3.2.2直线的两点式方程
3.2.2直线的两点式方程(公开课)
例3
求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的
直线方程.
分析：截距均为0时，设方程为y=kx, y
截距不为0，设截距式求解.
o
x
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,
4 k , 把P(-5，4)代入上式得 5 4 即直线方程为 y x. 5 x y 当截距均不为0时，设直线方程为 1, a a 把P(-5，4)代入上式得 a 1.
x y 解： 由b 5, 知a 3，故直线方程为 1； (1) 3 5 （2)由a 5, 知b 3或b 7, x y x y 故直线方程为 1, 或 1. 5 3 5 7
各类方程的适用范围 直线方程名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 直线方程形式 适用范围 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直两个坐标轴 不垂直两个坐标 轴且不经过原点
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
y y1 x x1 1.直线的两点式方程 y y x x ( x1 x2 , y1 y2 ) 2 1 2 1
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
x y 2.截距式方程 1 a b
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 3.中点坐标公式 （
x1 x2 y1 y2 , ) 2 2
2.求经过下列两点的直线方程:
(1) P (2， P2 (0， 3);(2) A(0， B(5，0). 1), 5), 1
y 1 x 2 y 5 x 解：（） 1 （2） ; . 4 2 5 5
3.直线ax+by=1
1 2 ab (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是_____.
3.2.2直线的两点式方程
曹县三中高一数学导学案1第三章3.2.2 直线的两点式方程制作人： 蔡喜成 审核人：高一数学组 编号：052 时间:2017.2学习目标1．掌握直线的两点式方程和截距式方程及适用条件．2．会选择适当的方程形式求直线方程． 3．能将直线的两点式方程化为截距式和斜截式预习导航：要求：在上课前认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注 1． 直线的两点式方程一般地，已知两点P 1(1x ,1y )、P 2(2x ,2y ) (其中21x x ≠，21y y ≠)，则直线P 1P 2的斜率为 ；取P 1(1x ,1y )，则由点斜式得P 1P 2的方程为 ；当21y y ≠时，点斜式方程可化为两点式方程为 ；若,21y y =，则直线P 1P 2方程为 ；若21x x =,，则直线P 1P 2方程为 。
2．直线的截距式方程直线l 与两坐标轴的交点分别是1P (a,0)，2P (0，b)(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．直线在x 轴上的截距是 ，直线在y 轴上的截距是 .3．中点坐标公式若点P 1(1x ,1y )、P 2(2x ,2y )线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y)，则有x ＝ ，y ＝ .问题探究：探究问题（一）直线的两点式方程已知两点P 1(1x ,1y )、P 2(2x ,2y ) (其中21x x ≠)，求直线P 1P 2的方程 方程1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--叫直线的两点式方程 说明：两点式方程的适用条件例1:已知三角形的三个顶点A (－5, 0)，B (3, －3)，C (0, 2)，求: (1)三角形三边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AM 所在直线的方程线段中点坐标公式及三角形重心坐标公式变式训练1．过 P 1(－1，－3)，P 2(2,4)两点的直线的方程是( ) 2．过点(－43,49)，(－43,2012)的直线方程是( )探究问题（二） 直线的截距式方程已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b 其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程 方程1=+bya x 叫做直线的截距式方程. 说明：直线的截距式方程的适用条件练习：求出下列直线的方程，并画出图形. ⑴ 倾斜角为045，在y 轴上的截距为0；⑵ 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为6； ⑶ 在x 轴上截距是－3，与y 轴平行； ⑷ 在y 轴上的截距是4，与x 轴平行.例2、求过点P(2，3)且在两轴上的截距相等的直线方程 。
3.2.2直线的两点式方程
解: (1)当两截距都不为0时 x
y 设 直线的方程为: a a 1 1 2 1 把(1,2)代入得： a a
即：a=3 所以直线方程为：x+y-3=0 (2)当两截距都等于0时
法二：用点斜式求解
直线方程为： y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
所以直线方程为：x+y-3=0或y=2x
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直 y 线的方程.
C .
. A
O
.M
. B
x
3x-5y-7=0 变式1:BC边上垂直平分线所在直线的方程? 变式2:BC边上高所在直线的方程? 3x-5y+15=0
求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线?
探究：
是不是已知任一直线中的两点就能用两 点式 y y1 x x1 写出直线方程呢？
y2 y1 x2 x1
不是!
