中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理
中心极限定理的概念
中心极限定理的概念中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是概率论中的一条重要定理，它描述了当样本容量足够大时，一组独立随机变量的和或平均值的分布将近似服从正态分布。
中心极限定理在统计学、概率论、金融数学等领域起着重要的作用，为许多统计推断和假设检验提供了理论基础。
中心极限定理有三种形式：林德伯格-列维中心极限定理（Lyapunov–Lindeberg central limit theorem）、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理（De Moivre-Laplace central limit theorem）和林德伯格-费勒中心极限定理（Lyapunov-Feller central limit theorem），它们分别适用于不同的随机变量。
首先讨论林德伯格-列维中心极限定理。
设X1, X2, ..., Xn是从同一总体分布函数F(x)独立且具有相同的期望μ和方差σ²的随机变量，令Sn = X1 + X2 + ... + Xn。
那么当n趋于无穷大时，标准化的和（即(Sn - nμ) / (σ√n)）近似服从标准正态分布。
其中μ是总体的期望，σ²是总体的方差。
中心极限定理的意义在于，即使原本的随机变量并不遵循正态分布，只要样本容量足够大，样本的均值或和的分布就会接近于正态分布。
这种正态近似的性质使得许多统计推断成为可能，例如构建置信区间和进行假设检验。
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理是中心极限定理的一个特殊情况，适用于二项分布（Binomial Distribution）的情况。
二项分布描述了n次独立的伯努利试验中成功的次数，其中每次试验成功的概率为p。
当n足够大时，二项分布可以用正态分布来近似。
具体而言，当n趋于无穷大时，伯努利试验成功的次数（或称为成功的概率）的标准化形式（即（X - np）/ (np(1-p))）将近似服从标准正态分布。
林德伯格-费勒中心极限定理是中心极限定理的另一个扩展形式，适用于一组独立随机变量的和或平均值具有不同方差的情况。
中心极限定理
概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理是概率统计学中的重要理论，它提供了一种近似计算一组独立随机变量和的方法。
本文将对该定理进行详细的介绍和解释。
一、什么是棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理通常简称中心极限定理。
它是概率统计学中的一种定理，指的是在某些特定条件下，当样本容量趋近于无穷大时，一组独立随机变量的和服从正态分布。
这个定理是非常重要的，因为它说明了在实际应用中，可以使用正态分布来近似计算随机变量的和。
二、中心极限定理的基本假设要理解中心极限定理，我们需要先了解它的基本假设。
中心极限定理的基本假设包括以下几点：1. 独立性：样本中所有的随机变量必须是独立的，它们之间互相没有影响。
2. 相同分布：样本中所有的随机变量必须来自于相同的分布，具有相同的期望值和方差。
3. 样本容量：随机变量的样本容量必须足够大，越大越好。
基于这些假设，我们可以得到中心极限定理的重要结论，即当样本容量足够大时，所有独立随机变量的和会趋近于正态分布。
三、中心极限定理的应用中心极限定理的应用非常广泛，特别是在实际应用中。
例如在质量控制、医学诊断、气象预测、金融风险评估、工程项目等领域，往往需要计算大量独立事件的和或平均值等统计量。
使用中心极限定理可以让我们更加准确地计算这些统计量，从而更好地评估风险和预测结果。
应用中心极限定理的过程一般可以分为以下几步：1.确定待求统计量：需要计算的统计量是什么，是和还是平均数等。
2.确定独立随机变量：确定构成这个统计量的独立随机变量，这些随机变量需要满足中心极限定理的基本假设。
3.计算期望和方差：计算这些独立随机变量的期望和方差。
4.使用中心极限定理计算：根据中心极限定理，将这些独立随机变量的和近似为正态分布。
使用正态分布的概率密度函数计算待求统计量。
四、总结中心极限定理是对于一组独立随机变量和的近似计算方法，是概率统计学的重要理论。
中心极限定理的应用非常广泛，它能够有效地预测数量分布并提供有效的预测值，可以应用于质量控制、医学诊断、气象预测、金融风险评估、工程项目等领域。
中心极限定理的内涵和应用
中心极限定理的涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。
故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。
一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22（1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。
由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。
为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为nY n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(σϕϕ又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。
