专题12 函数与方程(解析版)

2023高考一轮复习讲与练
12 函数与方程
练高考 明方向
1.（2022·新高考Ⅰ卷T10）（多选题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A. ()f x 有两个极值点
B. ()f x 有三个零点
C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心
D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切
线 【答案】AC 【解析】
【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，()2
31f x x '=-，令()0f x '>得3x >
或3
x <-，令()0f x '<得
x <<
，
所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以
x =是极值点，故A 正确；因(10f =+>，10f =>，
()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥时，
()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上无零点，综上所述，函数
()f x 有一个零点，故B 错误；令3
()h x x x =-，该函数的定义域为R ，
()()()()3
3h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；
令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程
为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 2.（2022·全国乙（文）T20） 已知函数1
()(1)ln f x ax a x x
=--+． （1）当0a =时，求()f x 的最大值；
（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1- （2）()0,+∞ 【解析】
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得()()()2
11ax x f x x --'=
，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单
调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x
-'=-=， 当()0,1∈x 时，0f x
，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 单调
递减；
所以()()max 11f x f ==-； 【小问2详解】
()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()22
1111ax x a f x a x x x
--+'=+-=， 当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，0f x
，()f x 单调递增；当()
1,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，
11a >，在()10,1,,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上，0f x
，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上，
0f x
，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无
穷大，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2
2
10x f x x -'=
≥，
所以()f x 单调递增，又()110f a =-=， 所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，
11a <，在()10,,1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上，0f x ，
()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭上，0f
x
，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又
()1111ln n n n f a n a a a
a -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a
⎛⎫
⎪⎝⎭
趋近负无穷，
所以()f x
在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；
综上，a 的取值范围为()0,+∞.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
3.（2022·全国乙（理）T21）已知函数()()ln 1e x
f x x ax -=++
（1（当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程； （2（若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）2y x = （2）(,1)-∞- 【解析】
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究
【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e
x x
f x x f =++=,所以切点为(0,0)，11(),(0)21e
x x
f x f x '
'-=
+=+,所以切线斜率为2，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =。

【小问2详解】()ln(1)e x ax f x x =++，()2e 11(1)()1e (1)e
x x x a x a x f x x x '+--=+=++，设()
2()e 1x g x a x =+-
1︒若0a >,当()2
(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>
所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=，故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意
2︒若10a -,当,()0x ∈+∞,则()e 20x
g x ax '=->
所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+,即()0f x '>
所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=，故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意
3︒若1a <-
(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，
(0)10,(1)e 0g a g =+<=>
所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m
当(0,),()0,()x m f x f x '
∈<单调递减。

