高等代数几个重要定理的证明-毕业论文

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代数基本定理的几种证明

代数基本定理的几种证明作者：李志国邵泽玲李志新来源：《科技风》2020年第13期摘;要：代数基本定理是数学中最重要最基本的定理之一，不仅仅在代数学中起着重要的基础作用，乃至整个数学研究都有着广泛的应用基础。

本文通过利用拓扑、不动点、代数等理论给出了代数学基本定理的五种不同的证明。

关键词：代数基本定理;不动点定理;同伦;分裂域代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。

最早该定理由德国数学家罗特于1608年提出。

据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。

迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。

大数学家J.P.塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。

美国数学家John Willard Milnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。

复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。

代数基本定理，一般高等代数的教材中都没有给出证明，这是因为它的纯代数方法的种种证明都很复杂。

大多数参考文献中都是利用维尔定理和儒歇定理等复变函数理论来证明代数基本定理。

本文从拓扑学，不动点理论，代数理论等角度分别列举了五种不同的证明方法。

1 代数学基本定理任何一个n次多项式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在复数域C中至少有一个根。

证法一：（代数拓扑方法）视S2=C∪{SymboleB@}，f（z）可以延拓为一个连续映射：F：S2=C∪{SymboleB@}→S2=C∪{SymboleB@};F（z）=f（z），z∈C;F（SymboleB@）=SymboleB@。

由此可知，只要证明0∈ImF即可。

定义H：S2×I→S2如下：H（z，t）=anzn+（1-t）（f（z）-anzn），z∈C，SymboleB@，z=SymboleB@。

令F1（z）=anzn，z∈CSymboleB@，z=SymboleB@，则H（z，t）定义了一个F与F1之间的一个同伦。

(精品)高等代数知识在初等数学中的应用毕业设计

本科生毕业论文高等代数知识在初等数学中的应用摘要 (I)Abstract (I)第一章绪论 (1)第二章高等代数与初等数学的联系 (1)2.1知识方面的区别与联系 (2)2.2思想方法方面的区别与联系 (2)2.3观念方面的区别与联系 (4)第三章多项式理论在初等数学中的应用 (5)3.1去重因式分解多项式 (5)3.2 利用因数定理分解多项式 (5)3.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式 (6)3.4多项式的一些应用 (6)第四章行列式在初等数学中的应用 (8)4.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性 (8)4.2应用行列式分解因式 (9)4.3应用行列式解决数列问题 (9)第五章线性方程组在初等数学中的应用 (12)5.1 在平面解析几何上的应用 (12)5.2在空间解析几何中的应用 (13)5.3在求解二元方程组上的应用 (14)第六章柯西不等式在初等数学中的应用 (15)6.1柯西不等式在解析几何中的应用 (15)6.2柯西不等式在解其它题方面的应用 (15)第七章结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)高等代数是现代数学中一个重要的分支，是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充．高等代数是初等数学的进化．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．在许多问题中，如果我们能用高等代数知识解决一些初等数学中的问题，将命题转化为一般性的问题进行解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新．文章一方面介绍了高等代数与初等数学的联系，从数学知识、数学思想方法、数学观念3个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学的联系．另一方面介绍高等代数的一些知识在初等数学的应用．如多项式、行列式、线性方程组、柯西不等式在初等数学中的应用，高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维．用高等代数的观点去研究初等数学史新世纪对中学数学教师的高水平要求，教师是否具有较高的教学观点，是衡量教师数学素质的重要标准．教师具有高的观点，就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系，把握教材的重、难点；教师具有高观点，就能从认知的角度，在知识的各部分参透高等数学的观点，培养学生的创造性、判断性思维．关键词：高等代数多项式行列式柯西不等式初等代数应用AbstractHigher algebra is an important branch of modern mathematics, which is on the basis of the elementary algebra research object for further expansion. Advanced algebra is the evolution of elementary mathematics. Advanced algebra is not only the continuation of elementary mathematics, also is the foundation of modern mathematics, only good to master the basic knowledge of advanced algebra can adapt the mathematical development and teaching materials reform. Advanced algebra in the open field of vision of knowledge, especially the role of guiding middle school problem solving, etc. In many problems, if we can use the advanced algebra knowledge to solve some problems in the elementary mathematics, converting the proposition to general problems are solved, can often get twice the result with find everything new and fresh.Higher algebra and elementary mathematics were introduced on the one the other the application of elementary mathematics. Such as polynomial, determinant, system of linear equations, cauchy inequality in elementary mathematics, the application of advanced algebra to establish mathematics is not a simple problemsolution, but a mastery of knowledge and the development of students' divergent and associative thinking. In view of the new century of see the inner structure and the essence of the middle school teaching material from a from the perspective of cognition, in the knowledge of each part searches view of第一章绪论人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文科学的基础的地位，当今时代，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，它和其他学科的交互作用空前活跃，越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献，也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙．在长期开设高等代数等数学类课程的实践中一直存在两方面的问题，一方面由于中学知识难以与高等代数直接衔接，使不少大学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课程产生了畏惧情绪：另一方面，由于高等代数理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等代数知识指导初等代数教学感到茫然．通过本文的介绍，使读者都能清楚地看到：高等代数知识在初等数学的继续喝提高，在思想方法上是初等数学的延续和扩张，在观念上是初等数学的深化和发展．这样学生学习高等代数的难度就会大大降低．高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面．高等代数与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”．高等代数作为一门抽象的大学学科，虽然表面上是独立的知识体系，但并没有与初等代数内容严重脱节，而是相互参透，彼此相通。

大学高等代数的论文

等价无穷小性质的理解、延拓及应用
【摘要】等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能取代的作用。通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。
=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)
=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1+cosx)x2=1
解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
3 等价无穷小无可比拟的作用
以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：
原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx
=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越变越复杂，难于求出最后的结果。而解法2适时运用性质①，将分母x2tan2x替换成x4，又将分子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例：
=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44 (∵ tanx～x)
=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)

高等代数定理证明

高等代数定理证明
高等代数定理是一个重要的数学定理，它指出，任何一个多项式的根都可以用它的本原多项式的根来表示。

这个定理有着深远的影响，它为数学家们提供了一种有效的方法来解决多项式的根的问题。

高等代数定理的证明是一个比较复杂的过程，首先，我们需要证明任何一个多项式的根都可以用它的本原多项式的根来表示。

假设有一个多项式f(x)，它的根是a1,a2,a3,…,an，那么我们可以把它写成f(x)=a1(x-a2)(x-a3)…(x-an)，这就是它的本原多项式。

接下来，我们需要证明任何一个多项式的根都可以用它的本原多项式的根来表示。

假设有一个多项式f(x)，它的根是b1,b2,b3,…,bn，那么我们可以把它写成f(x)=b1(x-b2)(x-
b3)…(x-bn)，这就是它的本原多项式。

最后，我们需要证明任何一个多项式的根都可以用它的本原多项式的根来表示。

假设有一个多项式f(x)，它的根是c1,c2,c3,...,cn，那么我们可以把它写成f(x)=c1(x-c2)(x-c3) (x)
cn)，这就是它的本原多项式。

由此可见，任何一个多项式的根都可以用它的本原多项式的根来表示，这就是高等代数定理。

总之，高等代数定理是一个重要的数学定理，它指出，任何一个多项式的根都可以用它的本原多项式的根来表示，这个定理为数学家们提供了一种有效的方法来解决多项式的根的问题，它的证明也是一个比较复杂的过程。

行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文

ANAMtm tJhi・I TV本科生毕业论文题目：姓名：学号：系别：年级：专业：指导教师：指导教师：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用2008020230462008 级数学职称:副教授职称：讲师2012年4月20日安顺学院毕业论文任务书数学与计算机科学系数学与应用数学专业2008年级学生姓名韦诚毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用任务下达日期：2011年9月5日毕业论文写作日期：20H年9月5日至2012年4月20指导老师签字:学生签字:《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。

行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。

讣算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。

当看到一个貌似非常复朵的n阶行列式时，仔细观察, 会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。

掌握住这些规律, 选择合适的il•算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种汁算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。

行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。

它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。

关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized coinpulsory of the basic mathematic- The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation , alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours • There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,“nd we will find that their elements are arranged in row s or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an importanf theory in linear equations and it is an indis pensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and proinotion. It is not only the solution of linear equations of the important took but also in some other branch has a wide range of app lications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations引言1屛介行列式的定义 2屛介行列式的性质 3计算屛介行列式的具体方法与技巧利用行列式定义直接计算利用行列式的性质计算化为三角形行列式逆推公式法拆开法3.4 降阶法 3.6 利用范德蒙德行列式 3.7 加边法（升阶法） 3.8数学归纳法 10 4行列式在线性方程组中的初步应用 11 4.1克拉默（Gramer ）法则 12 4.2克拉默（Gramer ）法则的应用1211421用克拉默（Gramer）法则解线性方程组13 422克拉默法则及其推论在几何上的应用14 结论16 参考文献17 致谢1817解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位•因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r它的两端的电位差y,那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式ir = V求出来•这就是所谓解一元一次方程的问题•在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是®要的内容.对于二元线性方程组当4心22-如佝*0时，次方程组有惟一解，即”•…“ _ “山一如勺Aj — * ---------------- —^*11^22 -如切如“处-0皿21我们称5如-mSl为二级行列式，用符号表示为于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有惟一解，即对于三元线性方程组有相仿的结论•设有三元线性方程组«21(»2 2«11 %“21 ©2勺心22你如一竹S I =«21如5內+如兀2+"/3=久+"22X2 +^23^3 =®， «3 內 +432大2 +"33X3 =%利'彳弋工弋 1^22^^33 + ^12^23^^31 + ^13^21^^321^23^32 ^12^^21^^33 ^^13^^22^31 丿7^5行列式，用符号表示为:"H "22"33 +“12°23"刃 +«)3«21^32 "^^11^23^32 "如①心彳 _'WWsi =我们有：当三级行列式«11 «12 "|3«21 «22 «23“31 ^32 “33时，上述三元线性方程组有惟一解，解为4厶X 严+，尤2=〒，a a其中S «12 勺3«H 勺"|3£ =■■■«23,J,="21 勺 “23，〃3 =5 U" b 、妇"32 “33«31 % "33如］“32 S在本论文中我们将把这个结果推广到畀元线性方程组4内+4胪2+…+你忑=勺 “2 內+"22兀2+…+ “2届=2弘内+0小：2+…+ 4汁為="/<的情形•为此，我们首先要给出〃阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本论文的主要内容.«11 ®2 ®3"21 ^22 "23 "31 “32 “33cl =1 n阶行列式的定义“21 “22.... -^211"川...... 弘"等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积仙几（1）的代数和，这里jj2…h是12…，”的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j|j2…人是偶排列时，（1）带正号，当是奇排列时，（1）带有负号•这一定义可以写成二2（_严"5畑..％恥…人这里X表示对所有阶排列求和・丿"2・・・人定义表明，为了计算《阶行列式，首先作所有有可能山位于不同行不同列元素构成的乘积。

高等代数论文

向量组线性相关的证明方法内容提要向量组的现行相关性是高等代数理论中的一块基石，在它的基础上我们可以衍生出许多其他理论，所以熟练地掌握判定向量组线性相关的方法可以更好地帮助我们理解其他理论的知识。

本文从理解向量组线性相关性的定义入手，论述了若干证明向量组线性相关的方法，例如利用线性相关的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解等知识判定向量组线性相关性的判定，并且比较了不同种证明方法的适用范围和条件。

向量组线性相关性的证明理论在现实生活当中有着广泛的应用。

因此学好这一块的理论知识，掌握证明方法是很重要的。

第一章绪论线性相关性的理论在数学专业许多课程中都有体现，如解析几何，高等代数和常微分方程中等等，它是线性代数理论当中的基本概念，它与向量空间和子空间的概念有着密切的联系，同时在解析几何以及常微分方程中有广泛的应用，因此掌握向量组线性相关性这个概念有着十分重要的意义，也是解决问题重要的理论依据。

向量组的线性相关和线性无关可以推广到函数组的线性相关和线性无关。

在线性代数中，向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。

它可以将线性代数中的矩阵，行列式，二次型的知识联系起来，如果能熟练掌握线性相关性则能更好地理解线性代数当中的其他知识，，理清线性代数的框架，做到融会贯通。

本文主要研究的是向量组的线性相关性的判定方法，从定义和性质下手，熟悉了一些重要的理论，熟悉了定义我们就能更好地把握线性相关性的本质。

而本文的第三章就并提出了几种线性相关性的证明方法，比较了不同种证明方法的适用范围和优势劣势，并给出了详细地证明过程和例题，从而更加深入地理解线性相关性的理论知识。