当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因 为x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?
练习：
1 已知直线l : y x 1， 2 求点P (3, 4)关于直线l的对称点
求直线l关于点(2,3)对称的直线方程
数形结合与对称的灵活应用 已知一条光线从点A(2，-1)发出、经x轴反射后， 通过点B(-2,-4)，试求点P坐标 变：已知两点A(2，-1)、B(-2,-4) 试在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小 变：试在x轴上求一点P，使|PB|-|PA|最大
2.斜截式：
y=kx+b
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1
2
3
4
X
2）直线的斜截式方程
设直线L在y轴上的截距为b,且斜率为k, 则直线L的方程是; y
x x0
kx b
想一想？
已知直线 L经过P1 （2， 3 ）、P 2 （ 1， 1 ） 两点，求已知直线 L的方程。 y-3=2(x-2)
变式：已知直线 L经过P1 （x1 ， y1）、 P 2 （x 2 ， y 2 ）两点, 且x1 x2 , y1 y2， 求已知直线 L的方程。
或不过原点的直线
想一想？
1 ）已知P1 （2， 3 ）、P 2 （2， 1 ）两点, P( x, y) 是P1 P 2 的中点, 求P点的坐标。
(2,-1)
2）已知P1 （x1， y1）、P 2 （x2， y2）两点, P( x, y ) 是P1 P 2 的中点, 求P点的坐标。
四：线段P1 P 2 的中点坐标公式
x y 1 2 3
y
变式：
O
x
已知直线 L经过P1 （0， b）、P 2 （a ， 0） 两点，且a, b 0， 求已知直线 L的方程。
三：直线的截距式方程
设直线 L在x轴、y轴上的截距分别 是a 、b，则直线 L的方程。 x y 1 (a 0，b 0) a b
注： 1)直线 L在x轴、y轴上的截距a 、b， 分别是指直线 L与x轴、y轴交点的 横坐标和纵坐标。 2 ）此方程只适用不平行 坐标轴
C O A
M B
练习P107
思考与练习
1 ）求过定点P（ 3， 4 ）且在两坐标 轴上截距相等的直线方 程。
2)一条光线从点 A（2， 3 ）发出，经x轴 反射后，通过点 B（ 1 ， 6 ），求反射 光线所在的直线方程。 3 ）一条直线经过 A（ 2， 2 ），并且与
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截距式有何要求? 加号连接,右边为1
思 考 3 :点 P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2(x 2,y2),则 线 段 P 1 P 2 的 中 点 M 的
坐 坐标 标是 为（x1 x2 , y1 y2)
2
2
*
例 题:
1、已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上 中线所在直线的方程。
*
1、领略我 国江南 园林建 筑的风 貌，了 解苏州 园林的 特点， 并能够 从中得 到美的 享受、 激发热 爱祖国 灿烂文 化的感 情。 2、学习本 文围绕 说明对 象的总 特征， 先总后 分，从 整体到 局部， 条理清 晰地说 明事物 的写作 方法 3 、人 类 在 发 展 过 程中产 生了不 同的文 化，每 个国家 和民族 都有自 己的精 神史诗 。 4 、作 为 中 国 人 ， 我们每 个人的 精神生 命都流 淌着民 族文化 的血脉 ，离不 开优秀 传统文 化的滋 养。 5 、守 护 精 神 家 园 ，我们 不能丢 失优秀 的传统 文化， 需要在 个人精 神世界 的充盈 中发扬 民族精 神。
*
例 题:
2.一直线经过A(3,5)且在坐标轴上的截距相等, 求直线的方程.
3.过点(4,-3)的直线在两坐标轴上的截距的绝对 值相等,求直线的方程.
*
小 结：
(1)直线的两点式方程:
yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
(x1≠x2 ,y1≠y2)
(2)直线的截距式方程: xy 1(ab0) ab
(x1≠x2 ,y1≠y2)
思 考 1 : 如 果 有 x 1 x 2 或 y 1 y 2 , :如 果 直 线 过 A ( a , 0 ) , B ( 0 , b ) ( a0 ,
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2、求经过点P(1,0),Q(0,1)的直线L3方程; 并求经过点P且与L3垂直的直线L4方程?
