抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自高中数学教材选修22第二章第四节《抛物线及其标准方程》。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及其简单性质；2. 抛物线的标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；3. 抛物线的图形及其在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及其简单性质；2. 培养学生运用抛物线知识解决实际问题的能力；3. 培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线标准方程的推导，抛物线图形的识别；2. 教学重点：抛物线的定义，标准方程及其性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔；2. 学具：直尺，圆规，量角器，练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）展示图片：篮球投篮、投掷铅球、卫星轨道等；（2）提问：这些情景中，物体的运动轨迹有什么共同特点？2. 知识讲解（1）抛物线的定义：物体在只受重力作用下，从一点出发，经过一段时间后，落回到这一点，且在运动过程中始终受到同一平面的约束，这样的运动轨迹称为抛物线；（2）抛物线的标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；（3）抛物线的性质：对称性、开口方向、顶点、焦点、准线等。
3. 例题讲解（1）求抛物线y²=4x的焦点、顶点和准线；（2）已知抛物线的焦点为F(1,0)，求该抛物线的标准方程。
4. 随堂练习（2）已知抛物线的焦点和顶点，求其标准方程。
5. 小结六、板书设计1. 定义：抛物线是物体在只受重力作用下，从一点出发，经过一段时间后，落回到这一点，且在运动过程中始终受到同一平面的约束的运动轨迹；2. 标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；3. 性质：对称性、开口方向、顶点、焦点、准线；4. 例题：抛物线y²=4x的焦点、顶点和准线；已知焦点求抛物线标准方程。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自《解析几何》教材第四章第一节，主要内容包括抛物线的定义、性质及其标准方程的推导和应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的性质。
2. 学会推导抛物线的标准方程，并能解决实际问题。
3. 能够运用抛物线标准方程解决几何问题和实际应用。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质及其标准方程。
难点：抛物线标准方程的推导和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入2. 知识讲解(1) 抛物线的定义：平面内到一个定点F的距离等于到一条定直线l的距离的点的轨迹。
(2) 抛物线的性质：① 对称性；② 焦点、准线；③ 直线与抛物线的交点；④ 平面几何关系。
(3) 抛物线的标准方程：y^2 = 2px (p > 0) 或 x^2 = 2py (p > 0)。
3. 例题讲解(1) 求抛物线y^2 = 4x的焦点和准线。
(2) 已知抛物线x^2 = 8y，求过点P(2,3)且与抛物线相切的直线方程。
4. 随堂练习(1) 求抛物线y^2 = 12x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 16y，求过点A(4,2)且与抛物线相交的直线方程。
5. 课堂小结六、板书设计1. 定义2. 性质3. 标准方程4. 例题解析5. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目(1) 求抛物线y^2 = 20x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 18y，求过点B(3,2)且与抛物线相切的直线方程。
2. 答案(1) 焦点：F(5,0)，准线：x = 5，对称轴：y轴。
(2) 直线方程：y = 4/3x 2/3。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、知识讲解、例题讲解、随堂练习等环节，使学生掌握了抛物线的定义、性质和标准方程。
高中数学公式—抛物线及抛物线标准方程_公式总结
高中数学公式—抛物线及抛物线标准方程_公式总结
高中数学公式之抛物线公式：
抛物线：y=ax^2+bx+c
就是y等于ax 的平方加上bx再加上c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a(x+h)^2 + k
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 以上是小编为大家整理的高中数学公式的抛物线方程，希望便于大家牢记。
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程
抛物线是一种二次曲线，其标准方程为y^2=2px。
这个方程表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)，准线方程为x=-p/2。
抛物线的标准方程有不同的形式，如y^2=2px、y^2=-2px、x^2=2py和x^2=-2py等。
这些方程分别表示了不同的抛物线，其中p为焦点到准线的距离，决定了抛物线的形状和大小。
除了标准方程外，抛物线还可以用一般形式来表示，即y=ax^2+bx+c。
这个方程表示抛物线的开口方向、顶点坐标和与y轴的交点等特性。
另外，抛物线还可以用顶点式来表示，即y=a(x-h)^2+k。
这个方程表示抛物线的顶点坐标为(h,k)，a为开口方向的系数。
