圆的一般方程(说课稿)
圆的一般方程(说课稿)
圆的一般方程说课稿【一】教学背景分析1．教材结构分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.2.学情分析圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3．教学目标知识与技能：(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径(3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程(4)能用坐标法求动点的轨迹方程过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。
(3)增强学生应用数学的意识.情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。
(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.根据以上对教材、学情及教学目标的分析，我确定如下的教学重点和难点：4. 教学重点与难点重点：(1)．圆的一般方程。
(2)．待定系数法求圆的方程.(3)坐标法求动点的轨迹方程难点：圆的一般方程的应用，待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设问题情境，利用《几何画板》软件作动态演示，既激发了学生的学习兴趣，又直观的诱导了学生的思维过程. 2．学法分析众所周知， 高中数学教学不但要传授给学生基本的数学知识与技能，更要注重过程与方法，态度情感与价值观，因此我在教学活动中，不断地设置问题，提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，讨论交流，使学生在积极的学习中解决问题。
高中数学说课稿：《圆的标准方程》.doc
高中数学说课稿：《圆的标准方程》"说课"有利于提高教师理论素养和驾驭教材的能力，也有利于提高教师的语言表达能力，因而受到广大教师的重视，登上了教育研究的大雅之堂。
下面是我为大家收集的关于高中数学说课稿：《圆的标准方程》，欢迎大家阅读借鉴!高中数学说课稿：《圆的标准方程》【一】教学背景分析1.教材结构分析《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.2.学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3.教学目标(1) 知识目标：①掌握圆的标准方程;②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程;③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.(2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用;③增强学生用数学的意识.(3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识;②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4. 教学重点与难点(1)重点:圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程;②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用"启发式"问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程.2.学法分析通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求的过程.下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：【三】教学过程与设计整个教学过程是由七个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：创设情境启迪思维深入探究获得新知应用举例巩固提高反馈训练形成方法小结反思拓展引申下面我从纵横两方面叙述我的教学程序与设计意图.首先：纵向叙述教学过程(一)创设情境——启迪思维问题一已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?通过对这个实际问题的探究，把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线的方程来解决.一方面帮助学生回顾了旧知——求轨迹方程的一般方法，另一方面，在得到汽车不能通过的结论的同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题.用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节.(二)深入探究——获得新知问题二 1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?2.如果圆心在，半径为时又如何呢?这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，得到圆心在原点，半径为4的圆的标准方程后，引导学生归纳出圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究.我预设了三种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、图形变换法、向量平移法.得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节.(三)应用举例——巩固提高I.直接应用内化新知问题三 1.写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点，半径为3;(2)经过点，圆心在点.2.写出圆的圆心坐标和半径.我设计了两个小问题，第一题是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，第二题是给出圆的标准方程求圆心坐标和半径，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究圆的切线问题作准备.II.灵活应用提升能力问题四 1.求以点为圆心，并且和直线相切的圆的方程.2.求过点，圆心在直线上且与轴相切的圆的方程.3.已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程.