高一常见逻辑术语

高中数学第一单元 常用逻辑用语

考点分析

1、理解命题的含义，能判断给定陈述句是否为命题，能把命题改写成“若p ，则q ”的形式；了解四种命题的关系，会用等价命题判断真假；了解命题的否定与否命题的区别．

2、掌握充分条件和必要条件判断；了解充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分又不必要条件，充要条件条件的含义．

3、理解简单的逻辑联词“或”、“且”、“非”的意义，能运用有关符号和术语．

4、了解全称命题p ：x M ∀∈，()p x ，及否定p ⌝：0x M ∃∈，()0p x ⌝；了解特称

命题p ：0x M ∃∈，()0p x ，及否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；了解符号“∀”，“∃”，“∧”，“∨”的正确使用．

第1课时 命题及其关系

例题选讲

例 1 判断下列语句中哪些是命题？若是命题则指出是真命题还是假命题；若不是命题说明理由．

（1）函数1

2y x =在()0,+∞上是增函数；

（2）若空间两条直线没有公共点，则这两条直线平行；

（3）若2x π

<，则x 是锐角；

（4）若数列的前n 项和的公式为2n S pn qn r =++，则这个数列是等差数列；

（5）等式0x π--=是恒等式； （6）若21x >，则1x >．

分析：判断一个语句是不是命题，关键要看它第一是否为“陈述句”，第二是否“可以判断真假”这两个条件．

解：上面6个语句都是命题，其中（1）（5）是真命题，（2）（3）（4）（6）是假命题． 例2 将下列命题改写成“若p ，则p ”的形式，并判断真假：

（1）边长比为1：2的两个正方形面积的比为1：8；

（2）二面角的平面角的范围是0,180⎡⎤⎣⎦

； （3）34≤．

分析：数学中有一些命题表面上不是“若p ，则q ”的形式，但把它的表述作适当改变，是可以写成“若p ，则q ”的形式的．

解：（1）若两个正方形边长的比为1：2，则这两个正方形面积的比为1：8．它是假命题，面积的比应该为1：4．

（2）若一个角是一个二面角的平面角，则它的范围是0,180⎡⎤⎣⎦

．它是假命题，它的范围应该是()0,180 ．

（3）若两个数分别为3和4，则34≤．它是真命题，∵34≤的含义是34<或34=． 例3 已知原命题“若实数0xy ≠，则0x ≠，且0y ≠”，写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

分析 把原命题的条件和结论对调或否定，就得到逆命题、否命题和逆否命题，再利用四种命题的等价关系求解．

解：逆命题：若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠，逆命题是真命题；

否命题：若0xy =，则0x =或0y =，否命题是真命题；

逆否命题：若0x =或0y =，则0xy =，逆否命题是真命题．

例4 把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

（1） 方程2560x x -+=的解是3x =；

（2） 23<；

（3） 对顶角相等．

分析：有些命题表面上没有“若p ，则q ”用语，但把它的表述作适当改变，就可以了． 解：（1）原命题：若2560x x -+=，则3x =，是假命题；

逆命题：若3x =，则2560x x -+=，是真命题；

否命题：若2560x x -+≠，则3x ≠，是真命题；

逆否命题：若3x ≠，则2560x x -+≠，是真命题．

（2）原命题：若3x =，2y =，则y x <，是真命题；

逆命题：若y x <，则3x =，2y =，是假命题；

否命题：若3x ≠，2y ≠，则y x ≥，是假命题；

逆否命题：若y x ≥，则3x ≠，2y ≠，是真命题．

（3）原命题：若A O B ∠与C O D ∠是对顶角，则A O B C O D ∠=∠，是真命题； 逆命题：若A O B C O D ∠=∠，则A O B ∠与C O D ∠是对顶角，是假命题； 否命题：若A O B ∠与C O D ∠不是对顶角，则A O B C O D ∠≠∠，是假命题； 逆否命题：若A O B C O D ∠≠∠，则A O B ∠与C O D ∠不是对顶角，是真命题． 配套练习

1、判断下列命题的真假，真命题在括号内写“真”，假命题在括号内写“假”：

（1）若22

x y =，则x y =（ ）；

（2）对于∀x R ∈，都有10x ≤ （ ）；

（3）若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线的对称轴平行或重合（ ）；

（4）若函数()f x 的定义域是R ，则函数()()()1

2F x f x f x =--⎡⎤⎣⎦是奇函数（ ）

． 2、下列语句不是命题的是

①、飞船是太阳系的行星 ②、2和3的最小公倍数是6

③、4x > ④、方程2230x x ++=有实数根

3、下列语句是命题的是

①、奇函数图像关于原点成中心对称吗？ ②、你刚才到哪里去了？

③、函数()0,1x y a a a =>≠在R 上递增 ④、12≤．

4、下列语句中是命题的有 ，其中是真命题的有 （写出序号）． ①“祝你生日快乐！”；②“垂直于同一直线的两个平面平行”；③“一个数不是负数，

则这个数必是正数”；④“若集合{}

,A a a b Q =+∈，则1A ∉”；⑤“作l α⊥”．

5、有下列四个命题：①“若0a b +=，则a 、b 互为相反数”的逆命题；②“若x y >，则22x y >”的逆否命题；③“若2x ≥，则260x x +->”的否命题；④“若常数α是无理数，则y x α=不是幂函数”的逆否命题．其中真命题是 （写出序号）

6、设原命题为“已知a ，b 是实数，若a +b 是无理数，则a 、b 都是无理数”写出它

的逆命题，逆否命题及命题的否定，并分别判断它们的真假．

第2课时 充分条件与必要条件

例题选讲

例1下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中p 是q 的充分条件？哪些命题中p 是q 的必要条件？

（1）若直线l 垂直于平面α内的任意直线g ，则直线l 垂直平面α；

（2）若23x -<<，则2x <；

（3）若22am bm >，则a b >； （4）若0b =，则函数()2

f x ax bx c =++是偶函数； （5）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则直线与双曲线有一个公共点；

（6）若数列{}n a 的通项公式n a （*

n N ∈）是n 的一次函数，则数列{}n a 是等差数列． 分析：若p q ⇒时，称p 是q 成立的充分条件，同时也称q 是p 成立的必要条件；