一元二次方程的概念(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)

一元二次方程的概念（知识点考点一站到底）

知识点☀笔记

1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程概念三要素： (1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。

3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2

+bx+c=0（a ≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2

是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

考点☀梳理

考点1：一元二次方程的概念

必备知识点：只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 解题指导：

① 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能

整理为 ax 2

+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

② 将方程化为一般形式：ax 2

+bx+c=0时，应满足（a≠0） 题型1 判断一元二次方程

例1．（2022·江苏泰州·八年级期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A ．()2

224x x -+= B ．2220x x ++=

C ．21

30x x

+

-= D ．21xy +=

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程解决此题．

【详解】解：A ．由（x -2）2+4=x 2，得-4x +8=0，那么（x -2）2+4=x 2不是一元二次方程，故不符合题意． B ．根据一元二次方程的定义，x 2+2x +2=0是一元二次方程，故符合题意．

C ．根据一元二次方程的定义，x 2+1

x

-3=0不是一元二次方程，而是分式方程，故不符合题意．

D ．根据一元二次方程，xy +2=1不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B ．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键． 例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2

C ．x 2-2=x （x -2）

D ．1

1x x

+=

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未

知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；

C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；

D.

1

1x x

+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键． 练习1．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2 C ．x 2-2=x （x -2）

D ．1

1x x

+=

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；

C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；

D.

1

1x x

+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．

练习2．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++= B ．()22

2322x x x -=-

C ．3270x x -+=

D ．()2

240x --=

【答案】D

【分析】根据一元二次方程的定义判断选择即可．

【详解】A ．当0a =时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意； B ．原方程整理得：34x -=-，不是一元二次方程，故不符合题意； C ．3270x x -+=是一元三次方程，故不符合题意； D ．符合一元二次方程的定义，故符合题意； 故选D ．

【点睛】本题考查判断一元二次方程．掌握一元二次方程的定义是解题关键．

练习3．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=

B ．210x y --=

C ．22

1

0x x +

= D ．()()121x x -+=

【答案】D

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．

【详解】解：A 、当a =0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本不选项符合题意； C 、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D 、原方程整理得x 2+x -3=0是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D ．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 题型2 利用一元二次方程的概念求参数

例1．（2022·江苏·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5． (1)为一元二次方程； (2)为一元一次方程． 【答案】(1)m ＝3 (2)m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2

【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案； （2）根据一元一次方程的定义，可得答案．

（1）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5一元二次方程，得12

10m m ⎧-=⎨+≠⎩

，解得m ＝3．当m ＝3时，

关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元二次方程．

（2）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程，得m +1＝0或11

130m m m ⎧-=⎨++-≠⎩，解得m

＝﹣1或m ＝0，m ＝2，当m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

例2．（2022·全国·九年级专题练习）若方程(2)310m m x mx --=是关于的一元二次方程，求m 的值． 【答案】2m =-．

【分析】根据一元二次方程的定义得出m 2=2，20m -≠再求出答案即可．