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问题引入
思考：
5、已知直线l上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2) （其中x1≠x2 ,y1≠y2 ），如何求过这两点的
3．作者先说“请息交以绝游”，而后又 说“悦 亲戚之 情话”， 这本身 也反映 了作者 的矛盾 心情。 4．此段是转承段，从上文的路上、居 室、庭 院，延 展到郊 野与山 溪，更 广阔地 描绘了 一个优 美而充 满生机 的隐居 世界。
5．“木欣欣以向荣，泉涓涓而始流”既 是实景 ，又是 心景， 由物及 人，自 然生出 人生短 暂的感 伤。 6．“善万物之得时，感吾生之行休”， 这是作 者在领 略到大 自然的 真美之 后，所 发出的 由衷赞 美和不 能及早 返归自 然的惋 惜之情 。
感谢指导！
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简称两点式。
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直线的两点式方程:
yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
(x1≠x2 ,y1≠y2)
思 考 1 : 如 果 有 x 1 x 2 或 y 1 y 2 , 方 程 会 如 何 ?
没意义
思 考 2:如 果 直 线 过 A ( a , 0 ) , B ( 0 , b ) ( a0 ,
坐 坐标 标是 为（x1 x2 , y1 y2)
2
2
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3.2.2直线的两点式方程
01 掌握直线的两点式，截距式的特点及适范围； 02 在探究过程中，理解两点式方程.
1、已知过两点 p1(x1, y1)，p2 (x2 , y2 )的直线斜率公式=
；
2、直线的点斜式方程
；
3、直线的斜截式方程
；
4、已知直线经过两点 P1(1, 2), P2 (3,5),求该直线的方程.
探究一：直线的两点式方程
* 3、一条直线经过点（—2，2），并且与两坐标轴围成的 三角形的面积是1，求此直线的方程.
3、解：设所求直线方程为ax＋by＝1.
∵点 A(－2,2)在直线上，故有－2a＋2b＝1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1，
∴12|a||b|＝1.②
a＝2 a＝－1 解①②得 b＝1 或 b＝－2
【归纳】由于这个直线方程由两点确定，所以我们
把它叫直线的
，简称x2，直线的方程是什么？ （2）若 y1 y2 呢？ （3）哪些直线不能用两点式表示？
探究二：直线的截距式方程
【归纳】直线的截距式方程：x y 1a 0,b 0
ab
（1）直线在x轴上的截距是多少？ （2）在y轴上的截距是多少？ （3）截距式方程能否表示过原点的直线和与坐标 轴平行的直线？
• 类型二 利用截距式求直线方程 • 【例3】 已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点且线 段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程．
• 思路分析：由题目可获取以下主要信息：①直线l与x轴、 y轴都相交；②两交点连线段的中点坐标已知．解答本题 可由中点坐标公式求出A、B点的坐标，再用截距式求直线 l的方程．
解：由题意可设 A(x,0)，B(0，y)，由中点坐标公式可得
x＋0＝4 2
0＋y＝1 ， 2
学案8：3.2.2 直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程自主学习学习目标1．掌握直线方程的两点式．2．掌握直线方程的截距式．3．进一步巩固截距的概念．自学导引1．直线方程的两点式和截距式 ， 2.线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ y ＝ .对点讲练知识点一 利用两点式求解直线方程例1 已知△ABC 三个顶点A (1,1)，B (－2，－1)，C (3，－3)，求△ABC 三条边所在直线的方程及AB 边的中线所在直线方程．点评 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．变式训练1 已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上的高AD所在直线的方程；(3)BC边上的中线AE所在直线的方程．知识点二直线的截距式方程的应用例2求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．点评(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，要注意考虑“零截距”的情况．变式训练2求过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．知识点三综合应用例3光线通过点A(－2,4)，经直线l：2x－y－7＝0反射，若反射光线通过点B(5,8)．求入射光线和反射光线所在直线的方程．变式训练3 光线经过点A (1,2)射到y 轴上，反射后经过点B (4，－3)，求反射光线所在直线的方程．课堂小结1．使用两点式方程需注意以下几点：(1)在记忆和使用直线的两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2表示一点的坐标，而x 1与y 1是另一点的坐标．(2)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)(x 1≠x 2)与y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，显然后者比前者表示直线的范围缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式．(3)当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式方程．