你能归纳出具有一般性的结论吗?已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是什么?我设计了三个小问题，第一个小题有了刚刚解决问题三的基础，学生会很快求出半径，根据圆心坐标写出圆的标准方程.第二个小题有些困难，需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解，从而理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.第三个小题解决方法较多，我预设了四种方法再一次为学生的发散思维创设了空间.最后我让学生由第三小题的结论进行归纳、猜想，在论证经过圆上一点圆的切线方程的过程中，又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮.III.实际应用回归自然问题五如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度(精确到0.01m).我选用了教材的例3，它是待定系数法求出圆的三个参数的又一次应用，同时也与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，培养了学生建模的习惯和用数学的意识.(四)反馈训练——形成方法问题六 1.求过原点和点，且圆心在直线上的圆的标准方程.2.求圆过点的切线方程.3.求圆过点的切线方程.接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中，我设计三个小题作为巩固性训练，给学生一块"用武"之地，让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心.另外第3题是我特意安排的一道求过圆外一点的圆的切线方程，由于学生刚刚归纳了过圆上一点圆的切线方程，因此很容易产生思维的负迁移，另外这道题目有两解，学生容易漏掉斜率不存在的情况，这时引导学生用数形结合的思想，结合初中已有的圆的知识进行判断，这样的设计对培养学生思维的严谨性具有良好的效果.(五)小结反思——拓展引申1.课堂小结把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法①圆心为，半径为r 的圆的标准方程为：圆心在原点时，半径为r 的圆的标准方程为：.②已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：.2.分层作业(A)巩固型作业：教材P81-82：(习题7.6)1，2，4.(B)思维拓展型作业：试推导过圆上一点的切线方程.3.激发新疑问题七 1.把圆的标准方程展开后是什么形式?2.方程表示什么图形?在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备.以上是我纵向的教学过程及简单的设计意图，接下来，我从三个方面横向的进一步阐述我的教学设计：横向阐述教学设计(一)突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点.第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题，主要是因为应用问题的题目冗长，学生很难根据问题情境构建数学模型，缺乏解决实际问题的信心，为此我首先用一道题目简洁、贴近生活的实例进行引入，激发学生的求知欲，同时我借助多媒体课件的演示，引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从而消除畏难情绪，增强了信心.最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式，并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题——问题五.这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破.(二)学生主体教师主导探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的.另外，我重点设计了两次思维发散点，分别是问题二和问题四的第三问，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务.(三)培养思维提升能力激励创新为了培养学生的理性思维，我分别在问题一和问题四中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中，我利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，使能力与知识的形成相伴而行.以上是我对这节课的教学预设，具体的教学过程还要根据学生在课堂中的具体情况适当调整，向生成性课堂进行转变.最后我以赫尔巴特的一句名言结束我的说课,发挥我们的创造性，力争"使教育过程成为一种艺术的事业".。
圆的一般方程教案(正式)讲课讲稿
4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以 表示圆。
使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
《圆的一般方程》教学设计与反思
《圆的一般方程》教学设计与反思一、教材分析：圆的一般方程是解析几何的内容。
学习圆的线性方程和标准方程后学习。
圆是一种特殊的曲线。
在现行的职业学校教材中，圆是唯一要求的曲线。
这也是职业学校学生理解曲线和方程的方法。
它在解析几何中起着重要的作用。
2、学术分析：对于职业学校的学生来说，数学属于“难攻”的科目，基础差，学习兴趣不高，缺乏主动性。
因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素，由易到难，层层递进，激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。
三、教学目标：（一）知识与技能：1.理解和掌握圆的一般方程的形式，能将圆的标准方程转化为一般方程；2．明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；3.逐步学会用匹配法将圆的一般方程表示为标准方程。
（二）过程和方法：1.从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力；2.随着探索和研究的不断推进，学生将逐渐发现圆的一般方程的特点，培养观察和归纳的能力；3．通过一题多解，培养学生发散思维；4.在合作交流中采用问题展示的方式，引导学生积极探索、积极学习，培养合作精神。
（三）情感态度与价值观：借助多媒体课件，让学生感受数与形的内在和谐，提高学习数学的兴趣。
