高中数学必修5：等差数列与等比数列的综合问题知识点及经典例题(含答案)

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等差数列与等比数列的综合-高中数学知识点讲解(含答案)

等差数列与等比数列的综合（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2017秋•通州区期末）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于( ) A ．90B ．100C ．10或90D ．10或1002．（2018•延庆县一模）若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．73．（2018•西城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、4a 成等比数列，则1143(a a a += ) A ．2B ．3C ．5D ．74．（2018秋•西城区校级期中）若1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +，成等比数列，则等差数列的公差为() A ．3B ．3或1-C ．3-D ．3或3-5．（2017•东城区三模）已知数列{}n a 是公差为1-的等差数列，且4a 是2a 与5a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则6(S = ) A ．90-B ．45-C ．0D ．156．（2015秋•海淀区校级期末）已知等差数列1，a ，b ，又4，2a +，1b +为等比数列，求该等差数列的公差() A ．1-B ．0C ．2D ．17．（2016•东城区二模）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为( ) A ．12n n b -=B ．13n n b -=C ．22n n b -=D ．23n n b -=二．填空题（共8小题）8．（2017秋•房山区期末）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则6S = ． 9．（2017秋•海淀区期末）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为． 10．（2018秋•东城区校级期中）若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>，则6a ，6b 的大小关系为．11．（2018•海淀区校级三模）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d = ，等比数列{}n b 的前n 项n S =12．（2017•北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b = ． 13．（2017•西城区二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a = ；数列{}n a 的前n 项和n S = ．14．（2017春•海淀区期中）若数列{}n a 满足12312()()n n a a a a a a n +++⋯+=+，则数列{}n a 是等差数列．类比上述结论，可以猜想：若数列{}n b 满足，则数列{}n b 是等比数列．15．（2016•顺义区一模）国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为辆；这两款车的销售总量约为辆．（参考数据：111.1 2.9≈，121.1 3.1≈，131.1 3.5)≈等差数列与等比数列的综合（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2017秋•通州区期末）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于( ) A ．90B ．100C ．10或90D ．10或100【分析】设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程，求出d 的值，由等差数列的前n 项和公式求出{}n a 的前10项和10S ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠， 11a =且1a ，2a ，5a 成等比数列，2215()a a a ∴=，则2(1)1(14)d d +=+，解得2d =或0d =（舍去）， {}n a ∴的前10项和1010910121002S ⨯=⨯+⨯=，故选：B ．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，以及等比中项的性质，考查方程思想．2．（2018•延庆县一模）若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】由二次方程的韦达定理可得0a >，0b >，由题意可得a ，2-，b 或b ，2-，a 成等比数列，a ，b ，2-或b ，a ，2-或2-，a ，b 或2-，b ，a 成等差数列，由中项的性质，可得a ，b 的方程，解方程即可得到所求和．【解答】解：a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，可得a b p +=，ab q =，即有0a >，0b >，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，即a ，2-，b 或b ，2-，a 成等比数列，可得4ab =；又a ，b ，2-或b ，a ，2-或2-，a ，b 或2-，b ，a 成等差数列，可得22b a =-或22a b =-，解得4a =，1b =或1a =，4b =，可得5a b +=，故选：B ．【点评】本题考查等差数列、等比数列的中项的性质，以及二次方程的韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．3．（2018•西城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、4a 成等比数列，则1143(a a a += ) A ．2B ．3C ．5D ．7【分析】利用等差数列以及等比数列的通项公式，求出数列首项与公比的关系，然后求解即可．【解答】解：由1a 、2a 、4a 成等比数列得2241a a a =， 2111()(3)a d a a d ∴+=+，21d a d ∴=， 0d ≠，1d a ∴=，则1141113111315523a a a a d a a a d a +++===+，故选：C ．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．4．（2018秋•西城区校级期中）若1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +，成等比数列，则等差数列的公差为() A ．3B ．3或1-C ．3-D ．3或3-【分析】由题意列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后可得等差数列的公差．【解答】解：1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +成等比数列，则 221(2)3(5)a b a b =+⎧⎨+=+⎩，解得：47a b =⎧⎨=⎩或25a b =-⎧⎨=-⎩（舍)． ∴等差数列的公差为3b a -=．