完整版)二次函数知识点复习

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二次函数知识点

一、二次函数概念：

二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：y=ax²的性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为

y轴。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

性质：

a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值。

a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值。

2.y=ax²+c的性质：上加下减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

性质：

a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值c。

a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值c。

3.y=a(x-h)²的性质：左加右减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。

性质：

a>0时，当x>h时，y增大；当x

ah时，y减小；当x

4.y=a(x-h)²+k的性质：

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。

性质：

a>0时，当x>h时，y增大；当x

ah时，y减小；当x

三、二次函数图象的平移

平移步骤：

方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶点坐标（h，k），具体平移方法如下：

保持抛物线y=ax²的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。

方法二：将抛物线解析式转化成一般式y=ax²+bx+c，具

体平移方法如下：

将抛物线向左（h0）平移|h|个单位。

将抛物线向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。

1.平移规律

对于二次函数 $y=a(x-h)^2+k$，平移规律为：“$h$ 值正右移，负左移；$k$ 值正上移，负下移”，可以概括成“左加右减，上加下减”。

方法二：

⑴对于函数 $y=ax^2+bx+c$，沿 $y$ 轴平移 $m$ 个单位，可以得到函数 $y=ax^2+bx+c+m$（或 $y=ax^2+bx+c-m$）。

⑵对于函数 $y=ax^2+bx+c$，沿轴平移 $m$ 个单位，可

以得到函数 $y=a(x+m)+b(x+m)+c$（或 $y=a(x-m)+b(x-

m)+c$）。

2.二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 与 $y=ax^2+bx+c$ 的比较

从解析式上看，二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 与

$y=ax^2+bx+c$ 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 $y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，其中 $h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

3.二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 图象的画法

利用配方法将二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 化为顶点式

$y=a(x-h)^2+k$，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。一般选取的五点为：顶点、与 $y$ 轴的交点 $(0,c)$、以及 $(2h,c)$、与 $x$ 轴的交点$(x_1,0)$，$(x_2,0)$（若与 $x$ 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与$x$ 轴的交点，与 $y$ 轴的交点。

4.二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的性质

1.当 $a>0$ 时，抛物线开口向上，对称轴为 $x=-

\frac{b}{2a}$，顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-

b^2}{4a})$。

当 $x-\frac{b}{2a}$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当

$x=-\frac{b}{2a}$ 时，$y$ 有最小值。

2.当 $a<0$ 时，抛物线开口向下，对称轴为 $x=-

\frac{b}{2a}$，顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-

b^2}{4a})$。

当 $x-\frac{b}{2a}$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当

$x=-\frac{b}{2a}$ 时，$y$ 有最大值。

1.二次函数的三种解析式

二次函数可以用一般式、顶点式和交点式表示。其中，一般式为y=ax^2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)；顶点式为y=a(x-h)^2+k(a、h、k为常数，a≠0)；交点式为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，

x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标)。需要注意的是，只有

当抛物线与x轴有交点，即b^2-4ac≥0时，二次函数的解析式

才可以用交点式表示。这三种形式可以相互转化。

2.二次项系数a的影响

在二次函数y=ax^2+bx+c中，二次项系数a决定了抛物线的开口大小和方向。当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小；当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小。

3.一次项系数b的影响

在二次项系数a确定的前提下，一次项系数b决定了抛物

线的对称轴位置。当a>0时，当b>0时，对称轴在y轴左侧；当b<0时，对称轴在y轴右侧；当b=0时，对称轴为y轴。当

a<0时，结果刚好相反。

4.常数项c的影响