高中物理重要方法典型模型突破15-模型专题(7)--杆+导轨模型(解析版)

模型专题（7）杆＋导轨模型【重点模型解读】“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”之一，也是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景富于变化，是我们复习中的难点。

“杆＋导轨”模型又分为“单杆”型和“双杆”型（江苏高考基本要求单杆较多）；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等，情景复杂形式多变。

情景1(v0≠0)情景2(v0＝0)情景三(v0＝0)情景四(v0＝0)说明杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，质量为m，电阻不计，两导轨间距为L轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，两导轨间距为L竖直轨道光滑，杆cd质量为m，两导轨间距为L示意图力学观点杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝BLvR，安培力F＝BIL＝B2L2vR。

杆做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止开始时a＝Fm，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，v m＝FRB2L2开始时a＝g sin α，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg sin α－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，v m＝mgR sin αB2L2开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，v m＝mgRB2L2图像观点能量观点动能全部转化为内能：Q＝12mv02F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：W F＝Q＋12mv m2重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：W G＝Q＋12mv m2重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：W G＝Q＋12mv m2情景1(v0＝0)情景2(v0＝0)情景3(v0＝0)情景4(v0＝0)说明轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定倾斜轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻为R，两导轨间距为L示意图力学观点S闭合，杆cd受安培力F＝BLEr，a＝BLEmr，杆cd速度v↑⇒感应电动势E感＝BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且v m＝EBL开始时a＝Fm，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝ΔqΔt＝CBLa，F安＝CB2L2a，a＝Fm＋B2L2C，所以杆匀加速运动开始时a＝g sinα，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝ΔqΔt＝CBLa，F安＝CB2L2a，mg sin α－F安＝ma，a＝mg sin αm＋CB2L2，所以杆匀加速运动开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝ΔqΔt＝CBLa，F安＝CB2L2a，mg－F安＝ma，a＝mgm＋CB2L2，所以杆匀加速运动图像观点能量观点电源输出的电能转化为动能：W电＝12mv m2F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：W F＝12mv2＋E C重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：W G＝12mv2＋E C重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：W G＝12mv2＋E C【例1】如图所示，间距L=1.0m的固定平行光滑金属导轨平面与水平面成θ=37°角，导轨上端接有阻值为R=1.0Ω的电阻，整个装置处在磁感应强度大小为B=1.0T，方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中。

质量为m=1.0kg，电阻为r=1.0Ω的导体棒ab与导轨垂直放置且刚好接触。

与导轨平行的轻质弹簧下端固定，上端与ab的中点连接。

开始时弹簧伸长量为x1=6.0cm并使导体棒具有沿轨道向下的初速度v0=1.0m/s。

已知弹簧的劲度系数k=100N/m，其余电阻可忽略不计，g取10m/s2，sin37°=0.6。

求：（1）开始时通过电阻R的电流大小和导体棒的加速度大小；（2）从开始到弹簧第一次恢复原长过程中流过电阻R的电荷量q；（3）导体棒从开始位置到最终停止运动的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q。

【解析】（1）初始时刻，导体棒产生的感应电动势为10E BLv =，回路中的电流大小为：110.5A EI R r==+根据牛顿第二定律有111sin mg kx BI L ma θ+-= 解得：2111.5m/s a =；（2）从初始到弹簧第一次恢复原长时，E t ∆Φ=∆，EI R r=+，q I t =∆ 得q R r∆Φ=+，所以0.03C q =； （3）导体棒最终静止时，有2sin mg kx θ=， 压缩量22 6.010m x -=⨯，初末弹簧具有的弹性势能相同根据能量守恒定律有：()21201sin 2Q mg x x mv θ=++总，得 1.22J Q =总电阻R 上产生的焦耳热RQ Q R r =+总得：0.61J Q =。