若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线方程为x －x 1＝0；若y 1＝y 2，x 1≠x 2，则直线方程为y －y 1＝0.(4)经过任意两点(x 1，y 1)、(x 2，y 2)的方程可表示成(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)．2．使用截距式方程注意以下两点：(1)直线的截距式方程是两点式方程的一种特殊情况，用它来求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长比较方便．(2)截距并非距离，这里a ∈R ，b ∈R ，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y ＝kx 表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y ＝1没有横截距，x ＝2没有纵截距.课时作业一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)·(y 2－y 1)来表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1来表示 D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3．过点(－1,1)和点(3,9)的直线在x 轴上的截距是( )A ．－32B ．－23 C.25 D ．24．在x 、y 轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( )A.x －3＋y 4＝1 B.x 3＋y －4＝1 C.x －3－y 4＝1 D.x 4＋y －3＝1 5．过点(5,2)，且在x 轴上的截距(直线与x 轴交点的横坐标)是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0二、填空题6．过(2,5)、(2，－5)两点的直线方程是________．7．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程是________．8．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式是______________．三、解答题9．已知直线l 经过点E (1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l 的方程．10．已知三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．参考答案自学导引1.y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 2.x 1＋x 22 y 1＋y 22 对点讲练例1 【解】由直线的两点式方程得：直线AB 的方程是y －1－1－1＝x －1－2－1， 整理得2x －3y ＋1＝0；直线BC 的方程是y ＋1－3＋1＝V ＋23＋2， 整理得2x ＋5y ＋9＝0；直线AC 的方程是y －1－3－1＝x －13－1， 整理得2x ＋y －3＝0.设AB 的中点D (x ，y )，则x ＝1－22＝－12，y ＝1－12＝0，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，0. ∴直线CD 的方程为y －0－3－0＝x ＋123＋12， 整理得6x ＋7y ＋3＝0.因此△ABC 三边AB 、BC 、AC 及中线CD 所在的直线方程分别是2x －3y ＋1＝0,2x ＋5y ＋9＝0,2x ＋y －3＝0,6x ＋7y ＋3＝0.变式训练1 【解】(1)直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)由(1)知k BC ＝－12，则k AD ＝2， 又AD 过A (－3,0)，故直线AD 的方程为y ＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0.(3)BC 边中点为E (0,2)，故AE 所在直线方程为y －02－0＝x －(－3)0－(－3)， 即2x －3y ＋6＝0.例2 【解】方法一 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32， ∴l ：3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ， 把P (2,3)代入得a ＝5，∴l ：x ＋y ＝5.∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.方法二 设l ：y －3＝k (x －2)，令y ＝0，横截距为2－3k， 令x ＝0，纵截距为3－2k ，于是2－3k＝3－2k ， ∴k ＝32或k ＝－1， ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.变式训练2 【解】设直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ， 则直线过两点A (a ,0)和B (0，b )．(1)当a ≠0且b ≠0时，由截距式求得直线l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵直线l 过点(4，－3)，∴4a －3b＝1① 又|a |＝|b |②由①②联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －3b ＝1|a |＝|b |， 由此解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7， 故直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0.