四、教学重点：1.一般圆方程的形式；2.在圆的一般方程中，求圆心坐标和半径.五、教学难点：用匹配法求圆的中心坐标和半径六、教学过程：在教学环节中，教师的活动以学生的活动为前提，学生回答学生展开和整理，猜测结论：圆的方程是二元二次方程，学生展开和整理，显示整理结果，学生观察和讨论，并总结了圆的一般方程所满足的特性① ②③ 学生回忆匹配方法，并讨论圆的一般方程的特征④ 教师和学生共同得出结论，圆的标准方程和一般方程可以相互转换。
设计意图是通过整理特定圆的标准方程，复习旧知识，为本课做准备，让学生从感性的角度了解圆的一般方程的形式，然后在一般条件下进行探索和研究。
初中圆的方程教案
初中圆的方程教案
教学目标：
1. 了解圆的方程的概念和意义。
2. 学会用圆的标准方程和一般方程表示圆。
3. 能够熟练地运用圆的方程解决实际问题。
教学重点：
1. 圆的方程的概念和意义。
2. 圆的标准方程和一般方程的表示方法。
3. 运用圆的方程解决实际问题。
教学准备：
1. 教学课件或黑板。
2. 圆的模型或图片。
3. 练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 向学生介绍圆的概念，引导学生回顾圆的性质。
2. 提问：圆有什么特殊的性质？我们可以用什么方式来表示圆？
二、新课讲解（15分钟）
1. 介绍圆的方程的概念和意义。
2. 讲解圆的标准方程和一般方程的表示方法。
3. 通过示例，让学生理解圆的方程的含义和运用。
三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成练习题，巩固对圆的方程的理解。
2. 引导学生运用圆的方程解决实际问题。
四、总结与拓展（10分钟）
1. 对本节课的内容进行总结，让学生掌握圆的方程的概念和表示方法。
2. 引导学生思考圆的方程在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
教学反思：
本节课通过导入、新课讲解、课堂练习和总结与拓展环节，让学生了解了圆的方程的概念和意义，学会了用圆的标准方程和一般方程表示圆，并能够运用圆的方程解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，通过示例和练习题让学生充分理解和掌握圆的方程的表示方法。
同时，也要注重培养学生的思维能力和实际应用能力，让学生能够将所学知识运用到实际问题中。
圆的一般方程(教学设计)
《圆的一般方程》教案设计一、学情分析:圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，是研究二次曲线的开始。
这里主要是用解析法研究它的方程及与其它图形的位置和应用。
但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，对坐标法的运用还不够熟练，学生在探究问题的能力方面比较薄弱。
因此，根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认识结构，我特制定如下教学目标。
二、教学目标： 1、知识与技能目标：（1）将圆的标准方程(x –a)2+(y –b)2=r 2，展开得x 2+y 2–2ax –2by+a 2+b 2–r 2=0——①令D=–2a ，E=–2b ，F=a 2+b 2–r 2，则①式可写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，从而得到圆的一般方程及其方程特点，同时也让学生掌握了这一知识点。
（2）通过设问：是不是任何一个形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆？将方程配方得(x+D 2)2+(y+E 2)2=D 2+E 2–4F 4，对比圆的标准方程：(x –a)2+(y –b)2=r 2，让学生学会能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出其圆心(–D 2，–E2)，r=D 2+E 2–4F 2。
（3）通过例2，培养学生能用待定系数法来求圆的方程。
（4）通过例3，提高学生用坐标法求动点轨迹方程的通知。
2、过程与方法目标：通过展开圆的标准方程(x –a)2+(y –b)2=r 2导出圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0这一过程加深了学生在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，培养了学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度，通过例1、例3补充题的练习，培养学生数形结合思想、方程思想，提高学生分析问题和解决问题的能力，同时学生用代数方法研究几何问题的能力也得到了一定的提高。
3、情感、态度与价值目标：由学生动手，展开圆的标准方程：(x–a)2+(y–b)2=r2得x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0中令D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0——①，由学生分组讨论得出方程①表示圆的条件，圆的一般方程形式以及圆的一般方程与标准方程的转化和关系，培养了学生勇于思考问题，主动探究知识和合作交流的价值，同时在探讨中也激发了学生的学习兴趣，因此这一过程体现了情感、态度和价值目标。
圆的一般方程(优质课)
解：[方法二]
P O
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 )
x2 + y 2 - m = 0 x + y -1 = 0
Q
2x - 2x + (1 - m) = 0
2
同理y1 y2 = 1- m 2
1- m x1 x2 = 2
OP OQ
x1 x2 + y1 y2 = 0 (2)
将
2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y
左边配方，得
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x+ ) + (y+ ) = 4 2 2
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
2 2
它表示以
D E , 2 2
为圆心,
D + E 4 F 以 r= 2
为半径的圆;
2
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
62 - 4 (-9) 0 该曲线为圆.
