鲁教版七年级上册数学第三章勾股定理

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七年级数学

个性化培优讲义

第五讲：勾股定理

任课教师：张修伟

数学学科辅导讲义

授课对象授课时间

教学目标掌握勾股定理的公式及应用

教学重点和难点勾股定理的应用

考点分析勾股定理的应用

教学流程及授课详案

第五讲勾股定理

知识点归纳

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2

＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么

这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，

那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

时间分配及备注3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是

直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角等于30°。 5. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线

☆ Round 1 ☆ 小试牛刀

（一）结合三角形：

1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形

2.在∆ABC 中，若2

a =（

b +

c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为

4.已知,0)10(8262

=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是

5.在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________．

6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm ，正方形B 的边长为5cm ，正方形C 的边长为5cm ，则正方形D 的面积是_______cm 2.

7.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________.

8.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于

9.如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为（ ）

A 、25

B 、23

C 、25+2

D 、23+2

10.直角三角形的三边为a-b ，a ，a+b 且a 、b 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）

A 、61

B 、71

C 、81

D 、91 11.已知2512-++-y x x 与25102

+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。

12.已知：在∆ABC 中，三条边长分别为a 、b 、c ，a =12-n ，b =2n ，c =12

+n （n >1）

试说明：∠C=︒90。

☆ Round 2 ☆ 考试必备

（二）、实际应用： 1. 梯子滑动问题：

（1）一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动 米

（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）

（3）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m ，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米

8

6

2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：

（1）直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列式子总能成立的是（ ） A. 2

b ab = B. 2

2

2

2h b a =+ C.

h b a 111=+ D. 2221

11h

b a =+ 变：（2）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AB=

c ，AC=b ，BC=a ，CD=h 。

求证：（1）

2221

11h

b a =+ （2）h

c b a +<+

（3）以h c h b a ++，，为三边的三角形是直角三角形

3. 爬行距离最短问题：

1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm ，得到1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）

（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图a ，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连结AE 、1EC ，昆虫乙如果沿途径1C E A →→爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。

（2）如图b ，假设昆虫甲从点1C 以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C C 1向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？

试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点1C 沿棱C C 1向顶点C 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间

D

A

B

C