当(,),()0,()x m f x f x '
∈+∞>单调递增
所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=，当,()x f x →+∞→+∞
所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点，又(0,)m 没有零点, 即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点 (2)当(
)2
(1,0),()e 1x
x g x a x
∈-=+-，设()()e
2x
h x g x ax '
==-，()e 20x h x a '=->
所以()g x '在(1,0)-单调递增，1
(1)20,(0)10e
g a g '
'-=+<=>，所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=
当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减，当(,0),()0,()x n g x g x '
∈>单调递增，
()(0)10g x g a <=+<，又1
(1)0e
g -=
>，所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '= 当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减，有1,()x f x →-→-∞ 而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>，所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点 即()f x 在(1,0)-上有唯一零点，所以1a <-,符合题意
所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-
【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.
4.(2021·北京高考)已知f (x )＝|lg x |－kx －2，给出下列四个结论：
(1)若k ＝0，则f (x )有两个零点；(2)∃k ＜0，使得f (x )有一个零点； (3)∃k ＜0，使得f (x )有三个零点；(4)∃k ＞0，使得f (x )有三个零点． 以上正确结论的序号是__________． 【答案】(1)(2)(4)
【解析】f (x )＝|lg x |－kx －2，可转化成两个函数y 1＝|lg x |，y 2＝kx ＋2的交点问题．对于(1)，当k ＝0时，|lg x |＝2，有两个交点，如图a 所示，(1)正确；对于(2)，存在k ＜0，使y 1＝|lg x |与y 2＝kx ＋2相切，如图b 所示，(2)正确；
对于(3)，若k ＜0，y 1＝|lg x |与y 2＝kx ＋2最多有2个交点，如图c 所示，(3)错误；对于(4)，当k ＞0时，过点(0,2)存在函数g (x )＝lg x (x ＞1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，如图d 所示，故(4)正确． 5.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背
面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为1M ，月球质量为2M ，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
()
()1
21
2
23
M M M R r r R
R r +
=++．设r R α=．由于α的值很小，因此在近似计算中
()
345
32
3331ααααα++≈+，则r 的近似值为 ( )
A
B
C
D
【答案】D 【解析】由r R α=
得R r α=．将其代入到()()121
223M M M R r r
R R r +=++中，可得()()
3
2
1
2
2111M M ααα+-=+，所以()()()
3
345
2322211133311M M αααααααα+-++==≈++，
故r =
． 【点评】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，
注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数()(),0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()+g x f x x a =+．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是
( ) A ．[)1,0- B ．[)0,+∞ C ．[)1,-+∞ D ．[)1,+∞ 【答案】C
解析：由()0g x =得()f x x a =--，作出函数()f x 和y x a =--的图象如图
当直线y x a =--的截距1a -≤，即1a ≥-时，两个函数的图象都有2个交点，即函数()g x 存在2个零点，故实数a 的取值范围是[)1,-+∞，故选C ．
7．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设为正数,且,则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】令,则,,,∴
, 则,,则,故选D ． 【点评】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,在用这个常数表示出对应的
,通过作差或作商进行比较大小．对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式和与的对数表示．
8.(2018·全国Ⅲ高考理科·T15)函数f (x )=cos (3x +π
6)在[0,π]的零点个数为 .
答案:3
【解析】令f (x )=cos (3x +π
6)=0,得3x +π6=π
2+k π,即x =π9+1
3k π,当k =0时,x =π
9∈[0,π],当k =1
时,x =4π
9∈[0,π],k =2时,x =7π
9∈[0,π],所以f (x )=cos (3x +π
6)在[0,π]上零点的个数为3. 9.(2018·天津高考·T14)已知a >0,函数f (x )={x 2+2ax +a ,xd0,
-x 2+2ax -2a ,x >0.若关于x 的方程f (x )=ax
恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围是 .
,,x y z 235x y z
==235x y z <<523z x y <<352y z x <<325y x z <<235x y z
k ===2log x k =3log y k =5log z k =22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8
x k y k =⋅=>23x y >22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32
x k z k =⋅=<25x z <,,x y z 01
答案:4<a <8
【解析】可画出函数f (x )的草图,因为函数f (x )的图象不关于原点对称,而直线y =ax 关于原点对称,所以只有当直线与左右两侧的图象一个有两个交点,一个没有交点才符合题设要求.
联立y =x 2
+2ax +a 与y =ax ,消去y 得:x 2
+ax +a =0,Δ1=a 2
-4a ;同理Δ2=a 2
-8a ; 依题意得:Δ1>0且Δ2<0或Δ1<0且Δ2>0,解得4<a <8.
10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知函数有唯一零点，
则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】法一：，设，
，
当时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值
，设，当时，函数取得最小值，若，函数和没有交点，当时，时，函数和有一个交点，即，所以，故选C ． 法
二
：
由
条
件
，
，得
，
所以，
即为的对称轴，由题意，有唯一零点，∴的零点只能为即
解得． 【考点】函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想
11．(2014高考数学课标1理科)已知函数=,若存在唯一的零点,
2
1
1()2()x x f x x x a e
e --+=-++a =1
2
-1312
1()(
)2
1
102x x f x x x a e
e --=⇒-=-+()11x x g x e e --=+()211
11
1()x x x
x e g x e
e
e -----'=-=()0g x '=1x =1x <()0g x '<()g x 1x >()0g x '>()g x 1x =()12g =()22h x x x =-1x =1-0a ->()h x ()ag x 0a -<()()11ag h -=()h x ()ag x 21a -⨯=-1
2
a =
211()2(e e )
x x f x x x a --+=-++()()()()()
2
21212222x x f x x x a e e --+---=---++()2114442x x x x x a e e --=-+-+++()
2112x x x x a e e --=-++()()2f x f x -=1x =()f x ()f x ()f x 1x =21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=12
a =
()f x 32
31ax x -+()f x 0x
且>0,则的取值范围为 ( )
A ．(2,+∞)
B ．(-∞,-2)
C ．(1,+∞)
D ．(-∞,-1)
【答案】B
【解析】法一：由已知,,令,得或, 当时,; 且,有小于零的零点,不符合题意．
当时,
要使有唯一的零点且>0,只需,即,．选B
法二：由已知,=有唯一的正零点,等价于有唯一
的正零根,
令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记,,
由
,
,
,
,
要使有唯一的正零根,只需,选B
讲典例 备高考
0x a 0a ≠2
()36f x ax x '=-()0f x '=0x =2x a
=
0a >()22,0,()0;0,
,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(0)10f =>()f x 0a <()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()f x 0x 0x 2()0f a
>2
4a >2a <-0a ≠()f x 32
31ax x -+3113a x x
=-1t x
=
33a t t =-+y a =3
3y t t =-+3()3f t t t =-+2
()33f t t '=-+()0f t '=1
t =±()(),1,()0;1,1,()0;
t f t t f t ''∈-∞-<∈->()1,,()0t f t '∈+∞<3
3a t t =-+(1)2a f <-=-函数与方程
零点的定义
零点的判断
二分法
零点存在性定理
判断函数零点的方法
类型一、判断函数零点所在区间 基础知识：
(1)函数零点的定义
对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 基础题型：
1、函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4) 【答案】B 【解析】
法一：定理法
f(x)＝log 3x ＋x －2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续的曲线．
由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log 32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x ＋x －2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．故选B. 法二：图象法
将函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log 3x 和h(x)＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
2．设函数f (x )＝1
3
x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )
A ．在区间⎝⎛⎭⎫
1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点
C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点
D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 【答案】D
【解析】f(x)的定义域为{x|x>0}，f ′(x )＝13－1x ＝x －33x
，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，
∴f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f(1)＝1
3>0，f(e)＝e 3－1＜0，∴f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点．在(1，e)内有零点． 基本方法：
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数的零点存在性定理：首先看函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． （3）函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不能判断不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，不是必要条件，所以在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断。