最后是关于这部分理论的展望和本文参考的具体文献。

第二章向量组线性相关性的定义和性质2.1.1线性相关的概念定义1设m 21,,,ααα 是F 上向量空间V 的m 个向量.如果存在F 中一组不全为零的数,,,,21m k k k 使得0m 2211=+++αααm k k k （1）那么就称向量m 21,,,ααα 线性相关.如果不存在不全为零的数,,,,m 21k k k 使(1)式成立,或者说,只有当0m 21====k k k 时,(1)式才成立,那么就称m 21,,,ααα 线性无关.定义 2 若向量组A 中每一个向量i α(t i ,,2,1 =)都可由向量组B ={s ββ,,1 }线性表示,则称A 可由B 线性表示.若两个向量组可互相线性表示,则称这两个向量组等价.性质1 向量组的等价具有1)反射性；2)对称性；3)传递性.定义 3 设向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{s ααα,,,21 }的部分组.称{r i i i ααα,,,21 }是{s ααα,,,21 }的极大无关组,如果1)向量组{r i i i ααα,,,21 }线性无关；2){s ααα,,,21 }中的任意1+r 个向量(如果有的话)构成的向量组总是线性相关的.定义 4 向量组{s ααα,,,21 }的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. 记为秩(s ααα,,,21 ).性质2 向量组{r αα,,1 }线性无关⇔秩{r αα,,1 } =r .向量组{r αα,,1 }线性相关⇔{r αα,,1 }秩<r .2．1.2线性相关的性质性质(1) 含零向量的向量组必线性相关,即{s αα,,,01 }线性相关.性质(2) 一个向量组若有部分向量线性相关,则此向量组线性相关.性质(3) 若一个向量组线性无关,则它的每个非空部分向量组也线性无关. 性质(4) {α}线性相关0=⇔α.性质(5) {βα,}线性相关λβα=⇔)(P ∈λ.性质(6) n P 中单位向量组线性无关.性质(7) 向量组i α=),,,(21in i i a a a ),,2,1(s i =线性相(无)关⇔齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111s sn n n s s s s x a x a x a x a x a x a x a x a x a（2）有(无)非零解.性质(8) 设向量组{r ααα,,,21 }线性无关,而向量组{r ααα,,,21 ,β}线性相关,则β一定可由r ααα,,,21 唯一的线性表示.性质(9) 向量组{r ααα,,,21 }(r 2≥)线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性组合.性质(10) 设s ααα,,,21 是向量空间V 中的向量,A 是t s ⨯矩阵,B 是r t ⨯矩阵.则有((s ααα,,,21 )A )B =(s ααα,,,21 )AB （3）性质(11) 设向量组{p γγγ ,,21}可以由向量组{t βββ,,,21 }线性表示,向量组{t βββ,,,21 }可以由向量组{s ααα,,,21 }线性表示,则向量组{p γγγ ,,21}可以由向量组{s ααα,,,21 }线性表示.性质(12) 设向量组{r ααα,,,21 }线性无关,且可由向量组{s βββ,,,21 }线性表示.则s r ≤.必要时对向量组{s βββ,,,21 }中的元素重新排序,使得用r ααα,,,21 替换s βββ,,,21 后,所得向量组},,,,,{121s r r ββααα +与{s βββ,,,21 }等价. 性质(13) (1)若向量组{t βββ,,,21 }可由向量组{s ααα,,,21 } 线性表示,并且s t >,则向量组{t βββ,,,21 }线性相关;(2) 设向量组{t βββ,,,21 }线性无关,t s <,则向量组{t βββ,,,21 }不能由含s 个向量的向量组线性表示.性质(14) 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.性质(15) 任意1+n 个n 维向量必线性相关.性质(16) 若{s ααα,,,21 }和{t βββ,,,21 }是两个等价的线性无关的向量组,则t s =,且存在s 阶可逆矩阵A 使得(s ααα,,,21 )=(t βββ,,,21 )A （4）性质(17) 设向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{s ααα,,,21 }的一个部分组,则{r i i i ααα,,,21 }是极大线性无关组的充要条件为1)向量组{r i i i ααα,,,21 }线性无关;2)每一个j α(s j ,,2,1 =)都可由r i i i ααα,,,21 线性表示.性质(18) 向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价.性质(19) 一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.性质(20) 两个等价的向量组有相同的秩.性质(21)设向量组(s ααα,,,21 )线性无关,A 是一个t s ⨯矩阵,令(t βββ,,,21 )=(s ααα,,,21 )A ,则 A R t =),,,(21βββ .性质(22)如果向量函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间b t a ≤≤上线性相关,则它们的朗斯基行列式0)(=t W .性质(23) 如果向量函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间d t ≤≤c 上线性无关,则它们的朗斯基行列式0)(≠t W .第三章向量组线性相关性的证明方法3.1定义法这是判定向量组线性相关的基本方法.定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组,也适用于分量已经给出的具体向量组.其定义是,设m 21,,,ααα 是F 上向量空间V 的m 个向量.如果存在F 中一组不全为零的数,,,,m 21k k k 使得0m 2211=+++αααm k k k ,那么就称向量m 21,,,ααα 线性相关,否则称它是线性无关的. 例1设有两个n 维向量组,,,s 12 ααα、,,,s 12 βββ，若存在两组不全为零的数12,,,s k k k ；12,,,s λλλ ，使111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-= 0ααββ；则．证明111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-= ααββ0，111111()()()()s s s s s s k k λλ-++-+++++= αβαβαβαβ0，所以1111,,,,,s s s s --++ αβαβαβαβ线性相关．例2 设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组x A k 0=有解向量α,且01≠-αk A .证明向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.证明设有实数,,,21k λλλ 使得0121=+++-αλαλαλk k A A (9) 则有)(1211=+++--αλαλαλk k k A A A . （10）从而011=-αλk A 由于01≠-αk A ,所以,01=λ.把01=λ代入(*)式再左乘2-k A 可得012=-αλk A ,由01≠-αk A ,得02=λ.类似可证得043====k λλλ故向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.我们还可以利用向量组内向量之间的线性关系判定.即向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关的充要条件是向量组A 中至少有一个向量可由其余线性表示.比如例1,取1k =3k =1,2k =4k =-1,则1β=2β-3β+4β,即1β可由2β,3β,4β三个向量线性表示,所以向量组1β,2β,3β,4β线性相关.3.2根据齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组,需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时也就应用了齐次线性方程组的解进行了线性相关性的判定.于是我们可以利用结论[1]进行判定.结论[1] 向量组i α=),,,(21in i i a a a ),,2,1(m i =线性相(无)关⇔齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111m mn n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a （11）有(无)非零解.例3[7] 证明向量组1α=(2,1,0,5),2α=(7,-5,4,-1),3α=(3,-7,4,-11)线性相关.证明以1α,2α,3α为系数向量的齐次线性方程组是1x 1α+2x 2α+3x 3α=0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+=--=++0115044075037232132321321x x x x x x x x x x x （12）利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵转化为阶梯型矩阵,即→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----110110110751242404401717075111154403727511115440751372 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000110751 由行阶梯型矩阵可知,()R A =32<.即齐次线性方程组有非零解,所以向量组1α,2α,3α线性相关.3.3利用矩阵的秩进行判定结论[5] 设向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是由m 个n 维列向量所组成的向量组,则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵A =(12,,m ααα⋅⋅⋅)的秩的大小来进行判定.即(i) 当R(A )= m 时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性无关的.(ii) 当R(A )<m 时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性相关的.例4 设1α=T )1,1,1(,2(1,2,3)T α=,3(1,3,5)T α=问向量组1α,2α,3α是否线性相关.解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000210111420210111531321111A3)(<A R ,所以向量组1α,2α,3α线性相关.例5[4] 试讨论n 维单位向量组的相关性.解因为),,,(21n e e e E =的行列式01≠=E , 即n E R =)(,所以,n 维单位向量组线性相关.利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同,但实质上是一样的,都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵,从而求出向量组的秩,即系数矩阵的秩,然后再作出判定.3.4利用行列式值进行判定行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解,然后再对向量组的线性相关性作出判定,所以能应用行列式值进行判定的向量组,也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定.结论 [3] 若向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅ 是由m 个m 维列向量所组成的向量组,且向量组A 所构成的矩阵A =(12,,m ααα⋅⋅⋅),即A 为m 阶方阵,则(i) 当A =0时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性相关的.(ii) 当A ≠0时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性无关的.例6设向量组4321,,,αααα线性无关,判断向量组12,αα+23,αα+34,αα+ 41αα-是线性相关还是线性无关.解设存在4个数4321,,,k k k k ,使得)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ,（13）拆项重组为 0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ,（14）由4321,,,αααα线性无关知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=-000043322141k k k k k k k k (15)由于系数行列式021100011000111001≠=- （16）所以,齐次线性方程组(1)只有零解,即04321====k k k k .因此向量组14433221,,,αααααααα-+++线性无关.3.5反证法在有些题目中,直接证明结论常常比较难,但从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件相悖的结果,近而得出结论.例7[5] 设向量组12,,,m ααα 中任一向量i α不是它前面1i -个向量的线性组合,且i α≠0,证明向量组12,,,m ααα 线性无关.证明 (反证法)假设向量组12,,,m ααα 线性相关,则存在不全为零的数21,k k m k ,使得11k α+22m m k k αα++ =0 (17)由此可知,0=m k ,否则由上式可得112211------=m m m m m m k k k k k k αααα ,（18）即m α可由它前面1m -个向量线性表示,这与提设矛盾,因此0=m k , 于是(17)式转化为1k 1α+22k α+ +11m m k α--=0.类似于上面的证明,同样可得01221=====--k k k k m m ,这与m k k k ,,,21 不全为零的假设矛盾,因此,向量组12,,,m ααα 线性无关.3.6 数学归纳法有些题中,我们还可以利用数学归纳法,如下例. 例8[9] 设线性无关的向量组r γγγ ,,21①可由向量组t βββ,,,21 ②线性表示,且t r ≤,则可从{t βββ,,,21 }中选出)(m t -个向量组)(21,,,m t j j j -βββ , 使得向量组m γγγ ,,21,)(21,,,m t j j j -βββ ③与向量组②等价.证明:用数学归纳法(1)当1=r 时,有t r ≤,由于∑==tj j j k 11βγ,且01≠γ,则t k k k ,,,21 不全为0,在②中,设01≠k t t k k k k k ββγβ12121111---= ,故t r ββ,,,11 与t βββ,,,21 等价 (2)设1-=s r 时结论成立,推证s r =时结论成立. 由于121,,-s γγγ ,t βββ,,,21 与向量组②等价,而s γ又可由向量组t βββ,,,21 线性表示故有tt s s s s s h h h h h βγγγγγ++++++=-- 112211 , （19）而题设s γγγ,,,21 线性无关,必有t s s h h h ,,,1 +不全为0,设0≠s h ,则 t s t s s s s s s s s s s h h h h h h h h h ββγγγβ-+-+--=++-- 1111111 （20）因此,s γγγ,,,21 ,t β与121,,,-s γγγ ,t s ββ,, 等价,由上分析可知,当t s ≤,s r =时结论成立.由数学归纳法知命题成立.3.7利用线性微分方程组的相关理论判定结论[8] 一组1-n 次可微的纯量函数)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关的充要条件是向量函数⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---)()()(,,)()()(,)()()()1()1(222)1(111t x t x t x t x t x t x t x t x t x n mmm n n (21) 线性相关.证明：事实上,如果)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关,则存在不全为零的常数m c c c ,,,21 使得0)()()(2211=+++t x c t x c t x c m m .将上式对t 微分一次,二次,…,1-n 次,得到,0)()()(,0)()()(,0)()()()1()1(22)1(1122112211=+++=''+''+''='+'+'---t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c n m m n n m m m m（22）即有,0)()()()()()()()()()1()1(2222)1(1111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---t x t x t x c t x t x t x c t x t x t x c n mm m m n n (23)这就是说,向量函数组(22)式是线性相关的.反之,如果向量函数(22)线性相关,则存在不全为零的常数使m c c c ,,,21 得(23)成立,当然有0)()()(2211=+++t x c t x c t x c m m ,这就表明)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关.例9若函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间b t a ≤≤上线性相关,则它们的朗斯基行列式0)(=t W .证明据结论[8] 和纯量函数朗斯基行列式的概念知，存在一组不全为零的常数m c c c ,,,21 ，使得,0)()()()()()()()()()1()1(2222)1(1111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---t x t x t x c t x t x t x c t x t x t x c n mm m m n n （24）上式可以看成是关于m c c c ,,,21 的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是)](,),(),([21t x t x t x W m ，于是由线性代数理论知，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必为零，即0)(=t W .结束语以上归纳了判断向量组线性相关性的几种方法,只要我们熟练掌握并能灵活的运用,将会在研究线性方程组解之间的关系,或者说研究线性方程组解的结构问题时带来很大的方便.参考文献[1]刘仲奎等.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2005.[2]北京大学数学力学系几何和代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:人民教育出版社,2003.[3]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出社,2005.[4]王品超.高等代数新方法[M].北京:中国矿业大学出版社,2002.[5]王萼方.高等代数题解[M].北京:北京大学出版社,2002.[6]邱森.高等代数[M].武汉:武汉大学出版社,2008.[7]西北工业大学高等代数编写组.高等代数[M].北京:科学出版社,2008.[8]王高雄等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.[9]栾召平.证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报，2002,(2):61-62.致谢在本次论文设计过程中,白永强老师对该论文从选题、构思到最后定稿的各个环节都给予细心指引与教导,使我得以最终完成毕业论文设计.在学习中,老师渊博的专业知识、深厚的学术素养、严谨的治学态度、精益求精的工作作风、诲人不倦的高尚师德对我影响深远,也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作,使我终身受益.在此,谨向陈老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！这四年中还得到众多老师的关心、支持和帮助.在此,向他们表示我深深的谢意！最后,向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位老师表示衷心地感谢！。

