.{x|x>－1}
√C.{x|－1<x<1}
B.{x|x<1} D.∅
解析 ∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}， N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}， ∴M∩N＝{x|－1<x<1}.
思考 函数 y＝logπx，y＝log23x是对数函数吗？ 答案 y＝logπx 是对数函数，y＝log23x不是对数函数.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.( √ ) 2.y＝log2x2是对数函数.( × ) 3.若对数函数y＝logax，则a>0且a≠1.( √ ) 4.函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞).( × )
所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x.
12345
4.对数函数 f(x)过点(9,2)，则 f 13＝___－__1___. 解析 设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，loga9＝2， ∴a2＝9，∴a＝3(舍a＝－3)， ∴f(x)＝log3x，∴f 13＝log313＝－1.
2 题型探究
PART TWO
一、对数函数的概念及应用
例1 (1)指出下列函数哪些是对数函数？ ①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5；④y＝log2x＋1. 解 ①log2x的系数是3，不是1，不是对数函数. ②符合对数函数的结构形式，是对数函数. ③自变量在底数位置上，不是对数函数. ④对数式log2x后又加上1，不是对数函数.
20-21版：3.2.2 对数函数(二)（步步高）
2
(2)求f(x)的单调性.
解 设u＝－x2＋2x(0<x<2)，v＝log 1 u，
2
∵函数u＝－x2＋2x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，v＝log 1 u是减函数，
2
∴由复合函数的单调性得到函数f(x)＝ log 1 (－x2＋2x)在(0,1)上是减函数，
2
在(1,2)上是增函数.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝ log 1 (－x2＋2x).
2
(1)求函数f(x)的值域；
解 由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，
∴0<x<2.
当0<x<2时，y＝－x2＋2x＝－(x2－2x)∈(0,1]，
∴ log 1 (－x2＋2x)≥ log 1 1＝0.
2
2
∴函数y＝log 1 (－x2＋2x)的值域为[0，＋∞).
素养
评析 (1)在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系.故求y＝logaf(x)型函数 的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单 调性求出logaf(x)的取值范围. (2)明确运算对象，探究运算思路，选择运算方法，求得运算结果，所以本 典例体现了数学运算的核心素养.
题型二 对数型复合函数的奇偶性
例 3 判断函数 f(x)＝ln 22－ ＋xx的奇偶性.
延伸探究 若已知 f(x)＝lnab－ ＋xx为奇函数，则正数 a，b 应满足什么条件？ 解 由ab－ ＋xx>0，得－b<x<a. ∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b. 当 a＝b 时，f(x)＝lnaa－ ＋xx.
跟踪训练2 A.(0,1) C.(1,3]
20-21版：复习课（步步高）
跟踪训练4 设x∈N＋，n∈N＋，求证：xn＋2＋(x＋1)2n＋1能被x2＋x＋1整除.
3 随堂演练
PART THREE
1.某同学回答“用数学归纳法证明 n2＋n<n＋(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，有 kk＋1<k＋1，那么当 n＝k＋1 时，
二、用数学归纳法证明等式或不等式
命题角度1 用数学归纳法证明等式(以三角函数为背景)
例2
求证tan
α·tan
2α＋tan
2α·tan
3α＋…＋tan(n－1)α·tan
nα＝
tan nα tan α
－n(n≥2，
n∈N＋).
反思 感悟
数学归纳法是证明有关正整数n的命题的一种方法，应用广泛.用数学归纳法证 明一个命题必须分两个步骤：(1)论证命题的起始正确性，是归纳的基础； (2)推证命题正确的可传递性，是递推的依据.两步缺一不可，证明步骤与格式 的规范是数学归纳法的一个特征.
2 考点突破
PART TWO
一、归纳—猜想—证明
例1 已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋). (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想 an＝55， ×n2＝ n－21，，n≥2，n∈N＋.
用数学归纳法证明不等式，除了注意数学归纳法规范的格式外，还要注意灵 活利用问题的其他条件及相关知识.
跟踪训练 3 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n＞56(n≥2，n∈N＋).
三、用数学归纳法证明整除问题
例4 用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整除.
【步步高】2021届高考数学总温习 对数与对数函数学案 理 新人教A版 (1)
学案8 对数与对数函数导学目标： 1.明白得对数的概念及其运算性质，明白用换底公式能将一样对数转化为自然对数或经常使用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.明白得对数函数的概念，明白得对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，明白指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理 1．对数的概念若是________________，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．2．对数的性质与运算法那么 (1)对数的性质(a>0且a ≠1) ①Na alog ＝____； ②1log a ＝____； ③Na a log ＝____；④a a log ＝____.(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝________________(a ，b 均大于零且不等于1)； ②b a log ＝ab log 1，推行d c b c b a log log log ••＝________.(3)对数的运算法那么若是a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么 ①log a (MN)＝___________________________； ②log a MN ＝______________________；③log a M n ＝__________(n ∈R )； ④na M m log ＝nmlog a M .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图 象性 质(1)定义域：______ (2)值域：______(3)过点______，即x ＝____时，y ＝____ (4)当x >1时，______ 当0<x <1时，______ (5)当x >1时，______当0<x <1时，______ (6)是(0，＋∞)上的______函数(7)是(0，＋∞)上的______函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称． 自我检测 1．(2020·四川)2log 510＋log 50.25的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．42．(2020·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，那么m 的值为( )A.10B ．10C ．20D ．1003．(2020·辽宁)已知函数f (x )知足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．那么f (2＋log 23)的值为( )A.124B.112C.18D.384．(2020·安庆模拟)概念在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，那么知足)(log 81x f >0的x 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)5．(2020·台州期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，那么m 与n 的大小关系是______. 探讨点一 对数式的化简与求值 例1 计算：(1))32(log 32--；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg245；(3)已知2lgx －y2＝lg x ＋lg y ，求yx )223(log -. 变式迁移1 计算： (1)log 2748＋log 212－12log 242－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25. 探讨点二 含对数式的大小比较 例2 (1)比较以下各组数的大小． ①log 323与log 565；②log 1.10.7与log 1.20.7.(2)已知log 12b <log 12a <log 12c ，比较2b,2a,2c 的大小关系．变式迁移2 (1)(2020·全国Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，那么( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝a 21log ，(12)b ＝b 21log ，(12)c ＝log 2c ，那么( )A ．a <b <cB ．c <b <a0C ．c <a <bD ．b <a <c探讨点三 对数函数的图象与性质例3 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若是关于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 (2020·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |，假设0<a <b ，且f (a )＝f (b )，那么a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)分类讨论思想的应用例 (12分)已知函数f (x )＝log a (1－a x )(a >0，a ≠1)． (1)解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f (1)；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0. 【答题模板】(1)解 ∵f (x )＝log a (1－a x )，∴f (1)＝log a (1－a )．∴1－a >0.∴0<a <1. ∴不等式可化为log a (1－a x )>log a (1－a )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a x >0，1－a x <1－a .，即⎩⎪⎨⎪⎧a x <1，a x>a .∴0<x <1.∴不等式的解集为(0,1)．[4分](2)证明 设x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝)1(log 2x a a -－)1(log 1x a a -＝1211log x x a a a --.∵1－a x >0，∴a x <1.∴a >1时，f (x )的概念域为(－∞，0)；[6分] 0<a <1时，f (x )的概念域为(0，＋∞)． 当0<a <1时，∵x 2>x 1>0，∴2xa <1xa .∴1211x x a a -->1.∴1211log x x a aa --<0. ∴f (x 2)<f (x 1)，即y 2<y 1.同理可证，当a >1时，也有y 2<y 1.[10分] 综上：y 2<y 1，即y 2－y 1<0.∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0.∴直线AB 的斜率小于0.[12分]【冲破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可轻忽对底数a 的分类讨论，即a >1或0<a <1，第二要看概念域，若是将函数变换，务必保证等价性．