全等三角形经典模型总结

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全等三角形相关模型总结

一、角平分线模型

(一）角平分线的性质模型

辅助线：过点G作GE⊥射线AC

A、例题

1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是 cm.

！

2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.

B、模型巩固

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.

、

（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现

A、例题

辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB

例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .

求证：

1

()

2

BE AC AB

=-.

】

例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD

的延长线于M. 求证：

1

()

2

AM AB AC

=+.

@

（三）角分线，分两边，对称全等要记全

两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .

A、例题

1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .

|

~

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由 .

…

B、模型巩固

1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .

`

2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，

求证：AD＋BD＝BC .

【

3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .

`

二、等腰直角三角形模型

\

（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：

操作过程：

（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.

（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：

？

操作过程：连结AD.

（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.

（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.

A、例题

1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究 BM、MN、CN之间的数量关系.

[

2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.

试判断△EMC的形状，并证明你的结论.

)

B、模型巩固

1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.

（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.

（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化

%

2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.

.

（三）构造等腰直角三角形

（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；

（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.

（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：

)

A、例题应用

1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15° .

—

?

三、三垂直模型（弦图模型）

A、例题

已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC 于F，连接DF .

求证：∠ADB＝∠CDF .

|

变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .

变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将

BM和FN分别延长交于点P，

求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .

；

四、手拉手模型

1、△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：（1）△ABF≌△AEC .

（2）∠BOE＝∠BAE＝60° .

(

（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）

|

拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形

结论：（1）AD＝BE；

（2）∠ACB＝∠AOB；

（3）△PCQ为等边三角形；

（4）PQ∥AE；

（5）AP＝BQ；

(

（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）

（7）OA＝OB＋OC；