黄之——数学奥林匹克训练题（389）：关于密克尔点的问题
2023爱尔兰数学奥林匹克试题解答
2023爱尔兰数学奥林匹克试题解答（请注意，本文仅为模拟，不代表真实的2023爱尔兰数学奥林匹克试题解答。
）题目一：解：题目要求求解方程 3x + 5 = 20。
首先，我们将等式转化为 3x = 20 - 5，得到 3x = 15。
接下来，将方程两边同时除以 3，即 x = 15 / 3，得到 x = 5。
因此，方程 3x + 5 = 20 的解为 x = 5。
题目二：解：题目给出等差数列的首项为 3，公差为 4，要求求出该等差数列的前 10 项之和。
首先，我们利用等差数列的通项公式 an = a1 + (n - 1)d，其中 an 表示第 n 项，a1 表示首项，d 表示公差。
代入已知数据，可得到 an = 3 + (n - 1)4。
接下来，计算前 10 项之和，即 S = a1 + a2 + ... + a10。
我们可以将每一项与首项相加，得到 S = (a1 + a10) + (a2 + a9) + (a3 + a8) + ... + (a5 + a6)。
根据等差数列的性质，a1 + a10 = (3 + (1 - 1)4) + (3 + (10 - 1)4) = 3 + 36 = 39。
同理，a2 + a9 = (3 + (2 - 1)4) + (3 + (9 - 1)4) = 7 + 35 = 42，以此类推。
因此，S = 39 + 42 + 45 + ... + (a5 + a6)。
通过计算可得，(a5 + a6) = (3 + (5 - 1)4) + (3 + (6 - 1)4) = 19 + 23 = 42。
代入计算结果，S = 39 + 42 + 45 + ... + 42。
等差数列的求和公式为 S = (首项 + 末项) * 项数 / 2，即 S = (39 + 42) * 5 / 2 = 210。
因此，该等差数列的前 10 项之和为 210。
题目三：解：题目给出等差数列的首项为 3，前 n 项之和为 63，要求求出该等差数列的公差和项数。
独家发布!第59届国际数学奥林匹克试题完整解析,暴力的一塌糊涂!
独家发布！第59届国际数学奥林匹克试题完整解析，暴力
的一塌糊涂！
2015年，
在泰国清迈举办的第56届国际数学奥林匹克被称为史上最
难的一届，那年全世界只有一个满分，金牌的分数线只有26分（满分42分），而在去年于巴西里约热内卢举办的第58
届比赛中，来自全世界的623名选手无一人满分，最高分仅为35分，而金牌分数线也仅有25分，
在那两届比赛中，选手以及在网上关注赛事的教练学生都是一片哀嚎，而在刚刚于罗马尼亚克卢日-纳波卡结束的第59
届国际数学奥林匹克上，
许多人对6道题目的评价相差甚大，褒贬不一，
“史无前例”，“出乎预料”，“题目不错”，“有点眼熟”，“严重事故”.....在昨天刚结束第59届IMO的第二天比赛后，
由来自两届IMO满分罗炜、几何大咖曹珏贇、杭二之星赵斌、黑龙江张峻铭，四位在数学竞赛江湖中鼎鼎大名高手合作的，全网第一份完整试题解析版正式发布！在今天，比赛也进入了协调分数的的准备阶段，
协调是指协调员根据事先制定好的题目标准答案，就学生答题手稿与各国领队确定该生该题最后得分的过程，协调工作由协调委员会统一安排执行，有一套详细的操作流程，而且
过程非常严谨，在正式比赛开始前，协调委员会主席会指引6 名试题队长把领队提供的不同答案归纳于详细的评分准则内，每位试题队长只会负责一条题目，所以十分清楚并了解该题的有关资料，包括问题的原创性及不同的解题方法等等，
委员会指定的协调员大部分都是来自不同国家的前领队或资深的解题专家，很多人都有十年以上协调分数的经验，不论是学生的小失误（不扣分）、小错（扣1 至2 分）或大错（至少扣4 至5 分）都能一一指出，而主试委员会在这个过程中的主要职责就是解决个别队伍与协调员之间在评分上的不同意见以及决定奖的分配.。
山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第24章密克尔定理.doc
FA 延长线上的点.设△ABE 第24章密克尔定理定理1(三角形的密克尔定理)设在一个三角形每--边上取一点(可在一条边、或两条边、 或三条边的延长线上取)，过三角形的每一顶点与两条邻边所在线上所取的点作圆，则这三 个圆共点.1证明在△ACF 中，令 ZCAF = a } , ZACF = a 2, ZCE4 = %.如图24-1 (1), B 、。
、E •分别在的三边AC, CF , FA 上.设左ABE 与△BCD 的外接除交于点B 外，另一交点为M ,联结BM, DM , EM ,则ZBME=180。
-％ , ZBMD=i^Q -a 2 .于是，=— = %+% =180。
一％，从而知M ，D, F ,我四点共圆.故' ABE, ACDB, △FEO 的外接圆共点于M. 对于图24-1 (2), B 、。
分别为△ACF 的边AC, CF 上的点，E 在边AF 的延长线上.设△ ABE 与△BCD 的外接圆除交于点8外，另一交点为M,联结BM, DM , EM ,则 ZBME =180°- a ,ZBMD = a. , 于 是，I z ZDME = ZBME - ZBMD = 180。
- % - % = % = 180。
- ZDFE ,从而知 M, D , F , E 四点 共圆.故△ ABE, /XCDB , 的外接圆共点于M .对于图24-1 (3). B 、D 、E 分别为△ACF 的三边CA, CF , 与的外接圆除交于点8外，另一交点为归，联结BM, DM , EM,则ZBMD = %,ZBMD = % .于是，ZDME = ZBME + ZBMD = % + % = 180。
一 % = ZDFE .从而知 M, F , D, E •四点共圆.故△ ABE, △CD8, △死:。
的外接圆共点于M .对于其他取点情形均可类似于上述情形而证.特别地，若有一点取在三角形的顶点，则过两个重合的点之圆与这两点所在的边相切.又若 取的三点共直线，如图24-1 (2)、(3 )中的点B 、D 、E 共直线，则对来看，直线 BO 匠截其三边时，三圆口 ABE, 0CDB f 0 FED 共点于M ；对左ABE 来看，直线CDF 截 其三边时，三圆口 ACF , □ CDB , □ FED 也共点于M ；此时四圆口 ABE 、□ ACF 、□ CDB 、 □ FEO 共点于M,因而可得如下推论：定理2 (完全四边形的密克尔定理)四条一般位置的直线形成的四个三角形，它们的外接圆 沈文选.三角形的密克尔定理及应用[J].中等数学，2011 (11)： 5-8.共点.图 24-1如图24-2,四条直线两两相交又没有三线共点而构成四个三角形的图形称为完全四边形，其交点记为A, B, C, D, E, F.在完全四边形ABCDEF中，△ACF , /XABE , 4BCD , △OEF的外接圆共点于也可这样推证：设△ACF和的外接圆的另一交点为M , 联结AM , BM , DM , EM ,FM ,则由A图2依ZFCM = ZFAM = ZEAM = ZEBM = ZDBM , 即知。
20181213小学奥数练习卷(知识点：哈密尔顿圈与哈密尔顿链)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：哈密尔顿圈与哈密尔顿链）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．填空题（共25小题）1．如图，桌上有10个甜甜圈，编号1﹣10号．从1号甜甜圈开始吃，按顺时针方向，每隔两个吃一个（1号甜甜圈之后吃的是4号甜甜圈）6号甜甜圈是第个吃到的．2．将1、2、3、4四个数字填到下面的减法算式里，使得差最小，这个最小的差是．3．编号为1～10的10名篮球运动员轮流进行三人传球训练，第1轮由编号（1，2，3）的队员训练，然后，依次是编号（4，5，6）（7，8，9）（，10，1，2），…队员训练．当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第轮训练．4．如图：电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了2013步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了2012步，落在另一个圆圈里．那么这两个圆圈里数字的乘积是．5．A、B、C、D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球，第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子，…．，当第50位小朋友放完后，A盒中球的个数是．6．如图，在一个圆圈上有n个点，小红从A点出发，沿逆时针方向跳动前行，每跳一步隔过的点数相同，希望一圈后能回到A点，他先每隔两个点跳一步，结果能跳到B点，他又试着每隔4个点跳一步，也只能跳到B点，最后他每隔6个点跳一步，正好回到A点．若10＜n＜100，则n=．7．甲，乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果，甲先取1块，乙接着取2块，然后甲再取4块，乙接着取8块，…，如此继续．当包裹中的糖果少于应取的块数时，则取走包裹中所有糖果，若甲共取了90块糖果，则最初包裹中有块糖果．8．如图所示，在一个圆周上放了1枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子．若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下枚白子．9．如图，有l6把椅于摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码．现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进l36个，这时他到了第号椅子．10．如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有个白子．11．50枚棋子围成一个圆圈，依次按顺时针方向在棋子上编上号码1、2、3、50，然后按顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止．如果剩下的棋子的号码是42，那么第一个被取走的棋子是号棋子．12．若干个同学围成一个圆圈，每人手里有一些糖果．假设按顺时针方向，第一个人的糖果比第二个人的多一个，第二个人的糖果比第三个人的多一个，以此类推倒数第二个人的糖果比最后一个人的多一个．下面开始做传递糖果的游戏．第一个人给第二个人1块糖果，第二个人给第三个人2块糖果，如此直到最后一个人给第一人数目与人数相同的糖果，这样算一轮．经过若干轮直到游戏不能做为止．最后发现恰有两个相邻的同学其中一人的糖果数是另一人的5倍，则所有同学的人数为，游戏前后一个同学手里糖果数为．13．