类型二、判断函数零点的个数 基础知识：
函数零点存在定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 基本题型：
1、若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )
A ．多于4 D ．4 C ．3 D ．2
【答案】B
【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数。

在同一坐标系内作出函数y ＝f(x)及y ＝log 3|x |
的图象，如图，观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点。

故选B 。

2、已知函数f (x )(x ∈R)是奇函数且当x ∈(0，＋∞)时是减函数，若f (1)＝0，则函数y ＝f (x 2－2|x |)的零点共有( )
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
【答案】D
【解析】根据题意，函数y ＝f(x)是定义域为R 的奇函数，则f(0)＝0，当x ∈(0，＋∞)时是减函数，
且f(1)＝0，则函数在(0，＋∞)上只有一个零点，若函数y ＝f(x)是奇函数且当x ∈(0，＋∞)时是减函数，
则f(x)在(－∞，0)上是减函数，又由f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0，则函数在(－∞，0)上只有一个零点．故函数y ＝f(x)共有3个零点，依次为－1,0,1.对于函数y ＝f (x 2－2|x |)，当x 2－2|x|＝－1时，
解得x ＝±1；当x 2－2|x |＝0时，解得x ＝±2或x ＝0；当x 2－2|x |＝1时，解得x ＝1＋2或x ＝－1－ 2.
故函数y ＝f (x 2－2|x |)的零点共有7个．
3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数且满足f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝－x 2＋2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 13
(|x |－1)的零点个数为( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】D
【解析】由题意知，f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x ＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2，由g(x)＝f(x)－log 13
(|x |－1)＝0可得f (x )＝log 13
(|x |－1)，所以将函数g(x)的零
点个数转化为函数f(x)的图象与h(x)＝log 13
(|x |－1)的图象交点个数，对于h (x )
＝log 13
(|x |－1)，定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，因为h(－x)＝log 13
(|－x |
－1)＝log 13
(|x |－1)＝h(x)，所以h(x)＝log 13
(|x |－1)为偶函数，所以画出f(x)和h(x)在y 轴
右侧的图象如图所示，有2个交点，所以f(x)的图象与h(x)＝log 13
(|x |－1)的图象交点个数
为4，即g(x)＝f(x)－log 13
(|x |－1)的零点个数为4.
4、函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________。