在求解抛物线的问题时，需要根据具体问题选择适当的方程形式，并利用已知条件来求解未知量。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课的内容选自高中数学教材选修22第三章第一节，主要讲述抛物线的定义及其标准方程。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及其简单性质；2. 抛物线的标准方程推导；3. 抛物线标准方程的应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的简单性质；2. 学会推导抛物线的标准方程，并能应用于实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程及其应用。
难点：抛物线标准方程的推导过程，以及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、投影仪、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示实际生活中的抛物线实例，如抛物线运动轨迹、拱桥等，引导学生观察并思考抛物线的特点。
2. 抛物线的定义及性质（2）讲解抛物线的性质，如对称性、顶点等。
3. 抛物线标准方程的推导（1）教师引导学生通过实际例题，推导出抛物线的标准方程；（2）讲解抛物线标准方程的推导过程，强调理解推导方法。
4. 例题讲解选取典型例题，讲解抛物线标准方程的应用，引导学生学会解决实际问题。
5. 随堂练习设计具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识，及时发现问题并解答。
6. 小结六、板书设计1. 抛物线的定义；2. 抛物线的性质；3. 抛物线标准方程的推导过程；4. 典型例题及解题步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知抛物线y^2=8x的焦点为F（2，0），求该抛物线的准线方程；（2）已知抛物线y=2x^2的焦点为F（0，1/8），求该抛物线的标准方程。
2. 答案：（1）准线方程：x=2；（2）标准方程：x^2=1/8y。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义和性质掌握较好，但在推导抛物线标准方程时，部分学生存在困难。
在今后的教学中，应加强此类问题的讲解和练习。
抛物线及其标准方程(共32张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
抛物线及其标准方程
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2 p (0， ) 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
l
O
F
x
y
F O
l y l
O F
x
x
课堂新授
例.(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,
求它的焦点坐标和准线方程。
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
抛物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及其标准方程（一）
课堂新授
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线。
l y M
K
o
F
x
图
l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
课堂练习
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1) 焦点是F（0，3）,
1 (2) 准线方程是x=- , 4
(3) 焦点到准线的距离是2.
课堂练习
2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2=-10x (2) x2=-8y
(3)
y2=-
5 x 2
(4)–x2+6y=0
(6) y=-3x2
(5) 2y2+3x=0
课堂练习
3.点M与点F（0,-2）的距离比它
到直线l：y-3=0的距离小1,
求点M的轨迹方程。
课堂练习
4.已知抛物线的焦点为（3,3)，
抛物线及其标准方程教案
抛物线及其标准方程教案抛物线及其标准方程教案一、教学目标：1.了解抛物线的定义和基本特性。
2.掌握抛物线的标准方程。
3.能够利用标准方程画出抛物线的图像。
二、教学内容：1.抛物线的定义和基本特性。
2.抛物线的标准方程。
3.抛物线的图像绘制。
三、教学过程：1.导入（5分钟）引入抛物线的概念，提问学生是否知道什么是抛物线以及它的性质。
2.讲解抛物线的定义和基本特性（10分钟）讲解抛物线的定义：抛物线是指平面上到一个定点距离等于到一条定直线距离的点的轨迹。
讲解抛物线的基本特性：对称轴、焦点、准线等。
3.引入抛物线的标准方程（10分钟）讲解抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
解释每个常数在方程中的含义，并说明如何利用标准方程求出抛物线的性质。
4.计算抛物线的焦点和准线（10分钟）根据标准方程，计算抛物线的焦点和准线的坐标，教学示范并让学生做练习题。
5.绘制抛物线的图像（15分钟）以抛物线的焦点为中心，根据焦点和准线的位置，教学演示如何绘制抛物线的图像。
让学生自行绘制抛物线，并指导学生如何标出焦点和准线。
6.总结和小结（5分钟）总结抛物线的定义、基本特性、标准方程和图像绘制方法，并核对学生是否掌握。
四、教学资源：1.黑板、粉笔。
2.绘图仪器（尺子、直尺、铅笔等）。
3.教学课件。
五、教学评价：1.观察学生的课堂表现，看是否能够正确理解抛物线的定义和基本特性。
2.检查学生是否掌握抛物线的标准方程，并能够利用标准方程绘制抛物线的图像。
3.布置练习题进行个人评价。
抛物线及其标准方程 课件
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在 x-2y-4=0 上.