于是，特征函数)(t ϕ有展开式)(211)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ从而有=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+∞→+∞→nn Y n n t o nt t n )(21lim )(lim 22ϕ22t e -而22t e-正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
概率论论文-浅谈中心极限定理
浅谈中心极限定理摘要：中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。
它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。
关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。
引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。
同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。
这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。
在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
王勇老师讲到中心极限定理时，曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。
由此足以见得中心极限定理的重要性。
目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理：林德伯格-莱维中心极限定理：设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22这个中心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
只有当n 充分大时,nY 才近似服从标准正态分布)1,0(N ，而当n 较小时，此种近似不能保证。
也就是说，在n 充分大时，可用)1,0(N 近似计算与nY 有关事件的概率，而n 较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。
中心极限定理
= Φ (1.83) = 0.966
练习：237页1、2
3、李雅普诺夫（独立不同分布） 、
设随机变量 X 1 , X 2 ,L, X n ,L相互独立 , 它 们具有数学期望 和方差： 和方差： E ( X k ) = µ k , D( X k ) = σ k ≠ 0 ( k = 1,2,L),
2 n
中心极限定理
林德贝格—勒维（独立同分布定理） 棣莫弗—拉普拉斯（二项分布的正态近似） 李雅普诺夫（独立不同分布）
一.依分布收敛
为随机变量序列， 为随机变量， 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为F 若在F(x) 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x) 的连续点， 的连续点，有 则称{F (x)}弱收敛于 弱收敛于F(x). 则称{Fn(x)}弱收敛于F(x). 可记为
由中心极限定理, 由中心极限定理,结论得证
记
2 2 Bn = ∑ σ k , k =1
若存在正数 δ , 使得当 n → ∞ 时, 1
2 Bn +δ
E {| X k − µ k |2+δ } → 0, ∑
k =1
n
则随机变量之和的标准化变量 n n n n ∑ X k − E ∑ X k ∑ X k − ∑ µk k =1 = k =1 k =1 Z n = k =1 Bn n D ∑ X k k =1 的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足 n n ∑ X k − ∑ µk k =1 k =1 lim Fn ( x ) = lim P ≤ x n→ ∞ n→ ∞ Bn 2 t x 1 −2 e dt = Φ ( x ). =∫ −∞ 2π
第五章 大数定律与中心极限定理
【解】 设 X i 表示“该射手第 i 次射击的得分”，则 Y = X i 表示射手所得总分，
i=1
Xi (i =1, 2, , 200) 独立同分布，分布表如下：
Xi
0
2
3
4
5
p
由于
0.1
0.1
0.2
0.2
0.4
E( Xi ) = 0×0.1+ 2×0.1+ 3×0.2 + 4×0.2 + 5×0.4 = 3.6 ；
试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，在实际应用中，当试 验次数很大时，便可以用事件发生的频率来替代事件的概率.
3、辛钦大数定律
设随机变量序列 X , X , 12
，Xn,
相互独立且服从相同的分布,具有相同的数学期望
E(X i
)
=
μ
,（
i
=
1,
2,
） ,则对任意给定的正数 ε ，有
) ,则对任意实数 x ，有
∑ ⎧
⎪
n
X − nμ i
⎫ ⎪
⎨ lim P i=1
≤ x⎬ =
⎪ n→∞
nσ
⎪
⎩
⎭
∫ 1
2π
x −t2
e
−∞
2 dt = Φ(x) .