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式，是基础题．5．（2017•东城区三模）已知数列{}n a 是公差为1-的等差数列，且4a 是2a 与5a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则6(S = ) A ．90-B ．45-C ．0D ．15【分析】由题意和等差数列的通项公式可得1a 的方程，解方程代入求和公式计算可得．【解答】解：由题意可得2425a a a =，公差1d =-， 2111(3)()(4)a d a d a d ∴+=++代入数据可得2111(3)(1)(4)a a a -=--，解得15a =， 61656152S a d ⨯∴=+=．故选：D ．【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．6．（2015秋•海淀区校级期末）已知等差数列1，a ，b ，又4，2a +，1b +为等比数列，求该等差数列的公差() A ．1-B ．0C ．2D ．1【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的中项的性质，解方程可得2a =，3b =，即可得到公差1d =．【解答】解：设等差数列的公差为d ，由1，a ，b 成等差数列，可得21a b =+，由4，2a +，1b +为等比数列，可得：24(1)(2)b a +=+，解得2a =，3b =，可得公差11d a =-=．故选：D ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等差数列的公差的求法，以及运算能力，属于基础题． 7．（2016•东城区二模）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为( ) A ．12n n b -=B ．13n n b -=C ．22n n b -=D ．23n n b -=【分析】设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +，由题意可得2a =，再由等比数列的中项的性质，可得1d =，求得公比为2，由等比数列的通项公式计算即可得到所求．【解答】解：设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +，即有36a =，解得2a =，由题意可得23d -+，26+，213d ++成等比数列，即为5d -，8，15d +成等比数列，即有(5)(15)64d d -+=，解得1(11d =-舍去），即有4，8，16成等比数列，可得公比为2，则数列{}n b 的通项公式为33132422n n n n b b ---===．故选：A ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等比数列的通项公式的运用，以及运算能力，属于中档题．二．填空题（共8小题）8．（2017秋•房山区期末）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则6S = 24- ．【分析】设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，由2a ，3a ，6a 成等比数列．解得d ，然后求解前6项的和．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，2a ，3a ，6a 成等比数列．2326a a a ∴=，2(12)(1)(15)d d d ∴+=+⨯+，解得2d =-．611665(2)242S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=-．故答案为：24-．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．（2017秋•海淀区期末）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 5050 ．【分析】由已知列式求得等差数列的首项，然后代入等差数列的前n 项和公式得答案．【解答】解：在公差为1的等差数列{}n a 中，由1a ，2a ，4a 成等比数列，得：2111(1)(3)a a a +=+，即11a =． 100100991001150502S ⨯∴=⨯+⨯=．故答案为：5050．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了等差数列的前n 项和的求法，是基础的计算题．10．（2018秋•东城区校级期中）若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>，则6a ，6b 的大小关系为 66a b ．【分析】运用等差数列中项的性质和基本不等式，以及等比数列中项的性质，即可得到所求结论．【解答】解：若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>，由等差数列中项的性质可得11161112a a aa a +=66||b b =，当且仅当111a a =取得等号．故答案为：66a b ．【点评】本题考查等差数列和等比数列中项的性质，以及基本不等式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题． 11．（2018•海淀区校级三模）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d = 2 ，等比数列{}n b 的前n 项n S =【分析】由已知列式求出等差数列的公差，进一步得到等比数列的公比，代入等比数列的前n 项和公式求等比数列{}n b 的前n 项n S ．【解答】解：由12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项，得2214a a a =，即2(2)2(23)d d +=+，解得2d =． 214a a d ∴=+=，则数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴12(12)2212n n n S +-==--．故答案为：2；122n +-．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质及前n 项和，是中档题． 12．（2017•北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b = 1 ．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．【解答】解：等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ．可得：813d =-+，3d =，22a =；38q =-，解得2q =-，22b ∴=．可得221a b =．故答案为：1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．13．（2017•西城区二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a = 2 ；数列{}n a 的前n 项和n S = ．【分析】由题意可得1a ，12a +，16a +成等比数列，通过解方程求得1a 的值．然后求和．