【答案】2
【解析】当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f ′(x )＝2＋1
x
>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数。

又因为f(2)＝
－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2。

基本方法：
判断函数零点个数的方法
1．解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，则通过解方程，方程有几个解函数就有几个零点。

2．零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，而且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点。

3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题。

先画出两个函数的图象，两图象交点的个数，就是函数零点的个数。

4.利用函数性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可得函数的零点个数。

类型三、已知函数零点求参数范围 基本题型：
1．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2·a x －m ，x >1，
2x ＋a －m ，x ≤1，其中a >0且a ≠1，若∃m ∈R ，使得函数f (x )有2个
零点，则实数a 的取值范围为( )
A.⎝⎛⎭
⎫0，1
2∪(1,2) B ．(0,1)∪(1,2) C ．(0,1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭
⎫0，1
2∪(2，＋∞) 【答案】B
【解析】令f(x)＝0，g(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2·a x ，x >1，
2x ＋a ，x ≤1，，则g(x)＝m ，故问题转化为y ＝g(x)与y ＝m
的图象有两个交点，显然当0<a<1时，y ＝g(x)与y ＝m 的图象有两个交点；当a>1时，只需2＋a>2a ，解得1<a<2.综上所述，实数a 的取值范围为(0,1)∪(1,2).
2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|x －
1＋1|，x <0，
|x －1|－1，x ≥0，若函数g (x )＝2f (x )－2kx －1有三个零点，则实数k
的取值范围为( )
A.⎣⎡⎭⎫－1，12
B.⎝⎛⎭⎫－∞，－116∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞
C.⎣⎡⎭
⎫－116，12 D.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
－116∪⎣⎡⎭⎫0，12 【答案】D
【解析】由g(x)＝2f(x)－2kx －1＝0得f(x)＝kx ＋1
2
，所以函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝
kx ＋1
2
有三个交点．作出函数f(x)的图象如图所示，
直线y ＝kx ＋12恒过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，当直线与x 轴平行时满足题意，
将直线绕点P 逆时针转动，
当直线过点A(－1,0)时，k P A ＝1
2，此时正好不满足题意，故0≤k<12.由图设直线PC 与曲线y
＝1x ＋1(x<－1)相切，切点为C (x 0，y 0)，y ′＝－1x 2，则k ＝－1
x 20＝y 0－12x 0＝1x 0＋1－
1
2x 0，解得x 0
＝－4，所以k ＝－1
16
.
综上可得，当k ＝－116或0≤k<12时，直线y ＝kx ＋1
2与函数f(x)的图象有三个交点．
3、设函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，g (x )＝log 2(2x －1)，若关于x 的函数F (x )＝g (x )－f (x )－m 在[1,2]上有零点，则实数m 的取值范围为 。

【答案】⎣⎡⎦⎤log 213
，log 23
5 【解析】令F(x)＝0，即g(x)－f(x)－m ＝0。

所以m ＝g(x)－f(x)＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1)＝
log 22x －12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1。

因为1≤x ≤2，所以3≤2x ＋1≤5。

所以25≤22x ＋1≤23，13≤1－
22x ＋1≤35。

所以log 213≤log 2⎝⎛⎭
⎫1－22x ＋1≤log 235，即log 213≤m ≤log 23
5。

所以m 的取值范围是
⎣⎡⎦⎤log 213
，log 235。

基本方法：
由函数零点个数或所在区间求参数的方法
1、直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围；
2、分离参数法：先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决
3、数形结合法：将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函
数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇
偶性等性质及图象求解。

类型四、嵌套函数的零点问题 基本题型：
1、已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|lg (－x )|，x <0，
x 3－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零
点，则实数b 的取值范围是( )
A ．(2,8) D ．⎣⎡⎭⎫2，17
4 C ．⎝⎛⎦⎤2，17
4 D ．(2,8]
【答案】C
【解析】因为函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4＝(x －2)(x 2＋2x －2)，x ≥0，作出f(x)的简图，如图所示。