有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，如果从图5（1）的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有个．14．圆周上均匀地放置了31枚棋子，其中黑棋子14枚，白棋子17枚，若将圆周上任意两枚棋子变换位置称为一次对换，则最少经过次对换可使黑棋子在圆周上互不相邻（两枚黑棋子之间至少有一枚白棋子）．15．圆周上均匀地放置了100枚棋子，其中黑棋子48枚，白棋子52枚．若将圆周上任意两枚棋子变换位置称为一次对换，那么最少要经过次对换可使黑棋子在圆周上互不相邻（两枚黑棋子之间至少有一枚白棋子）．16．有一颗棋子放在图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到2号位置；第二次跳两步，跳到4号位置；第三次跳三步，跳到7号位置…这样一直进行下去．棋子永远跳不到的位置是号．17．把“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”12枚生肖棋子围成如图的样子，如果按顺时针方向计数，每数到第“12”就将该生肖棋子取走，然后，再从下枚生肖棋子开始数，不断重复上面的过程，要求最后一个只留下“虎”，应该从12生肖中的开始数起．18．9个小朋友围坐在一张圆桌边，每人想好一个数并告诉坐在他两边的人，然后，每人将他两边人告诉他的平均数报出来，报的结果如图，则报10的人想的数是．19．如图，圆周上写有3，1，8三个数，称如下操作为一次操作：在所有相邻的两个数之间写上这两个相邻的数的和．图1到图2为第1次操作，那么第5次操作后，圆周上所有数的和为．20．班级召开联欢会，大家围成一个椭圆形，在男孩小明的左边依次是2名女同学，一名男同学，又4名女同学，一名男同学，6名女同学，一名男同学，如此下去，在小明的右边排列规律与他的左边相同，直至两名男同学之间有8名女同学，那么，小明班级共有学生名．21．将自然数1到2012依次等距离地排列在圆周上，从1开始每隔5个数删去一个数．第一次删去的是7，在圆周上如此不断地删下去，则第340次删去的数是．22．如图，一个圆盘上均匀地依次表示第1、2、3、…、12个洞．有一只小虫从1号洞按顺时针方向起跳，规定它跳的步数是它起跳洞的数码．例如，第1次从第1洞跳到第1洞，第2次从第2洞跳2步到第4洞，第3次从第4洞起跳，跳4步到第8洞，…．第m次从第x洞起跳，跳x步，如果小虫按照这个规则从第1洞起跳，跳了100次到第N（N=1、2、3、…12）洞，则它共跳了多少步？N是几？23．盒中有10个白球和10个黑球．每次取出两个，如果取出的两个球同色，则放回一个，如果取出的两个球异色，则不放回．经过若干次之后，盒中仅剩余一个黑球，则最少取了次，最多取了次．24．若干名小朋友排成一行，从左边第一人开始每隔2人发一个苹果，从右边第一个人开始每隔4人发一个橘子，结果有10人拿到了两种水果，那么这群小朋友最少有人．25．小明和小华下棋，他们执棋从①号位出发，轮流顺着箭头方向前进（如图）．小明走的规则是在三步一步、三步一步…（即①～④～⑤～②…），小华走的规则是二步一步、二步一步…（即①～③～④～⑥…）．那么在他们各自走了100次以后，小明的棋子走到了号位，小华的棋子走了号位．第Ⅱ卷（非选择题）二．解答题（共20小题）26．如图，在一个圆周上有3个1，进行如下操作：在相邻的两个数之间写上它们的和，如：第1次操作后，圆周上有6个数：1，2，1，2，1，2．如此操作3次．问：（1）此时圆周上有多少个数？（2）此时圆周上的所有数的和是多少？27．有30个人围成一圈，从小军开始，按顺时针方向1至7报数，报到7的人被淘汰出局，再从被淘汰者后面第一人开始同样报数，报到7者同样被淘汰，这样一直报下去…．（1）小军第四次报数时，报的是几号？（2）小军第几次报数时被淘汰？28．如图，圆周上顺次排列着1、2、3、…、12这十二个数，我们规定：相邻的四个数a1、a2、a3、a4顺序颠倒为a4、a3、a2、a1，称为一次“变换”（如：1、2、3、4变为4、3、2、1，又如：11、12、1、2变为2、1、12、11）．能否经过有限次“变换”，将十二个数的顺序变为9、1、2、3、…8、10、11、12（如图）？请说明理由．29．如图的圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针依次编号为1，2，3， (2999)3000．首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，…，直到1号棋子被取走为止．问：此时，（1）圆周上还有多少枚棋子？（2）在圆周上剩下的棋子中，从编号最小一枚棋子开始数，第181枚棋子的编号是多少？30．有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2块，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2块，…，即前一名小朋友总比后一名小朋友多2块糖果．他们按次序围成圆圈做游戏，从第一名小朋友开始给第二名小朋友2块糖果，第二名小朋友给第三名小朋友4块糖果，…，即每一名小朋友总是将前面传来的糖果再加上自己的2块传给下一名小朋友，当游戏进行到某一名小朋友收到上一名小朋友传来的糖果但无法按规定给出糖果时，有两名相邻小朋友的糖果数的比是13：1，问最多有多少名小朋友？31．6个小朋友围成一圈，每人心里想好一个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人，然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮数来（如图），问亮出11的人原来心中想的数是多少？32．电子跳蚤游戏盘（如图所示）为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1点跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2点跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2…跳蚤按上述规则跳下去，第2007次落点为P2007，请计算P0与P2007之间的距离．33．圆周上放有N枚棋子，如图所示，B点的﹣枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的l枚棋子，然后顺时针每格一枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是l4的倍数，请帮肋小洪精确计算一下圆周上还有多少枚棋子？34．电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？35．在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图．小明像玩跳棋那样，从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔．你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？36．圆周上放置有7个空盒子，按顺时针方向依次编号为1、2、3、4、5、6、7．小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，…放置第k﹣1枚白色棋子后，小明依顺时针方向向前数了k﹣1个盒子，并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了200枚白色棋子．随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放了300枚红色棋子．请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？37．如图，小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子，从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚，即留下奇数号棋子，取走偶数号棋子，若黑子初始位置是2011号，则最后剩下的棋子最初是第多少枚？38．将编号为1到1000的瓶子依序排在一个圆上，从1号瓶子开始放入一颗糖果，接着每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖，因此在1、16、31、…号瓶内放入糖，当在991号瓶放入糖后，下次放入糖的瓶子为6号，并继续每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖，依此方式一直操作下去，直到再也无法于没有放糖的瓶子内放入糖为止，请问最后这个圆上共有多少个瓶子没有糖？39．一摞2014张的卡片，方浩拿着它，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片扔掉，把下一张卡片放到这摞卡片的最下面；再把第三张卡片扔掉，把下一张卡片放在最下面；反复这样地做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞2014张卡片中从上往下数的第几张？40．1﹣2014，这2014个数按逆时针的顺序排在一个圆上，从1开始，保留1消去2，保留3消去4，按这样的顺序每隔一个数消去一个数．有2014个人，请问你站在第几位是最后剩下的那个？41．有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上1；第二次，再将两个半圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第三次，再将四个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第四次，再将八个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的…如此进行了100次．请问：最后圆周上的所有数之和是多少？42．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000．现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下…学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人．问：这个学生的编号是几号？43．有一摞100张卡片由小马拿着，他从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这摞卡片的最下面．再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面．反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？44．有11个人围成一个圆圈，并依次编成1～11号，从1号起依次发《趣味数学》书，发书的方法是：隔1人发1本，隔2人发1本；再隔1人发1本，隔2人发1本；再隔1人发1本，隔2人发1本…．