【解答】解：数列{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，2a ，4a 成等比数列，1a ∴，12a +，16a +成等比数列，2111(2)(6)a a a ∴+=+，解得12a =，数列{}n a 的前n 项和2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+．故答案为：2；2n n +．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式的应用，属于基础题．14．（2017春•海淀区期中）若数列{}n a 满足12312()()n n a a a a a a n +++⋯+=+，则数列{}n a 是等差数列．类比上述结论，可以猜想：若数列{}n b 满足 21231()()n n n b b b b b b ⋯= ，则数列{}n b 是等比数列．【分析】把数列的项相加改成数列的项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，即可得到．【解答】解：把数列的项相加改成数列的项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，可得：若数列{}n b 满足21231()()n n n b b b b b b ⋯=，则数列{}n b 是等比数列．故答案为：21231()()n n n b b b b b b ⋯=．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查类比推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题． 15．（2016•顺义区一模）国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为 1050 辆；这两款车的销售总量约为辆．（参考数据：111.1 2.9≈，121.1 3.1≈，131.1 3.5)≈【分析】由题意可得，今年Q 型电动汽车的月销售量与R 型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n 项和求解．【解答】解：由题意可得，今年Q 型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年Q 型电动汽车的销售量为1250(111)10501 1.1-≈-；R 型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以20为公差的等差数列，则R 型电动汽车的销售量为121112502019202⨯⨯+⨯=． ∴这两款车的销售总量约为：105019202970+=．故答案为：1050；2970．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查了等差数列与等比数列的前n项和，是基础题．。

等差等比数列知识点总结和练习题(含答案)

（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa qa a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶（二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知cb a 1,1,1成等差数列，求证：（1）c ba b a c a c b +++,,成等差数列；（2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为 2128，求项数n. ① ②①②[解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n qa a a a a nn n n 得代入得将而（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a da a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,①②①，②⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列练习题一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（）（A ）13+=n a n（B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为（）（A ）21 （B ）2- （C ）2 （D ）不确定4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（）（A ）成等差数列不成等比数列（B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（）（A ）22-=n a n（B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（）（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等比数列（C ）z y x 1,1,1成等差数列（D ）zy x 1,1,1成等比数列 7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）18、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为（）（A ）97 （B ）78（C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是 ( )A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n ab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为二、解答题 17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}nb a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。

等差数列与等比数列的综合问题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】等差数列与等比数列的综合问题【知识要点】（一）等差、等比数列的性质 1.等差数列{a n }的性质（1）a m =a k +（m －k ）d ，d =km a a k m --.（2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d .（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md .（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列.（6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ，奇偶S S =nn a a 1+，S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、a n +1为中间两项）；若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ，奇偶S S =nn 1-，S 2n －1=（2n －1）a n （a n 为中间项）. 2.等比数列{a n }的性质（1）a m =a k ·q m －k .（2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q ·q 2.