思路分析:求抛物线标准方程时要先确定焦点位置,能确定焦点位
置的可设相应的标准方程,否则要分情况讨论.
解:(1)∵(-3,2)在第二象限,
∴抛物线开口向左或向上.
设所求抛物线的方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p'y(p'>0),
综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y.
抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指
确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正
半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据
题目中的条件求出方程中参数 p 的值,从而得到抛物线的标准方程.
轴为对称轴,求抛物线的标准方程.
解:由题意知圆心为(-2,-4).
(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设方程为 y2=ax(a≠0),
由 16=-2a,得 a=-8.
∴标准方程为 y2=-8x.
(2)当抛物线焦点在 y 轴上时,设方程为 x2=ay(a≠0),
由 4=-4a,得 a=-1.
∴标准方程为 x2=-y.
于利用其定义解题.
1
2
1
,0
2
的距离比它到 y 轴的距
离大 .
(1)求点 M 的轨迹方程.
(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
1
2
思路分析:动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M
1
2
到 F 的距离与它到直线 x=- 的距离相等,由抛物线定义可求得动点 M
抛物线的四种标准方程公式
抛物线的四种标准方程公式
抛物线，即参数方程，在建筑中体现的非常明显，著名的几何体之声，也就是
抛物线的发展，系几何学的一种抽象化的发展，一般有三种形式存在。
其中，四种标准抛物线的公式是：
第一种：y= ax^2 +bx+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第二种：y= a(x-h)^2+k，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第三种：x= ay^2+by+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
最后一种：x= a(y-h)^2 +K，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该
抛物线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入。
以上四种抛物线，是建筑中最基本的几何体，它们经常在建筑物中呈现，而一
些拥有非常令人惊叹的建筑作品便是基于这些抛物线原理才能营造出如此震撼的空间感。
举个例子，早期的拱顶，当时人们通过抛物线的参数公式，将多边形表面张开，就形成了一个完美的拱顶，而它的几何体也就凝结成了抛物线的形式。
因此，抛物线参数方程的高级应用，使建筑领域有了一定的蓬勃发展，可以运
用到多边形，穹顶，立体几何，甚至到三维空间中都是被做到的，它是建筑发展过程中最重要的几何加工机制。
在建筑专业中，抛物线参数方程被广泛用于建筑设计，艺术形象分析等方面，使建筑设计更加精致独特，更加丰富多彩。
抛物线及其标准方程
【基础知识导引】1．抛物线的轨迹定义是什么？2．如何建立抛物线的标准方程？它有几种不同形式？标准方程中参数P 的几何意义是什么？3．如何求抛物线上一点到它的焦点的距离？4．如何判断直线与抛物线的位置关系？【重点难点解析】1．抛物线的定义平面上到定点F 和到点直线1距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线。
这里，点F 不在直线1上，否则其轨迹是过点F 且与1垂直的直线。
与椭圆和双曲线不同的是，在抛物线中，只有一个焦点和一条准线。
2．抛物线的标准方程将抛物线的顶点放在原点，焦点放在坐标轴上，可以得到抛物线的标准方程，它共有四种不同形式，即px y 22=，px y 22-=，py x 22=，py x 22-=，其中p>0，它的几何意义是焦点F 到准线1的距离。
3．直线与抛物线的位置关系判断直线与抛物线的位置关系可采用方程讨论法，特别提醒的是，与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线也只有一个公共点，从而“直线与抛物线只有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的必要非充分条件。
