第七章统计假设检验电子教案

7统计假设检验在测量平差中的应用在最小二乘准则下解算经典测量平差数学模型时，必须同时满足以下两个基本条件：一是在观测值L中只含有偶然误差(或其它类型的误差与偶然误差相比可以忽略不计)；二是平差数学模型正确。

如此计算的平差值和参数估值才是最优线性无偏估计量，否则，最小二乘平差得到的平差值和参数估值不是最优无偏估计量。

因此，必须对观测数据和平差数学模型的正确性进行假设检验。

7.1 概述7.1.1 统计假设检验的概念在母体的未知分布上所作的某种假设称为统计假设。

假设提出之后，就要判断它是否成立，以决定是接受假设还是拒绝接受假设，这个过程就是假设检验的过程。

在统计学上，称判断给定统计假设0H 的方法为统计假设检验。

在进行检验时，要有一定量的抽样数据(或说成子样)，统计假设检验所解决的问题，就是根据子样的信息，通过检验来判断母体分布是否具有指定的特征。

例如，母体的数学期望μ是否等于某个已知的数值0μ，母体的方差2σ是否等于某个已知的数值20σ，两个母体的数学期望或方差是否相等，即检验21μμ=，2221σσ=等等。

解决此类问题都需要进行统计假设检验。

7.1.2 统计假设检验的基本思想例如，从正态母体),(2σμN 中抽取容量为n 的子样),,,(21n x x x ，设母体方差2σ为已知，子样平均值为∑==ni i x n x 11 数学期望为∑∑=====n i ni i n x E n x E 111)(1)(μμ 方差为n n n n i n i x x i 2122122211σσσσ===∑∑== 因为x 是i x 的线性函数，所以x 也服从正态分布，即)/,(~2n N x σμ，其标准化变量为)1,0(N n x u ～σμ-=在置信度α-=1p 下的置信区间概率式为ασμαα-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<-<-122p u nx u P (7-1)区间的下限2/αu -、上限2/αu +称为u 分布在左、右尾上的分位值，在给定α时，2/αu 是一个确定值，可用α为引数查正态分布表或统计分析工具的系统函数确定。

如果问上述母体均值μ是否等于某个值0μ？需要先作假设，即假设0μμ=。

为了检验这个假设是否成立，只要将式(7-1)中的μ代以假设的0μ，计算出n x u σμ0-=，如果下式成立ασμαα-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<-<-1202p u n x u P (7-2)或ασμα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+>-20u n x P 则表示用0μ代替μ所计算的u 值落在),(2/2/ααu u +-内，即绝对值小于2/αu +，如图7-1所示，这样，我们没有理由否定原来0μμ=的假设，换言之，就接受了原来的假设。

通常将区间),(2/2/ααu u +-称为接受域。

如果计算的2/αu u >或2/αu u -<，此时用0μ代替μ所计算的u 值落在了图7-1中两尾的2/α区间内，表示小概率事件居然发生了，根据概率很小的事件在一次试验中实际上是不可能出现的小概率推断原理，就有充足的理由来否定原来作的0μμ=的假设，故而认为0μμ≠。

通常将区间),(2/2/ααu u +-以外的范围称为拒绝域。

因此，统计假设检验的基本思想为：给定一个临界概率α，如果在假设0H 成立的条件下，出现观测到的事件概率小于或等于α，就做出拒绝假设0H 的决定，否则，做出接受假设0H 的决定。

我们总是先作一个假设，称为原假设，记为0H （例如00:μμ=H ），然后找一个适当的且分布为已知的统计量，从而确定该统计量经常出现的区间，使统计量落入此区间的概率接近1。

如果由抽样的结果所计算的统计量的值不落入这一区间内，说明小概率事件发生了，则应拒绝原假设0H 。

当原假设遭到拒绝时，实质上相当于接受了另一假设，这一假设称为备选假设，记为1H (例如01:μμ≠H )。

因此，假设检验实际上就是在原假设0H 与备选假设1H 之间做出选择。

由图7-1可知，接受域和拒绝域的范围大小与事先给定的α值的大小有关。

α值越大，则接受域越小，0H 被拒绝的机会就越大。

α值的大小应根据问题的性质来选定，当我们不应轻易拒绝原假设0H 时，则应选定较小的α值。

α的值可以是0.01，0.05等。

如果20ασμu n x +>-，则称x 与0μ之间的差异是显著的；反之，则称x 与0μ之间的差异不显著的。

所以习惯上将α又称为显著水平。

7.1.3 双尾检验和单尾检验将拒绝域布置在分布密度曲线两侧的尾巴上，这种检验法称为双尾检验法，如图7-1所示。

其假设检验形式为000::μμμμ≠=１；H H有时需要判断新的母体均值μ是大于还是小于原来的母体均值0μ。

例如，某企业为了提高产品的使用寿命，采用了一种新工艺，自然希望母体均值越大越好。

如果能判断在新工艺下母体均值确实比原来正常生产的大，则可考虑采用新工艺。

解决此类问题需作如下右尾检验假设000::μμμμ>=１；H H对于这种假设检验，只要把拒绝0H 的概率α布置在右尾上，查得右尾分位值αu +。

由图7-2可知ασμα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<-10u n x P图7-1图7-2 如果ασμu n x +>-0，则拒绝原假设0H ，接受备选假设1H ，表明新工艺生产的产品使用寿命比原来的使用寿命有了显著的改善，因而，应考虑采用新工艺。