由图象可得，f(x)在(0,4]上任意取一个值，都有四个不同的x 值与之对应。

再结合题中函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，可得关于t 的方程t 2－bt ＋1＝0有两个不同
的实数根t 1
，t 2
，且0<t 1
≤4，0<t 2
≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝b 2－4>0，
0<b 2
<4，
0－b ×0＋1>0，42
－4b ＋1≥0，
解得2<b ≤
17
4。

2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
＋22，x ≤1，|log 2(x －1)|，x >1，
则函数F (x )＝f (f (x ))－2f (x )－3
2
的零点个数是( )
A ．4 D ．5 C ．6 D ．7
【答案】A
【解析】令f(x)＝t ，则函数F(x)可化为y ＝f(t)－2t －3
2
，则函数F(x)
的零点问题可转化
为方程f(t)－2t －32＝0有根的问题。

令y ＝f(t)－2t －32＝0，即f(t)＝2t ＋3
2，如图①，由
数形结合得t 1＝0,1<t 2<2，如图②，再由数形结合得，当f(x)＝0时，x ＝2，有1个解，当f(x)＝t 2时，有3个解，所以y ＝f(f(x))－2f(x)－3
2
共有4个零点。

3．(多选)定义域和值域均为[－a ，a ](常数a ＞0)的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，则下列说法正确的有( )
A ．方程f (g (x ))＝0有两正数解和一负数解
B ．方程g (f (x ))＝0最多只有二个解
C ．方程f (f (x ))＝0可能存在五个解
D ．方程g (g (x ))＝0有且仅有一个解 【答案】ACD
【解析】设f(x)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1＜x 2＜0＜x 3，设g (x )的零点为x 4，x 4＞0.f (g (x ))＝0，即g (x )＝x 1，有一个解为正数，g(x)＝x 2，有一个解为正数，g (x )＝x 3，有一个解为负数，故A 正确；g(f(x))＝0，则f (x )＝x 4，根据图象知：函数最多有三个交点，故B 错；f(f(x))＝0，即f(x)＝x 1，可能为一个解，f(x)＝x 2，可能为三个解，f(x)＝x 3，可能为一个解，故C 正确；g(g(x))＝0，故g(x)＝x 4，方程有且仅有一个解，故D 正确． 基本方法：
对于一般的“y ＝f(g(x))”的函数的零点问题，解答步骤是：
①换元解套，令t ＝g(x)，则y ＝f(t)，从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数
t ＝g(x)和y ＝f(t)的零点问题；
②依次解方程，令f(t)＝0解出t 的值，然后代入方程g(x)＝t 中解出x 的值。

而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题，在上述解题要诀的基础上，让含参的值动起来，动静
结合、数形结合、抓临界位置进行求解。