这样发下去，试问最少要准备多少本书才能使发给每人的本数同样多？45．某工厂生产一种圆盘形玩具．在圆盘正面的圆周上均匀分布安装10个小球，其中3个为红球，7个为白球，如图所示，若两个圆盘都正面朝上，可以圆心对圆心，红球对红球，白球对白球叠放在一起，就算同一种规格．问：这类玩具一共可以有多少种不同的规格？参考答案与试题解析一．填空题（共25小题）1．如图，桌上有10个甜甜圈，编号1﹣10号．从1号甜甜圈开始吃，按顺时针方向，每隔两个吃一个（1号甜甜圈之后吃的是4号甜甜圈）6号甜甜圈是第7个吃到的．【分析】利用列举法，将每次吃的甜饼依次列举出来，即可得出结论．【解答】解：如图，第一个吃1号，第二个吃4号（隔2，3号），第三个吃7号（隔5，6好），第四个吃10号（隔8，9号），由于第1，4号已吃，所以第五个吃5号（隔2，3号），由于7号已吃，所以第六个吃9号（隔6，8号），而10，1，4，5已吃，所以第七个6号（隔2，3号），故答案为7．【点评】本题主要考查了列举法，解本题的关键是根据题目中的要求列举出每次吃的甜饼的编号．2．将1、2、3、4四个数字填到下面的减法算式里，使得差最小，这个最小的差是7．【分析】由题意可知，被减数十位数要大于减数的十位数．要使差最小，被减数十位数不能是4，1也不能取，否则差小于0．当被减数十位数取2时，这个减法算式最小的情况应该是23﹣14=9；当被减数十位数取3时，这个减法算式最小的情况应该是31﹣24=7．【解答】解：要使差最小应是算式：31﹣24=7，即：答：这个最小的差是7．故答案为：7．【点评】解决本题抓住差最小是一位数，得出被减数的十位比减数的十位大1，再由此进行推算即可．3．编号为1～10的10名篮球运动员轮流进行三人传球训练，第1轮由编号（1，2，3）的队员训练，然后，依次是编号（4，5，6）（7，8，9）（，10，1，2），…队员训练．当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第11轮训练．【分析】一共是10人，而每次有3人进行训练，要使1、2、3号同时训练，中间隔的人数应是10和3的最小公倍数，由此求出中间又隔了多少人，进而求出隔的轮数，再加上1轮即可求解．【解答】解：10×3=30，30÷3+1=11（轮）；答：当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第11轮训练．故答案为：11．【点评】本题关键是找出三人再次同时训练时中间隔的人数，再根据每3人一轮进行求解．4．如图：电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了2013步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了2012步，落在另一个圆圈里．那么这两个圆圈里数字的乘积是36．【分析】本题的关键是要找出12个数一循环：若余数为0，圆圈所标的数字是0；若余数为1，圆圈所标的数字是11；若余数为2，圆圈所标的数字是10；若余数为3，圆圈所标的数字是9；…；若余数为11，圆圈所标的数字是1．确定顺时针方向，然后再求2013被12整除后余数是多少来决定是哪个数；确定逆时针方向，然后再求2012被12整除后余数是多少来决定是哪个数．【解答】解：根据题意可知是0，1，2，3，4，…，11即12个数是一个循环．①2013÷12=167…9，按顺时针方向跳，故该圆圈所标的数字是9．②2012÷12=167…8；按逆时针方向跳，故该圆圈所标的数字是4．9×4=36．答：这两个圆圈里数字的乘积是36．故答案为：36．【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．5．A、B、C、D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球，第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子，…．，当第50位小朋友放完后，A盒中球的个数是6．【分析】A B C D 8 6 3 1（原），7 5 2 4（第1个小朋友取后），6 4 5 3（第2个小朋友取后），5 3 4 6（第3个…），4 6 3 5（第4个…），3 5 6 4（第5个…），6 4 5 3（第6个…），第6个小朋友与第2个重复，即4组一循环；则以此类推：（50﹣1）÷4=12…1（次）；即：除去前一次不规则的数组，还应有49次重复组，余下一次，那么，第50个小朋友取后A B C D 四个盒子中应分别是：6，4，5，3个小球．【解答】解：由分析可知：第6个小朋友与第2个重复，即4组一循环；则以此类推：（50﹣1）÷4=12…1（次）；第50个小朋友取后A B C D 四个盒子中应分别是：6，4，5，3个小球；答：当50位小朋友放完后，A盒中求的个数是6；故答案为：6．【点评】解答此题的关键是先进行列举，进而分析，找出规律，然后进行解答，得出结论．6．如图，在一个圆圈上有n个点，小红从A点出发，沿逆时针方向跳动前行，每跳一步隔过的点数相同，希望一圈后能回到A点，他先每隔两个点跳一步，结果能跳到B点，他又试着每隔4个点跳一步，也只能跳到B点，最后他每隔6个点跳一步，正好回到A点．若10＜n＜100，则n=91．【分析】由题意，可以得到点数除以3余1，除以5余1，除以7余0，100以内的数只有91．【解答】解：由题意，可以得到点数除以3余1，除以5余1，除以7余0，因为10＜n＜100，所以n=91，故答案为91．【点评】本题考查余数问题，考查学生分析解决问题的能力，得到点数除以3余1，除以5余1，除以7余0是关键．7．甲，乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果，甲先取1块，乙接着取2块，然后甲再取4块，乙接着取8块，…，如此继续．当包裹中的糖果少于应取的块数时，则取走包裹中所有糖果，若甲共取了90块糖果，则最初包裹中有260块糖果．【分析】通过题意，甲取1块，乙取2块，甲取4块，乙取8块，…，1=20，2=21，4=22，8=23…，可以看出，甲取的块数是20+22+24+26+28+…，相应的乙取得块数是21+23+25+27+29+…，我们看一看90是甲取了几次，乙相应的取了多少次，把两者总数加起来，即可得解．【解答】解：甲取的糖果数是20+22+24+…+22n=90，因为1+4+16+64+5=90，所以甲共取了5次，4次完整的，最后的5块是包裹中的糖果少于应取的块数，说明乙取了4次完整的数，即乙取了21+23+25+27=2+8+32+128=170（块），90+170=260（块），答：最初包裹中有260块糖果．故答案为：260．【点评】判断出甲乙取得次数是解决此题的关键．8．如图所示，在一个圆周上放了1枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子．若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下503枚白子．【分析】从黑子的右面第一枚白子开始编号为1，2，3，…2012，则黑子为2013；从黑子计数，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，首先取走的依次是2、4、6、8…2012号，到此时剩余奇数号；继续取，取走的依次是1、5、9、…4n﹣3号（n=1、2、3…），因为2013=4×504﹣3，所以2013此时被取走；余下的是3，7，11，15，…2011，规律是4n﹣1，n=1，2，3…，求出3到2011以4为等差的等差数列的个数，即可得解．【解答】解：（2011﹣3）÷4+1=503（枚），答：若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下503枚白子．故答案为：503．【点评】此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链问题，锻炼了学生的认真分析问题的能力．9．如图，有l6把椅于摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码．现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进l36个，这时他到了第15号椅子．【分析】做时可以将题目分开，即顺时针前进了（328+328+136）个，也就是792个；而逆时针前进了（485+485）=970个；再用逆时针前进的个数减去顺时针前进的个数，也就是说逆时针前进了（970﹣792）=178个；那么总共有16个椅子，即11×16+2个，但它是逆时针前进的，所以是15号．【解答】解：[（485+485）﹣（328+328+136）]÷16=178÷16=11…2（个）16+1﹣2=15（号）答：他到了第15号椅子．故答案为：15．【点评】此题应结合题意，先算出顺时针和逆时针分别前进了多少个，进而再用逆时针前进的个数减去顺时针前进的个数，然后结合图进行分析计算即可得出结论．10．如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有3个白子．【分析】如下图所示：经过3次将同色相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，（红色圈内是放入的棋子）；在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，就又回到第一次的结果了，说明3次一个循环，在这些图中，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上白子最多能有3个．【解答】解：由上图可以看出，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上白子最多能有3个．答：圆圈上的5个棋子中最多有3个白棋子．故答案为：3．【点评】此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链中蕴含的规律．11．50枚棋子围成一个圆圈，依次按顺时针方向在棋子上编上号码1、2、3、50，然后按顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止．如果剩下的棋子的号码是42，那么第一个被取走的棋子是7号棋子．【分析】此题剩下的号码是偶数，所以，要从奇数开始拿起，假设先从1开始拿起，可以进行讨论找出规律解决问题．【解答】解：假设第一枚拿走1则：第一圈剩下：2，4，6，8，…50，第二圈剩下：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，第三圈剩下：4，12，20，28，36，44，第四圈剩下：4，20，36，第五圈剩下：4，36，最后剩下：36，要想剩下42顺推一下即可：1+42﹣36=7，第一个拿走7即可．答：应该从第7个棋子开始取．故答案为：7．【点评】本题利用剩下的是偶数这一特点，先从1开始拿起，逐步推算，得出最后剩下的数，然后再看它离42还差几，然后把1加上几即可．12．若干个同学围成一个圆圈，每人手里有一些糖果．假设按顺时针方向，第一个人的糖果比第二个人的多一个，第二个人的糖果比第三个人的多一个，以此类推倒数第二个人的糖果比最后一个人的多一个．下面开始做传递糖果的游戏．第一个人给第二个人1块糖果，第二个人给第三个人2块糖果，如此直到最后一个人给第一人数目与人数相同的糖果，这样算一轮．经过若干轮直到游戏不能做为止．最后发现恰有两个相邻的同学其中一人的糖果数是另一人的5倍，则所有同学的人数为3或9，游戏前后一个同学手里糖果数为1或3．【分析】这是一道难题，分析出里面的数量关系是关键，找到隐含的等量关系．里面含有两个未知数，设有N人，游戏前最后一个人有T块糖，则游戏的实质其实是每一个人都给第一个人一块糖，这个过程称为一轮．则游戏只能进行T 轮．第二个人一开始应该有T+N﹣2块糖，T轮之后应该只有N﹣2块糖，第一人一开始应该有T+N﹣1块糖，因为每轮他会多N﹣1块糖，T轮就会多T （N﹣1）块糖．【解答】解：设有N人，游戏前最后一个人有T块糖，则游戏的实质其实是每一个人都给第一个人一块糖，这个过程称为一轮．则游戏只能进行T轮．第二个人一开始应该有T+N﹣2块糖，T轮之后应该只有N﹣2块糖，第一人。