行列式的计算技巧及其应用毕业论文.docx

本科生毕业论文(设计)题目：行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号： 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间: 2016 年 5 月目录摘要 (1)关键词 (1)0、前言 (1)1、基础知识及预备引理 (2)1.1行列式的由来及定义 (2)1.2行列式的性质 (3)1.3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义 (4)2、行列式的计算方法 (4)2.1定义法 (4)2.2利用行列式的性质(化三角型)计算 (5)2.3拆行（列）法 (6)2.4加边法（升阶法） (6)2.5范德蒙德行列式的应用 (7)3、n阶行列式的计算 (8)4、行列式的应用 (9)4.1行列式在代数中的应用 (9)4.2行列式在几何中的应用 (10)参考文献 (10)致谢 (11)行列式的计算技巧及应用数学与应用数学12101班谢芳指导老师颜亮摘要：行列式的计算是高等代数中一个重要的知识点,也是我们学好高等代数的重要工具 .无论是高等数学领域还是现实生活中的实际问题,都或多或少的包含了行列式的思想,所以学好行列式尤为重要.本文主要介绍几种行列式的思想,并从实例进行具体说明，介绍方法的同时加以应用.并通过举例说明行列式在代数和几何方面的应用，从而更好的了解行列式的普遍性.关键词：行列式,线性方程组,计算,方法Abstract: the calculation of the determinant is an important part of the knowledge of higher algebra, also an important tool for us to learn advanced algebra. Both higher mathematics and practical problems in real life, more or less contains the ideas of the determinant, so learning determinant is particularly important. This paper mainly introduces several kinds of determinant, and illustrate the application of the determinant in algebra and geometry, so we can understand the universality of the determinant better.Keywords: determinant, system of linear equations, calculation, the method0前言行列式是学习线性代数的基本工具,行列式的解法有很多种,在解题过程中我们先要观察行列式的特征,然后再考虑用什么样的方法解.本文主要介绍几种常用的解行列式的方法,如定义法、化三角型法、拆行（列）法、加边法、利用范德蒙德行列式计算相关行列式的方法，并通过一定的例题对所介绍的方法进行透彻的讲解，使之更好的理解.当然，解行列式的方法还有很多，只要我们善于总结.行列式在数学的很多领域都有广泛的应用，在线性代数和高等数学中更是一个重要的解题工具.本文主要介绍行列式在代数和几何方面的应用.1 线性方程组与行列式1.1 行列式的由来及定义在中学数学中,我们学习了含有一个未知数和两个未知数的方程的解法,那在这里我们来讨论含n 个未知数n 个方程的多元一次方程组即线性方程组的解法.首先我们先来看未知数的个数不多的时候的情形.我们先讨论n=2时的二元线性方程组 {0212111=+x a x a 0222121=+x a x a （1）为了解这一类方程,我们将引入一个很重要的工具——行列式我们把线性方程组（1）的系数作成二阶行列式,1221221122211211a a a a a a a a -=当a a a a 22211211≠0时,方程组（1）有唯一解x 1=a a a a ab a b 22211211222121x 2=a a a a b a b a 22211211221111同样的,对于三元线性方程组{b x a x a x a 1313212111=++b x a x a x a 3323222121=++b x a x a x a 3333232131=++ (2) 的系数作成三阶行列式D=a a a a a a a a a 333231232221131211= a a a a a a a a a a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211---++当0D ≠时,那么方程组(3)有解D D D D D D x x x 332211,,===其中D 1=a a b a a b a a b 333232322213121，D 2=a b a a b a a b a 333312322113111，D 3=b a a b a a b a a 332312222111211我们的目的是要把二阶、三阶行列式推广到n 阶行列式,然后用这一工具来解含有n 个未知量n 个方程的线性方程组.定义1[1]用符号 ||a a a a a a a a a nnn n n n 212222111211||表示n 阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是所有取自该行列式不同行与不同列上的n 个元素的乘积a 1j 1a 2j 2⋯a nj n ,项的符号为（−1）π（j 1j 2⋯j n ),也就是说,当j 1j 2⋯j n 为偶排列时，这一项的符号为正,当j 1j 2⋯j n 为奇排列时符号为负.这一定义还可以表示成||a a a a a a a a a nnn n n n212222111211||=∑（−j 1j 2⋯j n 1）π（j 1j 2⋯j n )a 1j 1a 2j 2⋯a nj n1.2 n 阶行列式性质：[2]引理1 把行列式的行变成列、列变成行,行列式的值不变.引理2 把一个行列式的两行（或两列）交换位置,行列式的值改变符号.引理3 把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某个数c,等于用数c 乘原行列式.引理4 若一个行列式的两行（或两列）的对应元素成比例,那么行列式的值等于零.引理5 把行列式某一行（或列）的所有元素同乘以一个数c,加到另一行（或一列）的对应元素上,所得行列式的值与原行列式的值相等.引理6 行列式某一行（或列）的各元与另一行（或列）对应元的代数余子式的乘积之和等于零.1.3 拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义拉普拉斯定理]3[ 设D 为一n 阶行列式，任意取定D 中的k （≤1k<n ）行,由这k 行元素所构成的一切k 阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积的和等于行列式D 的值.用符号可以表示为D=A i mi i ∑=1N ,其中m=C k n行列式||a a a a a a a a a n nn n n n 112112222121111---||叫作一个n 阶范德蒙德行列式. 2 行列式的计算2.1 定义法例1 计算行列式D=|d hc g f b e a 0000000|解由定义可知，D 是一个4！=24项的和,展开式的一般项为a 1j 1a 2j 2⋯a nj n ,在这个行列式中,除了abcd,afgd,ebch,efgh 外,其余各项均含有0,故乘积为0,与上面四项相对应列标的排列依次为1234,1324,4231,4321,而π(1234)=0，π（1324）=1,π(4231)=5, π(4321)=6,故D=abcd+efgh-afgd-ebch.利用定义法求解行列式时,只适合一些比较简单的行列式,如对角线行列式,三角行列式等，定义法常用于解低阶的行列式，对于一些高阶的行列式，我们将介绍其他方法来求解.2.2 利用行列式的性质计算例2 证明n 阶上三角行列式（主对角线以下的元素都为零）]4[|a a a a a a nnnn 0022211211|=a a a nn 2211证明在这个行列式中，当j i ＜i 时,元素a j ii =0,由定义可知所有取自各行各列的项的乘积除了a a a nn 2211外,其余项中均含有因子0,故乘积为零,又π（a a a nn 2211）=0,故|a a a a a a nn nn00022211211|=a a a nn 2211特别的λλλn00021=λλλn 21 由性质1可知,下三角行列式也等于主对角线上元素的积.那么对于可化为三角行列式的计算,就可先利用行列式的性质把它变成三角行列式例3 计算行列式2111121********* 解把行列式除开第一行外其他行上的对应元素分别减去第一行上的元素,得原式=1000010000101111=1 如果一个行列式可化为三角行列式,我们可以优先考虑化成三角形后再进行计算,计算起来更简便.2.3 按行（列）展开按行（列）展开又称降阶法,按某一行展开时,可以使行列式降一阶,更一般的,如果可以用拉普拉斯定理就可以降很多阶了.但为了让计算更加简便,我们一般先利用行列式的性质使行列式中的元出现尽可能多的零,然后再展开.例4 计算行列式4122743221010113-=D 解原行列式c c 31- 41217432-210001-14c c c 334__21211-432-010021-14=）（1-32+2211-32214=-2213706-7-0=-376-7-=-21对于这种阶数稍微高点的行列式用定义法一般比较复杂，这时我们考虑利用行列式的性质降阶后再按行或列展开.2.4 加边法（升阶法）加边法即把行列式添加一行和一列,使升阶（加边）后的行列式的值与原行列式相等,这种方法叫加边法.这种方法一般适用于所加边的元素和原行列式的元素有直接关系,如相等或倍数关系,或原来的行列式中有大片元素相同的行列式.例5 计算行列式D =a xx x x a x x xx a x xxx a n321（x a a a n ,,21≠）解原行列式中存在“大片”的x,故用加边法把原行列式变成n+1阶行列式,则有a x xxx a x x x x a x x x x a x x x x D n0001321=r r k n k 1)1,,3,2(-+==xa x a x a x a x x x x n ----001-0001-0001-0001-1321c a c ii x n i -++==11,,3,21 xa x a x a xa x xxxx a x n ni -----+∑=000000000000132111=（1+)()11x a x a xni i ni i --∏∑==利用加边法把行列式化为n+1阶行列式后,再利用行列式的性质把该行列式化为可直接计算的行列式,从而简便计算.2.5 范德蒙德行列式的应用由于范德蒙德行列式]5[=D n ||a a a a a a a a a n nn n n n 112112222121111---||=)1x x m nk m k -∏≤<≤（范德蒙德行列式是一个很特殊的行列式，从第二行起每一行与前一行对应元素的比都等于同一个常数.那么对于可化为范德蒙德行列式的计算我们可先把它化成范德蒙德行列式后再进行计算.例6 计算D n =nn nnn n n323232333322221111解从该行列式的第k （k=2,3,…,n ）行中提取公因子后,得到n nnn D nnn n2221333122211111!=该行列式为范德蒙德行列式的转置行列式,故D n=n!(n-1)!2!1!.3 n 阶行列式的计算对于n 阶行列式的计算,除了以上的方法外,我们还会根据行列式的特征采用递推法和归纳法来求解. 例1 计算D n =ba ab b a b a ab b a ++++100000100解将D n 按第一行展开,再将按第一行展开的第二个行列式按第一列展开得abD D b a D n n n 21)(---+=,整理得aD D n 1-n -=b (D a D n n 21---)由递推关系可以得出：aD D n 1-n -=)(122D D b n --=][)()(22b a a ab b a b n +--+-=b n 在上式中,a 和b 的地位是相等的,因此有D D n 1-n -=a n两式联立解得ab a b D n n --=1-n ，可以得出a b a b D n n n --=++11递推法一般用于n 阶行列式的求解，递推法的关键是找出D D D D D n n n n n 211,---与或与的关系.除了上面讲到的递推法,我们还常用归纳法来证明某些行列式. 例2]6[ 证明αααααcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=D n =cos(αn )证明当n=1时,D 1=αcos ,等式成立当n=2时,ααcos 211cos 2=D =2cos 2α-1=cos2α,等式成立假设n=k 时等式仍然成立,即αk D k cos =,α)1cos(1-=-k D k那么,当n=k+1时,把行列式按最后一行展开得D D D k k k 211cos 2--+-=α 代入得α)1cos(1k +=+k D 由归纳法得αn D cos n =行列式的计算方法多种多样,本文中所提到的方法也只是解题过程中的一些常用方法,不同的题目有不同的计算方法,至于要采用哪种方法要视具体题目而定,只要我们多观察行列式的特征就能找到合适的方法来计算.4 行列式的应用4.1 行列式在代数中的应用行列式在代数中的应用主要有利用行列式解含n 元线性方程组b x a x a x a n n 11212111=+++ b x a x a x a n n 22222121=+++……b x a x a x a n n nn n n =+++ 2211当系数行列式D ≠0时,有唯一解：D D x k k =(k=1，2，…,n).对于齐次线性方程组,若D ≠0,则对应的方程组只有零解.4.2 行列式在几何中的应用我们还可以用行列式来表示直线方程，例如过两点M （y x 11,）,N （y x 22,）的直线方程1112211y x y x y x=0 （1）证明由两点式,我们可以得出过MN 的直线方程为y y y y x x x x 211211--=-- 把上式化简得012212121=-+-+-y x y x y x y x y x y x再进一步进行化简得y x y x x x y y y x221121211111+-=0即为（1）式按第一行展开所得的结果,命题得证.行列式有着很广泛的应用，上面只是讲的比较特殊的两种，在几何方面，还有许多应用，还可利用行列式表示三角形的面积例如以平面内三点P （y x 11,）,Q(y x 22,),R （y x 33,）为顶点的△PQR 的面积S 是11121332211y x y x y x参考文献[1]张禾瑞，郝鈵新·高等代数（第五版）[M]·北京:高等教育出版社，2000[2]任功全，封建湖，薛仁智·线性代数[M]·北京：科学出版社，2005 [3]姚慕生·高等代数[M]·上海：复旦大学出版社，2002.8[4]马菊霞，吴云天·线性代数题型归纳与方法点拔考研辅导[M]·北京：国防工业出版社，2000[5]毛纲源·线性代数解题方法技巧归纳[M]·武汉：华中科技大学出版社，2000[6]王丽霞· N阶行列式的几种常见的计算方法[J]山西大同大学学报（自然科学版），2008致谢本文是在我的论文指导老师颜亮老师的精心指导下完成的.在整个论文写作的过程,颜老师给我提供了很多新颖的思路,并对我进行了耐心的指导和帮助,老师开阔的视野和广博的知识使我深受启发.颜老师严谨的治学态度、高度的敬业精神和大胆创新的精神让我深深的敬佩,在此,我向我的指导老师表示最诚挚的谢意.在这次本科毕业论文设计中我学到了许多关于行列式的知识,视野得到了很大的开阔.同时,我也要感谢我们小组的同学,感谢她们给我提出的建议,让我更好的完成了此次论文.。