（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m .（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列.（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a +d ；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a －3d ，a －d ，a +d ，a +3d .三个数成等比数列，可设为qa ，a ，aq ，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为3q a ，qa ，aq ，aq 3.（三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：a n =a 1q n －1.可用指数函数的性质来理解.当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列；当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列. 当q =1时，是一个常数列.当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. ●点击双基1.等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意自然数n ，都有a n +1＞a n ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知数列{a n }满足a n +2=－a n （n ∈N *），且a 1=1，a 2=2，则该数列前2002项的和为A.0B.－3C.3D.13.若关于x 的方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0（a ≠b ）的四个根可组成首项为41的等差数列，则a +b 的值是A.83B.2411C.2413D.72314.在等差数列{a n }中，当a r =a s （r ≠s ）时，数列{a n }必定是常数列，然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r 、s （r ≠s ），当a r =a s 时，非常数列{a n }的一个例子是___________________.5.等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于___________________. 【典型例题】例1 已知{a n }是等比数列，a 1=2，a 3=18；{b n }是等差数列，b 1=2，b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3＞20.（1）求数列{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n 的公式；（3）设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n －2，Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n +8，其中n =1，2，…，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论.例2 已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意正整数n 均有11b c +22mb c +323b m c +…+nn n b m c 1 =（n +1）a n +1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n .例3 在等比数列{a n }（n ∈N *）中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n =log 2a n ，且b 1+b 3+b 5=6，b 1b 3b 5=0.（1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ；（3）试比较a n 与S n 的大小.【经典练习】1.在等比数列{a n }中，a 5+a 6=a （a ≠0），a 15+a 16=b ，则a 25+a 26的值是A.abB.22abC.ab 2 D.2a b2.公差不为零的等差数列{a n }的第二、三及第六项构成等比数列，则642531a a a a a a ++++=_____.3.若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则21221)(b b a a ⋅+的取值范围是___________________.4.已知数列{a n }中，a 1=65且对任意非零自然数n 都有a n +1=31a n +（21）n +1.数列{b n }对任意非零自然数n 都有b n =a n +1－21a n .（1）求证:数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式.5.设{a n }为等差{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 2+a 4=b 3，b 2b 4=a 3，分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10.6.已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n x n （x ∈R ），求数列{b n }前n 项和的公式.7.数列{a n }中，a 1=8，a 4=2，且满足a n +2－2a n +1+a n =0（n ∈N *）. （1）求数列{a n }的通项公式.（2）设b n =)12(1n a n （n ∈N *），S n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有S n ＞32m 总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由.8.已知数列{a n }的各项均为正整数，且满足a n +1=a n 2－2na n +2（n ∈N *），又a 5=11.（1）求a 1，a 2，a 3，a 4的值，并由此推测出{a n }的通项公式（不要求证明）；（2）设b n =11－a n ，S n =b 1+b 2+…+b n ，S n ′=|b 1|+|b 2|+…+|b n |，求∞→n lim'nn S S 的值.9.设f （k ）是满足不等式log 2x +log 2（3·2k －1－x ）≥2k －1（k ∈N *）的自然数x 的个数.（1）求f （k ）的表达式；（2）记S n =f （1）+f （2）+…+f （n ），P n =n 2+n －1，当n ≤5时试比较S n 与P n 的大小.10. 已知数列{a n }，构造一个新数列a 1，（a 2－a 1），（a 3－a 2），…，（a n －a n －1），…，此数列是首项为1，公比为31的等比数列.（1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{a n }的前n 项和S n .。

专题05 等差等比综合(解析版)