直译法
举例 例3：
已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x + 1) + y = 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
练习
x + y - 8x - 6 y + 21 = 0
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 D 2 + E 2 - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
(完整版)圆的一般方程教案(正式)
人教A版高中数学实验教科书选修2 —1 《圆的一般方程》教案4.2.1圆的一般方程•教学目的与要求一、知识目标：（1）理解记忆圆的一般方程的代数特征。
（2）掌握方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圆的条件。
二、能力目标：（1）能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。
（2）能应用待定系数法求圆的一般方程。
（3）能应用代入法求一般曲线的方程。
（4）培养探索发现及分析解决问题的能力。
三、情感目标：（1）培养学生勇于探索的精神。
（2）渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。
•教学重点圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程的步骤•教学难点圆的一般方程和代入法的掌握、应用•教学方法师生合作式探究诱导启发式教学•教学辅助多媒体教学平台CAI课件•教学过程与时间分配一、复习提问，引入课题二、探索研究，讲授新课三、例题讲解，对应练习四、课堂小结，反馈回授五、分层作业，巩固提高（3分钟）（22分钟）（16分人教A 版高中数学实验教科书选修 2 — 1 《圆的一般方程》教案教学基本内容设计意图 -2 -一、 复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0), (1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识, 最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很 麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提 问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究 圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、 探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程： 2 2 2、 ,(x a) (y b) r 、圆心(a ， b)、半径 r这个方程就是圆的方程•反过来给出一个形如x 1 2 y 2 Dx Ey F 0的方程，它表 示的曲线一定是圆吗？把x 2 y 2 Dx Ey F 0配方得： 2 2 2Do. E 2 D E 4F (x —) (y )-------------------4【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
圆的一般方程教学设计
圆的一般方程教学设计教学内容：圆的一般方程教学目标：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．（3）能初步运用圆的一般方程知识处理问题。
教学重点：（1）圆的一般方程的代数特征；（2）一般方程与标准方程间的互化；教学难点：圆的一般方程的探求过程。
教学过程：复习：圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2 ，表示圆的圆心为（a,b ）,半径为r （r>0）复习习题：判断下列方程是否为圆的标准方程，如果是， 请写出其圆心和半径。
1）4)5()3(22-=-++y x 2）0)2()2(22=-+-y x 3）9)2()1(22=++-y x引入：学生通过判断可知，复习习题3）是一个圆的标准方程，将3）展开，整理，可得：9441222=++++-y y x x44222=-+-+y x yx然后告诉学生这种形式的方程就是圆的一般方程。
将系数替换成字母，可写成：022=++++F Ey Dx yx①反馈练习：通过观察判断下列方程是否为圆的一般方程：1）0954322=++-++y x xy yx2）0114222=-+-+y x yx3）08842222=-+-+y x y x通过上面的反馈练习，引导学生总结出一般方程形式上具有的两个特点：（1）都是关于x 、y 的二元二次方程，2x 、2y 的系数均为1；（2）不含xy 这样的项。
提问：我们能否说具有这种形式的二元二次方程就一定表示圆呢？利用几何画板的演示让学生得知，该方程只有在符合某种条件的情况下才表示一个圆。
设问：那么在什么情况下，方程022=++++F Ey Dx yx 才表示一个圆呢？将方程①配方，得：FE D E Ey y D Dx x-+=+++++222222)2()2()2()2(44)2()2(2222FE D E y D x -+=+++引导学生将上式与圆的标准方程 222)()(rb y a x =-+-相比较，可得：a 对应2D -，b 对应2E -,2r 对应4422FE D-+故得出以下结论：(1) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程①不表示任何图形 (2)当D 2＋E 2－4F=0时，方程①表示一个点（2D -，2E -）(3)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程①表示 以（2D -，2E -）为圆心，以FED42122-+为半径的圆当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程022=++++F Ey Dx y x 表示一个圆，我们把这个方程叫做圆的一般方程。
圆的标准方程的说课稿
阐述教学设计
突出重点 抓住关键 突破难点
求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由 浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的 关系，逐步理解三个参数的重要性，在突出重点的同时突破了难点.
