抛物线及其标准方程

p2 p2 x 2 px y 2 x 2 px 4 4
y
l
K
d
.M
.
F
O
x
y 2 px, ( p 0)（其中p是焦点到准线的距离）
2
－－抛物线标准方程
探 究
抛物线的标准 方程还有哪些 不同形式?
若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根 据上述办法求出它的标准方程吗？ 各组分别求解开口不同时抛物线的标准方程。
4
4
变式：
2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
1 （2）准线方程 是x = ； 4
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =x
y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求满足下列条件的抛物线方程： (1)已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
2
p=4
2、求满足下列条件的抛物线方程：
(2)焦点在直线x-2y-4 =0上
解：若焦点在x轴上，则焦点为（4,0），
p 那么 4 2
即
p 8
2
，此时
抛物线的标准方程是 y 16 x 若焦点在y轴上，则焦点为（0,-2）， 那么 p 即 p 4 ， 此时 抛物线的标准方程是
2
2
x 8 y
2
归纳总结
小 结 ：
1、关于抛物线的定义，要注意点F不在直线L上，否则 轨迹是一条直线。
2、 抛物线的标准方程有四种不同的形式，其联系与区别 在于： (1)焦参数p的几何意义都是焦点到准线的距离； (2)方程右边一次项的变量与焦点所在的坐标轴（对称轴） 名称相同，一次项系数的正负决定抛物线的开口方向。 （3）焦点的非零坐标是一次项系数的1/4。
定直线l 叫做抛物线的准线。 动一动手
互动探究
思考：若定点F在定直线l上，那么动点 的轨迹是什么图形？
过点F且垂直于l的一条直线
方程推导
l
想 一 想
H
M
K
· · F
设|FK|=p（p>0）
如何建立直角坐标系？
抛物线的标准方程：
如图，以过F点垂直于直线l的直线为x轴， F 和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系. 设 | FK | p, ( p 0), M ( x, y), p p 则F ( ,0), l : x 2 2 p 2 p 2 MF d 即 ( x ) y | x | 2 2
抛物线及其标准方程
生活中存在着各种形式的抛物线
互动探究
探究1、我们得到的抛物线 上的点M具有怎样特征？ 到直线l 的距离与到点F的距 离相等
准线
d
M
焦点
F
探究2、根据点M总结抛物线的定义。l
平面内与一个定点F和一条定直线l ( F l ) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。
y o x (-4,-2)
解：如图所示，设抛物线的方程为 y 2 -2 px（p 0） ,
将点（-4，-2）带入方程得：4=8p,得 2p=1
所以 y - x x 2 -2 py（p 0） , 设抛物线的方程为 将点（-4，-2）带入方程得：16=4p,得 所以 x 2 8 y
解:因焦点在y轴的负半轴上,则抛物线的标准方程为 x 2 = －2py ，易知p=4,故其标准方程为:x 2 = －8y。
变式：
1、求下列的焦点坐标和准线方程：
（ ） y 3x 0； （2）y x 0. 12 8
2
2
解：（1）将方程化成标准方程
3 3 所以焦点坐标 - ， ，准线方程为 x （ 0） 8 8
3、注重数形结合和分类讨论的思想。 做题时注重以形助数！
抛物线的标准方程：
标准方程
y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0)
y y
F
x 2 2 py( p 0)
y
x 2 2 py( p 0)
y
o x
F
图 形
.
o
x
F
.
o
x
F
o
x
焦 准
点 线
p F ( ,0) 2 p x 2
离是10，求P点坐标 .
解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1） 根据抛物线定义可知点P到焦点的距离与到准 线的距离相等， ∴yp+1=10，求得yp=9， 代入抛物线方程求得x=±6 ∴P点坐标是（±6，9） 故答案为：（±6，9）
抛物线 似彩虹 嫦娥飞 看今朝
两端长 如桥梁 人气涨 我辈忙
1 2 3 3 （4） y x . （0,- ）；y 6 2 2
课堂检测
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程： 2 （1）焦点是F（－2，0） ; y 8 x
1 （2）准线方程是 y ; 3
4 x y 3
2
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上.
x 8 y
2
课堂检测 2 3、抛物线 x 4 y 上的点P到焦点的距
漫漫长路向远方 世间英雄竞畅想 主宰神灵非天王 书山崎岖心飘香
再见
Biblioteka Baidu
（2）将方程化成标准方程
2
3 y - x 2
2
x -8y （0,-2） ，准线方程为y 2 所以焦点坐标
方法点拨
求抛物线焦点坐标和准线方程的方法：
1.把方程化为标准形式； 2.一次项（x或y）定对称轴：抛物线标准方 程中一次项是x(y),则对称轴为x（y）轴，焦 点在x(y)轴； 3.一次项系数正负定开口方向：标准方程中 一次项前面的系数为正数，则开口方向为坐 标轴的正方向，反之，在坐标轴负方向； 4.定数值：焦点中的非零坐标是一次项系数 1 1 的 ，准线方程中的数值是一次项系数的 -
y
N M
y
N
M
F
F
o
F'
x
F'
o
x
当e＞1时，是双曲线。 当0＜e ＜1时，是椭圆， 当e=1时，它是什么曲线呢？
抛物线
合作探究
1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
解：由y2 = 6x可知对应的抛物经开口向右，又因为 ｐ＝３，故焦点坐标为F ( 3 ,0) ，准线方程为 x 3 2 2 （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2）， 求它的标准方程。
图形
y H M x
标准方程
焦点坐标
p ,0 2
准线方程
x p 2
y 2 2 px
O F l M y H
p 0
y 2 2 px p 0
F O x l y F O
如何确定抛物线焦 p p ,0 x 2 点位置及开口方向? 2
F (
p ,0) 2 p x 2
p F (0, ) 2 p y 2
F (0,
p ) 2 p y 2
课堂检测
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 2 （1） y 8 x; （2,0）；x 2
（ 2） x
2
2
4 y; （0,1 ）；y 1
5 5 （ （3） y 5 x 0; ,0）；x 2 8 8
p 一次变量定焦点 p y 0, 2
M
x H H M
x 2 2 py
p 0
2
l
l y O F
开口方向看正负
x
x 2 2 py p 0
p 0, 2
y
p 2
椭圆和双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线(定点不在定 直线上)的距离的比是常数e的点的轨迹.