专题5 等差等比综合一、解答题1．已知等差数列{}n a 中，22a =，156a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）n a n =；（2）122n n S +=-.【解析】（1）先设等差数列的公差为d ，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，得到n b ，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22a =，156a a +=，所以112246a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以1(1)n a n n ；（2）由（1）可得，22n a nn b ==，即数列{}n b 为等比数列，所以数列{}n b 的前n 项和()12122212n n n S +-==--.2．已知等差数列{}3log n a 的首项为1，公差为1，等差数列{}n b 满足()212n n b n n k +=++．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）若nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）3nn a =．1n b n =+（2）525443n nn S +=-⋅ 【解析】（1）由等差数列的通项公式及对数的运算可得数列{}n a 的通项公式，根据条件中的递推式求出123,,b b b ，利用它们成等差数列列方程求出k ，进而可得数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和n S . 【详解】解：（1）由条件可知，3log 11n a n n =+-=，3nn a ∴=.()212n n b n n k +=++，132k b +∴=，283k b +=，3154kb +=. 由题意{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，解得1k =，()211n b n n ∴=+-=+；（2）由（1）知，13n n n n b n c a +==，2231333n n n S +∴=++⋅⋅⋅+① 则23112313333n n n S ++=++⋅⋅⋅+① ①-①可得23311221111525333333623n n n n n S ++++=+++⋅⋅⋅+-=-⋅，525443n nn S +∴=-⋅. 3．若数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()221log *n n b a n N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）2n T n =. 【解析】【分析】（1）根据公式11(2,),(1)n n n S S n n N a a n *-⎧-≥∈=⎨=⎩，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合等差数列的定义、等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈.2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，化为：12n n a a -=，1n =时，1122a a =-，解得12a =.∴数列{}n a 是等比数列，首项为2，公比为2. 2n n a ∴=.（2）221log 21n n b a n -==-.因为12n nb b ，∴数列{}n b 是等差数列，首项为1，公差为2，所以 21()(1+21)22n n n a a n n T n +-∴===. 4．在等差数列{}n a 中，138a a +=，且2429a a a =⋅ （1）求数列{}n a 的首项､公差；（2）设()()1218n n n a a b -+=，若13mm m bb b +++=，求正整数m 的值.【答案】（1）数列{}n a 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3；（2）6. 【解析】【分析】（1）根据条件，列出两个关于首项和公差的方程，然后解方程即可；（2）由（1）求出数列{}n a 的通项，然后再求出n b ，再根据13m m m b b b +++=求出m .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，由已知可得：1121112284(3)()(8)0a d a a d a d a d d ⎧+==⎧⇒⎨⎨+=++=⎩⎩或113a d =⎧⎨=⎩，即数列{}n a 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3. （2）由（1）可知4n a =或13(1)32n a n n =+-=- 当4n a =时，(41)(42)118n b -+==，又13m m m b b b +++=，而1121+=>不满足题意；当32n a n =-时，(321)(322)(1)182n n n n n b ---+-==，又13m m m b b b +++=，所以(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为m 为正整数，所以m =6.5．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：①数列是等差数列；①213a a =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析【解析】【分析】选①①作条件证明①,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明. 选①①作条件证明①选①①作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①①作条件证明①：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d =-，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a ==．所以213a a =．选①①作条件证明①：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n =+=所以是等差数列. 选①①作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a +-03a-<不合题意，舍去. 综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a =，因为也为等差数列，所以公差1d()11n d -=21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①①时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①①证明①的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d 12d a =，进而得到213a a =；选①①时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选①①时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a前两项的差1d利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.6．