4．弦长公式设直线1的斜率为k ，它与抛物线)0(22>=p px y 交于两点)()(2211y x B y x A ，，，，则弦长||11||1||212212y y kx x k AB -+=-+=，特别地，如果1过抛物线的焦点F ，由抛物线的定义可知，焦点弦长p x x p x p x BF AF AB ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=212122||||||。
【难题巧解点拨】例1 已知抛物线的方程为)0(2≠=a ax y ，求它的焦点坐标和准线方程。
分析 本题考查抛物线的焦点坐标和准线方程的求法，先将其化为标准方程，求出参数p 的值，再根据开口方向确定焦点坐标和准线方程。
解 抛物线方程即y a x 12=当a>0时，a p 21=且开口向上，∴焦点坐标是)410(a ，，准线方程是a y 41-=； 当a<0时，a p 21-=且开口向下，∵a p 412=，∴焦点坐标仍然是)410(aF ，，准线方程还是ay 41-=。
【高二数学】抛物线及其标准方程
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点 P 的轨迹为直线．
抛物线标准方程的推导 l
求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？
N M· ·F
想 一 想 ？
回顾求曲线方程一般步骤：
1.建系:建立直角坐标系. 2.设点:设点(x,y); 3. 列式:根据条件列出等式; 4. 化简:化简得到方程;
2
F (0, -
p )
2
p y=
2
抛物线的特征： 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？
第一：一次项的变量若为x（即y 关于x的函数）则焦点就在x轴（或y 轴）上。
第二：一次项的系数的正负决 定了开口方向
也就是说焦点与一次项变量一致 正负决定开口方向
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
2p＝53，p＝56，p2＝152，
后再确定 开口、焦 点及准线
所以焦点坐标是0，－152，准线方程是 y＝152.
研一研·问题探究、课堂更高效
(32)p将＝y14＝，4px＝2 18化，为p2＝x21＝16，14y，知抛物线开口向上，
故 (4)焦由方点程坐y标2＝是a2x0，(a≠1160)，知抛准物线线方开程口是向y右＝，－2p＝116a.2，p＝a22， p2＝a42，故焦点坐标是a42，0，准线方程是 x＝－a42.
抛物线标准方程的推导
l
· N M
试 一
·试
K
F？
设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢？
抛物线标准方程的推导
y l
· H M ·x
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课一、教学内容本节课选自高中数学选修22第三章《圆锥曲线与方程》第三节《抛物线及其标准方程》。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及简单性质；2. 抛物线的标准方程推导；3. 抛物线的焦点、准线及几何图形的绘制。
二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义及其标准方程；2. 使学生理解抛物线的焦点、准线等概念，并能运用它们解决相关问题；3. 培养学生的空间想象能力及逻辑思维能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线标准方程的推导及焦点、准线的理解；2. 教学重点：抛物线的定义及标准方程的掌握。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中常见的抛物线图形，如篮球抛投轨迹、拱桥等，引发学生对抛物线的兴趣，进而导入新课。
2. 知识讲解：（1）抛物线的定义：介绍抛物线的概念，引导学生思考抛物线的特点；（2）抛物线的标准方程推导：以焦点在y轴上的抛物线为例，引导学生通过探究、合作交流的方式推导出标准方程y^2=2px（p>0）；（3）抛物线的焦点、准线：讲解焦点、准线的定义，并引导学生通过实际操作，感受焦点、准线与抛物线的关系。
3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解解题思路和方法。
