最新高考专题 抛物线(解答题压轴题)解析版)-(全国通用版)

专题21 抛物线（解答题压轴题）

1．（2021·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：()2

20y px p =>上一点00(4,)(0)

S y y >到焦点F 的距离5SF =.不经过点S 的直线l 与E 交于A ，B . （1）求抛物线E 的标准方程；

（2）若直线AS ，BS 的斜率之和为2，证明：直线l 过定点. 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【详解】

（1）抛物线E ：()2

20y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，准线方程为2p x =-，

因为抛物线上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =， 由抛物线的定义得452

p

+

=，所以2p =. 所以抛物线E 的标准方程是24y x =；

（2）将4x =代入24y x =可得04y =或04y =-（舍），所以点S 坐标为(4,4)， 因为直线l 的斜率不等于0，设直线l 的方程是x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，

联立24y x x my n

⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，

因为直线l 与E 有两个交点，所以216160m n ∆=->，即20m n ->.

由韦达定理得1212

44y y m

y y n +=⎧⎨=-⎩，

因为直线AS ，BS 的斜率之和为2，

所以1212221212124444114444444

44y y y y y y x x y y ⎛⎫----+=+=+ ⎪--++⎝⎭-- 1212124(8)

24()16

y y y y y y ++=

=+++，

所以121224()0y y y y ++=，

将121244y y m y y n

+=⎧⎨=-⎩代入上式可得：8160n m -+=，即2n m =， 所以直线l 的方程是()2x my n m y =+=+，它过定点()0,2-.

2．（2021·全国高三月考（理））已知直线l 过原点O ，且与圆A 交于M ，N 两点，4MN =，圆A 与直线2y =-相切，OA 与直线l 垂直，记圆心A 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；

（2）过直线1y =-上任一点P 作C 的两条切线，切点分别为1Q ，2Q ，证明： ①直线12Q Q 过定点； ②12PQ PQ ⊥．

【答案】（1）24(0)x y y =≠；（2）①证明见解析；②证明见解析． 【详解】

（1）解：如图，设(,)A x y ，

因为圆A 与直线2y =-相切，所以圆Ａ的半径为|2|y +．

由圆的性质可得222||||||OA ON AN +=，即2224(2)x y y ++=+，化简得24x y =． 因为O 与A 不重合，所以0y ≠， 所以C 的方程为24(0)x y y =≠．

（2）证明：①由题意可知1Q ，2Q 与O 不重合．

如图，设(,1)P t -，()111,Q x y ，则2

114x y =，

因为2x

y '

=

，所以切线1PQ 的斜率为12

x ， 故1111

2x y x t

+=-，整理得11220tx y -+=． 设()222,Q x y ，同理可得22220tx y -+=． 所以直线12Q Q 的方程为220tx y -+=， 所以直线12Q Q 过定点(0,1)．

②因为直线12Q Q 的方程为220tx y -+=，

由2220,4,tx y x y -+=⎧⎨=⎩消去y 得2240x tx --=， 所以122x x t +=，124x x =-．

又()()()()12121211PQ PQ x t x t y y ⋅=--+++ ()2121212221122tx tx x x t x x t ++⎛⎫⎛⎫

=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

()21212122222t t x x t x x t x x ⎛⎫⎛⎫

=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

()()2

2

1212121244

t x x t x x t x x t x x =-++++++

2212144t x x t ⎛⎫

=+++ ⎪⎝

⎭

0=，

所以1

2PQ PQ ．

3．（2021·安徽高三开学考试（理））已知中心在坐标原点O ，焦点在x

C 过

点1)2

.

（1）求C 的标准方程；

（2）是否存在不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，使得直线OP ､PQ ､OQ 的斜率成等比数列､若存在，求k 的值及m 的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）2

214

x y +=；（2）存在，12k =±，m

的取值范围为(1)(1,0)(0,1)-⋃-⋃⋃.

【详解】

（1）设C 的标准方程为22

221x y a b +=（a >b >0），

由题意得，2

22

22

3

114a b c

c e a a b ⎧=+⎪⎪

⎪

==⎨⎪⎪+=⎪⎩

，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪

=⎩，

∴C 的标准方程为2

214

x y +=

（2）联立22

14

y kx m x y =+⎧⎪

⎨+=⎪⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=（m ≠0）， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则122841km x x k +=-+，21224(1)

41

m x x k -=+

∴22

12121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++