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a =*n ∈N 且2n ≥). (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =- (2)21n n T n =+ 【解析】【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥及题意可得数列为等差数列，从而求出2n S n =，从而可求出答案；（2）利用裂项相消法即可求出答案． (1)①1(2)n n n a S S n -=-≥，①2)n a n =≥，又)*2,,0n n a n n a ≥∈>N ，1(2)n ≥，①数列1==为首项，1为公差的等差数列，1(1)n n =+-=，①2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，11a =，满足上式， ①数列{}n a 的通项公式为21n a n =-；(2)由（1）可知，21n a n =-， 12233411111n n n T a a a a a a a a +=++++ 11111335572121n n =++++⨯⨯⨯(-)(+)1111111221213351n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭ 21nn =+， ①当*n ∈N 时，21n nT n =+． 7．已知数列{an }满足1a ＝1，an ＋1＝2an ＋1，bn ＝an ＋1(n ①N*)．（1）求证：{ bn }是等比数列；（2）求{ an }的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）an ＝2n －1. 【解析】【分析】（1）由题意可得an ＋1＋1＝2(an ＋1)，利用等比数列的定义即可证明. （2）利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】（1）证明：①an ＋1＝2an ＋1，①an ＋1＋1＝2(an ＋1)，即bn ＋1＝2bn ， ①b 1＝1a ＋1＝2≠0.①bn ≠0，①1n nb b +＝2，①{bn }是等比数列．（2）由（1）知{bn }是首项b 1＝2，公比为2的等比数列， ①bn ＝2×2n －1＝2n ，即an ＋1＝2n ，①an ＝2n －1.8．已知等差数列{}n a 的公差为正数，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，12b =，且2212b S =，2310b S +=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . （3）设1n n n c b S =+，n *∈N，求数列{}n c 的前2n 项和. 【答案】（1）n a n =；2nn b =；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）212221n n +-+. 【解析】【分析】（1）假设公差d 和公比q ，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得,d q ，由等差和等比通项公式可求得结果；（2）由（1）可得2nn n a b n ⋅=⋅，利用错位相减法可求得结果；（3）由（1）可得11221nn c n n ⎛⎫=+⨯- ⎪+⎝⎭，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，等比数列{}n b 公比为q ，()()22112311222123323310b S b q a d q d b S b q a d q d ⎧=+=+=∴⎨+=++=++=⎩，解得：21q d =⎧⎨=⎩，()111n a n n ∴=+-⨯=；1222n n n b -=⨯=；（2）由（1）得：2nn n a b n ⋅=⋅，()1231122232122n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， ()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，两式作差得：()()211231212222222212n n nn n T n n -++--=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅+-112242n n n ++=-⋅-+()1122n n +=-⋅-，()1122n n T n +∴=-⋅+.（3）由（1）得：()()121122221112n n n n c n n n n n n ⎛⎫=+=+=+⨯- ⎪+++⎝⎭，则2212321111122221223221nn c c c c n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭()221212121422122212212121n n n n n n n ++-⎛⎫=+⨯-=-+=- ⎪-+++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：当数列通项公式满足等差⨯等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前n 项和，具体步骤如下：①列出1231n n n S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++的形式；①左右两侧同乘通项中的等比部分的公比q ，得到n qS ；①上下两式作差得到()1n q S -，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分； ①整理所得式子求得n S .9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4n n a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-①，①-①得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-；所以31λ-≤≤. 【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.10．已知实数111,,a b c 成等差数列，求证：,,222b b b ac --成等比数列.【答案】见详解. 【解析】【分析】根据条件，证明：2222b b b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可，注意各项均不为零.【详解】因为111,,a b c 成等差数列，所以112a c b +=，即2b ac a c =+且0abc ≠，又()()2220222444b b b b ac b b a c ac a c ac a c a c ⎛⎫⎛⎫-⋅-=-++=-++=> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以2222b b b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立且各项均不为零，所以：,,222b b ba c --成等比数列.【点睛】本题考查等比数列的证明，难度一般.注意说明各项均不为零. 11．设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-. (1) 求123,,b b b ；(2) 求数列{}n b 的通项公式. 【答案】(1)123b =；229b =；3227b =.(2)23n n b =.