类型五、函数的零点与方程的根、函数图象交点互相转化 基础知识：
几个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 基本题型：
1．已知方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是( )
A ．(－5，－4) B.⎝⎛⎭⎫－13
3，－2 C.⎝⎛⎭⎫－13
3，－4 D ．(－5，－2)
【答案】C
【解析】令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，只需⎩⎪⎨⎪
⎧
f (2)>0，f (3)<0，
f (4)>0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
4＋2(m －2)＋5－m >0，9＋3(m －2)＋5－m <0，16＋4(m －2)＋5－m >0，
解不等式组可得－
133<m<－4，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－133，－4，故选C.
2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|x ＋m |，x ≤m ，x 2，x >m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同
的根，则实数m 的取值范围是( )
A ．(0,2)
B ．(－∞，－2)∪(0,2)
C ．(－2,0)
D ．(－2,0)∪(2，＋∞)
【答案】B
【解析】结合f(x)的图象，分情况讨论，当m>0时，要使f(x)＝b 有三个不同的根，
则⎩⎪⎨⎪⎧ |2m |>m 2，m >0⇒0<m<2；当m<0时，要使f(x)＝b 有三个不同的根，则⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2>|2m |，
m <0⇒m<－2；当m ＝0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．所以m 的取值范围是(－∞，－2)∪(0,2)．
3．若函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋4)＝f (x )，且x ∈(－2,2]时，f (x )＝1
2|x |，则函数y ＝f (x )的图
象与函数y ＝lg|x |的图象交点个数为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】C
【解析】∵f(x ＋4)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．又x ∈(－2,2]时，f(x)＝1
2
|x|，∴作出函数f(x)的图象如图所示．
∵x ＝±10时，y ＝lg|±10|＝1，∴由图数形结合可得函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝lg|x|的图象交点个数为8.
4.已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈[0，＋∞)时满足f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2，x ∈[0，1]，
f (x －1)，x ∈(1，＋∞)，则
方程f (x )－x
2＝0的解的个数为________．
【答案】5
【解析】方程f(x)－x
2＝0解的个数即为函数y ＝f(x)的图象与直线y
＝x
2的交点个数，在同一坐标系中作出函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝x 2，如图所示，由图象可知，函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝x
2共有5个交点，即方程f(x)－x
2
＝0的解的个数为5.
5．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . 若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(－1,1)
【解析】设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x .又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ，x ≥0，
－x 2－2x ，x ＜0.
方程f(x)＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f(x)与y ＝a 的图象有3个不同的交点． 作出y ＝f(x)与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f(x)＝a 恰有3个不同的解， 只需－1＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(－1,1)． 基本方法：
求函数多个零点(或方程的根)的和的策略：求函数的多个零点(或方程的根以及直线y ＝m 与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称、直线的对称等)．
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1．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( )
A ．(－1,0)
B ．(2,3)
C ．(1,2)
D ．(0,1)
【答案】D
【解析】令f(x)＝2x ＋x －2，因为f (0)＝20＋0－2＝－1＜0，f (1)＝21＋1－2＝1＞0，所以f(0)f(1)＜0，由函数零点存在定理知，D 正确． 2．下列函数在区间(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A ．y ＝0.3x －1
3
B ．y ＝x 3＋1
C ．y ＝log 13
(－x )
D ．y ＝3x －1
【答案】D
【解析】对于A ，y ＝0.3x －1
3在(－1,1)上单调递减，不符合题意；对于B ，y ＝x 3＋1在(－
1,1)上单调递增，令y ＝x 3＋1＝0，解得x ＝－1，不符合题意；对于C ，log 13
(－x )在[0,1)
上没有定义，不符合题意；对于D ，y ＝3x －1在(－1,1)上有零点x ＝0，且在(－1,1)上单调递增，符合题意．故选D.
3．已知关于x 的方程ax ＋6＝2x 在区间(1,2)内有解，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－4，－1)
B ．[－4，－1] C.⎝⎛⎭⎫－2，－1
2 D ．⎣
⎡⎦⎤－2，－1
2 【答案】A
【解析】根据题意可得ax ＝2x －6，故转化为函数y ＝ax 和y ＝2x －6的图象的交点，如图所示，易知当y ＝ax 过(1，－4)点时，a ＝－4，当y ＝ax 过(2，－2)点时，a ＝－1，所以a 的取值范围是(－4，－1)．
4．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ln x －x 2＋2x ，x >0，
2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】依题意，当x>0时，作出函数y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点；当x ≤0时，函数f(x)＝2x ＋1与x 轴只有一个交点．综上，函数f(x)有3个零点．故选D.
5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】因为函数f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)＝0，即x ＝0是函数f(x)的1个零点．当x>0时，令f(x)＝e x ＋x －3＝0，则e x ＝－x ＋3，分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．根据对称性知，当x<0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3. 6．已知f (x －2)＝ln x －2
x
，且f (x 0)＝0，则x 0所在的区间为( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(4,5)