4. 随堂练习：设计难易适中的练习题，让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹；2. 标准方程：y^2=2px（p>0）；3. 例题解答步骤；4. 练习题及答案。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线y^2=8x的焦点、准线；（2）已知抛物线的焦点为（2，0），求该抛物线的标准方程；（3）已知抛物线的焦点为（0，3），求该抛物线的标准方程。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义及标准方程掌握程度较好，但对焦点、准线的理解还需加强，今后教学中应增加实际操作环节，提高学生的理解程度；2. 拓展延伸：引导学生了解抛物线在其他学科领域的应用，如物理学中的抛体运动、天文学中的行星轨道等。
抛物线及其标准方程 课件
【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点 间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程 图 形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】
抛物线及其标准方程
d | x p | 2
(x p)2 y2 | x p | 化简后得 : y2 2 px( p 0)
2
2
开口：
焦点F：
准线 ：
追问1：顶点在原点，开口向右 抛物线数与形上的联系？
我们令|KF|=p (p>0)，p的几何意义是什么呢？
y2 2 px( p 0)
ly M
追问2：p的几何意义是什么呢？
展示
抛物线的定义：
l
M
平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
F
（定点F不在定直线l 上）
点F叫做抛物线的焦点,线l 叫做抛物线的准线。
问题3： 类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，你能推出
抛物线的标准方程吗？
建系 设点 列式 化简 检验
追问1： 回顾一下，椭圆和双曲线是如何建系的，抛物线应该如何建系？
1、抛物线的准线方程是 x 1 ，求它的标准方程. 4
2、若抛物线的方程为 20 x y2 0，求它的焦点坐标和准 线方程.
抛
一个定义 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离
物
相等的点的轨迹叫做抛物线.
线
及
其 标
两类问题 1.求抛物线标准方程； 2.已知方程求焦点坐标和准线方程.
如何建立x轴？ 如何建立 y轴？
y
M
F 1 O F2
x
ly M
OF
x
问题4：
如何得出抛物线的标准方程？
p
①
|KF|=p (p>0)，那么焦点F的坐标为(
p
2
, 0),准
线 l 的方程为x=－ 2 .
②设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离
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互动探究
思考：若定点F在定直线l上，那么动点 的轨迹是什么图形？
过点F且垂直于l的一条直线
方程推导
l
想 一 想
H
M
K
· · F
设|FK|=p（p>0）
如何建立直角坐标系？
抛物线的标准方程：
如图，以过F点垂直于直线l的直线为x轴， F 和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系. 设 | FK | p, ( p 0), M ( x, y), p p 则F ( ,0), l : x 2 2 p 2 p 2 MF d 即 ( x ) y | x | 2 2
1 2 3 3 （4） y x . （0,- ）；y 6 2 2
课堂检测
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程： 2 （1）焦点是F（－2，0） ; y 8 x
1 （2）准线方程是 y ; 3
4 x y 3
2
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上.
x 8 y
2
课堂检测 2 3、抛物线 x 4 y 上的点P到焦点的距
y o x (-4,-2)
解：如图所示，设抛物线的方程为 y 2 -2 px（p 0） ,
将点（-4，-2）带入方程得：4=8p,得 2p=1
所以 y - x x 2 -2 py（p 0） , 设抛物线的方程为 将点（-4，-2）带入方程得：16=4p,得 所以 x 2 8 y
3、注重数形结合和分类讨论的思想。 做题时注重以形助数！
抛物线的标准方程：
标准方程
y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0)
y y
F
x 2 2 py( p 0)
y
x 2 2 py( p 0)
y
o x
F
图 形
.
o
x
F
.
o
x
F
o
x
焦 准
点 线
p F ( ,0) 2 p x 2
离是10，求P点坐标 .