154
第五章 大数定律与中心极限定理
n
∑ 【评注】 n 个相互独立同分布、方差存在的随机变量之和 Xi ，当 n 充分大时，近似 i =1
第五章 大数定律与中心极限定理
本章学习要点
① 了解切比雪夫不等式； ② 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大
概率论十大经典定理？
概率论十大经典定理？1、伯努利大数定律：伯努利大数定律，即在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势。
在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发生的频率,并记为fn(A).⒈当重复试验的次数n逐渐增大时,频率fn(A)呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数,这个常数就是事件A的概率.这种“频率稳定性”也就是通常所说的统计规律性.⒉频率不等同于概率.由伯努利大数定理,当n趋向于无穷大的时候,频率fn(A)在一定意义下接近于概率P(A).通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，样本数量越多，随机事件的频率越近似于它的概率，偶然中包含着某种必然。
2、中心极限定理：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
数学定义：设从均值为μ、方差为σ^2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为（σ^2）/n 的正态分布。
关于正态分布的核心结论是：μ、σ为均值和标准差，那么μ±1σ、μ±2σ、μ±3σ的命中概率分别是68.3%、95.5%、99.73%！中心极限定理最早由法国数学家棣莫弗在1718年左右发现。
他为解决朋友提出的一个赌博问题而去认真研究二项分布（每次试验只有“是/非”两种可能的结果，且两种结果发生与否互相对立）。
他发现：当实验次数增大时，二项分布（成功概率p=0.5）趋近于一个看起来呈钟形的曲线。
后来，著名法国数学家拉普拉斯对此作了更详细的研究，并证明了p不等于0.5时二项分布的极限也是高斯分布。
之后，人们将此称为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。
是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
比如，全国人口寿命、成年男女的身高分布、人在一天中情绪高低点对应的时间分布、金融市场中涨跌的时间周期及趋势的寿命等等，无不遵循此定理。
中心极限定理1
3
1)
0 (1) 0 (1)
20 (1) 1=0.6826
即在100次抽取中，数码“0”出现次数在 7和13之间的概率为0.6826.
n次碰钉后小球的位置 Yn近似服从正态分布N(0,n). E(Yn)=0, D(Yn)=n .
如图,钉板有n=16层，可以
求出标准差 16 4 ,
下面介绍的棣莫佛－拉普拉斯定理 （二项分布的正态近似）是上述定理的特殊 情况.
定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）
设随机变量 Yn服从参数n,
p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有
lim P{ Yn np
x
x}
1
t2
e 2 dt
n np(1 p)
2
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
当n无限增大时，这个和的极限分布是 什么呢？
在什么条件下极限分布会是正态的呢？
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞， 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑 它的标准化的随机变量
n
n
Xk E( Xk)
Zn k1
k 1 n
D( Xk )
1
n
n k 1
Xk
0.1
近似N(0,1)
0.3 n
P{0.09
1 n
n k 1
Xk
0.11}
P{|
1 n
n k 1
Xk
0.1 |
0.01}
P{|
1 n
n k 1
Xk
0.3
5-2 中心极限定理
例4
某车间有同型号机床200部,在某段时间内每部机床
开动的概率p=0.7,假设各机床开关是相互独立,开动时每部机床 要消耗电能15个单位.问供电站最少要供应这个车间多少单位 电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足影响生产.
解 : 令X 表示200部机床中同时开动的个数, X=0,1,..,200
则nA X1 X 2 ... X n ,即nA为独立同分布的X1 , X 2 ,..., X n之和
又 E ( nA ) E ( X i ) np
i 1
n
D( nA ) D( X i ) np(1 p)
i 1
n
近似 根据独立同分布的中心极限定理,nA N (np, np(1 p))
n 2 1 n 1，因此，在所给条件下， 由于
中心极限定理不仅给出了概率的近似表达式， 而且也能保证了其极限是1，可见中心极限定理 的结论更为深入。
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk , 设Vk间相互 独立,且Vk U (0,10). ( k 1, 2, ..., 20). 记V Vk , 求
P{ X 1.5 N N 60 1.5 N N } 0.95
(
60 1.5 N N
) 0.95
60 1.5 N N
1.645
N 33.6
取N 33
即1小时内最多为33位顾客服务
当 X1, X 2 ,, X n 相互独立, 但不服从同一分布时:
二、李雅普诺夫中心极限定理
小概率事件, 即实际中几乎不可能发生.
(2) 设最多能对N位顾客服务.