1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤： (1)确信概念域；(2)弄清函数是由哪些大体初等函数复合而成的，将复合函数分解成大体初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )； (3)别离确信这两个函数的单调区间；(4)假设这两个函数同增或同减，那么y ＝f (g (x ))为增函数，假设一增一减，那么y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．2．用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较 例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小， 其中a >0且a ≠1.①若a >1，那么log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0. ②若0<a <1，那么log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部份自左向右底慢慢增大，即0<c <d <1<a <b . 3．常见对数方程式或对数不等式的解法(1)形如log a f (x )＝log a g (x )(a >0且a ≠1)等价于f (x )＝g (x )，但要注意验根．关于log a f (x )>log a g (x )等价于0<a <1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>>);()(,0)(,0)(x g x f x g x f a >1时，⎪⎩⎪⎨⎧>>>).()(,0)(,0)(x g x f x g x f(2)形如F (log a x )＝0、F (log a x )>0或F (log a x )<0，一样采纳换元法求解． (总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1．(2020·北京市丰台区高三一调)设M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，那么集合M ∪N 等于( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1)2．(2020·全国Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，那么( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a3．(2020·天津)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)4．(2020·济南模拟)设函数f (x )概念在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，那么有 ( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)5．(2020·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，那么a 的值为( )A.12B.14C ．2D ．46．2lg 5＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝________.7．(2020·湖南师大附中检测)已知函数f (x )＝lg ax ＋a －2x在区间[1,2]上是增函数，那么实数a 的取值范围是____________．8．已知f (3x )＝4x log 23＋233，那么f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________. 三、解答题(共38分)9．(12分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值． 10．(12分)(2020·北京东城1月检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的概念域；(2)判定f (x )的奇偶性并予以证明； (3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．11．(14分)(2020·郑州模拟)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的概念域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是不是存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 知足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值． 答案 自主梳理 1．a x ＝N(a >0，且a ≠1) x ＝log a N a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①log a N log a b②log a d(3)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③nlog a M 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0 (6)增 (7)减 4.y ＝log a x y ＝x自我检测 1．C 2.A3．A [因为3<2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·13＝124.] 4．B [由题意可得：f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，f (|log 18x |)>f (13)，f (x )在[0，＋∞)上递增，于是|log 18x |>13，解得x的取值范围是(0，12)∪(2，＋∞)．]5．m >n解析 ∵m <0，n <0，∵m n＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n .课堂活动区例1 解题导引 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成份数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法那么化简归并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解 (1)方式一 利用对数概念求值： 设)32(log )32(-+＝x ，那么(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方式二 利用对数的运算性质求解：)32(log )32(-+＝)32(1log )32(++＝1)32()32(log -++＝－1. (2)原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12lg (2×5)＝12lg 10＝12. (3)由已知得lg(x －y2)2＝lg xy ，∴(x －y2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(xy)2－6(xy)＋1＝0.∴xy＝3±22.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴x y >1，∴xy＝3＋22，∴log (3－22)xy＝log (3－22)(3＋22)＝log3－2213－22＝－1.变式迁移1 解 (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22－32＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方式很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②假设底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③假设不同底，不同真数，那么可利用中间量进行比较．解 (1)①∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.②方式一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2. ∴1log 0.71.1<1log 0.71.2， 由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方式二 作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象， 如下图，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7. (2)∵y ＝log 12x 为减函数，且log 12b <log 12a <log 12c ，∴b >a >c .而y ＝2x 是增函数，∴2b >2a >2c .变式迁移2 (1)A [a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，那么12<b <1，c ＝12log 32<12，∴a >b >c .](2)A [∵a ，b ，c 均为正，∴log 12a ＝2a >1，log 12b ＝(12)b ∈(0,1)， log 2c ＝(12)c ∈(0,1)．∴0<a <12，12<b <1,1<c <2.故a <b <c .]例3 解题导引 此题属于函数恒成立问题，即关于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一样有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于此题底数a 为参数，需对a 分类讨论．解 ∵f (x )＝log a x ， 则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，可使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式迁移3 C[画出函数f (x )＝|lg x |的图象如下图．∵0<a <b ，f (a )＝f (b )，∴0<a <1，b >1，∴lg a <0，lg b >0.由f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.∴b ＝1a ，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，又0<a <1，函数t ＝a ＋2a 在(0,1)上是减函数，∴a ＋2a >1＋21＝3，即a ＋2b >3.]课后练习区1．C [∵x ≥0，∴y ＝(12)x ∈(0,1]，∴M ＝(0,1]．当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]．∴M ∪N ＝(－∞，1]．] 2．C [∵1a ＝log 23>1，1b ＝log 2e>1，log 23>log 2e.∴1a >1b >1，∴0<a <b <1.∵a ＝log 32>log 33＝12，∴a >12.b ＝ln 2>ln e ＝12，∴b >12.c ＝5－12＝15<12，∴c <a <b .]3．C [①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝a 21log ，f (a )>f (－a )，即log 2a >a 21log ＝log 21a ， ∴a >1a ，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝)(log 21a ，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即)(log 21a ->log 2(－a )＝a-1log 21， ∴－a <1－a，解得－1<a <0， 由①②得－1<a <0或a >1.]4．C [由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，因此离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)．] 5．C [当x >0时，函数a x ，log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x ＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．]6．37．(1,2) 解析 因为f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a －2x 在区间[1,2]上是增函数，因此g (x )＝a ＋a －2x 在区间[1,2]上是增函数，且g (1)>0，于是a －2<0，且2a －2>0，即1<a <2.8．2 008解析 令3x ＝t ，f (t )＝4log 2t ＋233，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.9．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.