总复习专题二：函数及其性质(第二部分：函数的单调性与奇函数偶函数)

镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……总复习专题二：函数及其性质(含抽象函数的性质）

编辑，整理：冉春

第一部分：讲义部分：

第一节、函数的单调性与奇偶性

1、函数的单调性

函数的单调性

①定义及判定方法 函数的

性 质

定义

图象

判定方法 函数的

单调性

如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、

x 2,当

x ．1．< x ．．

2．时，都有f(x ．．．1．)

．

（1）利用定义

（2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图

象上升为增） （4）利用复合函数的单调性（同增异减） 如果对于属于定义域

I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．

2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．

，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．

． （1）利用定义

（2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图

象下降为减）

（4）利用复合函数

例1： 函数12+=x y 在区间），（∞∞+-是增函数；函数 22+-=x y 在区间）

，（∞∞+-是减函数。 例：证明函数12)(-=x x f 在区间），（∞∞+-是增函数。 证明：设2121),,(,x x x x <+∞-∞∈且，

那么12)(,12)(2211-=-=x x f x x f )12()12()()(2121---=-x x x f x f ·

)(221x x -=· 21x x <∵，021<-∴x x

0)(2)()(2121<-=-∴x x x f x f ，即)()(21x f x f < ∴函数12)(-=x x f 在区间）

，（∞∞+-是增函数。 2、函数的奇偶性

①定义及判定方法 函数的

性 质

定义

图象 判定方法 函数的

奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都

有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．

,那么函数f(x)叫

做奇函数．．．

．

（1）利用定义

（要先判断定义域是否关于原点对称）

（2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定

义域内任意一个x ，都

有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．

,那么函数f(x)叫做偶函数．．．

．

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）

（2）利用图象（图象关于y 轴对称）

方法1：定义法

第一步：看定义域是否关于原点对称；若定义域关于原点对称，则继续进行下一步；

若定义域不关于原点对称，则函数f(x)为非奇非偶

第二步：比较f(x)与f(-x),若相等，则函数f(x)为偶函数；若相反，则函数f(x)为奇函数；若既不相等也不相反，则函数f(x)非奇非偶

x 1x 2

y=f(X)

x

y f(x )1

f(x )2

o

y=f(X)

y

x o

x x 2

f(x )

f(x )

2

11

镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……方法2：图像法 奇函数图像关于原点（中心）对称；偶函数图像关于y 轴对称。

②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．

③奇函数在y 轴两侧相对称的区间单调性相同，偶函数在y 轴两侧相

对称的区间单调性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

例题1：设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )

A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)

B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)

C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)

D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)

练习1：函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是（ ）

A ．)1()0()2(f f f >>- B. )0()1()2(f f f >->- C.)2()0()1(->>f f f D.)0()2()1(f f f >->

练习2：函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是（ ）

A ．)1()0()2(f f f >>- B. )0()1()2(f f f >->- C.)2()0()1(->>f f f D.)0()2()1(f f f >->

例题2：若函数()()2212f

x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围

（ ）

A ．a ≤3

B ．a ≥－3

C ．a ≤5

D ．a ≥3

练习1：定义在]11

[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，并且f(a+1)+f(2a)>0，求a 的取值范围。

练习2：已知函数12)(2

++=ax x x f 在区间]1,1[-上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A.),1[∞+

B. ]1,(--∞

C.]1,1[-

D.),1[]1,(∞+⋃--∞

练习3：已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (x 2

－2x )

A ．[－1,3]

B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

C ．(－3,3)

D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

练习4：已知函数)(x f 在定义域)1,1(-内是增函数，且)1()1(2

->-a f a f ，则实数a 的

取值范围是（ ）

A. )1,2(-

B.)2,0(

C.)1,0(

D. )2,0(

练习5：函数12

1)(2

+-=mx x x f 的单调递增区间是),2[∞+-，则实数m 的值为 .

练习6： 函数12

1)(2

+-=mx x x f 在区间),2[∞+-上是增函数，则实数m 的取值范围

为 .

例题3：（1）已知y=f(x)是奇函数,且当2

2)(0x

x x f x -=≥时， 求当x<0时,f(x)

的解析式

（2）已知y=f(x)是偶函数,且当22)(0x x x f x -=≥时， 求当x<0时,f(x)的解析式

练习：若)(x f y =在[)+∞∈,0x 上的表达式为)1()(x x x f -=，且)(x f 为奇函数，则

(]0,∞-∈x 时)(x f 等于 （ ）

A.)1(x x --

B. )1(x x +

C. )1(x x +-

D. )1(-x x

例题4：（1）函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满

足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )

A ．[－2,2]

B ．[－1,1]

C ．[0,4]

D ．[1,3]