第二节 中心极限定理
第二节中心极限定理独立同分布序列的中心极限定理定理1设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。
记随机变量的分布函数为F n（x），则对于任意实数x，有（不证）其中φ（x）为标准正态分布函数。
由这一定理知道下列结论：（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N（nμ，nσ2）。
我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。
中心极限定理进一步告诉我们。
不论X1,X2,…X n,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Z n近似服从正态分布。
（2）考虑X1,X2,…X n,…的平均值，有它的标准化随机变量为，即为上述Y n。
因此的分布函数即是上述的F n（x），因而有由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。
解设X i为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则为100次射击中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同分布且相互独立。
由定理1可知，随机变量近似服从标准正态分布，故有[例]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。
现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。
解设第i只电器元件的寿命为X i=（i=1,2,…16）,E（X i）=100，D（X i）=1002=10 000，则是这16只元件的寿命的总和。
E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理1的特殊情况。
中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理
中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理都是数理统计学中重要的定理，它们用于描述随机变量和概率分布的性质。
下面将对这两个定理进行详细解释和比较。
中心极限定理是指在一定条件下，大量独立同分布的随机变量的和或平均值，以及它们的样本均数，近似服从正态分布。
中心极限定理是概率论和统计学的基本定理之一，它在应用中具有广泛的用途。
蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理是中心极限定理的一个特殊情况，它针对的是二项分布的情况。
二项分布是指在一系列相互独立的、只有两种结果的随机试验中，成功的次数服从二项分布。
蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理给出了二项分布的和近似服从正态分布的条件以及具体的近似公式。
中心极限定理的数学表述可以用如下公式表示：设X1、X2、...、Xn为n个独立同分布的随机变量，均值为μ，方差为σ^2，那么当n趋近于无穷大时，这n个随机变量的和（或平均值）的标准化值（减去其均值，除以其标准差）的分布近似于标准正态分布，即有：Z = (X1+X2+...+Xn - nμ) / √(nσ^2)其中Z为标准正态分布的随机变量。
而蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理则适用于满足以下条件的二项分布：1.试验次数足够大，即n趋近于无穷大；2.每次试验成功的概率p趋近于0.5。
在满足这两个条件的情况下，二项分布X的和（或平均值）的分布可以近似地使用标准正态分布来描述，即有：Z = (X - np) / √(np(1-p))其中Z为标准正态分布的随机变量。
两个定理的区别在于中心极限定理适用于大部分常见的随机变量和概率分布，而蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理仅适用于满足特定条件的二项分布。
这是因为中心极限定理是一个更为一般性的定理，适用范围更广。
这两个定理在实际应用中有着重要的作用。
例如，在统计学中，样本均值的分布近似于正态分布可以用于估计总体均值的区间估计和假设检验等；在贝叶斯统计学中，中心极限定理的应用可以使得贝叶斯推断更加准确和高效。
棣莫弗-拉普拉斯定理中心极限定理应用
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中心极限定理简介
下面给出独立同分布的中心极限定理和棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理的内容介绍。
一、独立同分布的中心极限定理
定理1（林德贝格——勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X Var . 记
n n X X X Y n n σμ
-+++= 21*
则对任意实数y ，有
dt e y y Y P y t n n ⎰∞--+∞→=Φ=≤2*221)()(lim π
此定理说明了独立同分布的随机变量和的极限分布是正态分布。
二、棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理
定理2（棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理）设在独立试验序列中，事件A 的概率)10()(<<=p p A P ，随机变量n Y 表示事件A 在n 次试验中发生的次数，则对任意实数y ，有
dt e y y p np np Y P y
t n n ⎰∞--+∞→=Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤--2221)()1(lim π
此定理说明当n 充分大时，服从二项分布),(p n B 的随机变量n Y 将近似地服从正态分布))1(,(p np np N -。
一元中心极限定理