……(4分)∵函数f (x )的概念域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)成心义，必需⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，(8分) ∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取最大值13.………………………………………(12分)10．解 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的概念域为{x |－1<x <1}．………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )的概念域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．………………………………………………………………(8分) (3)因为当a >1时，f (x )在概念域{x |－1<x <1}内是增函数，因此f (x )>0⇔x ＋11－x>1. 解得0<x <1.因此使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．…………………………………(12分)11．解 (1)由a x －b x >0，得(a b )x >1，且a >1>b >0，得a b >1，因此x >0，即f (x )的概念域为(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)(2)任取x 1>x 2>0，a >1>b >0，那么1x a >2x a >0，21x x b b <，因此11x x b a ->22x x b a ->0，即)lg(11x x b a ->)lg(22x x b a -．故f (x 1)>f (x 2)．因此f (x )在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，那么x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．…………(10分)(3)因为f (x )是增函数，因此当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)．如此只需f (1)＝lg(a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)。
21-22版：4.3.1 对数的概念（步步高）
§4.3 对数4.3.1 对数的概念 学习目标 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值． 导语大家阅读课本128页的“阅读与思考”(大约3分钟)，可以发现，对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的．经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！一、对数的概念问题1 我们知道若2x ＝4，则x ＝2；若3x ＝81，则x ＝4；若⎝⎛⎭⎫12x ＝128，则x ＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x 的值，但对于2x ＝3，1.11x ＝2，10x ＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？提示 用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解． 知识梳理对数的定义：一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．注意点：(1)对数是由指数转化而来，则底数a 、指数或对数x 、幂或真数N 的范围不变，只是位置和名称发生了变换；(2)log a N 的读法：以a 为底N 的对数．例1 若对数式log (t －2)3有意义，则实数t 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2,3)∪(3，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞) 答案 B解析 要使对数式log (t －2)3有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧t －2>0，t －2≠1.解得t >2，且t ≠3.所以实数t 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．反思感悟 关于指数式的范围利用式子log a b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b >0，a >0，a ≠1，求字母的范围．跟踪训练1 在M ＝log (x －3)(x ＋1)中，要使式子有意义，x 的取值范围为( )A ．(－∞，3]B ．(3,4)∪(4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(3,4) 答案 B解析 由对数的概念可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，x －3≠1，解得3<x <4或x >4.二、对数与指数的互相转化问题2 现在你能解指数方程2x ＝3，1.11x ＝2，10x ＝5了吗？提示 x ＝log 23；x ＝log 1.112；x ＝log 105. 知识梳理两类特殊对数(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lg N ；(2)以无理数e ＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln N .例2 将下列指数式与对数式互化：(1)log 216＝4； (2)13log 27＝－3；(3)ln 100＝4.606； (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)10－3＝0.001. 解 (1)24＝16.(2)⎝⎛⎭⎫13－3＝27.(3)e 4.606＝100.(4)log 464＝3.(5)log 319＝－2. (6)lg 0.001＝－3.反思感悟 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练2 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．100＝1与lg 1＝0B ．1327 ＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝12与129＝3 D ．log 55＝1与51＝5答案 C解析 因为129＝3化为对数式应为log 93＝12，故C 不正确． 三、对数的计算 问题3 你能把20＝1,21＝2，log 2x ＝log 2x 化成对数式或指数式吗？提示 log 21＝0；log 22＝1；2log 2x ＝x . 知识梳理对数的性质(1)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)．(2)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)．(3)零和负数没有对数．(4)对数恒等式：log a N a ＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1，N >0)．例3 (1)求下列各式的值．①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________.答案 ①2 ②0 ③2解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2.②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0.③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2.(2)求下列各式中x 的值．①log 27x ＝－23；②log x 16＝－4.解 ①由log 27x ＝－23，得x ＝22333273⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭= ＝3－2＝19. ②由log x 16＝－4，得x －4＝16，即x 4＝116＝⎝⎛⎭⎫±124， 又x >0，且x ≠1，∴x ＝12. 反思感悟 对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．(2)基本方法①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．②利用幂的运算性质和指数的性质计算．跟踪训练3 求下列各式的值：(1)log 28；(2)log 919；(3)ln e ；(4)lg 1. 解 (1)设log 28＝x ，则2x ＝8＝23.∴x ＝3.∴log 28＝3.(2)设log 919＝x ，则9x ＝19＝9－1， ∴x ＝－1.∴log 919＝－1. (3)ln e ＝1.(4)lg 1＝0.四、利用对数性质求值例4 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)x ＝71log 57-. 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.(3)x ＝71log 57-＝7÷7log 57＝7÷5＝75. 延伸探究 把本例(1)中的“log 2(log 5x )＝0”改为“log 2(log 5x )＝1”，求x 的值． 解 因为log 2(log 5x )＝1，所以log 5x ＝2，则x ＝52＝25.反思感悟 利用对数的性质求值的方法(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论log a 1＝0和log a a ＝1(a >0且a ≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 跟踪训练4 求下列各式中x 的值．(1)log 8[log 7(log 2x )]＝0；(2)log 2[log 3(log 2x )]＝1.解 (1)由log 8[log 7(log 2x )]＝0，得log 7(log 2x )＝1，即log 2x ＝7，∴x ＝27.(2)由log 2[log 3(log 2x )]＝1，得log 3(log 2x )＝2，∴log 2x ＝9，∴x ＝29.1．知识清单：(1)对数的概念．(2)自然对数、常用对数．(3)指数式与对数式的互化．(4)对数的性质．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．1．对数log (a ＋3)(5－a )中实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．(－3,5)C ．(－3，－2)∪(－2,5)D ．(－3，＋∞)答案 C解析 要使对数log (a ＋3)(5－a )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，5－a >0，a ＋3≠1，解得a ∈(－3，－2)∪(－2,5)．2．2－3＝18化为对数式为( )A ．18log 2＝－3B ．()18log 3-＝2C ．log 218＝－3 D ．log 2(－3)＝18 答案 C解析 根据对数的定义知选C.3．已知2log a b ＝c ，则有( )A ．a 2b ＝cB ．a 2c ＝bC ．b c ＝2aD ．c 2a ＝b答案 B解析 由题意得(a 2)c ＝b ，即a 2c ＝b . 4．计算：3log 22＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________. 答案 0解析 原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0.。
21-22版：4.4.1 对数函数的概念（步步高）
