高中数学必修5：等差数列与等比数列的综合问题 知识点及经典例题(含答案)

等差与等比数列的综合问题

【知识概述】

一、两种数列综合考查有以下几种命题方式：

1.嵌套式：将一种数列嵌套在另外一种数列中作为一个知识点进行考查；

2.拼盘式：在一个综合问题中，将两种数列像一个拼盘一样拼在一起，来综合考查这两种数列的各种概念与性质

3.引申式：将等差数列或者等比数列进行引申，将它与其他的数学知识产生联系，从而在考查数列知识的同时考查数学的其他相关知识

二、等差数列与等比数列在一定情况下可以互相转换

1.若{}n a 为等差数列{}(0,1)n a a a a ⇔>≠为等比数列；

2.若{}n a 为等比数列{log }(0,1)a n a a a ⇔>≠为等差数列.

【学前诊断】

1．[难度] 易

已知等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则4a = .

2．[难度] 中

设{}n a 为等差数列，{}n b 是各项都是正数的等比数列，111a b ==, 243a a b +=，

243b b a =，求及{}n b 的前10项的和10S 及10T .

3．[难度] 中

设{}n a 是等差数列，1

()2n a n b =，已知b 1＋b 2＋b 3＝8

21，b 1b 2b 3＝81. （1）求证：数列{b n }是等比数列；

（2）求等差数列{a n }的通项a n .

【经典例题】

{}n a

例1．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37,S =且

1233,3,4a a a ++构成等差数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式．

（2）令31ln ,1,2n n b a n +==…, 求数列{}n b 的前n 项和n T .

例2．已知数列{}n a 的前n 项和2

22n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和2n n T b =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；

（2）设 2n n n c a b =，证明：当且仅当n ≥3时，1n c +< n c .

例3．已知等差数列的公差d 不为0，设，

（1）若 ，求数列的通项公式；

（2）若成等比数列，求q 的值；

（3）若.

例4．已知数列{}n a 中，112

a =,点*1(,2)()n n n a a n +-∈N 在直线y x =上. （1）令11n n n

b a a +=--,求证数列{}n b 是等比数列；

（2）求数列{}n a 的通项；

（3）设n S ，n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和,是否存在实数λ使得数列

n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭

等差数列？ 若存在，试求出λ，若不存在,则说明理由.

【本课总结】

}{n a 121-+++=n n n q a q a a S *1121,0,)1(N n q q a q a a T n n n n ∈≠-++-=-- 15,1,131===S a q }{n a 3211,,,S S S d a 且=*2222,1)1(2)1(1,1N n q q dq T q S q q n n n

∈--=+--±≠）证明（

1.等差和等比数列是两个基本的数列模型，是高考的重点和热点，将两种数列综合在一起进行考查是常见的命题形式，难度低中等，但若是在等差、等比数列的基础上引申和创新的问题，则一般难度较大，对考生的观察理解能力和灵活利用所学知识分析和解决问题的能力要求较高，命题的规律则通常是以一种类型数列为主导，兼顾另一种数列的相关知识，如中项公式等，目的是从基本量的角度给出确定数列的条件.解决等差数列与等比数列综合问题的关键，是能够熟练、准确和综合的运用相关的知识.注重总结常见问题的题型特征和命题规律以及相应的解题方法，并能比较深刻的理解和掌握问题中所蕴含的数学思想方法.

2.请同学们体会如何将两种特殊数列进行综合，如何把他与其它的知识进行综合，不同的综合方式构成了不同难度的试题形式，当等差数列和等比数列综合的时候，要对这两个数列的基本知识进行很好的把握，把问题做适当的分解，便可以获得恰当的解题方法

【活学活用】

1．[难度] 中

公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 .

2. [难度] 中

已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项;

（2）求数列{}2

n a 的前n 项和n S

3. [难度] 难

已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a =，2716a a +=.

（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：

*312123()2222

n n n b b b b a n =++++∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .

{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S