一元中心极限定理一元中心极限定理是概率论和统计学中一个重要的概念，它涉及到一系列随机变量的平均值的分布。
在这个定理中，我们主要关注三个关键定理：棣莫弗-拉普拉斯定理、林德伯格-费勒定理和中心极限定理。
1.棣莫弗-拉普拉斯定理棣莫弗-拉普拉斯定理是关于二项分布的近似性质的重要定理。
在n重伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
定理的现代形式如下：当n足够大时，二项分布近似于正态分布。
这个定理在许多应用领域中有着广泛的应用，例如在保险、金融和可靠性工程中。
2.林德伯格-费勒定理林德伯格-费勒定理是中心极限定理的一种形式，它指出任何由独立随机变量组成的随机变量的序列，当序列的长度逐渐增加时，其和的分布将近似于正态分布。
这个定理在许多领域都有应用，例如在遗传学中，可以用来解释为什么某些生物特征（例如身高）的分布呈正态分布。
3.中心极限定理中心极限定理是概率论中最基本和最重要的定理之一。
它指出，任何由独立随机变量组成的随机变量序列，当序列的长度逐渐增加时，其均值的分布将近似于正态分布。
这个定理在许多领域都有应用，例如在金融、社会科学和自然科学的许多其他领域中，中心极限定理都可以用来解释数据的分布。
在具体的应用中，我们需要根据实际问题和数据来确定应用哪个定理。
例如，如果我们需要估算一组数据的均值，那么我们可以应用中心极限定理来得到其近似值；如果我们需要对一组数据进行分类或者预测，那么我们可以应用棣莫弗-拉普拉斯定理来得到其分布的近似值；如果我们需要对一个复杂系统的可靠性进行评估，那么我们可以应用林德伯格-费勒定理来得到其近似值。
总之，一元中心极限定理为我们解决许多实际问题提供了重要的理论依据和工具。
棣莫弗拉普拉斯中心极限定理
棣莫弗拉普拉斯中心极限定理在概率论中，把有关论证随机变量和的极限分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理称为中心极限定理称为中心极限定理。
本文介绍独立同分布序列的中心极限定理。
一独立同分布序列的中心极限定理定理1 设 X 1 , X 2 , . . . X n , . . . X_1,X_2, ...X_n,... X1,X2,...Xn,... 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差， E ( X i ) = μ , D ( X i ) = σ 2 ( i = 1 , 2 , . . . ) E(X_i)=\mu,D(X_i)=\sigma^2(i=1,2, ...) E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2,...), 记随机变量 Y n = Y_n= Yn= ∑ i = 1 n X i − n μ n σ \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}nσi=1∑nXi−nμ的分布函数为 F n ( x ) F_n(x) Fn(x),则对于任意实数 x x x,lim n → ∞ F n ( x ) = lim n → ∞ P { Y n ⩽x } = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}F_n(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}P\{Y_n \leqslant x\} = n→∞limFn(x)=n→∞limP{Yn⩽x}= lim n → ∞ P\lim\limits_{n \rightarrow \infty}P n→∞limP{ \{ { ∑ i = 1 n − n μ n σ\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}-n\mu}{ \sqrt{n}\sigma}nσi=1∑n−nμ } \} }= ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 2 d t = Φ ( x ) =\int_{- \infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi(x) =∫−∞x2π1e−2t2dt=Φ(x),由这一定理可知以下结论：1.当n充分大时，独立同分布的随机变量之和Z n = ∑ i = 1 n X i Z_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i Zn=i=1∑nXi的分布近似于正态分布N ( n μ , n σ 2 ) N(n\mu, n\sigma^2) N(nμ,nσ2).中心极限定理告诉我们，不论 X 1 , X2 , . . . , X n , . . . X_1,X_2, ..., X_n,... X1,X2 ,...,Xn,...同服从什么分布，当n充分大时，其和 Z nZ_n Zn 近似服从正态分布.2.考虑独立同分布的随机变量 X 1 , X 2 , . . . , Xn , . . . X_1, X_2,..., X_n,... X1,X2,...,Xn,... 的平均值 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i \overline X =\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i X=n1i=1∑nXi, 有E ( X ‾ ) = E(\overline X) = E(X)= μ \mu μD ( X ‾ ) = D(\overline X)= D(X)= σ 2 n\frac{\sigma^2}{n} nσ2,它的标准化随机变量为 X ‾− μ σ / n \frac{\overline X - \mu}{\sigma/ \sqrt{n}}σ/nX−μ即为上述 Y n Y_n Yn, 因此 X ‾− μ σ / n\frac{\overline X - \mu}{\sigma/ \sqrt{n}}σ/nX−μ的分布函数即是上述的 F n ( x ) F_n(x) Fn(x), 因而有lim n → ∞ F n ( x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 2 d t = Φ ( x ) \lim\limits_{n \rightarrow\infty}F_n(x) =\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt = \Phi(x) n→∞limFn(x)=∫−∞x2π1e−2t2dt=Φ(x).由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i \overline X =\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i X=n1i=1∑nXi 的分布近似于正态分布 N N N ( μ , σ 2 n ) (\mu,\frac{\sigma^2}{n}) (μ,nσ2), 这是独立同分布中心极限定理的另一表达形式。