(2)当a ＝b ＝0时，直线l 过原点O (0,0)和点(4，－3)，由两点式得直线l 的方程为3x ＋4y ＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 例3 【解】如图所示，已知直线l ：2x －y －7＝0，设光线AC 经l 上点C 反射为BC ，则∠1＝∠2.再设A 关于l 的对称点为A ′(a ，b )，则∠1＝∠3.∴∠2＝∠3，则B ，C ，A ′三点共线．∵A ′A ⊥l 且AA ′中点在l 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2·a －22－b ＋42－7＝0b －4a ＋2·2＝－1，解得a ＝10，b ＝－2，即A ′(10，－2)．∴A ′B 的方程为y ＋2＝8＋25－10(x －10)， 即2x ＋y －18＝0.∴A ′B 与l 的交点为C ⎝⎛⎭⎫254，112.∴入射光线AC 的方程为y －4＝4－112－2－254(x ＋2)． 即2x －11y ＋48＝0.同理反射光线BC 的方程为y －8＝8－1125－254(x －5)， 即2x ＋y －18＝0，∴入射光线方程为2x －11y ＋48＝0，反射光线方程为2x ＋y －18＝0.变式训练3 【解】先求A 点关于y 轴的对称点A ′(－1，2)，又A ′在反射线上，∴k 反＝k A′B ＝－3－24－(－1)＝－55＝－1. ∴反射光线方程为y －(－3)＝－(x －4)，即x ＋y －1＝0.课时作业1．B 2.B 3.A 4.A 5.D 6.x ＝27．2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0 8.x 2＋y 6＝1 9．【解】设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)． 则⎩⎨⎧ 1a ＋2b ＝112ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4. ∴直线l 的方程为x 2＋y 4＝1，即2x ＋y －4＝0. 10．【解】(1)由截距式得x －8＋y 4＝1， ∴AC 所在直线方程为x －2y ＋8＝0，由两点式得y －46－4＝x －2， ∴AB 所在直线方程为x ＋y －4＝0.(2)D 点坐标为(－4,2)，由两点式得y －26－2＝x －(－4)－2－(－4). ∴BD 所在直线方程为2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，∴AC 边上的中垂线的斜率为－2， 又D (－4,2)，由点斜式得y －2＝－2(x ＋4)，∴AC 边上的中垂线所在直线方程为2x ＋y ＋6＝0.。
3.2.2直线的两点式方程
结论2: 的二元一次方程,它都表示 结论 关于 x , y 的二元一次方程 它都表示 一条直线. 一条直线
定义
可知： 由1，2可知： ， 可知 直线方程 二元一次方程
定义：我们把关于 x , y 的二元一次方程 定义 我们把关于 Ax+By+C=0(其中 其中A,B不同时为 不同时为0) 其中 不同时为 叫做直线的一般式方程，简称一般式 叫做直线的一般式方程，简称一般式.
时方程为： 当x1 ＝x2 时方程为： x ＝x１ 时方程为： 当 y1= y2时方程为： y = y１
四、直线的截距式 方程
轴的交点为A(a,0),与y轴的 例2:已知直线 l 与x轴的交点为 已知直线 轴的交点为 与 轴的 交点为B(0,b),其中 其中a≠0,b≠0,求直线 的方程． 求直线l 交点为 其中 求直线 的方程． 将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式 得: 的坐标代入两点式, 解:将两点 将两点 的坐标代入两点式
二、直线的 两点式方程 为直线上不同于P 的动点, 设P(x,y)为直线上不同于 1 , P2的动点 为直线上不同于 在同一直线上,根据斜率相 与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上 根据斜率相 在同一直线上 等可得： 等可得：
kpp1 = kp1 p2
y − 3 4− 3 = 即： x −1 2 −1
解：三条
x y a + b =1 a=b
设
解得： 解得：a=b=3或a=-b=-1 或 直线方程为： 直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x 、 或 截距可是正数, 截距可是正数,负数和零
举例
已知角形的三个顶点是A(－ ， ， 例4:已知角形的三个顶点是 －5，0)， 已知角形的三个顶点是 B(3，－ ，C(0，2)，求BC边所在的直线 ，－3)， ，－ ， ， 边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程. 方程，以及该边上中线的直线方程 两点式方程为： 解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为： 两点式方程为
3.2.2直线的两点式方程课件人教新课标
x y 1． ab
【探究提升】直线截距式方程的关注点
(1)前提：截距式方程 x y应用1 的前提是a≠0且b≠0.
ab
(2)特征：直线的截距式方程 x y，x1,y项的分母对应的是
ab
直线的横、纵截距，中间以“＋”号连结，等号右边为1.
(3)适用范围：不能表示与坐标轴平行的直线，也不能表示过
图形
两点式
截距式
方程
__yy_2__yy_11___xx_2__xx_11__
__xa___by___1_
适用 不表示平行于坐标轴的直线 不表示平行于坐标轴的
范围
直线及过原点的直线
2.线段的中点坐标公式
(1)条件：点 P(x,y)是线段P1P2的中点且P1(x1,y1),
P2(x2，y2).
x1 x2
(3)若直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),满足x1=x2或y1=y2时,直 线l的方程是什么? 提示：当x1=x2时,直线l平行于y轴,此时的直线方程为x-x1=0 或x=x1;当y1=y2时,直线l平行于x轴,此时的直线方程为yy1=0或y=y1.