小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答之欧阳学文创作
小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答欧阳学文一、填空题1．三个连续偶数，中间这个数是m，则相邻两个数分别是___m2____和___m+2___。
2．有一种三位数，它能同时被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是____966___，最小的一个是____126____。
解题过程：2×3×7=42；求三位数中42的倍数126、168、 (966)3．小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_____9____岁和____16____岁。
解题过程：144=2×2×2×2×3×3；（9、16）=14．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是____1210___。
5．2310的所有约数的和是__6912____。
解题过程：2310=2×3×5×7×11；约数和=（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11）6．已知被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有____11____个。
解题过程：10=1998；1998=2×33×37；约数个数=（1+1）×（1+3）×（1+1）=16（个）其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；165=11（个）7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？__1000__。
解题过程：1，5，9，13，……1997（500个）隔1个取1个，共取250个2，6，10，14，……1998（500个）隔1个取1个，共取250个3，7，11，15，……1999（500个）隔1个取1个，共取250个4，8，12，16，……1996（499个）隔1个取1个，共取250个8．黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13…擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，那么擦去的奇数是____27____。
2023希腊数学奥林匹克竞赛试题解答与评注
2023希腊数学奥林匹克竞赛试题解答与评注引言在数学领域，奥林匹克竞赛一直以其复杂、创新和严谨的试题而闻名于世。
作为一场国际化的数学盛会，希腊数学奥林匹克竞赛更是吸引了全球数学爱好者和优秀学生的参与。
今年的2023希腊数学奥林匹克竞赛试题更是备受关注，因其题目设计的独特性和挑战性。
今天，我将针对这些试题展开深入的解答与评注，希望借此帮助各位读者更好地理解和掌握这些问题的解题思路。
一、第一题：解析几何本题要求证明一个特定长度为正方形的对角线长度的立体几何问题。
我们可以利用勾股定理对于直角三角形的性质进行证明，然后引入有关角度、等腰三角形和相似三角形等概念，从而完成证明。
我们还可以通过直观的图形分析、对称性质的运用和三角函数的应用等多个角度进行推演。
我们能够得出一个立体几何图形的性质和特点，从而回答问题。
二、第二题：数论本题是一个关于数论的问题，要求证明一个与素数相关的数学命题。
我们可以使用反证法，假设所给的结论不成立，然后利用素数的性质和约数的概念进行分析和推演。
另外，我们还可以借助整除性质和数学归纳法等方法，逐步深入思考和分析问题。
我们得到了一个有关素数性质和数论定理的证明过程，完整回答了问题。
总结与回顾通过对2023希腊数学奥林匹克竞赛试题的解答与评注，我们不仅对于具体问题有了更深入的理解，而且也锻炼了我们的数学思维和解题能力。
在解答这些问题的过程中，我们不断运用了数学知识和逻辑推理，拓展了数学思维的广度和深度。
也充分展现了数学领域的美妙和魅力，让我们更加热爱并深入理解数学这门学科。
个人观点和理解作为一名数学爱好者和研究者，我深深地被2023希腊数学奥林匹克竞赛的试题所吸引和挑战。
这些问题不仅考察了我们的数学知识和技能，更重要的是激发了我们的数学思维和创造力。
我相信，通过不断地学习和思考，我们一定能够更好地理解和解决这些复杂的数学问题，为数学的发展和应用做出更大的贡献。
结语2023希腊数学奥林匹克竞赛的试题无疑是一次难得的数学盛宴，它不仅挑战了我们的智力和逻辑思维，更启发了我们对于数学的热爱和探索。
小学奥数：格点型面积.专项练习及答案解析
模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】判断 【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-． 例题精讲4-2-7.格点型面积【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)； 图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)； 图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)； 图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)； 图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个． 【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)．【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】 ①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。
小学五年级数学竞赛奥数讲义-例题word百度文库
小学五年级数学竞赛奥数讲义-例题word 百度文库 一、拓展提优试题 1．已知13411a b -=，那么()20132065b a --=______。
2．甲乙两人分别从AB 两地同时出发相向而行，当甲走到一半时，乙将速度提高一倍，结果两人在距离B 地1200米处相遇，并且最后同时到达，那么两地相距 米3．（7分）爱尔兰作家刘易斯曾写过一篇反讽寓言，文中描述了一个名为尼亚特泊的野蛮国家．在这个国家里使用西巴巴数字．西巴巴数字的形状与通用的阿拉伯数字相 同，但含义相反．如“0”表示“9”，“1”表示“8”，以次类推．他们写数字是从左到右，使用的运算符号也与我们使用的一样．例如，他们用62代表我们 所写的37．按照尼亚特泊人的习惯，应怎样写837+742的和是 419 ．【分析】“0”表示“9”，0+9＝9，“1”表示“8”，1+8＝9，由此可知西巴巴数字，表示的数字与正常数字的和都是9；由此找出837、742表示的数字，然后相加即可．4．如图，甲、乙两人按箭头方向从A 点同时出发，沿正方形ABCD 的边行走，正方形ABCD 的边长是100米，甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人在E 点第一次相遇，则三角形ADE 的面积比三角形BCE 的面积大 1000 平方米．5．星期天早晨，哥哥和弟弟去练习跑步，哥哥每分钟跑110米，弟弟每分钟跑80米，弟弟比哥哥多跑了半小时，结果比哥哥多跑了900米，那么，哥哥跑了 米．6．数学家维纳是控制论的创始人．在他获得哈佛大学博士学位的授予仪式上，有人看他一脸稚气的样子，好奇地询问他的年龄．维纳的回答很有趣，他说：“我的年龄的立方是一个四位数，年龄的四次方是一个六位数，这两个数刚好把0﹣9这10个数字全都用上了，不重也不漏，”那么，维纳这一年 岁，（注：数a 的立方等于a ×a ×a ，数a 的四次方等于a ×a ×a ×a ）7．小松鼠储藏了一些松果过冬．小松鼠原计划每天吃6个松果，实际每天比原计划多吃2个，结果提前5天吃完了松果．小松鼠一共储藏了 个松果．8．一艘船从甲港到乙港，逆水每小时行24千米，到乙港后又顺水返回甲港，已知顺水航行比逆水航行少用5小时，水流速度为每小时3千米，甲、乙两港相距 千米．9．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成 个不同的三位数．10．（1）数一数图1中有 个三角形．（2）数一数图2中有 个正方形．11．如图，将一个等腰三角形ABC 沿EF 对折，顶点A 与底边的中点D 重合，若△ABC 的周长是16厘米，四边形BCEF 的周长是10厘米，则BC ＝ 厘米．12．对于自然数N ，如果1﹣9这九个自然数中至少有六个数可以整除N ，则称N 是一个“六合数”，则在大于2000的自然数中，最小的“六合数”是 ．13．一次数学竞赛中，某小组10个人的平均分是84分，其中小明得93分，则其他9个人的平均分是 分．14．（8分）一个大于1的正整数加1能被2整除，加2能被3整除，加3能被4整除，加4能被5整除，这个正整数最小是 ．15．A 、B 两桶水同样重，若从A 桶中倒2.5千克水到B 桶中，则B 桶中水的重量是A 桶中水的重量的6倍，那么B 桶中原来有水 千克．【参考答案】一、拓展提优试题1．2068[解答]由于13411a b -=，所以()6520513451155a b a b -=⨯-=⨯=，所以()()20132065201365202068b a a b --=+-=2．2800 [解答] 设两地之间距离为S 。