【解析】【分析】(1)对于已知式令1,2,3n =即可解得123,,b b b 的值.(2)由22n n b S =-，得1122n n b S --=-，两式相减可推得{}n b 是等比数列，进而可得通项公式.也可以由(1)的结论归纳出{}n b 的通项公式，再验证其符合已知条件. 【详解】（1）由22n n b S =-，令1n =，得1122b S =-，又11S b =，所以123b =；令2n =，得21222()b b b =-+，所以229b =；令2n =，得312322()b b b b =-++，所以3227b =. （2）方法一：当2n ≥时，由22n n b S =-，可得1122n n b S --=-，两式相减得112()2n n n n n b b S S b ---=--=-，即11=3n n b b －. 所以{}n b 是以123b =为首项，13为公比的等比数列，于是1212333n n n b -⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭. 方法二：由（1）归纳可得23n nb =，此时21133111313nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，可使22n n b S =-成立，所以23n nb =. 【点睛】本题考查数列问题，考查由n a 和n S 的关系求通项公式.通过赋值列举若干项，寻找规律和解题思路，是解决数列问题的一种常见策略. 12．已知数列{}n a 满足112n n a a +=-+，其中10a =. （1）求证11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设121n n n n T a a a +-=+++，若n T p n ≤-对任意的n *∈N 恒成立，求p 的最小值.【答案】（1）证明见解析，11n a n=-；（2）最小值为1.【解析】【分析】（1）根据112n n a a +=-+，可得1211111222n n n n n n a a a a a a ++-++=-+==+++，从而可得12111111n n n n a a a a ++==++++，即可得出结论，再根据等差数列的通项即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）121n n n n T a a a p n +-=+++≤-，即()()()()12211111n n n n a a a a p ++-++++++++≤，设()()()()121111n n n H n a a a +-=++++++，利用作差法证明数列(){}H n 单调递减，从而可得出答案.【详解】（1）证明：①112n n a a +=-+， ①1211111222n n n n n n a a a a a a ++-++=-+==+++， ①10n a +≠，①12111111n n n n a a a a ++==++++， ①11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列. ()1111n n n a =+-=+，①11n a n=-. （2）解：①121n n n n T a a a p n +-=+++≤-，①121n n n n a a a p +-++++≤，即()()()()12211111n n n n a a a a p ++-++++++++≤对任意的n *∈N 恒成立，而11n a n+=，设()()()()121111n n n H n a a a +-=++++++，①()111121H n n n n =++++-， ()1111111221221H n n n n n n +=+++++++-+， ①()()1111110221212H n H n n n n n n+-=+-=-<++， ①数列(){}H n 单调递减，①当n *∈N 时，()()11H n H ≤=，①1p ≥. ①p 的最小值为1.13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4120S =，13n n a a +=. （①）求数列{}n a 的通项公式；（①）设321log n n b a -=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）3nn a =（2）n T 21nn =+ 【解析】【分析】（1）利用13n n a a +=，得到数列{}n a 是等比数列，且公比等于3，利用求和公式求得数列的首项1a ，再利用等比数列的通项公式求得结果；（2）根据题意，可得21n b n =-，之后应用裂项相消法对数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭求和.【详解】（①）①13n na a +=，①{}n a 是公比为3q =的等比数列，又()4141312013a S -==-，解得13a=.①{}n a 是以13a =为首项，以3q =为公比的等比数列，通项公式为113n nn a a q -==. （①）①213log 321n n b n -==- ①()()11113352121n T n n =+++⨯⨯-+ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11(122121n n n =-=++）【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的定义，等比数列的求和公式，等比数列通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.14．某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月燃油费7000元，第n 个月的维修费和工资支出为600(1)3000-+n 元. （1）设月平均消耗为y 元，求y 与n （月）的函数关系；（2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？【答案】（1）30000003009700,y n n N n+=++∈；（2）投入第100个月，成本最低；（3）7年后收回成本. 【解析】【分析】（1）先求出购船费和所有支出的和，然后把购船费和所有支出费用平摊到每一个月，即可求得平均消耗y与n （月）的函数关系；（2）利用基本不等式可得最值，从而求出此时n 的值，即可求解；（3）假设x 年后可收回成本，则收入是首项为50，公比为0.95的等比数列，然后建立收入大于成本的不等式，即可求解. 【详解】（1）购船费和所有支出费为30000007000[300030006003000260030006000(1)]n n +++⨯+⨯⨯++⨯-230000009700300n n =++元，所以月平均消耗30000003009700=++y n n，即月平均消耗为y 与n 的函数关系30000003009700,y n n N n+=++∈.（2）由（1）30000003009700970069700y n n =++≥=，当且仅当3000000300n n=，即100n =时等号成立，所以当投入营运100个月时，营运成本最低. （3）假设x 年后可收回成本，则收入为： 215050(15%)50(15%)50(15%)1000(10.95)300x x -+-+-++-=->，解得7x =时满足条件，6x =时不满足条件，故7年后可收回成本. 