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中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了当从一个总体中随机抽取大量样本时，样本均值的分布会趋向于一个正态分布。
而蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理是中心极限定理的一个特殊情况，它对二项分布和泊松分布进行了精确的描述和推导。
本文将详细介绍中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理的基本概念、证明过程和实际应用。
一、中心极限定理的基本概念
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出对于任意具有有限方差的总体，当从总体中抽取大量的样本进行均值的抽样分布，这些样本均值将会近似服从正态分布。
在具体说明之前，我们先来解释一下什么是总体、样本和样本均值。
总体是指我们研究的对象的整体，例如全国人口的身高数据或者某种产品的质量数据等；而样本则是从总体中抽取出的一部分数据；而样本均值就是这些样本数据的平均值。
在中心极限定理中，我们关心的是当从总体中抽取大量的样本时，这些样本均值的分布情况。
中心极限定理的核心内容可以总结为：当样本量足够大时，不论总体的分布形态是什么样子，抽样均值的分布都近似服从正态分布。
二、中心极限定理的证明过程
中心极限定理有多种不同的证明方法，其中最著名的是林德伯格-列维中心极限定理和莫亚-李维中心极限定理。
林德伯格-列维中心极限定
理是以两数相加得到一数为基本原理，从而证明了中心极限定理的一
般形式；而莫亚-李维中心极限定理则是以特征函数的相乘得到一函数为基本原理，从而得出了中心极限定理的另一种形式。
无论哪种证明方法，它们的核心思想都是利用数学推导和统计学的方法，通过对样本均值进行适当的转换和处理，最终将证明样本均值的
分布近似服从正态分布。
这些证明方法都需要一定的数学基础和技巧，对概率论和数理统计有一定的了解才能够深入理解其证明过程。
三、中心极限定理的实际应用
中心极限定理在实际应用中有着广泛的用途。
例如在工程、经济、医学、环境科学等领域中，我们经常需要对一定的数据进行抽样统计，
然后利用样本均值来推断总体的特征值，比如总体的均值、方差等。
由于中心极限定理，我们可以在不知道总体分布情况的情况下，通过
对样本均值的分布进行分析，来对总体的性质做出推断和判断。
在质量控制、市场调查、产品检验等方面，中心极限定理也有着重要
的应用。
通过抽取样本并分析样本均值的分布情况，我们可以推断出
产品的合格率、市场的销售额等重要信息，从而为企业的决策提供可
靠的依据。
四、蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理
蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理是中心极限定理的一个特殊情况，它对二项分布和泊松分布进行了精确的描述和推导。
蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理指出，当二项分布中的n很大时，二项分布的分布情况可以近似服从正态分布。
具体来说，假设事件A发生的概率为p，不发生的概率为1-p，进行n次独立重复的伯努利试验，事件A发生的次数X服从二项分布
B(n,p)。
当n很大时，二项分布的概率质量函数可以近似为正态分布的概率密度函数。
另外，当泊松分布的参数λ很大时，泊松分布也可以近似服从正态分布。
这一结论被称为泊松分布的极限定理，它是蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理的一个特例。
五、蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理的应用
蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理在实际应用中有着重要的意义。
例如在工业生产中，产品的合格率往往可以用二项分布或泊松分布来描述，而当产品的产量很大时，我们可以利用蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理来进行合格率的估计和推断。
在人口统计学、医学、金融等领域中，泊松分布的极限定理也有着广泛的应用。
通过对事件发生的次数进行分析和推断，我们可以更好地
理解事件的规律性和特征，为决策提供科学依据。
六、结语
中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理是概率论中的重要定理，它们为我们理解数据的分布和推断总体特征提供了重要的理论支持和
方法模型。
通过对中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理的深
入研究和应用，我们可以更好地理解和把握概率统计的核心概念和方法，为实际问题的解决提供科学依据和方法指导。
希望本文可以帮助
读者更深入地理解中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理的内
涵和应用，从而能更好地应用这些定理解决实际问题，推动学科的发
展和应用的提高。