解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1） 根据抛物线定义可知点P到焦点的距离与到准 线的距离相等， ∴yp+1=10，求得yp=9， 代入抛物线方程求得x=±6 ∴P点坐标是（±6，9） 故答案为：（±6，9）
抛物线 似彩虹 嫦娥飞 看今朝
两端长 如桥梁 人气涨 我辈忙
解:因焦点在y轴的负半轴上,则抛物线的标准方程为 x 2 = －2py ，易知p=4,故其标准方程为:x 2 = －8y。
变式：
1、求下列的焦点坐标和准线方程：
（ ） y 3x 0； （2）y x 0. 12 8
2
2
解：（1）将方程化成标准方程
3 3 所以焦点坐标 - ， ，准线方程为 x （ 0） 8 8
y
N M
y
N
M
F
F
o
F'
x
F'
o
x
当e＞1时，是双曲线。 当0＜e ＜1时，是椭圆， 当e=1时，它是什么曲线呢？
抛物线
合作探究
1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
解：由y2 = 6x可知对应的抛物经开口向右，又因为 ｐ＝３，故焦点坐标为F ( 3 ,0) ，准线方程为 x 3 2 2 （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2）， 求它的标准方程。
F (
p ,0) 2 p x 2
p F (0, ) 2 p y 2
F (0,
p ) 2 p y 2
课堂检测
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 2 （1） y 8 x; （2,0）；x 2
（ 2） x
2
2
4 y; （0,1 ）；y 1
5 5 （ （3） y 5 x 0; ,0）；x 2 8 8
p 一次变量定焦点 p y 0, 2
M
x H H M
x 2 2 py
p 0
2
l
l y O F
开口方向看正负
x
x 2 2 py p 0
p 0, 2
y
p 2
椭圆和双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线(定点不在定 直线上)的距离的比是常数e的点的轨迹.
p2 p2 x 2 px y 2 x 2 px 4 4
y
l
K
d
.M
.
F
O
x
y 2 px, ( p 0)（其中p是焦点到准线的距离）
2
－－抛物线标准方程
探 究
抛物线的标准 方程还有哪些 不同形式?
若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根 据上述办法求出它的标准方程吗？ 各组分别求解开口不同时抛物线的标准方程。
图形
y H M x
标准方程
焦点坐标
p ,0 2
准线方程
x p 2
y 2 2 px
O F l M y H
p 0
y 2 2 px p 0
F O x l y F O
如何确定抛物线焦 p p ,0 x 2 点位置及开口方向? 2
2
归纳总结
小 结 ：
1、关于抛物线的定义，要注意点F不在直线L上，否则 轨迹是一条直线。
2、 抛物线的标准方程有四种不同的形式，其联系与区别 在于： (1)焦参数p的几何意义都是焦点到准线的） 名称相同，一次项系数的正负决定抛物线的开口方向。 （3）焦点的非零坐标是一次项系数的1/4。
4
4
变式：
2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
1 （2）准线方程 是x = ； 4
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =x
y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求满足下列条件的抛物线方程： (1)已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
（2）将方程化成标准方程
2
3 y - x 2
2
x -8y （0,-2） ，准线方程为y 2 所以焦点坐标
方法点拨
求抛物线焦点坐标和准线方程的方法：
1.把方程化为标准形式； 2.一次项（x或y）定对称轴：抛物线标准方 程中一次项是x(y),则对称轴为x（y）轴，焦 点在x(y)轴； 3.一次项系数正负定开口方向：标准方程中 一次项前面的系数为正数，则开口方向为坐 标轴的正方向，反之，在坐标轴负方向； 4.定数值：焦点中的非零坐标是一次项系数 1 1 的 ，准线方程中的数值是一次项系数的 -
2
p=4
2、求满足下列条件的抛物线方程：
(2)焦点在直线x-2y-4 =0上
解：若焦点在x轴上，则焦点为（4,0），
p 那么 4 2
即
p 8
2
，此时
抛物线的标准方程是 y 16 x 若焦点在y轴上，则焦点为（0,-2）， 那么 p 即 p 4 ， 此时 抛物线的标准方程是
2
2
x 8 y
漫漫长路向远方 世间英雄竞畅想 主宰神灵非天王 书山崎岖心飘香
再见
抛物线及其标准方程
生活中存在着各种形式的抛物线
互动探究
探究1、我们得到的抛物线 上的点M具有怎样特征？ 到直线l 的距离与到点F的距 离相等
准线
d
M
焦点
F
探究2、根据点M总结抛物线的定义。l
平面内与一个定点F和一条定直线l ( F l ) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。