【答案】A
【解析】f (x －2)＝ln x －2x ，则f (x )＝ln(x ＋2)－2
x ＋2，根据单调性的性质可知f(x)＝ln(x ＋
2)－2
x ＋2是定义域上的增函数，故f(x)在定义域内最多有一个零点．又f(0)＝ln 2－1<0，
f(1)＝ln 3－2
3>0，所以存在x 0∈(0,1)，使得f (x 0)＝0，故选A.
7.函数f (x )＝ln x ＋x －1
2
，则函数f (x )的零点所在区间是( )
A.⎝⎛⎭⎫14，12
B.⎝⎛⎭⎫12，34
C.⎝⎛⎭⎫3
4，1 D ．(1,2) 【答案】C
【解析】易知函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f ⎝⎛⎭⎫34＝ln 34＋14＝ln 34e 4，又(34e)4＝81e<44＝256，∴f ⎝⎛⎭⎫34＝ln 34e 4<0，∵f(1)＝ln 1＋1－12＝12>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，1. 8．(多选)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法错误的有( )
A ．若f (a )f (b )>0，则不存在实数c ∈[a ，b ]，使得f (c )＝0
B ．若f (a )f (b )<0，则存在且只存在一个实数c ∈[a ，b ]，使得f (c )＝0
C ．若f (a )f (b )>0，则可能存在实数c ∈[a ，b ]，使得f (c )＝0
D ．若f (a )f (b )<0，则可能不存在实数c ∈[a ，b ]，使得f (c )＝0 【答案】ABD
【解析】取f (x )＝x 2－1，区间取为[－2,2]，满足f(－2)f(2)>0，但是f(x)在[－2,2]内存在两个零点－1,1，故A 说法错误，C 说法正确；取f(x)＝sin x ，区间取为⎣⎡⎦⎤π6，19π6，满足
f ⎝⎛⎭⎫π6f ⎝⎛⎭⎫19π6＝12×⎝⎛⎭⎫－12＝－1
4<0，但是f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，19π6内存在三个零点π，2π，3π，故B 说法错误；根据函数零点存在定理可知，D 说法错误．
9．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢．”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇．这个问题体现了古代对数列问题的研究．现将墙的厚度改为200尺，则至少需要多少天时间才能打穿？( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】C
【解析】设需要n 天时间才能打穿，则1－2n 1－2
＋1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12≥200，化简并整理得2n －2
2n －199≥0，
令f (n )＝2n －22n －199，则f (7)＝27－227－199<0，f (8)＝28－2
28－199>0，又f(n)在[1，＋∞)
上单调递增，∴f(n)在(7,8)内存在一个零点，∴至少需要8天时间才能打通．
10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2log 2x ，x ≥1，
f (x ＋1)，x <1，
若方程f (x )＝－2x ＋m 有且只有两个不相等的实数根，则实
数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，4]
C ．(－2,4)
D ．(－2,4]
【答案】A
【解析】令g(x)＝－2x ＋m ，画出f(x)与g(x)的图象如图所示，平移直线，当直线经过(1,2)时只有一个交点，此时m ＝4，向右平移，不再符合条件，故m<4.
11．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，对任意的x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )，则函数g (x )＝f (x )－2在(0,8)内所有零点之和为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】D
【解析】函数g(x)＝f(x)－2在(0,8)内零点之和就是f(x)＝2在(0,8)内所有的根的和，就是y ＝f(x)与y ＝2交点横坐标的和．函数y ＝f(x)的图象如图所示，由图可知x 1＋x 2＝2，
x 3＋x 4＝10，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝12.
12．若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 4(x －1)，x >1，
－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( )
A ．[－3,0)
B ．[－1,0)
C ．[0,1)
D ．[－3，＋∞) 【答案】A
【解析】因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，所以函数f(x)存在2个零点，当且仅当f(x)在(－∞，1]上有一个零点．当x ≤1时，f(x)＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象，如图．而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则要使直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点，需－3≤m<0.
13．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ·2x ，x ≤0，
log 2x ，x >0，若关于x 的方程f [f (x )]＝0有且只有一个实数根，则实数
a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)
B ．(－∞，0)∪(0,1)
C ．(0,1)
D ．(0,1)∪(1，＋∞)
【答案】B
【解析】令u ＝f (x )，则f (u )＝0.①当a ＝0时，若u ≤0，f (u )＝0；若u >0，f (u )＝log 2u ＝0，得u ＝1.所以由f [f (x )]＝0，得f (x )≤0或f (x )＝1.如图所示．满足f (x )≤0的x 有无数个，方程f (x )＝1只有一个解，不合乎题意；②当a ≠0时，若u ≤0，则f (u )＝a ·2u ≠0；若u >0，f (u )＝log 2u ＝0，得u ＝1.所以由f [f (x )]＝0，得f (x )＝1，当x >0时，由f (x )＝log 2x ＝1，可得x ＝2，因为关于x 的方程f [f (x )]＝0有且只
有一个实数根，则方程f (x )＝1在x ∈(－∞，0]时无解，当a >0且x ≤0时，f (x )＝a ·2x ∈(0，a ]，故0<a <1；当a <0且x ≤0时，f (x )＝a ·2x <0，合乎题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．
14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ≠0，
0，x ＝0，g (x )＝[f (x )]2＋bf (x )＋c ，如果函数g (x )有5个不同的零
点，则( )
A ．b <－2且c >0
B ．b >－2且c <0
C ．b <－2且c ＝0
D ．b ≥－2且c >0
【答案】C
【解析】由题意，得f (x )为偶函数，其图象如图所示．令t ＝f (x )可知，当t ＝0时，x ＝0，当t >2时，有4个不同的x 值与之对应，由于函数g (x )有5个不同零点，必有一个零点为0，即g (0)＝c ＝0，解得c ＝0，另一个零点t >2，故由根与系数的关系得－b ＝0＋t >2，解得b <－2.
15.已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2|x －
1|－1，0<x ≤2，12f (x －2)，x >2，则函数g (x )＝4f (x )－1的零点个数为( ) A ．4 D ．6 C ．8 D ．10
【答案】D
【解析】由f (x )为偶函数可得，只需作出x ∈(0，＋∞)上的图象，再利用对称性作另一半图象即可。