高等代数论文

线性变换的分析及应用摘要由于线性变换是线性代数中最基本概念之一，其理论具有深刻的意义，而在各个领域的应用也发挥着重要的作用，线性变换也是一种较好的变量代换，合理应用线性变换，既优化了解题过程，提高了解题速度，也增强了解题的灵活性。

所以对线性变换进行分析与应用是非常有必要的。

本文主要在系统的总结并分析线性变换的理论知识的同时，例举线性变换在欧式变换中的应用，并进行研究与分析，用MATLAB对其中的应用实例予以分析，并构造出了相应的模型。

关键词：线性变换，线性代数，欧氏变换，MATLABIn this paperDue to the linear transformation is one of the most basic concept in linear algebra and its theory has profound significance, and in all areas of application also play an important role, linear transformation is also a good variable substitution, reasonable application of linear transformation, optimization, solving both increase about the rate, and enhance the flexibility of understanding. So it is necessary to analyze the linear transformation and application of. In this paper, we summarize and analyze the linear transformation of the system theory knowledge, at the same time presented linear transformation in the application of Europe type transformation, and carry on research and analysis of MATLAB application example to analysis of them, and the corresponding results are obtained.Keywords: linear transformation, linear algebra, Euclidean transform, MATLAB一、绪论1.1 选题背景线性代数（Linear Algebra ）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，线性间，线性变换和有限维的线性方程组。

子空间论文高等代数论文：高等代数中一个定理的新证法

子空间论文高等代数论文：高等代数中一个定理的新证法【摘要】本文针对高等代数中的一个定理，给出了不同的证明方法，并由此说明教学时不能满足于教授教材上的内容，要注意引导学生思路，培养学生的主动学习能力和创新能力。

【关键词】子空间正交直和一、预备知识我们沿用教材［1］中的定义和结论。

定义1：设v1、v2是欧式空间v中两个子空间，如果对于任意的α∈v1，β∈v2，恒有（α，β）＝0，则称v1、v2为正交的，记为v1⊥v2。

定义2：设v1、v2，…，vs都是线性空间v的子空间，如果和v1＋v2＋…＋vs中每个向量α的分解式α＝α1＋α2＋…＋αs，αi∈vi（i＝1，2，…，s）是唯一的，这个和就称为直和，记为v1○+v2○+…○+vs。

定理1：设v1、v2，…，vs都是线性空间v的子空间，以下条件是等价的：（1）是直和；（2）零向量的表法唯一；（3）＝{0}（i＝1，2，…，s）；（4）维（w）＝维（vi）。

二、主要内容教材［1］第九章定理5叙述到：如果欧式空间的子空间v1、v2，…，vs两两正交，那么和v1＋v2＋…＋vs是直和。

一般的证明思路都是利用定理1，通过证明零向量的分解式唯一来证明和v1＋v2＋…＋vs是直和。

其证明过程如下：设αi∈vi，i＝1，2，…，s，且α1＋α2＋…＋αs＝0，我们来证明αi＝0。

事实上，用αi与等式两边作内积，利用正交性，得（αi，αi）＝0。

从而αi＝0（i＝1、2，…，s）。

这就是说，和v1＋v2＋…＋vs是直和。

事实上，证明多个子空间的和是直和，还可以通过证明其中任一子空间和其它子空间的和之交是零子空间，或者利用维数关系来证明。

下面，我们就从这两方面给出该定理的两种新证法。

先给出一个引理：引理：设v1、v2是欧式空间v中两个子空间，如果v1⊥v2，则v1 v2＝{0}，于是和v1＋v2是直和。

证明α∈v1 v2，有α∈v1且α∈v2。

而v1⊥v2，于是（α，α）＝0，从而α＝0。

范德蒙行列式的几点重要的应用-应用数学毕业论文

阜阳师范学院信息工程学院Fuyang Shifan Xueyuan Xinxi Gongcheng Xueyuan诚信承诺书我谨在此承诺:本人所写的毕业论文《范德蒙行列式的几点重要的应用》均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。

如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。

承诺人（签名）年月日范德蒙行列式的几点重要的应用姓名：苏春学号：200904010221 指导老师：王海坤摘要行列式是高等代数知识学习的基础，它在后续的学习中非常重要。

由于它有良好的特点和独特的形式而深受数学工作者的关注。

本文将立足于范德蒙行列式的性质, 探究其各种位置变化规律。

从而把一些似于它的行列式特点且根据一定的规律性和技巧性可以转化且利用它的性质特点进行优化处理，及如何构造它，把复杂的行列式进行优化，本文主要通过举例来探究它在多项式、线性变换、向量空间以及微积分等理论中的具体应用。

关键词：范德蒙行列式；行列式；微积分：向量空间；线性变换；多项式；1. 预备知识1.1 范德蒙行列式的定义我们把形式如下的行列式113121122322213211111----=n nn n n nnn a a a a a a a a a a a a D称为阶数为n 的范德蒙行列式（Vandermonde Determinant)。

下面我们来把范德蒙德行列式n D113121122322213211111----=n nn n n nnn a a a a a a a a a a a a D∏≤<≤-=ni j j i a a 1)(对于任意的)2(≥n n 恒成立. 作具体的证明:1.2 范德蒙行列式的证明1.2.1 范德蒙行列的归纳法的证明证明：用数学归纳法当2=n 时，有.)(112112212∏≤<≤-=-==i j j ia aa a a a D 故有当2=n 时成立。

假设对阶数为1-n 时成立原命题已证，现对阶数为n 时也证明同样成立。

《高等代数》数分高代定理大全

数分高代定理大全《髙等代数》第一章帶余除法对于P[x]中任意两个多项式/'(兀)与g(x),其中g(x)HO, —定有P[A]中的多项式q(x), r(x)存在，使/(x) = g(x)g(x) + r(x)成立，其中d(r(x)) < d(g(x)) 或者心)=0,并且这样的<?(x),r(x)是唯一决定的.定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x)9g(x),其中g(x)H0,g(x)I/*(x)的充分必要条件是g(x)除/(x)的余式为零.定理2对于P[X]中任意两个多项式/(A), g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x),且d(x)可以表示成f (x), g(x)的一个组合,即有P[x]中多项式M(X),V(A)使d(x) = w(x)/(x) + y(x)g(x).定理3 P[x]中两个多项式/(A-), g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式/心),v(x)使«(x)/(x) + v(x)g(x) = 1 .定理 4 如果(f(x),g(x)) = l,且/(x)I g(x)h(x),那么f(x)I h(x).定理5如果“(X)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式/(x),g(x),由p(x) I f(x)gM一定推出p(x) I f(x)或者p(x)\ g(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数XI的多项式/(X)都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式f(X)= Pl (x)p2 (x)•- p s (x) = 4 (x)§2 (x) ••q (x),那么必有s = t ,并且适当排列因式的次序后有Pi(x) = c i q i(x),i = 1,2,•••,$,其中Cf(i = 1,2,…,s)是一些非零常数. 定理6如果不可约多项式"(x)是/(X)的k重因式(k>\)，那么它是微商广(x)的—1重因式.定理7 (余数定理)用一次多项式A-6Z去除多项式/(X),所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值/(&).定理8 P［x］中n次多项式(// > 0)在数域P中的根不可能多于〃个，重根按重数计算.定理9如果多项式/(x), g(x)的次数都不超过川，而它们对幵+ 1个不同的数弘冬,•••£+］有相同的值，即/g)= g(e),i = 1,2,•••/1 + 1,那么f(x) = g(x). 代数基本定理每个次数21的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数XI的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10 (高斯(Gauss)引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理12设/(朗=唧+%的+・•• +如是一个整系数多项式,而二是它的有理S根，其中互素,那么必有s\a n,r\a0.特别地,如果/(x)的首项系数"” =1 , 那么/(x)的有理根是整根，而且是心的因子.I定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法)设f(x) = a…x n + a…_x x n~x + • • •+a0是一个整系数多项式，如果有一个素数"，使得1. p I a n ;2・PI勺_］，%_2昇・・，°0；3・ p 2 / a （）那么/(x)在有理数域上是不可约的.第二章定理1对换改变排列的奇偶性.定理2任意一个"级排列与排列12・."都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.立:a kA\ + % 人2 + ••• +a kn A m Cl \l A \ j + Cl 2!A 2 丿 + …+ 勺/帀定理4 （克拉默法则）如果线性方程组 a [X x A +a n x 2+-- + a Xn x n =b r“2內 + «22X 2 + ・・・ + a 2n X n = b 2，<°"內+°”2兀2+••• + %"="“ 4如…"J 的系数矩阵A=如如…①”♦ • • ♦ • •.a n\ Cl n2 …%.的行列式〃=国H 0 ,定理3设d =5 ('：2 ,州表示元素®的代数余子式，则下列公式成〃，当《 =二飞当kHi那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为旦,… d=佥, 其中©是把矩阵A 中第丿•列换成方程组的常数项所成的行列式，即定理5如果齐次线性方程组4內+如七+•••+"],耳=°, 。

高等代数课程论文

摘要：线性方程组的求解在高等代数学的是一个很重要组成分，因此对于对线性方程组解的广泛应用于数学与其他科学领域，因此对于线性方程组有解的判别定理和线性方程组解的结构我们必须进行认真的研究，搞清楚他们之间的关系。

本文对线性方程组的解和判定进行了全面的分析与研究。

关键字：线性方程组；解结构；矩阵；解的判定目录线性方程组解的判定与结构 .............................. 错误!未定义书签。

引言 (1)1 线性方程组解的判别定理 (1)2 齐次线性方程组的解的结构 (2)3 一般线性方程组的解的结构 (3)致谢 (7)参考文献： (7)引言线性方程组是线性代数的主要内容，包括线性方程组有解性的判定、消元法解线性方程组和线性方程组解的结构以及他们的基础解系。

它与矩阵、向量还有行列式、方程组、秩、克拉默法则的内容密切相关，与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广，对此本论文紧紧围绕线性方程组与解的结构进行展开，这也对我们以后学习线性方程组的解结构与解判别定理有很大帮助。

下面我就分几大板块来介绍关于线性方程解的判定与结构。

1 线性方程组解的判别定理线性方程组是否有解，我们有没有其他办法来解决？当然有，那就是通过用系数矩阵和增广矩阵的秩来进行刻划，下面我们对此介绍几个相关的定理：定理 1 线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，即秩（A ）=秩（A ＇）。

证明线性方程组（1）有解，就是说β可以经向量组12,,n ααα线性表出，由此立即推出，向量组12,,n ααα与向量组12,,,n αααβ等价，因而有相同的秩。

这两个向量组分别是矩阵A 与A ＇的列向量组，因此矩阵A 与A ＇有相同的秩定理2若线性方程组AX=b 有满足秩（A ）=秩（A ＇）=r ，则当r=n 时，线性方程组有解且只有唯一解；当r<n 时，线性方程组有无穷多解。

高等代数论文

有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论聂晓柳(数学与应用数学系指导教师:杨忠鹏)摘要：本文主要研究了复数域上幂等矩阵和对合矩阵换位子的秩等式，及其可逆的等价条件.同时利用幂等矩阵与对合矩阵的性质,研究了它们的差与和的秩等式及其可逆的等价条件.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：一、把对合矩阵转化为幂等矩阵；二、分块矩阵的高斯消元法.我们还进一步涉及了其它类型的特殊矩阵的换位子的相关性质，并提出了以后的研究方向.关键词：幂等矩阵对合矩阵换位子矩阵的秩可逆性Abstract ：In this paper, we mainly study the rank equalities for the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. Using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempotent matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination. Besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. And we also propose some problems for further work in the future.Key words ： Idempotent matrix Involutory matrix Communicator Rank equality Invertibility0、符号说明及引言幂等矩阵与对合矩阵是矩阵论中的重要组成局部,在许多内容和各种学科中都非常有用,请参看[1-11,14-17].为了后面的写作方便，首先进行符号说明.用m n C ⨯表示复数域C 上的所有m n ⨯矩阵组成的集合; n C 表示复数域C 上所有n 维列向量组成的集合, E 表示n 阶单位矩阵，()r A 表示矩阵A 的秩。