§4.4对数函数4.4.1对数函数的概念学习目标 1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．导语通过前面的学习，我们知道了“对数源出于指数”，然而对数的发明先于指数，对数的出现是基于当时天文、航海等发展的需要，大家知道，我国在探索太空、大洋等方面取得了很大的成就，比如2020年11月24日，我国成功发射嫦娥五号探测器，12月17日凌晨嫦娥五号携带月球土壤样品安全着陆，大家知道吗？指挥本次月球探索的是一位24岁的小姑娘，同学们好好学习吧，说不定下一个指挥探索别的星球的人就是你哦．一、对数函数的概念及应用问题我想问一下同学们，今天你向家长要零花钱了吗？构造向家长要零花钱的函数y＝2x.x 123…10…y 248… 1 024… 1 048 576 1 073 741 824在学习指数函数时，我们想知道的是，第几天我们能获得多少零花钱，而现在，我们知道的是，当你获得1 024元的时候，是在第10天，同学们可以大胆猜测一下，你在第几天可以获得1 048 576元和1 073 741 824元？提示根据指数与对数的相互转化，我们知道y＝2x可以化为x＝log2y，根据对数的运算，我们便可得到是在第20天和30天获得上述钱数．知识梳理一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．注意点：(1)对数函数的系数为1；(2)真数只能是一个x；(3)底数与指数函数的范围相同；(4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数log x有相同的定义域和对应关系，故函数相等．y＝122例1(1)给出下列函数：log x；②y＝log3(x－1)；①y＝223③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.其中是对数函数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 A解析 只有第④个满足对数函数的定义．(2)已知对数函数f (x )的图象过点P (8,3)，则f ⎝⎛⎭⎫132＝________. 答案 －5解析 设对数函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， ∵f (x )的图象过点P (8,3)， ∴3＝log a 8，∴a 3＝8，a ＝2. ∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫132＝log 2132＝log 22－5＝－5. 反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x .跟踪训练1 (1)下列函数是对数函数的是_________(填序号)． ①y ＝log a (5＋x )(a >0且a ≠1)；②y ＝)1logx ；③y ＝log 3(－x )；④y ＝log x 3(x >0且x ≠1)． 答案 ②解析 ①和③中自变量不是x ，所以不是对数函数，④中底数是x ，不是常数；②符合对数函数的特征，所以是对数函数． (2)已知函数f (x )是对数函数，且f ⎝⎛⎭⎫22＝－12，则f (22)＝________.答案 32解析 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， 因为f ⎝⎛⎭⎫22＝－12，所以a ＝2，f (x )＝log 2x ，所以f (22)＝32.二、求函数的定义域例2 函数y ＝lg 1＋x1－x的定义域为________．答案 (－1,1) 解析 因为y ＝lg1＋x 1－x ，所以1＋x1－x>0，解得－1<x <1， 所以函数的定义域为(－1,1)．延伸探究 在本例中将函数的解析式变为y ＝log (3x －1)1＋x1－x，试求函数的定义域．解 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1－x>0，3x －1>0，3x －1≠1，解得13<x <1，且x ≠23，所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎫13，23∪⎝⎛⎭⎫23，1. 反思感悟 求对数型函数的定义域需注意： (1)真数大于0.(2)对数出现在分母上时，真数不能为1. (3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1.跟踪训练2 函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋9－x 2的定义域为________________．答案 (－1,0)∪(0,3] 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，9－x 2≥0，解得－1<x <0或0<x ≤3.所以函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋9－x 2的定义域为(－1,0)∪(0,3]．三、对数函数模型的应用例3 某企业2019年全年投入研发资金1亿元，为激励创新，该企业计划今年后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过43亿元的年份是( )(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023 答案 D解析 设2020年为第一年，由题意得2020年投入的研发资金为(1＋8%)， 2021年投入的研发资金为(1＋8%)2， …，则第x 年投入的研发资金为(1＋8%)x ，由(1＋8%)x ≥43，即1.08x ≥43，两边取常用对数，得lg 1.08x ≥lg 43＝2lg 2－lg 3，解得x ≥3.8≈4，∴第四年即2023年全年投入的研发资金开始超过43亿元．反思感悟 利用指数、对数函数解决应用问题(1)列出指数关系式x ＝a y ，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y ＝log a x ；(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．跟踪训练3 我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C 的公式C ＝W ·log 2⎝⎛⎭⎫1＋SN ，其中W 是信道带宽(赫兹)，S 是信道内所传信号的平均功率(瓦)，N 是信道内部的高斯噪声功率(瓦)，其中SN 叫做信噪比．根据此公式，在不改变W 的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C 大约增加了60%，则λ的值大约为( ) (参考数据：100.2≈1.58)A ．1 559B ．3 943C ．1 579D ．2 512 答案 C解析 由题意得W log 2(1＋λ)－W log 2(1＋99)W log 2(1＋99)≈60%，则log 2(1＋λ)log 2100≈1.6,1＋λ≈1001.6＝103.2＝103·100.2≈1 580，∴λ≈1 579.1．知识清单：(1)对数函数的概念和定义域． (2)对数函数模型的简单应用． 2．方法归纳：待定系数法，转化法．3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件．1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝ln(x ＋1) C ．y ＝log x e D ．y ＝log x x答案 A解析 由对数函数的特征可得只有A 选项符合． 2．函数f (x )＝log 2(x －1)的定义域是( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1]答案 B解析 由x －1>0，得x >1.3．某种动物的数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的函数关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( ) A ．300只 B ．400只 C ．500只 D ．600只 答案 A解析 由题意，知100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100， 则当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝100×3＝300. 4．对数函数f (x )过点(9,2)，则f ⎝⎛⎭⎫13＝________. 答案 －1解析 设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，∵log a 9＝2， ∴a 2＝9，∴a ＝3(a ＝－3舍去)， ∴f (x )＝log 3x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫13＝log 313＝－1.。
【步步高】（广东专用）2021高考数学大一轮温习 第二章 第5讲 对数与对数函数训练 理(1)
第5讲 对数与对数函数一、选择题1．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，那么a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <c <aB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析 由题知，a ＝log 45>1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c <b <a . 答案 D2．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，那么使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x＜1， ∴－1＜x ＜0.答案 A3．假设函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，那么a 的取值范围是( )．A ．0<a <1B ．0<a <2，a ≠1C ．1<a <2D ．a ≥2 解析 因为y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，那么a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，应选C. 答案 C4．假设函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如下图，其中a ，b 为常数，那么函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )． 解析 由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1，0<b <1.那么g (x )＝a x ＋b 的图象由y ＝a x 的图象沿y 轴向上平移b 个单位而取得，应选B.答案 B5．假设函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)知足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f (x 1)－f (x 2)>0，那么实数a 的取值范围为( )． A ．(0,1)∪(1,3)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23) 解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上确实是“函数单调递减”的“假装”，同时还隐含了“f (x )成心义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a 2时递减，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．应选D.答案 D 6．已知函数f (x )＝|lg x |，假设0<a <b ，且f (a )＝f (b )，那么a ＋2b 的取值范围是 ( )．A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0<a <b 知0<a <1<b ，－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴a ＋2b＝a ＋2a ，由函数y ＝x ＋2x 的单调性可知，当0<x <1时，函数单调递减，∴a ＋2b ＝a ＋2a>3.应选C. 答案 C二、填空题7．对任意非零实数a ，b ，假设a ⊗b 的运算原理如下图，那么(log 128)⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝________.解析 框图的实质是分段函数，log 128＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，由框图能够看出输出9－3＝－3. 答案 －3.8．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析 g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＜0， ∴g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝e ln 12＝12. 答案 129．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，假设A ⊆B ，那么实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 解析 ∵log 2x ≤2，∴0＜x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a ＞4，∴c ＝4.答案 410．关于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部份，即[x ]是不超过x 的最大整数．在实数轴R(箭头向右)上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]确实是x .那个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有普遍的应用．