拉普拉斯方程在简单静电场问题中的应用 - 中山大学精品课程

拉普拉斯方程在简单静电场问题中的应用

张斯特

物理科学与工程技术学院光信息专业

指导教师: 方奕忠

摘要：《Laplace方程在简单静电场问题中的应用》一文主要阐述了Laplace方程这一经典方程在求解经电场问题中的使用方法。首先简单介绍了Laplace使用方程的原理和适用的范畴，接下来给出较为常用的坐标系内Laplace方程的解的形式，最后介绍典型的应用举例，这也是本文较为重点的部分，分别从几个例子中由简单到复杂的介绍了Laplace方程在求解过程中的使用方法、边值关系的确定以及求得解所反映的部分物理意义。

关键词：Laplace方程球对称解轴对称解边值关系物理意义

一、Laplace方程的使用原理和适用范围

众所周知，电磁场的一般特性都是可以由maxwell方程反映出来，如下所示：

而在本文所要讲述的静电场问题之中，我们紧紧需要方程组（1）之中的前两式即可。对于静止的情况而言，电场和磁场无关，此时有

所以上述用来描述电场特性的方程可以写成：

其中，（2）式中的代表的含义是空间中自由电荷的分布，为了表示方便省去了下标。而从式（3）看来，静电场是一个无旋场，所以其特性可以引入一个标势来表示，这类似于在保守力场中引入的势函数。类似重力场中的势能函数一样，单独一点上的电势的绝对大小是

没有意义的，只有两点之间的电势差才是有意义的。在电场中电势差的定义方法是：把单位正电荷由一点移动到另一点电厂对其所做的功。当电场做正功时电势下降（具体的定义方式可以参考《电动力学》第二章，高等教育出版社）。进而可以得出电场和电势之间的关系：

这样一来，只要知道了用来描述电场的势函数即可通过它求解出该电场的分布（不过反过来，当空间电场分布确定之后，与之对应的势函数却可能不只一个；这是由于电势铃点选取不同造成的，这一点不同只是反映在不同的电势和之间可能会相差一个常数，但是这并不影响它所描述的电场的性质）。对于均匀的各项同性介质，、之间有如下关系：

现在只需要结合式（2）、（4）和式（5）就可以得出如下方程：

式（6）是静电场电势满足的基本微分方程，成为Poisson方程。当给出必要的边界条件之后，相应的电势即可确定，当然可以进而得出电场的空间分布，该静电场的一切特性都可随之解出。

而对于更加特殊的情况，即需要求解的区域内部没有电荷分布，即的时候，Poisson 方程化为更简单的形式：

这就是本文主要阐述的Laplace方程的形式。这虽然是一种特殊的Poisson方程，但是可以适用的范围还是有很多的，比如说在很多情况下，导体上面所代电荷只是分布在其表面，此时就可以选择导体的内部作为求解区域，这是一种完全满足Laplace方程形式的情况。处此之外，还可以对一些空间电荷分布较为简单的情况进行求解。因为对于方程（6）而言，它的解实际上可以写成两部分之和，即：

其中，对应laplace方程的通解；对应Poisson方程的特解。而当

电荷分布较为简单，比如仅是在一个介质球的中心放置一个点电荷时，这一个特解的形式是很容易根据物理特性写出来的。所以在一定的应用范围之内Laplace方程对于求解静电场问题还是有一定作用的。

二、L aplace方程的一般形式及其一般解

如上文所述，Laplace方程的形式如式（7）所示。对于不同的坐标系，Laplace方程的解也会有所不同，但是都可以通过分离变量的方式求出来。在此直接给出Laplace方程在较为常用的球坐标系中的通解形式（具体的求解过程可以参考）：

上式中，是任意常数，将在具体问题的求解中确定。是缔合Legendre函数。

对于式（9）所示的Laplace方程一般解，如果所选问题具有轴对称性，我们不妨选取球坐标系的极轴为对称轴，则此时的解应该和方位角是无关的，解的形式得到简化，如下所示：

其中，为任意常数，视具体问题而定。是Legendre函数。

进一步考虑更为特殊的球对称情况，此时Laplace方程的解将是仅仅与有关的函数，其形式如下：

其中和是任意常数，视具体问题而定。

以上已经给出了三种情况下，在球坐标系中Laplace方程的解，接下来需要做的就是对应实际问题找到恰当的方程的解的形式来标示相应的电势，并利用边界条件确定之。下面将举例说明。

三、Laplace方程的应用举例

本文的重点在于应用举例，即在于习题的解法说明。故本文中的数学过程可能并不够严密，很多时候的做法可能会从实际的物理意义出发，先在此说明。

先从最为简单的情况入手，考虑如下情况：

A.均匀介质球的中心置一点电荷，球的电容率为，球外为真空，如何求解空间电势分布呢？

首先想象一下上述问题的物理图象，因为介质球本身为球

对称空间，而置入的电荷又处于介质球的中心，所以可以推断

全空间之内的电势分布也是球对称的，直接选曲介质球的球心

作为坐标空间的原点即可。电势函数满足Poisson方程：

这是对于整个空间之内而言，如果我们把整个空间划分为球内部和外部两个部分呢？不妨设

图1

球外空间的电势函数为，球内部分的电势函数设为。这样一来，对于而言，所对应的区域之内并没有自由电荷的分布，所以实际上是满足Laplace方程的，即：

对于完全的球对称情形而言，其合适的解可以写成：

其中表示介质球的半径，和是任意常数。

而对于球内的部分，由于包含了自由电荷，所以其形式并不能化为较为简单的Laplace 方程。但是却可以很容易的找到一个满足式的特解，这个解就是单一点电荷在其周围激发电场的势函数：

而满足它的通解就是满足方程的通解，即：

所以球内部的电势可以写成如下形式：

其中的和是任意常数，将在下面的计算中确定。

首先可以从上面表示电势的函数（A-1）和（A-4）表达式本身的含义出发。

表示的是球外部空间的电势，现在考虑无穷远的情况。一般情况下在实际问题中常常会令无穷远处的电势值定为零，以方便解题，按照这样的规定即可得到：

则式（A-1）现在可以表示为：

对于，它有两部分组成。所表示的是置于中心的点电荷电势，表示的是介质球面上产生的极化电荷的电势。现在考虑球心一点的电势。由于点电荷的存在，球心处的电势应为无穷大。但是对于位于介质球上的感应电荷在此处产生的电势而言，必为以有限值，这要求：

这样便有的结论，于是式（A-4）可以写成：

现在在表示空间电势的两个式子中仅仅包含两个尚未确定的常数和。接下来利用电势的边值关系确定之：