覆盖定理高等代数

覆盖定理高等代数
覆盖定理（Covering Lemma）是高等代数中的一个核心结果，也被称为Zassenhaus引理。

它在群论和代数结构的研究中具有重要的应用。

覆盖定理通常用于研究有限群的表示论。

下面是覆盖定理的一般陈述：
设G是一个有限群，H和K是G的两个子群，其中H是正规子群。

则存在子群L，使得G = HL 且 L ∩ H = {e}，其中e是单位元素。

简而言之，覆盖定理指出，在满足一些特定条件的情况下，一个有限群G可以用其中一个正规子群H和另一个子群L的乘积表示。

而且，这个L子群与H的交集只包含群恒元。

覆盖定理的重要性在于它提供了研究有限群表示论的一种有效工具。

在表示论中，我们研究群如何通过矩阵或线性变换作用于向量空间。

覆盖定理为揭示群和其表示之间的关系提供了理论基础。

覆盖定理的证明通常是基于群的不变子群和陪集理论的一系列推导。

它为研究群的子群结构和表示论的结构提供了一个重要的起点。

需要注意的是，覆盖定理是高等代数中的一个概念，其理解和应用需要一定的代数基础。

在更深入的研究中，覆盖定理也与其他代数结构和数学领域有着广泛的联系和应用。

毕业论文：隐函数定理及其应用

摘要隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理，它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理有着十分广泛的应用，在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用. 对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的内容及证明方法、以及隐函数定理在各个方面的应用. 本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以及他们的证明过程. 这些推论使隐函数定理的应用更加广泛. 并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、以及优化理论这几个方面的应用做了系统的论述.关键词：隐函数定理；应用；优化理论；证明AbstractImplicit function theorem of mathematical analysis and higher mathematics is one of the important theorem, it is not only the mathematical analysis and higher algebra in the theoretical foundation of the many, and it also for many branches of mathematics, such as functional analysis, ordinary differential equation, differential several further research how to provide the solid theoretical basis. Implicit function theorem has a very wide range of application, in ec onomics, optimization theory, such as extreme conditions which is an important role. This topic research, can deepen our understanding of the differential calculus and understanding.This paper briefly discusses the concept of implicit function, the content of the implicit function theorem and prove method, and implicit function theorem in all aspects of the application. This paper, from the implicit function theorem are given, and the corollary of implicit function theorem and the group FanHanShu group theorem and proof of their process. These claims that the application of implicit function theorem and more extensive. And in the light of implicit function theorem in the calculation of the derivative and partial derivative, geometric application, conditional extreme, and the several aspects optimization theory of the application of the system is also discussed in the paper.Key words:implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (1)第1章隐函数 (2)1. 1 隐函数 (2)1. 2 隐函数组的概念 (2)1. 3 反函数组的概念 (3)第2章隐函数定理 (4)2. 1 隐函数定理 (4)2. 2 隐函数组定理 (6)2. 3 反函数组定理 (7)第3章隐函数定理的应用 (9)3. 1 计算导数和偏导数 (9)3. 1. 1 隐函数的导数 (9)3. 1. 2 隐函数组的导数 (9)3. 1. 3 对数求导法 (10)3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 (10)3. 2 几何应用 (11)3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面 (11)3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 (14)3. 3 条件极值 (15)3. 3. 1 无条件极值 (15)3. 3. 2 拉格朗日乘数法 (16)3. 4 最优化问题 (18)3. 4. 1 无约束最优化问题 (18)3. 4. 2 约束最优化问题 (19)结论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)绪论通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为显函数. 但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数. 隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究. 隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理的应用范围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用. 对隐函数定理及其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.现今国内外很多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理. 我国数学家陈文源、范令先教授在1986年出版《隐函数定理》一书，在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论. 法国数学家扎芒斯凯在1989年出版《普通数学》一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究. 我国学者史艳维在2010年发表期刊《关于隐函数定理和Peano定理的一点注记》，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法. 我国学者王锋、李蕴洁在2005年发表期刊《隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用》，更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用.本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用.第1章隐函数隐函数与我们以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式. 在这一章里，我们将具体地研究隐函数.1.1 隐函数以前接触的函数)(x f （对应关系）多是用自变量的数学表达式表示的，一般称这样的函数为显函数. 如2)(+=x x f ，)(x f =x cos 等.定义1. 1[1] 若自变量x 与因变量y 之间的对应关系f 是由某个方程0),(=y x F 所确定的，即有两个非空数集A 与B ，对任意A x ∈,通过方程0),(=y x F 对应唯一一个B y ∈,这种对应关系称为由方程0),(=y x F 所确定的隐函数. 记为)(x f y =，A x ∈，B y ∈则成立恒等式0))(,(=x f x F ，A x ∈例如，二元方程02454),(=--=y x y x F 在R 上确定（从中解得）一个隐函数. 隐函数不一定能写成)(x f y =的形式，如122=+y x ，因此隐函数不一定是函数，而是方程. 其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数[2].1.2 隐函数组的概念定义1.2[3] 设),,,(v u y x F 和),,,(v u y x G 为定义在区域∈V 4R 上的两个四元函数，若存在平面区域D ,对于D 中每一点),(y x ，分别在区间J 和K 上有唯一一对值J u ∈,K v ∈,它们与x ，y 一起满足方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F (1-1) 则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域D 上，值域分别在J 和K 内的函数，称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组. 若分别记这两个函数为),(y x f u =，),(y x g v =则在D 上成立恒等式0)),(),,(,,(≡y x g y x f y x F ，0)),(),,(,,(≡y x g y x f y x G1.3反函数组的概念定义1.3[4] 设有函数组,(yvu=，)xv=(1-2)),(yxu如果能从此函数组(1-2)中，把x，y分别用u，v的二元函数表示出来，即(vu,yy=(1-3)(v),ux=，)x则称(1-3)为函数组(1-2)的反函数组.第2章隐函数定理在第一章中我们已经介绍了隐函数的概念，设有方程0),(=y x F ，那么在什么条件下，此方程能确定一个隐函数)(x f y =？在本章里，我们将讨论隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.2.1 隐函数定理定理2. 1[5] 若函数),(y x F 满足下列条件(1)0),(00=y x F(2)在点),(000y x P 的一个邻域⊂)(0P U 2R 中,函数),(y x F 连续(3)0),(00≠y x F y则有下列结论成立：①在点),(000y x P 的某个邻域⊂⊂)()(00P U P V 2R 内, 方程0),(=y x F 唯一确定了一个定义在某区间),(00ρρ+-x x 内的隐函数)(x f y =，满足)(00x f y =且0))(,(≡x f x F ；②)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x 内连续；③)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x 内具有连续的导数，满足),(),()('y x F y x F dx dy x f y x-== 证为了不失一般性，不妨设0),(00>y x F y .首先证明隐函数)(x f y =的存在性与惟一性.由0),(00≠y x F y ，我们知道),(y x F y 是连续的，由),(y x F y 的连续性与局部保号性可知，存在闭矩形域=D )(],[],[0'0'0'0'0p U y y x x ⊂+-⨯+-ρρρρ有0),(>y x F y )),((D y x ∈∀所以，对任意的],['0'0ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上严格单调增加. 因为0),(00=y x F ，所以可得0),(,0),('00'00>+<-ρρy x F y x F又由于),(),,('0'0ρρ+-y x F y x F 在],['0'0ρρ+-x x 上是连续的，所以存在)(0'ρρρ<>，使得)),((0),(,0),(00'0'0ρρρρ+-∈>+<-x x x y x F y x F 所以，对于每一个固定的),(00ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上都是严格单调增加的连续函数，并且有0),(,0),('0'0>+<-ρρy x F y x F因为零点存在定理，存在惟一的],['0'0ρρ+-∈y y y ，使得0),(=y x F . 因此由y 与x 的对应关系就确定了一个函数)(x f y =，其定义域为),(00ρρ+-x x ，值域包含于],['0'0ρρ+-y y ，记为：),(),()('0'0000ρρρρ+-⨯+-=y y x x P V从而结论①得以证明.其次证明隐函数)(x f y =的连续性. 任意取),(00ρρ+-∈x x x ，对于任意给定的充分小的0>ε，可以得到0),(,0),(>+<-εεy x F y x F因为连续函数的保号性可知，存在0>δ，当),(),(00ρρδδ+-⊂+-∈x x x x x 时，有0),(,0),(>+<-εεy x F y x F因此，当),(δδ+-∈x x x 时，由),(y x F 关于y 的单调性，相应于x 的隐函数值)(x f 满足εε+<<-y x f y )(，于是ε<-|)(|y x f ，即ε<-|)()(|x f x f ，所以)(x f y =在),(00ρρ+-x x 连续.最后证明隐函数)(x f y =的可微性.任取x 和x x ∆+都属于),(00ρρ+-x x ，它们相对应的隐函数值为)(x f y =和)(x x f y y ∆+=∆+，那么0),(,0),(=∆+∆+=y y x x F y x F由多元函数微分中值定理，可得y y y x x F x y y x x F y x F y y x x F y x ∆∆+∆++∆∆+∆+=-∆+∆+=),(),(),(),(0θθθθ 在这里， 10<<θ. 因此，当y x ∆∆,充分小时),(),(y y x x F y y x x F x y y x∆+∆+∆+∆+-=∆∆θθθθ. 因为),(y x F x 和),(y x F y 是连续的，取极限0→∆x 可得),(),()('y x F y x F dx dy x f y x-== 且)('x f 在),(00ρρ+-x x 内连续.相应的，我们能够得出由方程0),,,,(21=y x x x F n 所确定的n 元隐函数的存在定理：定理2. 2[6] 如果满足下列条件(1)0),,,,(000201=y x x x F n ； (2)在点),,,,(0002010y x x x P n 的一个邻域⊂)(0P U 1+n R 内,函数),,,,(21y x x x F n 连续； (3) 0),,,(00201≠y x x x F n n y ，那么则有以下结论成立：①在点),,,,(0002010y x x x P n 的某个邻域)()(00P U P V ⊂内, 方程0),,,,(21=y x x x F n 惟一确定了一个定义在点),,,(002010n x x x R 某邻域n R R U ⊂)(0内的隐函数),,,(21n x x x f y =，满足),,,(002010n x x x f y =，且0)),,,(,,,,(2121≡n n x x x f x x x F ；②),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ⊂)(0内连续；③),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ⊂)(0内具有连续的偏导数，满足n i y x x x F y x x x F x y n y n x i i ,,2,1,),,,,(),,,,(2121 =-=∂∂. 例2. 1 验证方程0),(=+=x y e xe y x F 在原点)0,0(的某邻域内确定唯一的连续函数)(x f y =.证由于),(y x F 与x y y e xe F +='都在2R 上连续，当然在点)0,0(的邻域内连续，且01)0,0(,0)0,0(≠='=y F F由此可知方程0),(=y x F 在点)0,0(的某邻域内确定唯一连续的隐函数)(x f y =.2.2 隐函数组定理下面我们将给出由方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，所确定的隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x g v y x f u ，的存在定理.定理2. 3[7] 设),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 以及它们的一阶偏导数在以点),,,(00000v u y x P 为内点的某区域⊂V 4R 内连续，且满足(1)0),,,(,0),,,(00000000==v u y x G v u y x F (2)0),(),(0≠=∂∂=P v u vu G G F F v u G F J 则方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，在0P 的某邻域)(0P U 内唯一确定两个隐函数),(y x f u =，),(y x g v =，有下列结论成立：①),(),,(000000y x g v y x f u ==，则有⎩⎨⎧≡≡0)),(),,(,,(0),(),,(,,(y x g y x f y x G y x g y x f y x F ②),(),,(y x g v y x f u ==在邻域20)(R R U ⊂内具有连续的一阶偏导数，且),(),(1,),(),(1x u G F J x v v x G F J x u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂ ),(),(1,),(),(1y u G F J y v v y G F J y u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂例2. 2[8] 验证方程组⎩⎨⎧=+--=++-42822222v u y x v u y x 在点)1,2,1,3(-的邻域内确定隐函数组，并求x u ∂∂，xv ∂∂. 解令 82),,,(-++-=v u y x v u y x F ，42),,,(2222-+--=v u y x v u y x G 则：0)1,2,1,3(,0)1,2,1,3(=-=-F GF 与G 以及它们的一阶偏导数都连续且)(22211),(),(v u v u v u G F +=-=∂∂，06),(),()1,2,1,3(≠=∂∂-v u G F 所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 在方程两端同时对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂+∂∂+022201x v v x u u x x v x u 解得v u u x x u +-=∂∂，vu u x x v ++-=∂∂2.3 反函数组定理定理2. 4[9] 若函数组),(),,(y x v v y x u u ==满足如下条件：(1)),(),,(y x v v y x u u ==均具有连续的偏导数 (2)0),(),(≠∂∂=y x v u J 则函数组),(),,(y x v v y x u u ==可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组),(),,(v u y y v u x x ==且有y v J u x ∂∂=∂∂1，y u J v x ∂∂-=∂∂1，x v J u y ∂∂-=∂∂1，xu J v y ∂∂=∂∂1 及),(),(1),(),(y x v u v u y x ∂∂=∂∂或1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂v u y x y x v u 定理2. 5 若函数组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(212111n n nn x x x y y x x x y y 满足如下条件：(1)n y y y ,21,均具有连续的偏导数 (2)0),,(),,(2121≠∂∂n n x x x y y y则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(212111n n nn y y y x x y y y x x 且有1),,(),,(),,(),,(21212121=∂∂⋅∂∂n n n n x x x y y y y y y x x x例2. 2 [10]在3R 中的一点，其直角坐标),,(z y x 与相应球坐标),,(θϕr 的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 其中πθπϕ20,0,0≤≤≤≤+∞<<r ，则函数组（除去z 轴上的点）可确定反函数组.证由于0sin 0sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos sin cos ),,(),,(2≠=--=∂∂ϕϕϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕθϕr r r r r r r z y x由反函数组定理，函数组（除去z 轴上的点）可确定θϕ,,r 分别是z y x ,,的函数，事实上，函数组的反函数组为222z y x r ++=，x y arctan =ϕ，rzarccos =θ.第3章隐函数定理的应用3.1 计算导数和偏导数3.1.1 隐函数的导数[11]设方程0),(=y x F 确定一个单值可导函数)(x f y =，将)(x f y =代入方程得恒等式0))(,(≡x y x F ，在恒等式两边对x 求导，便得到一个含有y '的方程，解出y '就求出了隐函数)(x f y =的导数，在恒等式两边对x 求导时，必须注意y 是x 的函数，要利用复合函数求导法.例3. 1 求由方程0103=-+y x 所确定的隐函数y 对x 的导数.解我们在方程两端对x 求导，注意y 是x 的函数，于是3y 则是x 的复合函数，运用复合函数求导法可得0312='+y y 所以231y y -='. 3.1.2 隐函数组的导数[12]对方程组的各个方程两边对某自变量求导，遇见因变量就把它看作自变量的函数，最后解方程组，就可得到隐函数对各个自变量的导数或偏导数.例3. 2 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 的偏导数.