【拓展延伸】方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)和原两点式方 程的关系 (1)两点式方程只能表示x1≠x2且y1≠y2的直线,它不能表示倾 斜角为0°或90°的直线的方程,但方程情势相对于变化后的方 程式更对称、情势更美观、更整齐,便于记忆. (2)如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么就可 以用它来表示平面上过任意两已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直 线方程.
②
ab
由①②解得
a
3
5 3,
3.2.2直线的两点式方程
共
同 努
殊情况．当所求的直线方程与截距有关时，也可设出点斜式或斜
力
吧 截式方程，求出截距，利用截距的关系求出斜率，再写出方程．
！
二
十
九
班 渴
变式 1
已知直线 l 经过点 E(1,2)，且与两坐标轴
望
胜 利
的正半轴围成的三角形的面积最小时的直线 l 的方程．
，
同
学
们
共
同
努
力
吧
！
二
十
九
班 渴 望
解：设直线 l 的方程为ax＋by＝1，其中 a>0，b>0.
解析：设直线的方程为ax＋by＝1，
胜
利 ， 同
∵直线的斜率 k＝16，∴－ba＝16.
学
们 共 同 努
又∵12|ab|＝3，解得ab＝＝1－6， 或ab＝＝6－，1，
力
吧 ！
∴所求直线方程为：x－6y＋6＝0 或 x－6y－6＝0.
答案：x－6y＋6＝0 或 x－6y－6＝0
二
十
九
班 渴
斜率和一点坐标
望
胜
利
，
同 斜率k和截距b
学
们
共
同
努
力
吧
！ 两点坐标
两个截距
小结
点斜式 斜截式
两点式 点斜式
截距式
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 y y0 k(x x0 )
x y 1 ab
同
学 【思路启迪】 题设有截距 a、b，因此可考虑应用截距式，
们
共 同
3.2.2《直线的两点式方程》
k（ 点斜式 y－y1 = k（x－x1）
斜截式 y = kx + b
已知直线上两点P 已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其 ），如何求出通过这两点的 中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两点的 直线方程呢？ 直线方程呢？
直线方程的两点式 直线方程的两点式
x y + =1 a b
y B
l
说明(1)直线与x轴的交点(a,0) 说明(1)直线与x轴的交点(a,0) (1)直线与 的横坐标a叫做直线在x轴的截距， 的横坐标a叫做直线在x轴的截距， 此时直线在y轴的截距是b; 此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定, (2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫 这个方程由直线在 做直线方程的截距式方程; (3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. (3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 截距式适用于横
练习
根据下列条件，求直线的方程,并画出图形: 根据下列条件，求直线的方程,并画出图形: (1)在 轴上的截距是2,在 轴上的截距是 轴上的截距是2, 轴上的截距是3; (1)在xຫໍສະໝຸດ 上的截距是2,在y轴上的截距是3;
x y + =1 2 3
(2)在 轴上的截距是 5,在 轴上的截距是 轴上的截距是轴上的截距是6. (2)在x轴上的截距是-5,在y轴上的截距是6.
.
C
. A
O
.M . B
x
例题分析
例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 已知直线l 轴的交点为A(a,0),与 A(a,0), 点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程. B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线 点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
3.2.2直线的两点式方程1
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直 y 线的方程.
C .
. A
O
.M
. B
x
3x-5y-7=0 变式1:BC边上垂直平分线所在直线的方程? 变式2:BC边上高所在直线的方程? 3x-5y+15=0
小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b
复习
直线 方程 名称
已知 条件
点 P (x , y ) 和斜率k
1 1 1
直线方程
使用范围
点 斜 式 斜 截 式
y y k (x x )
1 1
斜率k和直 线在y轴上 的截距
y kx b
斜 率 必 须 存 在
斜率不存在时， 直线方程为： x x0
3.2.2 直线的两点式方程
探究：已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)
x y 4.截距式： 1 a b
说明: （1）这一直线方程是由直线的纵截
距和横截距所确定； （2）截距式适用于纵，横截距都 存在且都不为0的直线；
对截距概念的深刻理解
求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线?
当两截距都不为0时 解:设 直线的方程为: x y 1 a a 把(1,2)代入得：
1 2 1 a a
即：a=3 所以直线方程为：x+y-3=0 那还有一条呢？
法二：用点斜式求解
当两截距都等于0时 y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b
点斜式
斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
3.2.2直线的两点式方程
直线的两点式方程 经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2, y1≠y2 ）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式.
