四年级下数学思维训练教程(尖子生)

四年级下期

第一讲定义新运算

同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。

例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b。

(1)求4△3，3△4。

(2)这种运算有“交换律”吗？

(3)求(17△6)△2，17△(6△2)。

(4)这种运算有“结合律”吗？

(5)如果已知5△b＝1，求b。

解：像这样的题目叫做“定义新运算”。这里，“△”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是：如等号右端所要求的那样，先求出3×a和2×b的值，再求出3×a与2×b的差。弄清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以：

(1)4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。

(2)由(1)可知，4△3与3△4的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。

(3)(17△6)△2＝(3×17－2×6)△2＝(51－12)△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝113。

17△(6△2)＝17△(3×6－2×2)＝17△(18－4)＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。

(4)由(3)可知，(17△6)△2与17△(6△2) 的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。

(5)因为5△b＝3×5－2×b＝15－2b，而15－2b＝1，所以2b＝15－1，2b＝14，b＝7。

通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。

例2 如果a＃b＝2×a＋3×b，a*b＝(a＋b)÷2，那么(3*5)＃7＝？

解：“＃”的意义是先求出2×a和3×b，再求出2×a与3×b的和。“*”的意义显然是求a、b的平均数。

因为3*5＝(3＋5)÷2＝4，所以，(3*5)＃7＝4＃7＝2×4＋3×7＝29。

例3 规定：a＆b＝a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)，其中a、b表示自然数。

(1)求1＆100的值；

(2)已知x＆10＝75，求x。

解：(1) a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)

＝1＋(1＋1)＋(1＋2)＋…＋(1＋100－1)

＝1＋2＋3＋…＋100

＝(1＋100)×100÷2

＝101×100÷2

＝5050。

(2) x＋(x＋1)＋(x＋2)＋…＋(x＋10－1)＝75

10x＋(1＋2＋…＋9)＝75

10x＋45＝75

10x＝75－45

10x＝30

x＝30÷10

x＝3

例4 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号△表示：

羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。

以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。

小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：

羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。

这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。

对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。运算的结果或者是羊，或者是狼。那么求下式的结果：

羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)。

解：羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)

＝羊△羊★羊△狼

＝羊★羊△狼

＝羊△狼

＝狼

练习一

1．设a、b都表示数，规定：a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b＝4×a－3×b。试计算：

(1)5△6； 6△5。

2．a、b是自然数，规定a＊b＝a×5＋b÷3，求8＊9。

3．设a▼b＝8×a－18÷b，求7▼9＝？

4．规定a☆b＝(a＋3)×(b－5)，求5☆(6☆7)的值。

5．设a▽b＝a×b＋a－b，试求5▽8。

6．如果规定a※b＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是多少？

7．设a、b都表示数，规定：a△b＝2×a＋b÷2。求

(1)10△6； (2)7△(4△8)。

8．规定A＠B＝B×B－A，计算(2＠3)＠(4＠5)。

9．如果规定a△b＝4×a＋3×b－1，那么5△7和7△5相等吗？

10．对于两个数x、y，x☉y表示y×A－x×2，并且已知82☉65＝31。计算：

(1)29☉57；(2)38☉(14☉23)。

11．如果3◇4＝3＋4＋5＋6＝18，6◇5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。计算2000◇6。

12．如果“＋、－、×、÷、( )”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？

(1)8×7＝8；(2)7×7×7＝6；(3)(7＋8＋3)×9＝39；(4)3×3＝3。

第二讲图形问题(一)

例1 有大、小两个正方形，它们的周长相差16厘米，面积相差80平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？

解：把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图，因为它们的边长相差16÷4＝4(厘米)，所以图中正方形B的面积是4×4＝16(平方厘米)，又因为阴影部分的面积是(80－16)÷2＝32(平方厘米)，所以原来的小正方形(正方形A)的边长是32÷4＝8(厘米)，面积是8×8＝64(平方厘米)。

例2 下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。

解法一：图形的总面积是40×40＝1600(平方厘米)。每个小空白正方形的对角线是20厘米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以2”，每个空白小正方形的面积是20×20÷2＝200(平方厘米)，所以图中阴影部分的面积是1600－200×4＝800(平方厘米)。

解法二：仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等，所以，阴影部分的面积是40×40÷2＝800(平方厘米)。

例3 如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长的和是240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

解：图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是1000÷2＝500(平方厘米)。一个小正方形和一个大正方形的边长的和是240÷2÷4＝30(厘米)。在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图