那么[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝________.解析 当1≤n ≤2时，[log 3n ]＝0，当3≤n <32时，[log 3n ]＝1，…，当3k ≤n <3k ＋1时，[log 3n ]＝k . 故[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857.答案 857三、解答题11．已知函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x . (1)判定函数的奇偶性；(2)假设y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 的概念域为R.又f (－x )＝log 12(a 2－3a ＋3)－x ＝－log 12(a 2－3a ＋3)x ＝－f (x )， 因此函数f (x )是奇函数．(2)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，那么y ＝(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数， 由指数函数的单调性，知a 2－3a ＋3>1，解得a <1或a >2.因此a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．12．假设函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的概念域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2＞0，解得x ＜1或x ＞3，∴M ＝{x |x ＜1，或x ＞3}，f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x ＝t ，∵x ＜1或x ＞3，∴t ＞8或0＜t ＜2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t ＞8或0＜t ＜2)． 由二次函数性质可知：当0＜t ＜2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43， 当t ＞8时，f (t )∈(－∞，－160)，当2x ＝t ＝23，即x ＝log 2 23时，f (x )max ＝43. 综上可知：当x ＝log 2 23时，f (x )取到最大值为43，无最小值． 13．已知函数f (x )＝log a x ＋b x －b (a ＞0，b ＞0，a ≠1)．(1)求f (x )的概念域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性；解 (1)令x ＋b x －b ＞0， 解得f (x )的概念域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)． (2)因f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1 ＝－log a x ＋b x －b ＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(3)令u (x )＝x ＋bx －b ，那么函数u (x )＝1＋2bx －b 在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数，因此当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数；当a ＞1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．14．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1，(a >0，且a ≠1)．(1)求函数的概念域，并证明：f (x )＝log a x ＋1x －1在概念域上是奇函数；(2)关于x ∈[2,4]，f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m x －127－x 恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴函数的概念域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝log a x ＋1x －1在概念域上是奇函数．(2)由x ∈[2,4]时，f (x )＝log ax ＋1x －1>log a m x －127－x 恒成立， ①当a >1时，∴x ＋1x －1>mx －127－x >0对x ∈[2,4]恒成立．∴0<m <(x ＋1)(x －1)(7－x )在x ∈[2,4]恒成立．设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，x ∈[2,4] 则g (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7，g ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －732＋523， ∴当x ∈[2,4]时，g ′(x )>0. ∴y ＝g (x )在区间[2,4]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝15. ∴0<m <15.②当0<a <1时， 由x ∈[2,4]时， f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m x －127－x 恒成立， ∴x ＋1x －1<mx －127－x 对x ∈[2,4]恒成立． ∴m >(x ＋1)(x －1)(7－x )在x ∈[2,4]恒成立． 设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，x ∈[2,4]， 由①可知y ＝g (x )在区间[2,4]上是增函数， g (x )max ＝g (4)＝45，∴m >45.∴m 的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).。
20-21版：章末复习课（步步高）
章末复习课一、函数的定义域1．函数的定义域是指函数y ＝f (x )中自变量x 的取值范围．确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用．求函数的定义域主要遵循一些原则，然后根据这些原则列方程(组)解答就可以，实际问题确定的函数的定义域要考虑让实际问题有意义．2．考查函数的定义域的问题，主要是考查逻辑思维能力、综合分析能力和计算能力． 例1 (1)函数f (x )＝3x 21－x ＋(3x －1)0的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，13 B.⎝⎛⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫13，1 答案 D解析 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x －1≠0，解得x <1且x ≠13.(2)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，52 B ．[－1,4] C ．[－5,5] D ．[－3,7]答案 A解析 设u ＝x ＋1，由－2≤x ≤3，得－1≤x ＋1≤4， 所以y ＝f (u )的定义域为[－1,4]．再由－1≤2x －1≤4， 解得0≤x ≤52，即函数y ＝f (2x －1)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，52. 反思感悟 求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑使解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题：①若f (x )的定义域为[a ，b ]，f (g (x ))的定义域应由a ≤g (x )≤b 解出； ②若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域． 跟踪训练1 (1)函数f (x )＝1＋x ＋x1－x的定义域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．R D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ≥0，1－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1.故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，故选D.(2)设函数f (x )的定义域为[1,5]，则函数f (2x －3)的定义域为( ) A ．[2,4] B ．[3,11] C ．[3,7] D ．[1,5] 答案 A解析 由题意得，1≤2x －3≤5，解得2≤x ≤4，所以函数f (2x －3)的定义域是[2,4]． 二、 函数的解析式1．函数的解析式实际上就是函数的对应法则的数学表示，求函数的解析式一般采用的是换元法、拼凑法、待定系数法、解方程组法等，特别在分段函数中还要结合函数的奇偶性． 2．求函数的解析式往往考查的是分析能力和逻辑思维能力，以提高逻辑思维和数学运算的素养为主要目的．例2 (1)函数f (x )在R 上为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎨⎧1＋x ，x >0，0，x ＝0，－－x －1，x <0解析 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－x ＋1. ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即－f (x )＝－x ＋1，∴f (x )＝－－x －1. ∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎨⎧1＋x ，x >0，0，x ＝0，－－x －1，x <0.(2)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)解析 令t ＝1＋x x ＝1x ＋1，则t ≠1.把x ＝1t －1代入f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，得f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t －12⎝⎛⎭⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1.所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1， x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．反思感悟 求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法． (3)含f (x )与f (－x )或f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x ，使用解方程组法．(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．跟踪训练2 (1)已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，则该二次函数的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2＋1解析 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋1.(2)若3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝2x ＋25解析 令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，t ∈R ， 原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)．①以－t 代替t ，①式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )．② 由①②消去f (－t )得f (t )＝2t ＋25，故f (x )＝2x ＋25.三、函数的单调性和奇偶性1．函数的单调性和奇偶性是函数的两种非常重要的性质，既能作为小题考查，也能作为工具进行运用，这部分的主要结论有(1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )则为增(减)函数．(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．(3)f (x )为奇函数⇔f (x )的图像关于原点对称；f (x )为偶函数⇔f (x )的图像关于y 轴对称． (5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图像必过原点即有f (0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f (x )＝0.