解 (1)当022≠+y x 时，有2222322222)()(2)(),(y x yx y y x x xy y x y y x f x +-=+⋅-+=' 2222322222)()(2)(),(y x xy y y x y xy y x x y x f y +-=+⋅-+=' (2)当022=+y x 时，根据偏导定义有：0lim )0,0()0,(lim)0,0(00=∆-=∆-∆='→∆→∆xx f x f f x x x 000lim )0,0()0,(lim )0,0(00=∆-=∆-∆='→∆→∆y y f y f f x x y综合(1) (2)得：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-='0,00,)(),(222222223y x y x y x y x y y x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-='0,00,)(),(222222223y x y x y x xy x y x f y 3.1.3 对数求导法某些显函数的导数直接去求十分繁琐，有时可以通过取对数的方法使其化为隐函数的形式，再用隐函数求导法去求导数，使其变得简单些，这样的求导方法我们称为对数求导法.例3. 3 计算3)3()2)(1(---=x x x y 的导数.解先在两端取自然对数，得：)3ln 2ln 1(ln 31ln -+-+-=x x x y再应用隐函数求导法，在上式两端对x 求导，得)312111(311-+-+-='x x x y y 所以得)312111()3()2)(1(313-+-+----='x x x x x x y3.1.4 由参数方程所确定的函数的导数设由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕϕ确定了y 是x 的函数，)(x y y =则称这个函数为有参数方程所确定的函数，其中t 为参数，下面讨论由参数方程所确定的函数求导法：设函数)(t x ϕ=具有单调连续的反函数)(x t t =，且此反函数能与函数)(t y ϕ=复合成复合函数，则由上面参数方程所确定的函数)(x y y =就可以看成是由)(t y ϕ=，)(x t t =复合而成的函数))(()(x t x y y ϕ==，假设)(t x ϕ=，)(t y ϕ=都可导且0)(≠'t ϕ，则由复合函数求导法则和反函数求导公式有：dt dy dx dy =；dtdydx dt =；)()(1t t dtdx ϕϕ''= 即dtdxdt dyt t dx dy =''=)()(ϕϕ若)(),(t y t x ϕϕ==都二阶可导，则有：322))(()()()()()(t t t t t dx dy dx d dx y d ϕϕϕϕϕ''''-'''== 例3. 4已知抛物体的运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x 求抛物体在此时刻t 的运动速度的大小和方向.解先求速度的大小，由于速度的水平分量为1v dt dx =，垂直分量为gt v dtdy-=2，所以抛物体运动速度大小为222122)()()(gt v v dtdydt dx v -+=+=再求速度的方向，即轨道的切线方向，设α是切线的倾角，则由导数的几何意义有12tan v gtv dtdx dt dydx dy -===α所以抛物体刚射出（即0=t ）时1200tan v v dx dyt t ====α当gv t 2=时 0tan 22====gv t gv t dx dyα这说明，这时运动方向是水平的，即抛物体达到最高点.3.2 几何应用3.2.1 空间曲线的切线与法平面[13] 3. 2. 1. 1空间曲线由参数方程给出的情况设空间曲线C 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(:t z z t y y t x x C []βα,∈t (3-1)取定曲线C 上点))(),(),((),,(0000000t z t y t x z y x P =，设式(3-1)中3个函数都在0t 点可导. 且[][][]0)()()(202020≠'+'+'t z t y t x在0P 的附近取动点C z z y y x x P ∈∆+∆+∆+),,(000，则割线P P 0方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 其中)()(00t x t t x x -∆+=∆，)()(00t y t t y y -∆+=∆，)()(00t z t t z z -∆+=∆. 以t ∆除以上式分母得tx x x ∆∆-0=t y y y ∆∆-0=t zz z ∆∆-0当0→∆t 时，0P P →,且)(0t x t x '=∆∆，)(0t y t y '=∆∆，)(0t z tz'=∆∆. 所以曲线C 在0P 处得切线方程为)(00t x x x '-=)(00t y y y '-=)(00t z z z '- 其切向量))(),(),((000t z t y t x l '''=.因为曲线C 在点0P 的法平面是垂直于切线的，所以法平面的法向量与l平行，设法平面的法向量为n ，则n=))(),(),((000t z t y t x '''. 从而过0P 点的法平面方程为0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x特别地，如果空间曲线C 的参数方程以x 为参数，即：⎪⎩⎪⎨⎧===)()(:x z z x y y x x C []βα,∈x 则C 在点),,(0000z y x P 的切线方程为)()(100000z z z z x y y y x x '-='-=- 切向量为))(),(,1(00t z t y l ''=，C 在点0P 处的法平面方程为：0))(())(()(00000=-'+-'+-z z t z y y t y x x如果C 为平面曲线)(x f y =，[]b a x ,∈，则过点),(000y x P 切线方程为：)(1000x f y y x x '-=-或))((000x x x f y y -'=- 切向量为))(,1(0x f l '=.例 3.5[13] 求螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 在30π=t 处的切线方程与法平面方程.解由b z t a y t a x ==-=',cos ,sin ，则切线方程为：bb z a a y a a x 33cos3sin 3sin3cos πππππ-=-=--即b bz a a y aa x 3223232π-=-=--因此法平面方程为：0)3()23(2)2(23=-+-+--b z b a y a a x a π3. 2. 1. 2 空间曲线为两曲面交线的情况设空间曲线L 由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F (3-2)给出，设它在点),,(0000z y x P 的邻域内满足隐函数组定理的条件（这里不妨设0),(),(0≠∂∂p y x G F ），则由隐函数存在定理可知在方程组(3-2)点0P 附近可确定唯一连续导数的隐函数组)(z x x =，)(z y y =，z z =（亦即L 的参数方程），满足：)(),(0000z y y z x x ==且00),(),(),(),()(0p p y x G F y z G F z x ∂∂∂∂-=' 0),(),(),(),()(0p p y x G F z x G F z y ∂∂∂∂-='故曲线L 在点0P 的切线方程为：),(),(0p z y G F x x ∂∂-=),(),(0p x z G F y y ∂∂-=),(),(0p y x G F z z ∂∂- (3-3)曲线L 在点0P 的法平面方程为：)(),(),(00x x z y G F p -∂∂+)(),(),(00y y x z G F p -∂∂+)(),(),(00z z y x G F p -∂∂=0 (3-4)同理，可证当0),(),(0≠∂∂p z y G F 或0),(),(0≠∂∂p x z G F 时，曲线L 在点0P 的切线方程为(3-3)式，曲线L 在点0P 的法平面方程为仍为(3-4)式.例3. 6 求曲线⎩⎨⎧=+-=++45323222z y x xz y x 在点)1,1,1(P 处的切线与法平面方程.解令⎩⎨⎧-+-=-++=4532),,(3),,(222z y x z y x G x z y x z y x F ，首先求偏导数，得：32-=x F x ，y F y 2=，z F z 2=，2=x G ，3-=y G ，5=z G 则曲线在点P 的切线方向向量为：)1,9,16(3221,2512,5322,,-=⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F 故切线方程为1191161--=-=-z y x 法平面方程为24916=-+z y x3.2.2 空间曲面的切平面与法线[14]定义3. 1在空间曲面∑上，过点),,(0000z y x P 的任一曲线在点0P 处的切线都在同一平面上，则此平面称为曲面∑在点0P 的切平面.先讨论曲面∑的方程为0),,(=z y x F 的情形，其次把显式给出的曲面方程),(y x f z =作为它的特殊情形. 设曲面∑由方程0),,(=z y x F 给出，其中F 具有一阶连续的偏导数，在曲面∑上，过点),,(0000z y x P 的任一曲线的参数方程为)(),(),(t z z t y y t x x === βα≤≤t ，其中)(),(),(t z t y t x 均可导，则曲线在点0P 处的切线方向向量为))(),(),((000t z t y t x '''=τ，由于曲线在曲面∑上，故有0))(),(),((≡t z t y t x F ，对上式两端关于t 求导，得：0)()()()()()(000000=''+''+''t z P F t y P F t x P F z y x即 ))(),(),((000t z t y t x '''0))()()((000='+'+'P F P F P F z y x这表明向量))(),(),(((000P F P F P F z y x '''与曲面上过点0P 的任一曲线的切线都垂直，故所有切线都在以向量))(),(),(((000P F P F P F z y x '''为法向量且过点0P 的平面内，从而曲面∑过点0P 的切平面的法向量为：))(),(),(((000P F P F P F n z y x '''=于是过曲面∑上点),,(0000z y x P 处的切平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z P F y y P F x x P F z y x过点),,(0000z y x P 处的法线方程为：)(00P F x x x '-=)(00P F y y y '-=)(00P F z z z '- 上述讨论中，都假设)(),(),((000P F P F P F z y x '''不全为零，现在来考虑曲面∑的方程为),(y x f z =的情形，其中f 都有连续的偏导数，令),(),,(y x f z z y x F -=使方程变形为0),,(=z y x F则：1)(),,()(),,()(000000=''-=''-='P F y x f P F y x f P F z o y y x x所以曲面∑在点0P 的法向量为：)1),,(),,((000o y x y x f y x f n '-'-=故曲面∑在点0P 的切平面方程为：0000000))(,())(,(z z y y y x f x x y x f y x -=-'+-'曲面∑在点0P 的法线方程为：),(000y x f x x x '-=),(000y x f y y y '-=10--z z ，其中),(000y x f z =曲面∑：),(y x f z =上的法向量可以是)1,,(y x f f n '-'-= ，也可以是)1,,(-''=y x f f n，但当曲面∑的法向量向上时（即法向量正向与z 轴正向夹角γ满足大于0小于2π时）∑的法向量应为)1,,(y x f f n '-'-=.例3. 7[15] 求球面14222=++z y x 在点)3,2,1(处的切平面及法线方程. 解设14),,(222-++=z y x z y x F ，则6)3,2,1(,4)3,2,1(2)3,2,1(,2),,(2),,(,2),,(======z y x z y x F F F z z y x F y z y x F x z y x F球面在点)3,2,1(处的法向量为{}6,4,2，所以球面在点)3,2,1(的切平面方程为：0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x即：01432=-++z y x法线方程为：332211-=-=-z y x .3.3 条件极值3.3.1 无条件极值 3. 3. 1. 1 极值的概念定义3.2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 内有定义，如果对)(),(0P U y x ∈∀都有),(),(0o y x f y x f ≤或（),(),(0o y x f y x f ≥）则称),(0o y x f 为函数),(y x f 的一个极大值（或极小值），此时点0P 称为),(y x f 的极大值点（或极小值点），函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点.3. 3. 1. 2 极值存在的条件(1)极值存在的必要条件定理3.2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处具有偏导数，且在点),(000y x P 处有极值，则在该点的偏导数为零，即0),(0=o x y x f ，0),(0=o y y x f证不妨设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处有极大值（极小值的情形可类似证明），由极大值定义，在点),(000y x P 的某邻域内异于点),(000y x P 的点),(y x P 都适合不等式),(y x f ﹤),(0o y x f ，特别的，在该邻域内取0y y =，0x x ≠的点，也有),(0y x f ﹤),(0o y x f ，这表明一元函数),(0y x f 在0x x =处取得极大值，因此必有0),(0=o x y x f ，同理，0),(0=o y y x f(2)极值存在的充分条件定理：设函数),(y x f z =在驻点),(00y x 的邻域内具有连续的一阶与二阶偏导数，记：),(0o xx y x f A =，),(0o xy y x f B =，),(0o yy y x f C =，①当AC B -2﹤0时，),(y x f 在点),(00y x 具有极值，且当A ﹤0时有极大值，当A ﹥0时有极小值. ②当AC B -2﹥0时),(y x f 在点),(00y x 没有极值. ③当AC B -2=0时，),(y x f 在点),(00y x 可能有极值，需另作讨论.例3.8[17]求函数22324y xy x x z -+-=的极值.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=+-=∂∂02202832y x y z y x x xz ，求得驻点为)0,0(和)2,2(再求出二阶偏导数8622-=∂∂x x z ，22=∂∂∂y x z ，222-=∂∂yz在点)0,0(处，2,2,8-==-=C B A ,0122<-=-AC B ,08<-=A ,故函数在点)0,0(处取得极大值0)0,0(=f ，在点)2,2(处，2,2,4-===C B A ，0122>=-AC B 故点)2,2(不是函数的极值点.3.3.2 拉格朗日乘数法自变量有附加条件限制多元函数的极值称为条件极值，比如函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ(3-5)下取得的极值就是条件极值. 现在讨论函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ取得极值的必要条件.设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内),(y x f ，),(y x ϕ均有连续的一阶偏导数，且0),(0≠o y y x ϕ，则方程0),(=y x ϕ能唯一确定y 是x 的具有连续导数的单值函数)(x y y =，将其代入函数),(y x f z =，得一元函数))(,(x y x f z =，于是二元函数))(,(x y x f z =在点0x 取得极大值的问题，由一元可导函数取得极大值的必要条件知应有：0),(),(00000=+===x x y x x x dxdy y x f y x f dxdz (3-6)又由隐函数求导公式，有：)0000,(),(0y x y x dxdy y x x x ϕϕ-==代入(3-6)式中得：0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ即：0),(),(),(),(00000000=⋅-y x y x y x f y x f y y x ϕϕ (3-7)(3-5)、(3-7)式就是),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下，在点),(00y x 取得极值的必要条件. 令),(),(0000y x y x f y y ϕλ-=即：0),(),(0000=+y x y x f y y λϕ (3-8) 则(3-7)式变为0),(),(0000=+y x y x f x x λϕ (3-9)由(3-5) (3-8) (3-9)式得函数),(y x f 在),(00y x 取得条件极值的必要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(000000000y x y x y x f y x y x f o y y x x ϕλϕλϕ (3-10)实际上(3-10)式可看作函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=，在点),,(00λy x 取得无条件极值的必要条件. 因此为了便于记忆，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，可以构造辅助函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=，其中λ为某一常数，称为拉格朗日乘数，称函数),,(λy x F 为拉格朗日函数，分别求),,(λy x F 对λ,,y x 的偏导数，并使它们同时为零，得联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x y x F y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλλϕλλϕλλ解此方程组得λ,,y x ，其中y x ,就是可能极值点的坐标，上述方法称为拉格朗日乘数法.例3. 9[18] 求函数222),,(cz by ax z y x f ++=，)0,0,0(>>>c b a 在条件1=++z y x 下的最小值.解作拉格朗日函数)1(),,,(222-+++++=z y x cz by ax z y x L λλ对L 求偏导并令其为零，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+0020202z y x cz by ax λλλ 解得唯一稳定点：acbc ab ab z ac bc ab ac y ac bc ab bc x ++=++=++=,, 故所求最小值为： 2min )()(ac bc ab ab ac bc abc f ++++=3.4 最优化问题在现实中，我们通常要解决“投资最少”“成本最低”“效益最高”等问题，称这样的问题为最优化问题，这类问题在数学上可以归结为求某个函数在一定条件下的最大值或最小值问题. 最优化问题通常可以分为无约束最优化问题和有约束最优化问题.3.4.1 无约束最优化问题无约束最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围D 上，求一组n x x x 21,使：),(max ),(21),(2121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=或： ),(min ),(21),(2121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=这也是一个在D 上求函数),(21n x x x f 的最大值或最小值问题.例3. 10 用铁板做一个体积为22m 的有盖长方体水箱，问当长，宽，高分别为多少时，才能使用料最省？解设水箱的长为x m,宽为y m ，则高为xy2m 水箱所用材料的面积为：)0,0(),22(2)22(2>>++=++=y x y x xy xy x xy y xy A 这样所给问题就转化为在域{}0,0),(>>y x y x D 上求使此函数达到最小的y x ,用求最大值、最小值的方法即可求得即解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=0)2(2),(0)2(2),(22yx y x A x y y x A y x得：332,2==y x根据题意可知，水箱所用材料面积A 的最小值一定存在，且在开区域{}0,0),(>>y x y x D 内取得，同时函数在D 内只有唯一驻点)2,2(33，因此可以肯定当332,2==y x ，A 取得最小值，即当水箱长、宽、高分别为32m 、32m 、32m 时，水箱所用材料最省.3.4.2 约束最优化问题在约束最优化问题中，约束条件又可分为等式约束条件和不等式约束条件，在此我们只讨论等式约束条件的情形. 这时对应的最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围D 上，求一组满足约束条件0),(21=n x x x ϕ的**2*1,,n x x x ，使),(max ),(21),(**2*121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=或),(min ),(21),(**2*121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=，这也是一个有条件地求函数),(21n x x x f 在D 上的最大值或最小值问题.求解有约束最优化问题有两种方法：一种方法是利用约束条件，将有约束最优化问题化为无约束最优化问题再求解. 令一种方法是拉格朗日乘数法.例3. 11 求表面积为2a 而体积最大的长方体的体积.解设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,则问题就是求函数yxxyzV=z>,0,0(,>>)0在条件0)(2),,(2=-++=a zx yz xy z y x ϕ下的最大值利用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数[]2)(2),,,(a zx yz xy xyz z y z F -+++=λλ 对λ,,,z y x 分别求导，并令其同时为零，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=0222),,(0)(2),,,(0)(2),,,(0)(2),,,(2a xy yz xy z y x y x xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z y x ϕλλλλλλ 解此方程组得a z y x 66===，这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得，即表面积为2a 的长方体中，以棱长为a 66的正方体的体积最大，最大体积为3366a V =.结论本篇文章主要介绍的是隐函数定理及其应用，重点在于应用，难点在于如何将理论知识更深刻、更具体、更形象的运用在实际解题中．绪论中主要介绍了隐函数的历史发展、隐函数定理在数学分析中的重要地位，以及在现代生活中人们对隐函数的具体认识及其主要用途．本文介绍了隐函数存在性定理、连续性定理及可微性定理，并予以严谨的证明。