【练1】如图甲所示，固定在水平桌面上的两条光滑导轨间的距离L ＝1 m ，质量m ＝1 kg 的光滑导体棒放在导轨上，导轨左端与阻值R ＝4 Ω的电阻相连，导轨所在位置有磁感应强度为B ＝2 T 的匀强磁场，磁场的方向垂直导轨平面向下，现在给导体棒施加一个水平向右的恒定拉力F ，并每隔0.2 s 测量一次导体棒的速度，图乙是根据所测数据描绘出的导体棒的v -t 图像(设导轨足够长，导轨与导体棒的电阻不计)。

(1)求力F 的大小；(2)t ＝1.6 s 时，求导体棒的加速度a 的大小；(3)若0～1.6 s 内导体棒的位移x ＝8 m ，求0～1.6 s 内电阻上产生的热量Q 。

【解析】(1)导体棒做切割磁感线运动，有E ＝BLv ，I ＝ER，F 安＝BIL当导体棒速度最大为vm 时，F ＝F 安解得F ＝B2L2vmR＝10 N 。

(2)当t ＝1.6 s 时，v1＝8 m/s ，此时F 安1＝B2L2v1R＝8 N由牛顿第二定律得F －F 安1＝ma 解得a ＝2 m/s2。

(3)由能量守恒定律可知Fx ＝Q ＋mv122解得Q ＝48 J 。

【例2】如图所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l=0.2m，在导轨的一端接有阻值为R=0.5Ω的电阻，在x≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B=0.5T．一质量为m=0.1kg的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v0=2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a=2m/s2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v0取不同值，求开始时F的方向与初速度v0取值的关系．【点拨】杆在水平外力F和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．【解析】（1）感应电动势E=Blv，感应电流I=E/R=Blv/R∴I=0时v=0∴x= v02/2a=1（m）（2）当杆的速度取最大速度v0时，杆上有最大电流I m=Blv0/R I'=I m/2=Blv0/2R 安培力F安=BI’l=B2l2v0/2R=0.02（N）向右运动时F+F安=ma，得F=ma- F安=0.18（N），方向与x轴相反向左运动时F- F安=ma，得F=ma+F安=0.22（N），方向与x轴相反（3）开始时v=v0，F安=BI m l=B2l2v0/RF+F安=ma，F=ma- F安=ma- B2l2v0/R∴当v0<maR/B2l2 =10m/s时，F>0，方向与x轴相反当v0> maR/B2l2=10m/s时，F<0，方向与x轴相同【练2】如图所示，质量为M的导体棒ab，垂直放在相距为l的平行光滑金属导轨上，导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，左侧是水平放置、间距为d的平行金属板，R和Rx分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻。

(1)调节Rx＝R，释放导体棒，当棒沿导轨匀速下滑时，求通过棒的电流I及棒的速率v。

(2)改变Rx，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电量为＋q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的Rx。

【例3】如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。

一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道而上，与轨道接触良好。

轨道和导体棒的电阻均不计。

(1)如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。

请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。

(2)如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度v m，求此时电源的输出功率。

(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。

电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1。

求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。

【点拨】(1)导体棒匀速运动→受力平衡→求出拉力做的功。

导体棒切割磁感线产生感应电动势→产生感应电流→求出回路的电能。

(2)闭合开关S→导体棒变加速运动→产生的感应电动势不断增大→达到电源的路端电压→棒中没有电流→由此可求出电源与电阻所在回路的电流→电源的输出功率。

(3)导体棒在外力作用下运动→回路中形成充电电流→导体棒还受安培力的作用→由牛顿第二定律列式分析。

【解析】(1)导体棒切割磁感线，E ＝BLv导体棒做匀速运动，F ＝F 安，又F 安＝BIL ，其中I ＝ER在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功W ＝Fv Δt ＝F 安v Δt ＝B 2L 2v 2RΔt电路获得的电能ΔE ＝qE ＝EI Δt ＝B 2L 2v 2RΔt可见，在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功与电路获得的电能相等。