(6)f (x )＋f (－x )＝0⇔f (x )为奇函数；f (x )－f (－x )＝0⇔f (x )为偶函数．2．利用奇偶函数和单调性的定义和一些重要的结论，进行分析问题，提高逻辑思维和数学运算的素养．例3 已知函数y ＝f (x )是奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数且f (x )＜0.求证：F (x )＝1f (x )在区间(－∞，0)上是增函数．证明 设任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则－x 1>－x 2>0，而函数f (x )为奇函数，则f (－x 1)＝－f (x 1)，f (－x 2)＝－f (x 2)，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，从而f (－x 1)＜f (－x 2)，即－f (x 1)＜－f (x 2)，于是f (x 1)－f (x 2)>0.由已知f (x )在区间(0，＋∞)上有f (x )＜0，得f (－x 1)＜0，f (－x 2)＜0， 所以f (x 1)·f (x 2)＝[－f (－x 1)]·[－f (－x 2)]>0.于是F (x 1)－F (x 2)＝1f (x 1)－1f (x 2)＝f (x 2)－f (x 1)f (x 1)·f (x 2)＝－f (x 1)－f (x 2)f (x 1)·f (x 2)＜0，所以函数F (x )＝1f (x )在区间(－∞，0)上是增函数．反思感悟 函数的性质主要是单调性和奇偶性(1)注意函数单调性的定义及其等价形式，如函数在区间D 上单调递增：∀x 1，x 2∈D ，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0等．(2)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值f (a )，f (－a )的转化，注意其图像的对称性的应用． 跟踪训练3 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值． 解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n . 比较得n ＝－n ，n ＝0.又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，解得m ＝2.因此，实数m 和n 的值分别是2和0. (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x .任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1≠x 2， 则Δf Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝23(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2x 1－x 2 ＝23·x 1x 2－1x 1x 2. ∵x 1，x 2∈[－2，－1]且x 1≠x 2， ∴x 1x 2>1，x 1x 2－1>0，∴ΔfΔx >0，∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53.四、函数图像的画法及应用1．利用函数的图像可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数等．2．掌握简单的基本函数图像，提升直观想象素养．例4 已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋mx ，x <0.(1)求实数m 的值； (2)画出函数的图像；(3)若函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，试确定a 的取值范围． 解 (1)当x <0时，－x >0， f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又因为f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ，则m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，函数f (x )的图像如图所示．(3)由图像可知f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，|a |－2]上单调递增， 只需－1<|a |－2≤1，即1<|a |≤3， 解得－3≤a <－1或1<a ≤3.所以实数a 的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]．反思感悟 画函数图像的主要方法是描点法，要先研究函数性质再画图，一旦有了函数图像，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．跟踪训练4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，－x 2＋2x ，x >0，方程 f 2(x )－bf (x )＝0，b ∈(0,1)，则方程的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 因为f 2(x )－bf (x )＝0， 所以f (x )＝0或f (x )＝b ，作函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，－x 2＋2x ，x >0的图像如图，结合图像可知，f (x )＝0有2个不同的根，f (x )＝b (0<b <1)有3个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5.1．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝x3－1x3，则f(x)() A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减答案 A解析函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝(－x)3－1(－x)3＝－x3＋1x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．又因为y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝－1x3在(0，＋∞)上也单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．2．(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]答案 D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．3．(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________． 答案 [－1,7]解析 要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]． 4．(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3,1]解析 要使原函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0.解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3,1]．5．(2018·浙江)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ.当λ＝2时，不等式f (x )＜0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x ＜2，其图像如图(1)．由图知f (x )＜0的解集为(1,4)．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y 1＝x －4与y 2＝x 2－4x ＋3的图像，如图(2)，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．。
20-21版：章末复习（步步高）
章末复习考点一 指数、对数运算 例1 化简：923252310(1)810.-⨯5log 333332(2)2log 2log +log 825.9-- 解 (1)原式925223232310120=-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝÷⎪⎝⎭⨯ ⎭5131221101010=210=2---⨯⨯⨯ (2)原式52log 333332=log 4log +log 859-- 5log 93953248log ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⨯⨯＝log 39－9＝2－9＝－7.反思感悟 指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．跟踪训练1 (1)计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________． 答案 111解析 ∵log 32×log 2(log 327)＝log 32×log 23 ＝lg 2lg 3×lg 3lg 2＝1， ∴原式14341232231224271111.⨯+⨯+=+⨯+== (2)已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．答案 3解析 由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.考点二 函数图象及其应用命题角度1 由解析式判断函数图象 例2 定义运算ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝12x 的图象是( )答案 A解析 ∵当x ≥0时，2x ≥1，当x <0时，2x <1， ∴f (x )＝12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，1，x ≥0，故选A.反思感悟 指数函数、对数函数、幂函数合称基本初等函数(Ⅰ)．其基本性质体现之一就是可以作为构成新函数的“原料”．跟踪训练2 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析 由函数y ＝log a x 的图象过点(3,1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，则其函数图象不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图象正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图象不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图象不正确． 命题角度2 应用函数图象特点研究性质例3 如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2} 答案 C解析 借助函数的图象求解该不等式．令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．反思感悟 指数函数、对数函数、幂函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、伸缩、对称、翻折等变换．跟踪训练3 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点坐标为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 B解析 在同一坐标系中画y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象，如图，由图知当x <x 0时，⎝⎛⎭⎫12x －2>x 3，当x >x 0时，⎝⎛⎭⎫12x －2<x 3.代入x ＝2，⎝⎛⎭⎫122－2＝1<23，∴2>x 0.再代入1，⎝⎛⎭⎫121－2＝2>13，∴x 0>1.考点三 基本初等函数的性质及应用命题角度1 比较大小例4 (1)比较下列各组数的大小： ①27,82；解 ∵82＝(23)2＝26，由指数函数y ＝2x 在R 上单调递增知26<27，即82<27. ②log 20.4，log 30.4，log 40.4；解 ∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0. 又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，∴1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44， 即log 20.4<log 30.4<log 40.4.③13212112log log 33.