论文拉格朗日中值定理及其应用

拉格朗日中值定理引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ⋂AB 上至少有一点()(),Cf ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.2拉格朗日()lagrange中值定理若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()ab a f b f f --=ζ'拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧⋂AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理3.1 教材证法证明作辅助函数 ()()()()f b f aF x f x x b a-=--显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使()()()()0''=---=ab a f b f f F ζζ.即()()()ab a f b f f --=ζ'。

本科毕业论文_正定二次型与不等式

摘要以正定二次型与半正定二次型理论为基础, 证明了若干二次齐次代数不等式或加权不等式、矩阵或行列式不等式, 以与几何不等式, 包括国外的一些数学奥林匹克试题.关键词: 矩阵; 二次型; 正定; 半正定; 不等式AbstractBased on the theory of positive definite quadratic and semi-positive quadratic, we prove some second homogeneous algebra inequality or weighted inequality, matrix or determinant inequality, and geometric inequality, which includes two domestic and international mathemat-ical Olympiad questions.Key words: matrix ; quadratic ; positive definite;semi-positive definite quadratic;inequ-ality目录摘要 (I)Abstract (II)0 引言 (1)1 正定二次型与半正定二次型的定义和性质 (1)2 若干代数不等式 (2)3 几个矩阵(或行列式)不等式64 两个几何不等式 (10)参考文献 (13)0 引言二次型理论作为线性代数中的基础知识[1~3], 其应用非常广泛. 而且二次型的理论在数学的其他分支与物理、力学、工程技术中也常常用到. 另一方面, 不等式作为一个极具魅力的领域, 对其研究也是一直长盛不衰, 除了一些不等式研究成果大量涌现外, 一些新的证明不等式的方法不时面世. 文[4~6]是这方面的一个真实写照. 本文主要讨论如何利用二次型的正定性或半正定性证明有关代数的、或几何的不等式, 也是对如何利用高等数学中的观点和方法来研究初等数学问题作一个尝试.1 正定二次型与半正定二次型的定义和性质为方便起见, 首先给出二次型的相关概念与性质, 这些性质的证明均可见[7]. 定义数域P 上的n 元二次齐次多项式1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑(,,1,2,,)ij ji a a i j n ==称为数域P 上的一个n 元二次型. 在不致引起混淆时简称二次型.当P 是实数域时, 二次型12(,,,)n f x x x 称为实二次型. 对于一个n 元实二次型12(,,,)n f x x x , 如果对任意不全为零的实数12,,,n c c c 都有12(,,,)0n f c c c >, 则称12(,,,)n f x x x 为正定二次型. 如果对任意实数12,,,n c c c 都有12(,,,)0n f c c c ≥, 则称12(,,,)n f x x x 为半正定二次型.如果记()ij n n A a ⨯=, 12(,,,)n X x x x '=. 则二次型12(,,,)n f x x x 可简单地表示为12(,,,)n f x x x X AX '=,其中, 对称矩阵A 称为二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵, 当实二次型12(,,,)n f x x x 正定(或半正定)时, 也称实对称矩阵A 正定(或半正定).定理1n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是: 矩阵A 的顺序主子式全大于零．定理2n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是: 矩阵A 的特征值全大于零．定理3 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是: 存在n 级实可逆矩阵P , 使得P P A '=．以上三个定理在任何一本高等代数教材中都可以见到. 关于实二次型半正定性的判定有如下等价条件[2]. 定理4 设A 是n 阶实对称矩阵, 则下列条件等价: (ⅰ)A 是半正定的; (ⅱ)A 合同于000r E ⎛⎫⎪⎝⎭; (ⅲ) 存在实可逆矩阵C , 使{}12diag ,,,n C AC d d d '=,其中,0(1,2,,)i d i n =≥;(ⅳ)A 的所有主子式非负, 且至少有一个主子式为零; (ⅴ)A 的所有特征值非负, 且至少有一个特征值为零.2 若干代数不等式由于二次型的正定性半正定性都是以不等式形式出现的, 因而二次型在不等式的证明中应该有其用武之地. 这里将用二次型的半正定性证明若干代数不等式.例2.1 设,,a b c ∈, 证明222a b c ab bc ca ++++≥. (1)证明设222(,,)f a b c a b c ab bc ca =++---, 则(,,)f a b c 是一个实二次型, 其矩阵111221112211122A ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. 因为矩阵A 的一阶主子式10>, 二阶主子式113201412-=>-, 且0A =, 所以A 是半正定的, 从而由定理4(ⅳ)可得二次型(,,)f a b c 半正定, 故不等式(1)成立.诚然, 这种证法并不比通常所用的初等数学证法简单, 但它却提供了证明二次齐式不等式的一种全新思路. 使用这种方法一般是先从结论出发构造一个相应的二次型, 写出二次型的矩阵, 然后用有关定理判断该二次型的矩阵正定或半正定, 从而得到不等式.例2.2 证明: 对任意n 个实数12,,,n x x x , 有不等式2211()nnii i i n xx ==∑∑≥. (2)证明设221211(,,,)()nnn ii i i f x x x n x x ===-∑∑,则12(,,,)n f x x x 是一个实二次型, 易知二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为111111111n n A n ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪⎪---⎝⎭. 将矩阵A 的第2,3,,n 列分别加到第1列,再将第23,n ，，行减去第 1行, 得A ～01100000n n --⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 于是矩阵A 的特征值为 10,,,n n n -, 因而A 为半正定矩阵,由定理4(ⅴ)可知，二次型12(,,,)n f x x x 是半正定的,从而12(,,,)0n f x x x ≥. 这就证明了不等式(2).例2.3 设1p ,2p ,3p ,1q ,2q ,3q 皆为实数. 求证: 不等式222123123p x p y p z q yz q zx q xy ++++≥ (3)对任意实数,,x y z 成立的充要条件是10p ≥,20p ≥,30p ≥,22314p p q ≥,23124p p q ≥,21234p p q ≥. 且2221122331231234p q p q p q q q q p p p +++≤.证明设二次型222123123(,,)f x y z p x p y p z q yz q zx q xy =++---,则其矩阵为132321213112211221122p q q A q p q q q p ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. 因为对任意实数,,x y z , (,,)0f x y z ≥等价于A 半正定; 又A 半正定等价于A 的所有主子式皆非负. 而A 的三个一阶主子式分别为1p 、2p 、3p , 三个二阶主子式分别为13212332112142p q p p q q p -=--,21223113112142p q p p q q p -=--,12231223112142p q p p q q p -=--,其三阶主子式即2221231122331234A p p p p q p q p q q q q =----.故不等式(3)对任意实数,,x y z 成立的充要条件是10p ≥,20p ≥,30p ≥,22314p p q ≥,23124p p q ≥,21234p p q ≥. 且2221122331231234p q p q p q q q q p p p +++≤.例2.3是文[8]证明的一个主要不等式, 但其证明过程十分冗繁. 而这里用半正定二次型理论给出的证明则十分简捷.例2.4 证明不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥ (4)对任意的,,x y z ∈成立的充要条件是0A ≥, 0B ≥, 0C ≥, 2222()AB BC CA A B C ++++≥.证明设二次型(,,)()()()()()()f x y z A x y x z B y z y x C z x z y =--+--+--,展开,整理, 得222(,,)()()()f x y z Ax By Cz A B C yz B A C zx C A B xy =+++--+--+--. 记1p A =,2p B =,3p C =,1q B C A =+-,2q A C B =+-,3q A B C =+-,则不难知道2222221232313124442()()p p q p p q p p q AB BC CA A B C -=-=-=++-++.又容易验证22212311223312340p p p p q p q p q q q q ----=.故由例2.3的结论即知不等式(4)对任意的,,x y z ∈成立的充要条件是0A ≥, 0B ≥, 0C ≥, 2222()AB BC CA A B C ++++≥.例2.4是准备参加第29届国际中学生数学竞赛(IMO)中国国家队选拔考试题. 例2.5 证明: 对任意,,a b c ∈, 有不等式222332222()2()3()()a b c ab bc ca a b c ab bc ca +++++++++≥. (5)证明设二次型222222(,,)()()2()()f x y z a b c x y z ab bc ca xy yz zx =+++++++++,则有222(,,)()()()f x y z ax by cz bx cy az cx ay bz =++++++++.显然二次型(,,)f x y z 是半正定的, 而(,,)f x y z 的矩阵为222222222a b c ab bc ca ab bc ca A ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c ⎛⎫++++++ ⎪=++++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭,因此, 0A ≥. 但222332222()2()3()()A a b c ab bc ca a b c ab bc ca =+++++-++++,故不等式(5)成立.3 几个矩阵(或行列式)不等式因为二次型可用对称矩阵表示, 所以与对称矩阵(或行列式)有关的不等式当然可以考虑用二次型理论处理. 请看下面几个例子.例3.1 设(1,2,,;1,2,,)ij a i n j m ==皆为实数, 证明21121111221221112121110mmmk k k k knk k k mm mk k k k knk k k mmmkn k kn k knk k k aaaaaaaa aaaaaaa=========∑∑∑∑∑∑∑∑∑≥. (6)证明考虑二次型22121111(,,,)()2()n mmn kiiki kji j i k i j nk f x x x a x aa x x ==<==+∑∑∑∑≤≤.不难知道21211221(,,,)()0mn i i in n i f x x x a x a x a x ==+++∑≥,因此二次型12(,,,)n f x x x 是半正定的. 由定理4(ⅳ), 二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵A 的所有主子式非负.