(完整版)(完整版)2018年(第59届)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题及答案图片版
岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天«1. itΓ<HΛ三角砒4〃C的外44圈・点D和EAru殳/CAC上∙^nAD ≈ AEφ BI)^CE的•克羊分线⅛Γ上劣弧AB AC分別文于点FG im ADE⅜FG1 ⅛A÷*t•⅛ 2.求所有的整4⅛□23∙便俗存在实软5皿2.・・・.<¼+2∙滿足"*ι = <M∙ 5∙2 Ua2异且<≡∙<<∙⅛1 + 1 = α∣÷3— 1.2. - - ■” 戍立・題3・反忖斷卡三蔦砒是由铁俎戎的一个正三角外障•港足除了鬟下方一行.孕个敦是它下方相你两金铁之屋的绘对值•例*\下而是一金四忡的反恤浙卡三角耐・由Hl MlO tt⅛.42 65 7 18 3 10 9请MΛ5 4Λ2018fτ的反帕浙卡三 E 包含IMl +2十・∙∙ + 2018所亦的蹩典？鈿二夭« 4.我们呀谓一个（IJL是斯d角坐栋丰而上的一个A（X.,V）∙乳中工・"需足不雄述20的正史软.最初时•所有400个位豆那是空的.甲乙两人轮濃霖放石子•由甲先遗ft∙毎次伦刘甲时.他41 一个空的住I±Λ±-¼*的化也若子•要求任急两金红己石子舸息<1 Jt之问的距离都不#于％・每次伦刘乙片•他/1任直一个空的CiJt上崔上一个M6⅛2Lt>&子.（Jl色石子所在位直与戻它石于所在位直之问雎禹可以是任倉值・）4此UAitfTT去直至某金人无法再霖放石子•试确岌遥大的位再无论乙知何报就這色若予.Y⅛*Ef⅛Ui∙>∙4X⅛K个红已若子・« 5. Ha i.a2.…走一个>LfPil正整软斥列.已知4在於敦N>l∙使碍对每个^Kn > .V t Oi i o2 . I Q*1“ I OH――+ — + ・• • + ・■■■・ + —。
2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案
2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案1、 计算：11024 +1512 +1256 + (12)+1+2+4+8+……+1024= 2、 计算：1+10+41035 +22463 +15199 +17143= 3、有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是（ ）。
4、设M 、N 都是自然数，记PM 是自然数M 的各位数字之和，PN 是自然数N 的各位数字之和。
又记M*N 是M 除以N 的余数。
已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是（ ）。
5、如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB 将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG 的面积是（ ）。
6、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是（ ）。
7、已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。
如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了（ ）升。
8、在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
那么“新年好”所代表的三位数是（ ）。
9、有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。
那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的（ ）倍。
10、从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。
如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是（ ）。
11、有A 、B 、C 、D 、E 五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。
当比赛快要结束时，统计到的成绩如下：队名 获胜场数 平局场数 失败场数 进球个数 失球个数A 2 1 0 4 1B 1 2 0 4 2C 1 1 1 2 3D 1 0 3 5 5E 0 2 1 1 5已知A 与E 以及B 与C 都赛成平局，并且比分都是1：1，那么B 与D 两队之间的比分是（ ）。
高中数学复习典型题专题训练111两点分布
高中数学复习典型题专题训练111---两点分布两点分布（Binomial Distribution）是概率论中常见的一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复试验中，成功事件发生k次的概率分布。
在高中数学中，对于两点分布的理解和运用是非常重要的。
下面我们将通过一些典型题目来进行专题训练。
1. 问题：某人掷一枚硬币，若正面朝上，则记为成功，若反面朝上，则记为失败。
已知这个人连续掷了10次硬币，求他连续掷到3次成功的概率。
解析：这是一个两点分布的问题，成功的概率为p=0.5，失败的概率为q=1-p=0.5。
我们需要求连续掷到3次成功的概率，即k=3。
根据两点分布的公式，我们可以得到答案：P(X=3) = C(10,3) * (0.5)^3 * (0.5)^(10-3) = C(10,3) * (0.5)^10 ≈ 0.117所以，他连续掷到3次成功的概率约为0.117。
2. 问题：某人掷一枚骰子，若点数为奇数，则记为成功，若点数为偶数，则记为失败。
已知这个人连续掷了8次骰子，求他连续掷到4次成功的概率。
解析：这也是一个两点分布的问题，成功的概率为p=0.5，失败的概率为q=1-p=0.5。
我们需要求连续掷到4次成功的概率，即k=4。
根据两点分布的公式，我们可以得到答案：P(X=4) = C(8,4) * (0.5)^4 * (0.5)^(8-4) = C(8,4) * (0.5)^8 ≈ 0.273所以，他连续掷到4次成功的概率约为0.273。
3. 问题：某人进行一项实验，每次实验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
已知他连续进行了n次实验，求他连续掷到k次成功的概率。
解析：这是一个两点分布的问题，成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
我们需要求连续掷到k次成功的概率，即P(X=k)。
根据两点分布的公式，我们可以得到答案：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个实验中选出k个成功的组合数。
2025高考数学必刷题 第80讲、阿基米德三角形(学生版)
第80讲阿基米德三角形知识梳理如图所示，AB 为抛物线22(0)x py p =>的弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别过,A B 作的抛物线的切线交于点P ，称PAB △为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2、若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点()00 C x y ，，则另一顶点P 的轨迹为一条直线．3、若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4、底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p ．6、点P 的坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；7、底边AB 所在的直线方程为()121220; x x x py x x +--=8、PAB △的面积为3128PAB x x S p-=．9、若点P 的坐标为()00,x y ，则底边AB 的直线方程为()000x x p y y -+=．10、如图1，若E 为抛物线弧AB 上的动点，点E 处的切线与PA ，PB 分别交于点C ，D ，则||||||||||||AC CE PD CP ED DB ==.11、若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在点E 处的切线与阿基米德三角形PAB △的边PA ，PB 分别交于点C ，D ，则2EABPCDS S = ．12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23．图1必考题型全归纳题型一：定点问题例1．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点()0,1A -，()0,1B ，动点P 满足PB AB PA BA =⋅．记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）设D 为直线=2y -上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．例2．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M 恒过定点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，圆心M 到直线14y =-的距离为1,8d d MF =+．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线1y x =-上的动点Q 作C 的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，证明：直线AB 恒过定点．例3．（2024·全国·高二专题练习）已知平面曲线C 满足：它上面任意一定到10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到直线32y =-的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)D 为直线12y =-上的动点，过点D 作曲线C 的两条切线，切点分别为A B ､，证明：直线AB 过定点；(3)在（2）的条件下，以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.变式1．（2024·陕西·校联考三模）已知直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，OD AB ⊥，D 为垂足，点D 的坐标为(1,1)．