，，-解 ∵130<2<2=10，- log 213<log 21＝0，112211log >log =132， ∴1321211log <2<log 33.-(2)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析 设2x ＝3y ＝5z ＝t >1，则ln 2x ＝ln 3y ＝ln 5z ＝ln t >0，即x ＝ln t ln 2，2x ＝2ln 2ln t ，y ＝ln t ln 3，3y ＝3ln 3ln t ，z ＝ln t ln 5，5z ＝5ln 5ln t .2x －3y ＝ln t ⎝⎛⎭⎫2ln 2－3ln 3 ＝ln t ⎝⎛⎭⎫2ln 3－3ln 2ln 2·ln 3>0. ∴2x >3y .类似地有2x <5z .故选D. 反思感悟 数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小． 跟踪训练4 比较下列各组数的大小： (1)log 0.22，log 0.049；解 ∵log 0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3lg 0.2＝log 0.23， 又∵y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上单调递减，∴log 0.22>log 0.23，即log 0.22>log 0.049. (2)a 1.2，a 1.3；解 ∵函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当底数a >1时在R 上是增函数，当底数0<a <1时在R 上是减函数，而1.2<1.3，故当a >1时，有a 1.2<a 1.3； 当0<a <1时，有a 1.2>a 1.3. (3)30.4,0.43，log 0.43. 解 ∵30.4>30＝1， 0<0.43<0.40＝1， log 0.43<log 0.41＝0， ∴log 0.43<0.43<30.4.命题角度2 奇偶性与单调性例5 (1)设函数f (x )＝ln(2＋x )－ln(2－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,2)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,2)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,2)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,2)上是减函数 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x >0，2－x >0，解得－2<x <2，所以f (x )的定义域为(－2,2)．因为f (－x )＝ln(2－x )－ln(2＋x )＝－f (x )，关于原点对称，所以f (x )是奇函数； 又显然f (x )在(－2,2)上单调递增．(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 答案 C解析 由f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，可知f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，∴由f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，可得2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.反思感悟 基本初等函数单调性的判断与应用(1)对于指数函数和对数函数，注意底数a 对函数单调性的影响，对于幂函数y ＝x α，注意指数α对函数单调性的影响．(2)根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集． 跟踪训练5 (1)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x答案 D(2)设函数()1131,,,e ,1x x xf x x -⎧⎪=≥⎨<⎪⎩则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析 f (x )在R 上为增函数，当x <1时，f (x )≤2恒成立，当x ≥1时，令13=2x 得x ＝8.所以x 的取值范围为(－∞，8].1．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9] D ．[1，＋∞) 答案 C解析 由f (2)＝32－b ＝1得b ＝2，即f (x )＝3x －2， 由2≤x ≤4，得32－2≤f (x )≤34－2， 即1≤f (x )≤9.2．化简2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )为( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 B解析 2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )＝2lg (100·lg a )2＋lg (lg a )＝2[lg 100＋lg (lg a )]2＋lg (lg a )＝2.3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与函数()12log g x x =在区间(－∞,0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数 答案 D解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x在x ∈(－∞，0)上为减函数，()12log g x x =为偶函数，x ∈(0，＋∞)时()12log g x x =为减函数，所以g (x )在(－∞，0)上为增函数．4．已知322P =，-Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 Q ＜R ＜P解析 由函数y ＝x 3在R 上是增函数，知⎝⎛⎭⎫253＜⎝⎛⎭⎫123，由函数y ＝2x 在R 上是增函数，知 3332122,2⎛⎫= ⎪⎝⎭＞--所以P ＞R ＞Q .5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1； 当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.。
20-21版：章末复习课(步步高)
章末复习课一、复数的概念1．复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答．2．掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养．例1 当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i ，(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0上．解 (1)z ∈R ⇔a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1且a ≠2.故a ＝0. (3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a >0，a 2－3a ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a >2，a <1或a >2， ∴a <0或a >2.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．(4)依题设(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0，∴a ＝2.反思感悟 处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a ＋b i(a ，b ∈R )的形式时，要通过变形化为a ＋b i 的形式，以便确定其实部和虚部．(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．跟踪训练1 (1)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2答案 A解析 因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i ＋(－2i)＝0.(2)已知z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋(5m ＋6)i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1－z 2＝0，则m 的值为( )A ．4B ．－1C ．6D ．－1或6答案 B解析 由题意可得z 1＝z 2，即m 2－3m ＋m 2i ＝4＋(5m ＋6)i ，根据两个复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2＝5m ＋6， 解得m ＝－1.二、复数的几何意义1．复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题．2．通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养．例2 (1)(2019·全国Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由z ＝－3＋2i ，得z ＝－3－2i ，对应点(－3，－2)位于第三象限．(2)已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝________，b ＝________.答案 －3 －10解析 ∵OC →＝2OA →＋OB →，∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4＋a ，－4＝6＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10. 反思感悟 在复平面内确定复数对应点的步骤(1)由复数确定有序实数对，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )确定有序实数对(a ，b )．(2)由有序实数对(a ，b )确定复平面内的点Z (a ，b )．跟踪训练2 (2017·北京)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞) 答案 B解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ，又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1. 故选B.三、复数的四则运算1．复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主．2．借助复数运算的学习，提升数学运算素养．例3 已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝3＋2i (2＋i )2，则z 1z 2等于( ) A ．－4＋3iB ．3＋4iC ．3－4iD ．4－3i答案 D解析 z 1z 2＝(2－3i )(2＋i )23＋2i ＝(2－3i )(3－2i )(2＋i )2(3＋2i )(3－2i )＝－13i (3＋4i )13＝4－3i.反思感悟 进行复数代数运算的策略(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算．①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)．②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i 的幂的性质，在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘分母的共轭复数)．(2)复数的四则运算中含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式．(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．跟踪训练3 i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝⎛⎭⎫2－2i 1 009＋i 6＝i 1 009＋i 6＝i 4×252＋1＋i 4＋2＝i ＋i 2＝－1＋i.1．(2020·全国Ⅱ)(1－i)4等于( ) A ．－4B ．4C ．－4iD ．4i答案 A解析 (1－i)4＝(1－2i ＋i 2)2＝(－2i)2＝4i 2＝－4.2．(2020·全国Ⅲ)复数11－3i的虚部是( ) A ．－310B ．－110 C.110D.310 答案 D解析 z ＝11－3i＝1＋3i 10＝110＋310i ，其虚部为310. 3．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |等于( )A ．0B ．1 C. 2D ．2 答案 D解析 方法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2.方法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.4．(2020·新高考全国Ⅰ)2－i 1＋2i 等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 D解析 2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－5i 5＝－i. 5．(2020·全国Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 2 3解析 方法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ， 因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i,2z 2＝(3－a )＋(1－b )i. 因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4，所以(3＋a )2＋(1＋b )2＝4，①(3－a )2＋(1－b )2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2，可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝2 3.故|z 1－z 2|＝|BA →|＝2 3.。