第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题， 主要是因为应用问题的题目冗长，学生很难根据问题情境构建数学模 型，缺乏解决实际问题的信心，为此我首先用一道题目简洁、贴近生 活的实例进行引入，激发学生的求知欲，引导学生真正走入问题的情 境之中，并从中抽象出数学模型，从而消除畏难情绪，增强了信心.最 后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式，这样的设计， 使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破.
创设情境——启迪思维
问题一 已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中 心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？
设计意图 ：
通过对这个实际问题的探究，把学生的思维由用勾股定理求线段CD的 长度转移为用曲线的方程来解决.一方面帮助学生学习了求轨迹方程的一 般方法，另一方面，在得到汽车不能通过的结论的同时学生自己推导出 了圆心在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的 主题.用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于 实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保 持，而且易于迁移.
以上是我对这节课的教学预设，具体的教学过程还要根据学生在 课堂中的具体情况适当调整 .力争使学生感到学习数学是一种享受.
பைடு நூலகம்
教学目标
(1) 知识目标：
①掌握圆的标准方程； ②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆 的标准方程； ③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.
圆的一般方程
4．1．2圆的一般方程主要概念：圆的一般方程――022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )。
轨迹方程-----是指点动点M 的坐标),(y x 满足的关系式。
一、重点难点本节教学重点是掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程，难点是二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程。
二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。
编写形式上采用了特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。
第一板块问题提出解读方程014222=++-+y x y x 表示什么图形？方程064222=+--+y x y x 表示什么图形？对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形式，第一个方程为4)2()1(22=++-y x ，它表示以(1，-2)为圆心，2为半径的圆；第二个方程为1)2()1(22-=-+-y x ，由于不存在点的坐标),(y x 满足这个方程，所以它不表示任何图形。
第二板块探索研究解读方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++。
(1)当0422>-+F E D 时，方程表示以)2,2(E D --为圆心，F E D 42122-+为半径的圆；(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点)2,2(E D --；(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
关于y x ,的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 成为圆方程的充要条件是(1)2x 和2y 的系数相同且不等于0，即A=C ≠0；(2)没有xy 这样的二次项，即B=0；(3)0422>-+AF E D 。
对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求出圆的圆心坐标和半径。
根据已知条件求圆的方程，仍然采用待定系数法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据已知条件而定。
圆的一般方程教案
圆的一般方程教案一、教学目标知识与技能1、在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．2、能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能由已知条件用待定系数法求圆的方程。
过程与方法通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
二、教学重点与难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化；根据已知条件确定方程中的系数：D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、理解和运用.三、教学过程（一）复习回顾复习回顾上节课所学的圆的标准方程，由标准方程指出圆的圆心坐标与半径。
然后引导学生在草稿纸上，将圆的标准方程展开，通过动手实践，观察展开后的方程特征，引入本节课内容——圆的一般方程.（二）新知探究1、方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0在什么条件下表示的圆？（1）当2240D E F +->时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 （2）当时 ，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 （3）当 时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 2、方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆 只有当2240D E F +->时，2240D E F +-=2240D E F +-<它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？3、当D=0，E=0或F=0时，圆 的位置分别有什么特点？ 设计意图：通过对方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究, 理解并掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．（三）巩固练习总结出圆的一般方程的特点之后，利用5个巩固练习来强化学生对圆的一般方程的理解，然后归纳圆的标准方程与一般方程各自特点，进行对比记忆。
(完整版)圆的一般方程教案(正式)
4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以 表示圆。
使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
圆的一般方程教案(正式)
●教学难点
圆的一般方程和代入法的掌握、应用
●教学方法
师生合作式探究诱导启发式教学
●教学辅助
多媒体教学平台CAI课件
●教学过程与时间分配
一、复习提问，引入课题（3分钟）
二、探索研究，讲授新课（22分钟）
三、例题讲解，对应练习（16分钟）
四、课堂小结，反馈回授（3分钟）
五、分层作业，巩固提高（1分钟）
问题：这个方程是不是表示圆？
⑴当 ﹥0时，方程表示以(- ， )为圆心，以
为半径的圆.
⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容.
⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.
⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.
⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.
课题
圆的一般方程
课型
新
授课课时
1课时
授课时长
45分钟
授课题目(章，节)
第四章第一节4.2.1圆的一般方程
教材及参考书目
人教A版高中数学实验教科书必修2
●教学目的与要求
一、知识目标：(1)理解记忆圆的一般方程的代数特征。
(2)掌握方程 表示圆的条件。
二、能力目标：(1)能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。
【教师讲解】：设点M的坐标是( , )，点A的坐标是( , )，由于点B的坐标是(4,3)，且M是线段AB的中点，所以有：
，
于是有 ，
因为点A在圆 上运动，所以点A的坐标满足方程
即
把①代入②，得:
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圆的一般方程说课稿
【一】教学背景分析
1．教材结构分析
《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.
2.学情分析
圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：
3．教学目标
知识与技能：
(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点
(2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径
(3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程
(4)能用坐标法求动点的轨迹方程
过程与方法：
(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；
(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单
到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强
化学生的观察，思考能力。
(3)增强学生应用数学的意识.
情感，态度与价值观：
(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；
(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。
(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.
根据以上对教材、学情及教学目标的分析，我确定如下的教学重点和难点：
4. 教学重点与难点
重点：(1)．圆的一般方程。
(2)．待定系数法求圆的方程.
(3)坐标法求动点的轨迹方程
难点：圆的一般方程的应用，待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：
【二】教法学法分析
教法分析
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设问题情境，利用《几何画板》软件作动态
演示，既激发了学生的学习兴趣，又直观的诱导了学生的思维过程. 2．学法分析
众所周知， 高中数学教学不但要传授给学生基本的数学知识与技能，更要注重过程与方法，态度情感与价值观，因此我在教学活动中，不断地设置问题，提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，讨论交流，使学生在积极的学习中解决问题。
因此我的教学贯穿“疑问”—“思考”—“探究与发现”—“问题解决”四个环节。
教学中，我很关注学生已有的认知结构，学生数学思维的形成，以期提高学生的数学素养，实现素质教育的目标。
课件运行说明
【三】教学过程与设计意图
我的整个教学过程是由问题链驱动的，共分为六个环节，分别为：
复习引入 ⇒问题设置 启迪思维⇒ 深入探究 获得新知⇒ 应用举例 巩固提高⇒反馈训练 形成方法⇒小结反思 拓展引申 幻灯片 1 【引入】
圆的标准方程：()()2
2
2
r
b y a x =-+-02222222=-++--+r b a by ax y x 把它展开得：的方程．
任何圆的方程都可以通过展开化成形如：
22=++++F Ey Dx y x ①
（一）复习引入
针对城中学生基础,学习能力等特
点,在课堂上最有效的课前复习，对学生进行巩固性训练.
幻灯片 2
【问题1】
形如①的方程的曲线是否都是圆？
22=++++F Ey Dx y x ①
（二）.给出问题-- 启迪思维：
通过给出问题，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的学
习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，
不但易于保持，而且易于迁移. .
幻灯片 3
【尝试1】
判断下列方程是否为圆的方程？022=+y x 044222=-+-+y x y x 0
64222=++-+y x y x 1.2.3.
通过尝试（1）给出的三种类型的二元二次方程，通过配方法学生自己总结出问题1的答案。
幻灯片
4
这样设计,目的在于:
(1) 使新知识建立在学生已有的知识
之上,是旧知识的应用与延伸; (2) 突破教学难点:形如
2x +2y +Dx+Ey+F=0的方程在
什么条件下表示圆?认识到方程
2x +2y +Dx+Ey+F=0可能表示
圆,但不一定,促使学生进一步探究在什么条件下,一定表示圆; (3) 采用从特殊到一般,由具体到抽
象的认知方式.