(1)求C 的方程；(2)若点E 是直线4y x =-上的动点，过点E 作抛物线C 的两条切线EP ，EQ ，其中P ，Q 为切点，试证明直线PQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．变式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C ：2y ax =给出如下三个条件：①焦点为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭；②准线为12y =-；③与直线210y -=相交所得弦长为2．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C 的方程；(2)已知ABQ 是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q 是抛物线C 在弦AB 两端点处的两条切线的交点，若点Q 恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB 是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．变式3．（2024·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线2:C y ax =（a 是常数）过点(2,2)P -，动点1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)当1t =时，求直线AB 的方程；(3)证明：直线AB 过定点．变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 在x 轴及其上方，且点P 到点(0,1)F 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若点Q 是直线4y x =-上任意一点，过点Q 作点P 的轨迹C 的两切线QA ､QB ，其中A ､B 为切点，试证明直线AB 恒过一定点，并求出该点的坐标.题型二：交点的轨迹问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=．(1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．例5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：点M 定在直线1y =-上；(3)椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出切线M A ''、M B ''的方程；若不存在，试说明理由．例6．（2024·全国·高三专题练习）已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x =的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证:点N 在定直线上．变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知点F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线.若圆22:(2)(3)16P x y -+-=的直径为MN .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线交于点A ，B ，分别过A 、B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，证明直线1l ，2l 的交点在定直线上，并求出该直线.变式7．（2024·全国·高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．(1)圆222:O x y r +=上点()00,M x y 处的切线方程为．理由如下：．(2)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为；(3)(,)P m n 是椭圆22:13x L y +=外一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则直线AB 的方程是．这是因为在()11,A x y ，()22,B x y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x x y y +=和2213x x y y +=．两切线都过P 点，所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=，由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程；(4)问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-，由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=，化简得Δ0=，得222(3)210m x mnk n -++-=．若PA PB ⊥，则由这个方程可知P 点一定在一个圆上，这个圆的方程为．（5）抛物线22(0)y px p =>上一点()00,x y 处的切线方程为00()y y p x x =+；（6）抛物线2:4C x y =，过焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的两条切线1l 和2l ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线1l 的方程为112()x x y y =+．直线2l 的方程为222()x x y y =+，设1l 和2l 相交于点M ．则①点M 在以线段AB 为直径的圆上；②点M 在抛物线C 的准线上．题型三：切线垂直问题例7．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）若点P 坐标为()0,1-，求切线,PA PB 的方程；（2）若点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，求证：切线PA 和PB 互相垂直.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，点M 是AB 的中点.（1）求证：切线PA 和PB 互相垂直；（2）求证：直线PM 与y 轴平行；（3）求PAB 面积的最小值.例9．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆1Γ的离心率为12，抛物线2Γ的顶点为原点.(1)求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程；(2)设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点，过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ，PB ，其中,A B 为切点.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1C 和抛物线2C 有相同的焦点()1,0，椭圆1C 过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．()1求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；()2设点P 为抛物线2C 准线上的任意一点，过点P 作抛物线2C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．①设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；②若直线AB 交椭圆1C 于C ，D 两点，PAB S ，PCD S 分别是PAB ，PCD 的面积，试问：PABPCDS S 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．变式9．（2024·全国·高三专题练习）抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P ，求证：PF AB ⊥.变式10．（2024·河南驻马店·校考模拟预测）已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，点P 在E 上，直线l ：20x y --=与E 相离．若P 到直线l 的距离为d ，且PF d +的最小值为2．过E 上两点,A B 分别作E 的两条切线，若这两条切线的交点M 恰好在直线l 上．（1）求E 的方程；（2）设线段AB 中点的纵坐标为n ，求证：当n 取得最小值时，MA MB ⊥．题型四：面积问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为()220x py p =>，点3,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点Q 为直线12y =-上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求QDE △面积的最小值．例11．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线22x py =上一点()0,1M x 到其焦点F 的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线:2l y =-上一点A 作抛物线的两条切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，且直线PQ 与y 轴交于点N ．设直线AP ，AQ 与x 轴的交点分别为B ，C ，求四边形ABNC 面积的最小值．例12．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到原点的距离等于直线:440l x y --=的斜率.（1）求抛物线C 的方程及准线方程；（2）点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，求PAB 面积的最小值.变式11．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且||2RF =，过点(4,0)P -作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，D 为线段PA 上的动点，过D 作抛物线的切线，切点为E （异于点A ，B ），且直线DE 交线段PB 于点H .(1)求抛物线C 的方程；(2)（i ）求证：||||AD BH +为定值；（ii ）设EAD ，EBH △的面积分别为12S S ，，求12133S S S =+的最小值.