否则，接受原假设0H ，拒绝备选假设1H ，即表明采用新工艺生产的产品使用寿命与原来的使用寿命没有显著差异。

同样，如果需要进行00::μμμμ<=１；H H 的左尾假设检验，则可将α布置在左尾上。

右尾检验和左尾检验方法称为单尾检验法。

7.1.4 两类错误由上述假设检验的基本思想可知，假设检验是以小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的这一前提为依据的。

但是，小概率事件虽然出现的概率很小，但这并不是说这种事件就完全不可能发生。

若检验的显著水平定为α=0.05，那么，即使原假设0H 是正确的，其中仍约有5%的数值将会落入拒绝域中。

由此可见，进行任何假设检验总是有做出不正确判断的可能性，换言之，不可能绝对不犯错误，只不过犯错误的可能性很小而已。

第一类错误 当0H 为真(正确)而遭到拒绝的错误称为犯第一类错误，也称为弃真的错误，如图7-3所示，犯第一类错误的概率为α。

第二类错误 当0H 为假(不正确)时，我们也有可能接受0H ，这种错误称为犯第二类错误，或称为纳伪的错误，如图7-3所示，犯第二类错误的概率为β。

显然，当子样容量n 确定后，犯这两类错误的概率不可能同时减小。

当α增大，β则减小；当α减小，则β增大。

图7-37.1.5 统计假设检验的步骤1.根据具体问题提出原假设0H 和备选假设1H ；2.选取适当的显著水平α；3.确定检验用的统计量，其分布应是已知的；4.根据选取的显著水平α，求出接受域的分位值，如被检验的数值落入接受域，则接受0H ，拒绝1H ；反之，拒绝0H ，接受1H 。

7.2 统计假设检验的基本方法 7.2.1 u 检验法1.u 检验法的概念设母体服从正态分布)(2σμ，N ，母体方差2σ为已知。

从母体中随机抽取容量为n 的子样，可求得子样均值x ，则可用统计量)1,0(N nx u ～σμ-=(7-3)对母体期望μ是否与一常数相符进行检验。

将这种服从标准正态分布的统计量称为u 变量，利用u 统计量所进行的检验方法称为u 检验法。

2.u 检验法的类型 1）双尾检验法假设 000::μμμμ≠=１；H H即 ασμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<-<-1202u n x u P如果2/αu u +<，则接受0H ，拒绝１H ；反之，拒绝0H ，接受１H 。

2）单尾检验法假设 000::μμμμ>=１；H H即 ασμα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<-10u n x P 如果αu u +<，则接受0H ，拒绝１H ；反之，拒绝0H ，接受１H 。

例[7-1] 已知基线长0L =5080.219m ，认为无误差。

为了鉴定光电测距仪，用该仪器对该基线施测了34个测回，得平均值x =5080.253m ，已知0σ=±0.08m ，问该仪器测量的长度是否有显著的系统误差(取α=0.05)？解：(1)219.5080:00==L H μm ；219.5080:1≠μH m (2)当0H 成立时，计算统计量48.234/08.0219.5080253.5080/0=-=-=nL x u σ(3)查表得96.1025.02==u u α(4)现96.148.2025.0=>=u u ，故拒绝0H ，即认为在α=0.05的显著水平下，该仪器测量的长度存在系统误差。

在实际工作中，真正的σ经常是未知的，一般是利用实测数据计算的估值代替，数理统计表明，当子样容量200>n ，这种代替则可认为是严密的，当30>n 时，用σˆ代σ进行u 检验则认为是近似可用的。

当母体方差未知，检验问题又是小子样时，u 检验法不再适用，须用以下的t 检验法对母体均值μ进行检验。

7.2.2 t检验法1.t 检验法的概念设母体服从正态分布)(2σμ，N ，母体方差2σ未知。

从母体中随机抽取容量为n 的子样，可求得子样均值x 和子样中误差σˆ，利用子样均值x 和子样中误差σˆ对母体均值μ进行假设检验，则可利用统计量 n x t σμˆ-=，但统计量t 已不服从正态分布，而是服从自由度为1-n 的t 分布。

即)1(ˆ--=n t n x t ～σμ(7-4) 用统计量t 检验正态母体数学期望的方法，称为t 检验法。

2.t 检验法的类型1)双尾检验法假设 000::μμμμ≠=１；H H即 ασμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+<-<--1)1(ˆ)1(202n t n x n t P如果)1(2-+<n t t α，则接受0H ，拒绝１H ；反之，拒绝0H ，接受１H 。

2)单尾检验法假设 000::μμμμ>=１；H H即 ασμα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+<-1)1(ˆ0n t n x P 如果)1(-+<n t t α，则接受0H ，拒绝１H ；反之，拒绝0H ，接受１H 。

例[7-2] 为了测定经纬仪视距常数是否正确，设置了一条基线，其长为100m ，与视距精度相比可视为无误差，用该仪器进行视距测量，量得长度为：100.3，99.5，99.7，100.2，100.4，100.0，99.8， 99.4，99.9， 99.7，100.3，100.2，试检验该仪器视距常数是否正确？解：(1)100:100:0≠=μμ１；H H (2)当0H 成立时，计算统计量95.9911==∑=ni i x n x 46.01237.010096.99ˆ37.0)1/()(ˆ12-=-=-=±=--±=∑=n x t n x x ni i σμσ(3)选定α=0.05，以自由度111=-n ，查t 分布表得20.2)11()1(025.02/==-t n t α (4)现)11(025.0t t <，故接受0H ，即认为在α=0.05的显著水平下，100m 左右范围内的视距常数正确。