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
特别地
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
x y 2.截距式方程 1 a b
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 3.中点坐标公式 （
x1 x2 y1 y2 , ) 2 2
祝大家学习愉快！
y
. A
.
C
O
.
x B
设BC的中点为M ,则M 的坐标为（
3 0 3 2 3 1 ， ），即（ ， ） . 2 2 2 2 3 1 y 0 x5 过A( 5, 0), M （ ， ）的直线方程为 , 1 3 2 2 0 5 2 2 整理得x 13 y 5 0.
当x1 x2时，k y2 y1 x2 x1
取P 1 ( x1 , y1 ), 代入点斜式方程得， y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
y1 y2时，化成比例式：
y y1 x x1 . y2 y1 x2 x1
3.2.2
直线的两点式方程
线l的方程. 解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
5 5 kl 2 2 3
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 y－(－5) =－2 ( x－3 ).
思考2 设直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（其中
x1≠x2，y1≠y2），你能写出直线l的点斜式方程吗？
第十九课时3.2.2直线的两点式方程
中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出通过这两个
点的直线方程呢？
二、直线的两点式方程 探究1：已知两点P1(x1, y1)，P2(x2, y2) (其
中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出通过这两个
点的直线方程呢？
二、直线的两点式方程 探究2: 如图，已知直线l与x轴的交点 为A(a, ０)，与y轴的交点为B(0, b)，其中 a≠0，b≠0，求直线l的方程. y B(0, b)
a
b
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴 交点(0, b))不适合过原点的直线] 特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2， 则 l1 //l2 k1＝k2，且b1≠b2； l1⊥ l2k1· k2 ＝－1.
三、典型例题 例1.求过下列两点的直线的两点式方程 (1) P1(2, 1)，P2(0, -3)；
四、中点坐标公式 探究 线段P1P2中P1(x1, y1), P2(x2, y2), 求线
段P1P2的中点P的坐标.
y P2(x2, y2) P1(x1, y1) O x
五、思维拓展
拓展1: 过P(4, -3)且在坐标轴上截距相等
的直线有( A. 1条 ) B. 2条 C. 3条 D. 4条
(2) A(0, 5)，B(5, 0).
三、典型例题
例2.根据下列条件求直线的方程： (1)在x轴上的截距是2，在y轴上的截距为3；
(2)在x轴上的截距是-5，与y轴的交点为(0, 6).
三、典型例题
例3.根据下列条件, 求直线的方程： (1)过点(0, 5)，且在两坐标轴上的截距之和为2. (2)过点(5, 0)，且在两坐标轴上的截距之差为2.
(x0, y0)及斜率k存在)
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(3)
322直线的两点式方程
掌握直线方程的两点式的形式及适用范围； 能熟练利用条件求出直线方程； 了解直线方程的截距式的形式特点及适用范围。
直线方程两点式。
直线两点式方程的推导及对这种形式的理解。
教学目标:
(1)
(2) (3) 教学重点:
教学难点:
1、 A. C.
2、 、复习回顾：
已知直线ax+by+c=0的图象经过一、 若 c>0,则 a>0,b>0 若 c<0,则 a>0,b<0 直线 I:y=ax+2 与以 A(i,4)、 已知直线I 经过两点P i (i, 二、四象限，则(
c>0,则 a<0,b>0
c<0,则 a>0,b>0
BY D.若 B(3,i)两点为端点的线段有交点，贝y a 的取值范围是
2), P 2 (3, 5)，求直线I 的方程.
二、数学建构
问题 1、 已知两点P i (x i , y i ). P 2(X 2, y 2)其中(x i M X 2, y i M y 2).求通过这两点的直线方程
问题 若点P i (x i , y i ), P 2 (X 2, y 2)中有X i = X 2,或y i = y 2,此时这两点的直线方程是什么?
问题 已知直线I 与X 轴的交点为A(a,O),与y 轴的交点为B(O,b),其中a 丰0,b 丰0,如何用两点式表示直线
的
方程？此方程适用的条件是什么？
三、数学应用
例1、已知直线I 与x 轴的交点为 A(a,0),与y 轴的交点为B (0,b),其中a M 0, b 丰0. 求直线
I 的方程.
例2、 (1) 已知三角形的三个顶点 A(£,0 ),B (3, -B),C (0,2)，
求
BC 边所在直线的方程，
BC 边上中线所在直线的方程.