变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值．变式13．（2024·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校考模拟预测）已知点()F ，平面上的动点S 到F 的距离是S 40+=的距离的2倍，记点S 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过直线:2l y =上的动点()(),22P s s >向曲线C 作两条切线1l ，2l ，1l 交x 轴于M ，交y 轴于N ，2l 交x 轴于T ，交y 轴于Q ，记PNQ V 的面积为1S ，PMT △的面积为2S ，求12S S ⋅的最小值．题型五：外接圆问题例13．（2024·全国·高三专题练习）已知P 是抛物线C ：2134y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- ．（1）试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点M 是PAB 的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．例14．（2024·高二单元测试）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.例15．（2024·全国·高三专题练习）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程.题型六：最值问题例16．（2024·全国·高三专题练习）如图已知()2,P t -是直线2x =-上的动点，过点P 作抛物线24y x =的两条切线，切点分别为,A B ，与y 轴分别交于,C D.（1）求证：直线AB 过定点，并求出该定点；（2）设直线AB 与x 轴相交于点Q ，记,A B 两点到直线PQ 的距离分别为12,d d ；求当12AB d d +取最大值时PCD 的面积.例17．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xoy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，P 为直线1y x =-上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，当P 在y 轴上时，OA OB ⊥.(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.例18．（2024·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线()2:21C x py p =>，从点()4,9发出的平行于y 轴的光线照射到抛物线上的D 点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G 点射出，经过点()1,5-．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆()22:34M x y +-=，在抛物线C 上任取一点E ，过点E 向圆M 作两条切线EA 和EB ，切点分别为A 、B ，求EA EB ⋅ 的取值范围．变式14．（2024·贵州·高三校联考阶段练习）已知抛物线()2:20C x py p =>上的点()02,y 到其焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点D 在直线l ：=3y -上，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与直线l 交于点M ，过抛物线C 的焦点F 作直线AB 的垂线交直线l 于点N ，当MN 最小时，求ABMN 的值.变式15．（2024·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知抛物线2:4C y x =，点P 为直线2x =-上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值为（）A ．1B ．4C ．5D题型七：角度相等问题例19．设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB ．例20．（2024·全国·高三专题练习）已知F ，F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C .(1)求轨迹2C 的方程；(2)若动点P 在直线:20l x y --=上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性.例21．（2024·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆22=>交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的+-=与抛物线2:2(0)C x py pG x y:(1)1直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)求证：点P的纵坐标为定值；∠=∠．(2)若F是抛物线C的焦点，证明：PFA PFBy x=的焦点为F，动点P 变式16．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，设抛物线C：2x y--=上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，在直线l：20求证：AFB BFP∠=∠.变式17．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P.（1）求证∶点P的纵坐标为定值；（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB。
完整版完整版2018年第59届国际数学奥林匹克IMO竞赛试题及答案图片版
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2002―2003学年暑期五年级数学奥林匹克检测
2002―2003学年暑期五年级数学奥林匹克检测
1．在下面的六个□中，分别填上，1，2，3，4，5，6这6个数字，使这两个三位数之差最小，这时这两个3位数的差的最小值是__________。
－
2．在下面含有△，□，○的等式中，△，□，○表示不同的自然数，其中知道一个数是99，并且知道□中的数最大，这个最大数是___________。
△＋□＋○＝△×□－○
3．计算：（11111）
2×（111）
2
＝__________
4.数列2001-2000+1999+1998-1997+1996+1995-1994+1993……+3-2+1
5.等差数列：已知12+22+32+42+……+n2＝n(n+1)(2n+1)÷6
求：1×2+2×3+3×4+……+100×101＝_______
姓名___________学校____________ 联系电话_______________ 6．计算（乘方）22002÷7余_______
7．整除填上适当数字使这个五位数被225整除85□5□
8．求1～100所有6的倍数以外数的和。
9． M是正方形ABCD中BC边上的中点，求图中阴影面积总和。
10．一象棋马从P格跳到Q格一定要走________。
（A）奇数步
（B）偶数步
（C）可能奇数步，也可能偶数步
P Q
8×棋盘
少年宫五年级答案。
2017年波罗的海地区数学奥林匹克试题
2017年波罗的海地区数学奥林匹克试题
2017年波罗的海地区数学奥林匹克试题
波罗的海地区数学奥林匹克(BalticWay Mathematical Contest)始于1990年, 通常在每年11月举行. 不同于许多国际性数学竞赛, 该竞赛是一个纯粹的团体赛. 每队由5名队员组成,在4.5个小时内合作解决20个问题, 由代数、组合、几何、数论各5道题组成. 最初该竞赛只有三个国家参与, 但逐渐, 波罗的海周边的国家陆续受邀参加, 包括德国、俄罗斯、冰岛也在参加者之列. 有些年份还会有一些特邀嘉宾国参加. 该赛事由常规成员国轮流主办.
2017年是该赛事的第28届, 在丹麦举行. 下面是此次比赛的试题:。
2021年中国数学奥林匹克希望联盟考试题7月21日 参考答案
2021年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（二）江苏·无锡考试时间：2021年7月21日上午8:00 — 12:30一、（本题满分50分）如图，D 为正ABC △内一点，E 在AD 上，且ABE BCD ∠=∠. 证明：EBD ECD ∠=∠.（答题时请将图画在答卷纸上）证明：对ABC △与D 和E 分别使用Ceva 定理，sin sin sin 1sin sin sin BAD CBD ACDDAC DBA DCB∠∠∠⋅⋅=∠∠∠①，sin sin sin 1sin sin sin BAE CBE ACEEAC EBA ECB∠∠∠⋅⋅=∠∠∠②，由于ABE BCD ∠=∠，所以CBE ACD ∠=∠，①②两式作商得：sin sin sin sin CBD ACEDBA ECB ∠∠=∠∠，令DBC ACE αβ∠=∠=，，则sin(60)sin(60)sin sin αβαβ︒−︒−=⇒cot cot αβ=，又060αβ︒<<︒，，所以αβ=，则EBD ECD ∠=∠.注：事实上，本题只需要AB AC =的条件.二、（本题满分50分）是否存在正整数集的50元子集A ，使得{1,2,,600}()A A A ⊆+？证明你的结论.其中{,}A B a b a A b B +=+∈∈. 解：结论是肯定的.取{1,2,3,,25}{50,75,100,,575}A =，则252247A =+=.对于任意正整数{1,2,,600}k ∈：① 若125k ≤≤，则()k A A A A ∈⊆+；② 若25k >且25k ，则25(25)()()k k A A A A A =+−∈+⊆+；③ 若25k >且25k ，则25()()k q r A A A A A =+∈+⊆+，其中{1,2,,24}r ∈.因此{1,2,,600}()A A A ⊆+，故在如上构造的集合A 中再放入任意其他3个不同正整数，即可构造出满足条件的50元子集.求所有正整数数列{}n a ，使得对任意正整数m 、n ，均有()()m n S a a S m n +=+. 这里()S k 表示正整数k 在二进制下的各位数码之和.解：所求{}n a 的通项公式为2k n a n =⋅，其中k 为任意非负整数.以上数列显然满足要求. 下面，我们证明满足要求的{}n a 必定有以上形式. 由条件得1111()(2)()(2)1S a S a S a a S ==+==，故存在非负整数k 使得12k a =. 