高等代数几个重要定理的证明-毕业论文

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代数是学学的心础课程，是其它课程的要提.本文共分三大部分，第一大部分主要介绍了高等代数课程的七个重要定理的内容、证明.因高等代数中提出了许多新概念、新定义、新定理，譬如多项式、数域、线性空间、映射等，且都是较为抽象的内容，故此将其中各章节中的重要定理列举出来，并寻找多个定理证明来加深对其的理解及认识.

第二大部分主要介绍了在高等代数学习中遇到的问题及解决的方法.

第三大部分则主要讲了高等代数在实际问题中的应用中的两种应用方法，即矩阵密码与保密通讯和情报信息检索模型.

关键词：定理证明；矩阵；行列式；线性空间；高等代数应用

Abstract

Higher algebra is the core curriculum of university mathematics,and it is an important prerequisite for learning other courses. This paper is divided into three parts,and the first part mainly introduces the seven important theorems in advanced algebra course content. Because of Higher Algebra put forward many new concepts and new definition, theorems, such as polynomial, the number of domain, linear space mapping, etc., which are more abstract content.Therefore one of the important theorem of various sections of the list, and to find a proof of the theorem to deepen understanding and understanding of these.

The second part mainly introduces the problems and solutions in the study of higher algebra. The third part focuses on the application of advanced algebra in the practical application of the two methods, namely, matrix cryptography and secure communications and information retrieval model.

Key words：Theorem proving;matrix;determinant;application of Advanced algebra

目录

TOC \o "1-2" \u 前言1

1 定理阐述及证明2

1.1因式分解及唯一性定理2

1.2最大公因式存在定理4

1.3最小数原理5

1.4替换定理6

1.5哈密尔顿-凯莱定理8

1.6带余除法10

1.7行列式计算定理12

1.8定理：在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵13

2 高等代数的重要定理在相关的对应理论中的作用、地位与应用13

2.1因式分解及唯一性定理14

2.2 最大公因式存在定理14

2.3 最小数定理14

2.4 替换定理14

2.5 哈密尔顿-凯莱定理15

2.6 带余除法15

2.7 行列式计算定理15

2.8 对称矩阵合同于对角矩阵15

3 高等代数的学习15

结束语17

参考文献18

引言

高代数是范学校学业的学生所学习的一门主要，是学的继与高.它的内容由多项式理论、解理论、线性空间理论三大部分组成.这三大部分的特殊性在于其中的定理和概念较多，具体的模型稀少，，可引导用的例题较少，计算性弱，逻辑性强.在对高等代数几个重要定理的证明方法的探索中，能够改变我们的思维，增强大家都思维能力，辑思维能力和代数计算.

此外，高等代数已经是从事科学研究的科技人员必备的数学基础知识，因它是理论化学与理论物理的不可替代的代数基础知识，也已经渗透到了管理、经济、科学技术等多项领域，除此以外，矩阵又有了新的意，尤其是对矩阵的数值分析方面的贡献.由是对于本文探索高等代数的定理新证明又有了重大意义.

1 定理阐述及证明

1.1因式分解及唯一性定理：理容：数上有的多式都可一地解为域，一些可多项的积，所说的性是说，如有个分式，则，同在当排因的次后有，，且是些零数.

证法一：首先要证明的式分解式是否存在，我们对的次数作数学归纳法.

因为一次性多项式都是不可约的，所以当时结论成立.

先，同设此论对于数的多项式已成立.

如果，那么然论成，不是约的，，其的次数都.由归纳假和都可以分解成数上一些多式的积.把，的分式来就可以得到的一个式.

由归纳法原理，可知结论普遍成立.

下证它的一性.设可以解成约项式的积

.

如果还有另一个分解，其中

都可约多项式，

于是. （1）

我们对作归纳法.当，是不可约多项式，由定义一定有且

现在设可约式的时性已证.由（1）

因此，能尽中的一个，.因为也可多式，

，（2）

在（1）式两边消去，就有.

由归纳假设，有，即，（3）

并且适当排列次序之后有，，

（4）

即（2）,（3），（4)三式加起来就是我们所要证得，即证明了分解的唯一性.[1]

证法二：可以对因式的用数学归纳法.

对于可多式，也是对于的情来说，理成立.

假定对于能分解成个不可约因式的乘积的多项式来说，定理成立.

们明对于能可因的积的多项来说也立.

等(1)表明，积可以被可多式整.性，若项与的积能被可多式，则有一能被的，且某一能被.适当调整的次序，可以假定即.但不是可约多项式，而的次数是零，所以必须是一个多项式：（2）, 把的表示式代入式（1）的右端，得:

，