当x ∈(0,2]时，可以通过y ＝2x 的图象进行变换作出f (x )的图象，当x >2时，f (x )＝
12f (x －2)，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出f (x )在(2,4]，(4,6]，…的图象，如图所示。

g (x )的零点个数即f (x )＝14的根的个数，也即f (x )的图象与y ＝1
4的图象的交点个数，
观察图象可知，当x >0时，有5个交点，根据对称性可得当x <0时，也有5个交点，共计10个交点。

故选D 。

16．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2， x >0，
－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x
的零点个数为________。

【答案】3
【解析】依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－4，
c ＝－2。

令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－2＋x ＝0，或②⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≤0，
－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，
因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3。

17．方程2x ＋3x ＝k 的解在[1,2)内，则k 的取值范围是________。

【答案】[5,10)
【解析】令函数f (x )＝2x ＋3x －k ，则f (x )在R 上是增函数。

当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1,2)内时，f (1)·f (2)<0，即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10。

又当f (1)＝0时，k ＝5。

则方程2x ＋3x ＝k 的解在[1,2)内，k 的取值范围是[5,10)。

18．已知函数f (x )＝|x 2－3x －4|－a 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭
⎫25
4，＋∞∪{0} 【解析】f (x )＝0仅有两个不同零点，等价转化为函数y ＝|x 2－3x －4|与y ＝a 的图象有2个交点，画出函数y ＝|x 2－3x －4|的图象和直线y ＝a 如图，可得a ＝0或a >g ⎝⎛⎭⎫32＝254，即a ∈⎝⎛⎭
⎫254，＋∞∪{0}． 19．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
sin πx ，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞).若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)有且只
有两个不相等的实根x 1，x 2，则x 1＋x 2的值是________． 【答案】3
【解析】画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
sin πx ，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞)的图象如图，因为f (x )＝m (m <0)有且只有两个
不等实根，
即函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有两个不同交点，由图象可得，－1<m <－1
2，所以x 1，x 2
关于直线x ＝32对称，则x 1＋x 2＝3
2
×2＝3.
20．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ，a ≤
b ，
b ，a >b ，函数f (x )＝－e x ＋2e ，g (x )＝e x ，h (x )
＝min{f (x )，g (x )}，若函数Q (x )＝h (x )－k 有两个零点，则k 的取值范围为________． 【答案】(0，e)
【解析】因为f (x )＝－e x ＋2e 单调递减，g (x )＝e x 单调递增，且f (1)＝e ＝g (1)，
故h (x )＝min{f (x )，g (x )}＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ，x ≤1，
－e x ＋2e ，x >1，作出函数h (x )的图。