而二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为2112111122122111212111m mmk k k k kn k k k mmmk k k k kn k k k mmmkn k kn k kn k k k a a a a a a a aa a A a a aaa =========⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑,则0A ≥, 故不等式(6)成立.特别地, 当2n =时2112112212110mmk k k k k mm k k k k k aaaA aaa=====∑∑∑∑≥,所以2221212111()mmmk k k k k k k a a a a ===⋅∑∑∑≤. (7)再记12,(1,2,,)k i k i a a a b i n ===, 则(7)式即著名的Cauchy 不等式222111()nnni i ii i i i a b a b ===⋅∑∑∑≤.从这里可以看出,不等式(6)是Cauchy 不等式的一个推广.例3.2 设()2f x x Ax x C β''=++, 其中, A 为n 阶实对称矩阵, C 为实常数,12(,,,)nn x x x x '=∈, 12(,,,)n b b b β'=为n中的固定向量, 证明:(1) 任给nx ∈, 恒有0()f x ≥的充要条件是:10C A ββ-'-≥, 且任给nx ∈恒有()0f x >的充要条件是: 10C A ββ-'->;(2) 存在0nx ∈使0()0f x ≤得充要条件是: 10C A ββ-'-≤, 且存在0nx ∈, 使0()0f x <的充要条件是: 10C A ββ-'-<.证明首先注意到正定矩阵的行列式大于零, 因而正定矩阵一定是可逆的, 所以1A -有意义, 又由x x ββ''=, 11()A A --'=不难得到111()()()f x x A A x A C A ββββ---''=+++-, (8)且由A 的正定性知11()()0x A A x A ββ--'++≥(∀nx ∈), 于是若任给nx ∈, 恒有0()f x ≥, 则由(8)式即得11()0C A f A βββ--'-=-≥; 反之,如果10C A ββ-'-≥, 则由(8)式与A 的正定性即知, 任给nx ∈恒有0()f x ≥, 故(1)的前一结论得证. 将刚才推理过程中的“≥”改为“>”, 即证得(1)的后一结论. 而(2)的两个结论分别是(1)的两个结论的逆否命题, 既然(1)的两个结论成立, 当然(2)的两个结论也成立.例3.3 设12,,,n A A A 皆为p m ⨯矩阵, 且其中至少有一个是列满秩的, 则对任意n 个m 维列向量12,,,mn βββ∈有11111()()()nnnni i i i i i i i i i i i A A A A ββββ-====''''⋅⋅∑∑∑∑≤. (9)等式成立当且仅当存在0mx ∈使0(1,2,,)i i A x i n β==.证明考虑m 元实二次函数1()()()ni i i i i f x A x A x ββ='=--∑. (10)由(),()(1,2,,)i i i i i i i i i i A x x A x A x A A x i n βββββ''''''''''-=-===(注意:i i x A β''是一个实数). 不难得到111()()2()n n ni i i i i i i i i f x x A A x A x βββ===''''=-+∑∑∑. (11)显然, 由(10)式知, 任给mx ∈, 有()0f x ≥, 又由定理3知, 1ni i i A A ='∑是m 阶正定矩阵, 故由(11)式与例7即得不等式(9), 且结合例3.2即知, 不等式(9)中等式成立当且仅当存在0mx ∈, 使0()0f x =,但由(10)式知0()0f x =当且仅当00(1,2,,)i i A x i n β-==.故不等式(9)中等号成立当且仅当存在0mx ∈, 使得0(1,2,,)i i A x i n β==.特别地, 当1p m ==时, 由不等式(9)也得到著名的Cauchy 不等式. 因此, 不等式(9)是Cauchy 不等式的另一个推广.例3.4 设()ij n n T t ⨯=是一个n 阶实矩阵. 求证:2222121()ni i ni i T t t t =+++∏≤. (12)证明首先证明命题:若A 是正定矩阵, 则1122nn A a a a ⋅⋅⋅≤, 其中1122,,,nn a a a 是A 的主对角线上的元素.事实上, 将A 分块为1n nn AA a αα-⎛⎫= ⎪'⎝⎭, 其中1n A -是A 的1n -阶子矩阵, 因为A 正定, 所以1n A -也正定, 于是11111110101n n n n nn n A I I A A A a A αααα--------==⋅⋅=''- 1111110()0n n nn n nn n A A a A a A αααα------'=-'-, 因为10n A ->, 11n A --正定, 则对0α≠, 有110n A αα--'>; 当0α=时, 110n A αα--'=. 于是110n A αα--'≥. 这样便有1nn n A a A -≤. 等式成立当且仅当0α=. 由于1n A -正定, 重复上面的证明即得1,111nn n n A a a a --⋅⋅⋅≤, 即1122nn A a a a ⋅⋅⋅≤.现在证明不等式(12). 若0T =, 则不等式(12)显然成立. 若0T ≠, 则T T '是正定的, 由刚才所证命题即知不等式(12)也成立.特别地，设,,a b c ∈, 取 a b c T c a b b c a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则有3333T a b c abc =++-, 于是由不等式(12)即得以下一个有趣的不等式33322223(3)()a b c abc a b c ++-++≤. (13)可以证明, 不等式(13)中等式成立的充要条件是: 0ab bc ca ++=.4两个几何不等式几何不等式中也不乏可用实二次型处理的例子. 这里仅举两例以说明.例4.1 设γβα，，是一个三角形的三个角,证明: 对任意实数z y x ，，,都有2222cos 2cos 2cos x y z xy xz yz αβγ++++≥. (14)证法1 设二次型222(,,)2cos 2cos 2cos f x y z x y z xy xz yz αβγ=++---,则其矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1cos cos cos 1cos cos cos 1γβγαβαA , 因παβγ++=, 所以cos cos()γαβ=-+, 代入矩阵A 并对A 进行初等行变换, 得221cos cos 1cos cos cos 1cos()0sin sin sin cos cos()10sin sin sin A αβαβααβααββαβαββ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭ 1cos cos 0sin sin 000αβαβ--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭. 于是矩阵A 的特征值为0,1,αsin , 它们均不小于等于0, 从而由定理4(ⅴ)可知二次型(,,)f x y z 是半正定的, 因此对于任意实数,,x y z , 都有(,,)0f x y z ≥. 不等式(14)得证.证法2 因为矩阵A 的一阶主子式10>, 三个二阶主子式分别为21cos 1cos cos 1ααα-=--, 21cos 1cos cos 1βββ-=--,21cos 1cos cos 1γγγ-=--. 显然其二阶主子式皆大于零. 又其三阶主子式A =2221cos cos cos 2cos cos cos αβγαβγ----⋅⋅.而παβγ++=, )cos(cos βαγ+-=, 所以2221cos cos cos ()2cos cos cos()A αβαβαβαβ=---++⋅⋅+= 2222221cos cos cos cos sin sin αβαβαβ--+⋅-=2222221cos cos cos cos (1cos )(1cos )0αβαβαβ--+⋅--⋅-=.这就是说, 矩阵A 的所有主子式都非负, 且其三阶主子式等于零, 因而由定理4(ⅳ), 二次型(,,)f x y z 是半正定的. 故对任意实数,,x y z , 不等式(14)成立.不等式(14)即著名的三角形角的嵌入不等式[10].例4.2 设,,a b c 分别为三角形的三边长. 证明:对任意实数,,x y z 有不等式222()()()()()()0a x y x z b y z y x c z x z y --+--+--≥. (15)证明在例 2.4中, 令222,,A a B b C c ===, 显然2220,0,0a b c >>>. 又由海伦(Heron)公式, 不难得到22222244422()()160a b b c c a a b c S ++-++=>,其中S 为三角形的面积, 故由例2.4结论可知不等式(15)成立.由不等式(15)我们可以得到一系列涉与三角形三边长的不等式. 例如, 取x a =, y b =, z c =, 代入不等式(15)即得222()()()()()()0a a b a c b b c b a c c a c b --+--+--≥,展开整理, 则有不等式444333()()()()a b c abc a b c a b c b c a c a b ++++++++++≥.又如, 当,,a b c 是一个三角形的三边长时, 因为2b c b c a =++>+>,>同理>>个三角形的三边长, 于是由不等式(15)知, 不等式()()()()()()0a x y x z b y z y x c z x z y --+--+--≥ (16)对任意实数,,x y z 都成立.在不等式(16)中, 取x a =, y b =, z c =, 则有()()()()()()0a a b a c b b c b a c c a c b --+--+--≥,展开整理即得222()()()3a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤. (17)不等式(17)正是第6届国际中学生数学奥林匹克(IMO)试题.参考文献[1] 王萼芳, 石明生．高等代数[M]. : 高等教育, 1999: 210~237.[2] 大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. : 高等教育, 2003.[3] 禾瑞, 郝鈵新. 高等代数[M], : 高等教育, 1999: 383.[4] 哈代, 特伍德, 波利亚. 不等式[M]. 越民义, 译. :科学, 1965.[5] D.S.Mitrionvic. 解析不等式[M], 小萍, 王龙, 译. : 科学出版杜, 1987: 75.[6] 匡继昌. 常用不等式[M]. 第4版, : 科学技术. 2004.[7] 文杰. 实二次型的半正定性与其应用[J], 渤海大学学报, 2004, 25(02).[8] 建. 三元二次型的两个定理与其应用[J]. 中学数学. 1996, 20(05).[9] 卢小宁, 萧振纲. 多元二次函数的一个性质与其应用[J]. 数学理论与应用, 2001, 21(04).[10] 冷岗松. 用二次型理论研究一个初等不等式[A]. 见: 世明. 中国初等数学研究文集. : 教育,1992: 191.。

《高等代数》数分高代定理大全

《高等代数》数分高代定理大全高等代数是数学中一个非常重要的分支，它涉及到了许多数学原理和定理。

在学习高等代数的过程中，我们需要掌握许多重要的定理。

下面就为大家总结了一些常见的高等代数定理，希望对大家的学习有所帮助。

一、数学分析定理1. 极值定理对于一个连续的函数，如果它在闭区间上取得了最大值或最小值，那么这个值一定在该区间的端点或者在各个极值点上取得。

2. 一致连续定理如果一个函数在一个闭区间上是连续的，并且在区间内有一个点使得它的导数存在（可以是右导数或左导数），那么在这个点的右侧或左侧，函数的变化率等于斜率。

4. 洛必达定理5. 泰勒公式如果一个函数在一个点处具有若干阶导数，那么在这个点对它进行泰勒展开，可以得到该函数的一个逐项可积的幂级数展开式。

6. 泊松公式如果一个函数在一个区域内具有若干阶连续可导性，那么它的积分可以用线积分来表示，其中线积分的路径是一个围绕这个区域的简单闭合曲线。

7. 空间曲面的高斯-斯托克斯定理在三维空间中，一个曲面的面积可以用它围绕的曲线的线积分来表示，还可以用它内部的某个向量场的散度来表示。

如果一个函数列在一个闭区间内均一致连续，并且它在这个区间的每个点处都有界，那么这个函数列就一定在这个区间内一致收敛。

二、线性代数定理1. 矩阵的转置一个矩阵的转置就是将该矩阵的每一行变为该矩阵的每一列，或者将该矩阵的每一列变为该矩阵的每一行。

2. 逆矩阵一个n阶方阵A的逆矩阵是一个n阶方阵B，它满足AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。

3. 矩阵行列式一个n阶方阵A的行列式是一个实数或复数，它等于所有由A中n个元素排成的n!个积的代数和。

一个矩阵的秩是指该矩阵的非零子式的最大阶数。

5. 奇异矩阵和非奇异矩阵如果一个方阵的行列式为0，那么该矩阵称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。

6. 矩阵的特征值和特征向量一个矩阵的特征值是指该矩阵减去一个常数倍的单位矩阵后所得到的行列式等于0的那些常数。