例3、求经过点 A(4,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
例4、求与直线6x+y-3=0垂直，且和两坐标轴围成的三角形的面积为 3的直线方程。
例5、直线I 过点M (2, 1),且分别交X 轴、y 轴的正半轴于点 A 、B .点0是坐标原点,
(1) 求当△ ABO 面积最小时直线I 的方程；
(2) 当|MA||MB| 最小时，求直线l 的方程；
(3) 当|OA|+|OB|最小时，求直线I 的方程
当堂反馈
1.下列四个命题：①经过
P o (X 0, y o )的直线都可以用方程 y -y o = k (x -x o )表示；②经过任意两个不同的点 91(x 1,
y”，
3 .已知△ ABC 的两个顶点 A (3, 7)和B (-2, 5),求C 点的坐标，使 AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在 y 轴上.
4 .如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果
超过规定，则需要购买行李票，行李票费
y (元)与行李重量x (kg)的关系
用直线AB 的方程表示，试求：
(1) 直线AB 的方程；
(2) 旅客最多可免费携带多少行李？(X 2 -x i )( x -x i )= ( y 2-y i ) (y n )表示；③不经过原点的直线都
F 2(X 2, y 2)的直线都可以用方程 可以用方程 -=1表示；④经过定点 a b A(0,b)的直线都可以用方程 y = kx+b 表示。
其中真命题的个数是
( )
A. 0
2.求经过点A ( -3, 4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线 I 的方程. B. 1 C. 2 D. 3
y _ y x 一 x
小结：(1)直线方程的两点式 --------- = -------- - (刘工X 2 , 丫1工y 2), y 2 — y i X 2 — X i 适用范围：不适合与 x 轴或y 轴垂直的直线.
x y
(2)直线方程的截距式 一+丄= 1(a H0,bH0), a b 适用范围：与坐标轴不垂直且不过原点 四、课后研学 1 .求点A(3,2)关于直线L: y=x+1对称的点B 的坐标. 2 .在△ ABC 中，点A(5,6),角B 平分线所在的直线方程为
4x+5y-24=0,角C 平分线所在的直线方程为
x-6y+5=0试求直线BC 的方程。
班级 学号
课后作业： 1.下列结论正确的是( )
A. 经过点P o ( x 0,y 0)的直线都可以用方程 y - y 0 = k(X- x 0)表示。
B. 经过定点 A (0,b )的直线都可以用方程 y=kx+b 表示.
C. 经过任意两个不同的点P 1(x 1, y 1) , P 2(x 2,y 2)的直 (X
2 — X i )(y —y i ) =(y 2 — y i )(x —X i )表示。
兰亠1 表示. a b 的直线在 D.4 D.不经过原点的直线都可以用方程 2.过点 A. -4 A (-1 , 1 )和 B (2, 2) B.-
3 C.3 x 轴上的截距是(
3.直线 + =1的倾斜角是 J 3 ). 姓名 都可以用方程
兀 A.— 6 4. 直线 B. C. D. 3 l 过点(-1 , -1 )和(2,
A. 2005 5. 过点 A (-2 , 6. 一条直线过点 7. 过点 P (-2 , 6 1003, b)在直线I 上, D.2008 3 则b 的值为( 5),点(
B.2006
C.2007 1 )与B (-2 , -3 )的直线方程为_______________
. A (-3 , 4),且在坐标轴上的截距之和为 12,则此直线的方程为 -3 ),且在坐标轴上的截距相等的直线方程为 ____________________ 8. 已知直线mx+ ny+12=0在x 轴，y 轴上的截距分别为-3和4 ,求m,n 的值.
9.已知点A (1 , 2), B (-1 , 4), C (5, 2),求心ABC的边AB上的中线所在的直线方程 .
10.已知直线I过点P( 1,1),且直线I与两坐标轴围成的三角形的面积为2,求直线I的方程.
11.如图，射线 OA,OB分别与x轴的正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)做直线AB分别交OA,OB于点
1
A,B，当AB的中点C恰好落在直线y= - x上时，求直线 AB的方程。
2
12.已知AABC的一个顶点 A( 3, -1)，/ ABC被y轴平分，N ACB被直线y=x平分，求直线 BC的方程。
x
x。