下用归纳法证明命题：对任意1,2,,21n i =−，均有2k i a i =⋅.当1n =时，命题显然成立.假设n 的情形已经证明（归纳假设，以下简记为IH ），考虑1n +的情形： （1）对于121n m ≤≤−，由IH 得2k m a m =⋅.（2）对于12121n n m ++≤≤−，由条件得()(2)()(2)()()m m m m S a S a S a a S m S m ==+==*而由于112()(2)1n n m m S a a S m m ++−+=+−=，故存在正整数s 使得122n s m m a a +−+=. 注意到11221n n m +≤−≤−，则由（1）得1122(2)n k n m a m ++−=−，即122(2)()s k n m a m +=−−**下证引理：对任意非负整数,,u v λ，若2u λ≥且2v λ≥，则(2)(2)u v S S λλ−=−是的充分条件.不妨设u v ≥，则由2v λ−在二进制下不超过v 位得(2)(22)(2)u u v v S S S λλ−=−+−， 从而(22)0220u v u v S u v −=⇒−=⇒=.取1,1,2n k u s v n k m λ++==++=−，则由(),()***及引理得1s n k =++，故2k m a m =⋅. （3）对于2n m =，由条件得1221212212122221(21)(2(21))()(2(21)),2(21)(2(21))()(2(21)),1(2)(22)()(2)().n n n n n n n n n n n n n k n n n n k n n n n n S S S a a S a S S S a a S a S S S a a S a S a +−++++=−=+−=+=+−=+=++=+=++==+=+==①②设非负整数t 使得22n t a =，则由①得1t k ≤−或t n k ≥+，又由②得t k =或t n k =+， 所以t n k =+，即22n n k a += .结合（1）（2）（3）我们就完成了归纳证明.综上所述，满足要求的所有正整数数列{}n a 为2(,1,2,3,)k n a n k n =⋅∈=N另解：令m n =得()()n S a S n =① 在①中令2k n =，则221()k k S a a =⇒为2的幂 ②设12s a =，考虑21n a −：由121()(211)1n n S a a S −+=−+=，得1212n l a a −+=， 由①得21()(21)n n S a S n −=−=，所以(22)l s S n l s n −=⇒=+. 故212(21)n s n a −=−. 在考虑2n a ：设22n t a =，221()(22(21))(221)n m t s m n m S a a S S −+=+−=+−. 取m t n =+得(22)11t s S n t s n −+=+⇒=+，于是22n s n a +=.最后，对n +∀∈N ，考虑n a ：对m ∀∈N ，有2()(2)(2)m s m m n n S a a S a S n ++=+=+③设312122222,0r r n ααααααα=++++≤<<<，在③中令(1)j m j n α=≤≤有(2)(2)()jj s n S a S n αα++=+*假设n a 不含2js α+这一项，则(2)()1()1js n n S a S a S n α++=+=+，但(2)()j S n S n α+≤，这与()*矛盾. 故n a 必含122,2,,2r s s s ααα+++.结合()()n S a S n r ==，知122222r s s s s n a n ααα+++=+++=⋅. 故2(,1,2,3,)s n a n s n =⋅∈=Nu v =设123(,,)u u u =u 和123(,,)v v v =v 是空间中的向量，满足,(1,2,3)i i u v i =均为整数，且0.9999cos ,1<<u v .记123123S u u u v v v =+++++.求的最小可能值. 这里[]x 表示不超过x 的最大整数.解：所求的最小可能值为4.一方面，当(0,1,8),(0,1,9)==u v 时，计算得0.9999cos ,1<<u v，且4==.另一方面，我们说明4≥.记4,,10θε−==u v ，则由1cos 1εθ−<<，得20sin (1cos )(1cos )2θθθε<=−+<.又注意到：222222112233122123323113222222222222123123123123()()()()sin 1cos 1()()()()u v u v u v u v u v u v u v u v u v u u u v v v u u u v v v θθ++−+−+−=−=−=++++++++ 由整数的离散性得222122123323113()()()1u v u v u v u v u v u v −+−+−≥（易知,u v 不能共线）所以222222212312312sin ()()u u u v v v εθ>≥++++，进而. 由均值不等式得422222222123123111111()()()()16S u u u v v v u u u v v v ++++≤++++≤，于是16S >=>=，于是4≥.综上所述，的最小可能值为4.2222221231231()()2u u u v v v ε++++>设000111(,),(,),,(,)n n n P x y P x y P x y 是平面直角坐标系中的1n +个整点，其横坐标满足10211,,,n n x x x x x x −−−−是互异的正整数，纵坐标满足01n y y y <<<，且斜率满足1012110211n n n n y y y y y y x x x x x x −−−−−<<<−−−. 已知对0,1,,3i n =−，在直线11223,,i i i i i i PP P P P P +++++所围三角形的内部与边界上只有两个整点（即1i P+与2i P +）. 证明：10211,,,n n x x x x x x −−−−至多有12n −种可能的大小顺序.解：我们首先叙述并证明一个引理.引理：设1(,),(,),(,),(,)A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y 是坐标平面中的4个整点，且满足 ① A B C D x x x x <<<，且,,B A C B D C x x x x x x −−−互不相同；② A B C D y y y y <<<；③ C B D CB A B AC BD Cy y y y y y x x x x x x −−−<<−−−；S④ AB 、BC 、CD 三条直线所围成三角形的内部与边界上除B ，C 外无整点. 则max{,}C B B A D C x x x x x x −<−−.证明：不妨设(0,0)B ，设(,)C p q （,p q 互素）. 设p '是p 模q 的倒数，即p '是{1,2,,1}q −中唯一使得1(mod )pp q '≡的正整数，且q '是q 模p 的倒数.下证1()pp qq pq ''+=+* 由于p '和q '的定义可得1(mod )pp qq p ''+≡，且1(mod )pp qq q ''+≡，于是结合,p q 互素可得1(mod )pp qq pq ''+≡. 又因为12pp qq pq ''<+<，所以1pp qq pq ''+=+.()*式成立.考虑点(,)X q q p ''−，则由()*式容易判断点X 在直线BC 下方. 又因为直线AB 、BC 、CD 所围成三角形的内部与边界上除B ，C 外无整点.，所以X 在直线AB 下方或X 在直线CD 下方.若X 在AB 下方，设11(,)A p q −−，则由斜率BX AB BC k k k <<得11q q p qq p p'−<<'， 从而由整数的离散性得11()1p q p q q ''−+≤且111pq p q ≤−，相乘得11(1)()q p q pp q p p ''−≥−+，故由()*式得11()p p pp qq pq p q p '''=+−≥+>，即C B B A x x x x −<−.若X 在CD 下方，设22(,)D p p q q ++，则由斜率BC CD XC k k k <<得22q q p p p p q '<<'−， 从而由整数的离散性得221p q pq +≤且22()1q p q p p ''−≤−，相乘得22(1)()(1)p p p p q p q ''−≥−+， 故由()*式得22()2p p pp qq pq p q p '''=+−≥−>，即C B D C x x x x −<−.从而引理获证.回到原题. 设1(1,2,,)i i i d x x i n −=−=，则由引理得i d 中的最大者11{,}n D d d ∈，且i d 中的次大者22{,}n D d d ∈（若11D d =）或211{,}n D d d −∈（若1n D d =）. 以此类推知121,,,n D D D −在已知前者时各只有两种可能的选择，故由乘法原理得12,,,n d d d 至多有12n −种可能的大小顺序.xOy xOy6. 如图，两等圆Γ1与圆Γ2外切于点A ，四边形ABCD 内接于圆Γ1，四边形AEFG 内接于圆Γ2，且满足AB ∥FG ，BC ∥GA ，CD ∥AE ，DA ∥EF ，设直线BC 与AD 交于点H ，直线CD 与AB 交于点I ，直线EF 与GA 交于点J ，直线AE 与FG 交于点K ，证明：HJ ∥IK. （答题时请将图画在答卷纸上）证明：以内公切线为对称轴，将点B 、C 、D 、I 、H 作对称点并连结对应线段，连结HH'、II'，因为∠ABC =∠AGF ，所以C 的对称点为点F ，其余对称点分别为B'、F 、D'、I'、H'，四边形AB'FD'内接于圆Γ2，因为HH'、II'均垂直于内公切线，所以HH'∥II'.（10分）因为∠FH'A =∠CHA =∠AJF ，所以H'、A 、F 、J 四点共圆，所以∠H'JA =∠H'F A =∠B'GA ，所以H'J ∥B'G ，同理D'E ∥I'K ，（20分）又因为∠C =∠GAE ，所以GE =BD =B'D'，所以GB'∥D'E . 所以H'J ∥I'K . （30分） 因为HH'=2AH'sin∠H ′AH2=2AH'sin∠D ′AD 2=2AH'sin ∠D'F A ,同理II'=2AI'sin ∠B'F A . （40分）所以HH ′II ′ =2AH ′sin ∠D ′FA 2AI ′sin ∠B ′FA=AH ′sin ∠B ′FAAI ′sin ∠D ′FA=H ′J sin ∠H ′AJI ′K sin ∠I ′FK= H ′JI ′K .又因为HH'∥II'，H'J ∥I'K . 所以∠HH'J =∠II'K ，所以△HH'J ∽△II'K ，所以∠H'HJ =∠I'IK ，故HJ ∥IK . （50分）J。
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