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§2.6 对数与对数函数1．对数的概念一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1).2．对数log a N (a >0，a ≠1)具有下列性质 (1)N >0；(2)log a 1＝0；(3)log a a ＝1. 3．对数运算法则(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M α＝αlog a M . 4．对数的重要公式 (1)对数恒等式：a log a N ＝N . (2)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b .5．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域 (1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 (5)当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数6.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？ ②化简log m na b .提示 ①log a b ·log b a ＝1；②log m na b ＝n mlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示 0<c <d <1<a <b .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ ) 题组二 教材改编2．log 29·log 34·log 45·log 52＝________. 答案 23．已知a ＝1-32，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1. ∴c >a >b .4．函数y 23log 21x (-)的定义域是______．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析 由23log (21)x -≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y ＝23log 21x (-)的定义域是⎝⎛⎦⎤12，1.题组三 易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c答案 B6．(多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1 答案 BC解析 由图象可知函数为减函数，所以0<a <1， 令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c .由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).对数式的运算1．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．答案 3解析 由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.2．设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝________. 答案 6解析 ∵函数f (x )＝3x ＋9x ， ∴f (log 32)＝339log 2log 2log 43929＋＝＋＝2＋4＝6.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1 解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg 10.1 D ．10－10.1答案 A解析 两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7，lg E 1E 2＝25·(m 2－m 1)＝25(－1.45＋26.7)＝10.1，E 1E 2＝1010.1. 思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用例1 (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1答案 A解析 由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析 若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点， 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22.4x <log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，1解析 当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.思维升华 对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练1 (1)(2019·河北冀州中学月考)函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 由函数值域为R ，可以排除C ，D ，当x >1时，f (x )＝lg(x －1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A ，选B.(2)若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫116，1 解析 只需f 1(x )＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象恒在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可． 当a >1时，显然不成立； 当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立， 只需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116， 所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1. 对数函数的性质及应用命题点1 解对数方程、不等式例2 (1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________． 答案 x ＝ 5解析 原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．答案 {－1,1}解析 当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝121log a ⎛⎫⎪⎝⎭＝f (－a )＝12log a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝12log ()a -＝log 2⎝⎛⎭⎫－1a ＝f (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1. ∴方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}．本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．答案 (－1,0)∪(1，＋∞) 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >12log a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.命题点2 对数函数性质的综合应用例3 (2020·湛江质检)已知函数f (x )＝12log (x 2－2ax ＋3)．(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解 (1)由f (－1)＝－3，得12log (4＋2a )＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2. 则f (x )＝12log (x 2－4x ＋3)，由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 令μ＝x 2－4x ＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增． 又y ＝12log μ在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，7－4a ≥0，a 无解． 所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2 (1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0， 解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 比较指数式、对数式的大小例4 (1)(2019·天津市河西区模拟)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b答案 D 解析 c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0， b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(3)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c <a <b解析 易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以c <a <b .思维升华 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.跟踪训练3 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a <b <c D ．a >b >c答案 B解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(2)(2019·天津市滨海新区模拟)已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f ⎝⎛⎭⎫ln 32，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 213，c ＝f (2－1)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．c <a <b D ．b <a <c 答案 A解析 ln 32<ln e ＝12，log 23>12，∴log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎫ln 32<f ⎝⎛⎭⎫12<f (log 23)＝f ⎝⎛⎭⎫log 213， ∴a <c <b .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b 答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得 1log 2a <1log 2b <1log 2c<0， 即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c <b <a <1.故选C.。