幻灯片
5
（三）．深入探究 获得新知 通过尝试（2）的总结给出圆的一般方程的定义。
针对学习中,学生容易忽视前提条件2
D +2
E -4F>0,通过对2
D +2
E -4
F 符号的分类讨论，使问题化难为易，突破难点,也让学生充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力.之后得到圆的一般方程的完整表述。
幻灯片
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(四）应用举例 巩固提高 我设计了由特殊到一般的两个问题，一是巩固了本节所学的有关知识；二是让学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，增强学生应用数学的意识；三是这两个问题解决方法不唯一，我预设了两种方法，再一次为学生的发散思维创设了空间.对于这个问题，可以让学生用配方法和公式法两种方法解决； 幻灯片
7
给出练习1解题的完整步骤，学生改正解题步骤中不完整的部分。
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标准方程几何特征明显；一般方程代数特征明显。
通过让学生比较，体会，可以进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力，强化学生的观察，思考能力。
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例1是为圆的一般方程的应用而设置的。
主要是让学生根据题设条件，运用待定系数法确定圆的一般方程中的系数D,E,F,从而求出圆的一般方程。
例题中没有给出图形，教学时，要求学生画出图形，加强数与形的联系。
“待定系数法”是数学中常用的方法，以前已学习过，例如求直线的方程，由已知条件确定二次函数等等。
教学中，我要求学生把例1的解题方法与上节例题中求圆的标准方程的解题方法作比较，谈体会，目的在于总结经验，归纳使用待定系数法的一般步骤，教学中，我没有直接给出，而是让学生进行合作，交流，讨论得到。
幻灯片 11
幻灯片
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（五）反馈训练 形成方法
在这一环节中，我设计了两块作为巩固性训练，给不同层次的学生一块“用武”之地，让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心. 学数学虽然不是为了考试，但是我们也必须面对祖国的选拔，关注高考的动态，故此 幻灯片
13
让学生通过对这个问题的解决，理解用坐标法求动点的轨迹方程的思想方法，并掌握其一般步骤。
教学时，我利用《几何画板》软件作动态演示，如图，当点A 在圆上运动时，追踪点M,M 的轨迹是一个圆，学生清楚地看出，点A 的运动引起点M 的运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程2
(1)x +2
y =4.建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标（x,y ）之间的关系，求出点M 的轨迹方程。
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（六）小结反思 拓展引申
通过学生的讨论交流，把圆的一般方程加以小结，归纳总结用待定系数法及坐标法解题的基本步骤，提炼分类讨论，化归转化，数形结合等数学思想。
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通过设置作业，让每一位同学都能体验到学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心.
教学反思
成功之处：
“圆的一般方程”一节课是高一数学中圆锥曲线的一个重要内容。
通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解圆的一般方程的求法及圆的一般方程圆的特点,又可使学生加深对圆的一般方程同圆的标准方程间的相互转化，还为日后解决解析几何综合题的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。
根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取提出问题引导发现式教学方法,提出问题让学生思考得出答案,并让学生自己动手操作解决问题。
教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成教师注入知识的“容器”，通过自己动脑和动手解决了问题,体验到成功的快乐和喜悦.采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，使教学目标更完美地体现。
不足之处：
本节课教学内容上主要是强调圆的一般方程的判别式,用其判断曲线是否是圆,应该同时指点学生将方程配方也可以.而这一点能很好的树立学生对立统一的辩证思维观点。
总之，在整个教学过程中，我抓住学生的“主体”作用作文章，不浪费任何一个促使学生“自省”的机会，以积极的双边活动使学生主动自觉地发现结果、发现方法。
培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。
具体教学中，教师创设问题情境，学生在这一情境中去讨论分析、探究发现，以符合学生思维的形式发展了学生的能力，达到了教学目标，优化了整个教学。