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，以及基本不等式求最值的应用，着重分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.15．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. （1）求n a ，n b ；（2）设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）1,2n n n a n b -==；（2）121nn S n =-+. 【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意列关于首项与公差的方程，联立求得首项与公差，则n a ，n b 可求；（2）把（1）中求得的通项公式代入n c ，分组后利用等比数列前n 项和与裂项相消法求解数列{}n c 的前n 项和. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意，4114(41)446102S a d a d ⨯-=+=+=，① 又①124,,a a a 成等比数列，①2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+，得1a d =，①联立①①可得，11a d == ①n a n = ，12n n b -=；（2）①1112(1)(1)n n n n n c b a a n n -=+=+++，①01111111(222)(1)2231n n S n n -=++++-+-++-+ ＝1211121211n n n n -+-=--++. ①数列{}n c 的前n 项和n S 为121n n S n =-+. 【点睛】本题考查等差等比数列基本量的计算，等比数列求和公式，裂项求和，分组求和法等，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于先根据分组求和，转化为等比数列的和与1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的和，进而利用裂项求和求解.16．记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】(1)26n a n =-；(2)7. 【解析】【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a ，n a ，n S 为等差数列；数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++. (1)求数列{}n b 的前n 项和n T ； (2)若对于*N n ∀∈，总有3207464n n m a --<成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)+1112+32n n n n T -=-. (2)6>7m .【解析】【分析】（1）由等差数列的性质得12+n n a a S =，继而有+11+12+n n a a S =，两式相减得+12n n a a =，由此得数列{}n a 是以2为公比的等比数列，求得n a ，n S ，再由此求得n b ，运用分组求和法和等比数列的求和公式可求得n T . （2）由（1）将不等式转化为132074>642n n m ---⨯，再令13202n n n c --=，作+12233n nnnc c --=，判断出当8n =时，n c 取得最大值132，由此得174>6432m -⨯，求解即可.(1)解：因为1a ，n a ，n S 为等差数列，所以12+n n a a S =，所以+11+12+n n a a S =，两式相减得+1+122n n n n a a S S -=-，即+12n n a a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又16b =，14n n n b S a =++，所以11164a a =++，解得11a =，所以12n n a ，12112122n n n S -⨯-=--=，所以1111242+3212nnn n n b --=++=+-，所以212112111112+32+32+++++3+22+2n n n n T b b b ---++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭⎝⎭()21112+221++2++++32n n n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭111112222+311212nn n --⨯-=+--⨯+1112+32n n n -=-，所以+1112+32n n n n T -=-； (2)解：由（1）得不等式为132072464n n m ---<，整理得132074>642n n m ---⨯，令13202n n n c --=，则()+113+122203202332n n n n nn n n c c -----=-=，所以当07n <≤，*N n ∈时，+1>0n n c c -，即+1>n n c c ，当>7n ，*N n ∈时，+10n n c c -<，即+1n n c c <，所以当8n =时，n c 取得最大值88138201232c -⨯-==，所以174>6432m -⨯，即74>2m -，解得6>7m . 所以实数m 的取值范围为6>7m .18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2610a a +=，520S =. （1）求n a 与n S ；（2）设数列{}n c 满足1n n c S n=-，求{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+,n S ()32n n +=（2）n T 21nn =+ 【解析】【分析】（1）由()1553552a a S a +==和2642a a a +=，可求出3a 和4a ，然后利用等差数列的性质可求出n a 与n S ；（2）由（1）知()32n n n S +=，可得2121121n n c S n n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭，利用裂项相消的求和方法，可求出{}n c 的前n 项和n T . 【详解】解：（1）设等差数列公差为d ，()155355202a a S a+===，故34a =，264210a a a +==，故45a =，1d ∴=，()331n a a d n n =+-=+，易得12a =， ∴()12n n nS a a =+ ()()32122n n n n +=++=．（2）由（1）知()32n n n S +=，则2121121n n c S n n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭，则111111121223341n T n n ⎛⎫=-+-+-+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础题．19．数列{}n a 满足()1331,2n n n a a n n *-=+-∈≥N ，已知395a =．（1）求1a ，2a ；（2）若()()13n n nb a t n *=+∈N ，则是否存在实数t ，使{}n b 为等差数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）15a =；223a =；（2）存在；12t =-．【解析】【分析】（1）代入2n =，3n =进入1331nn n a a -=+-，结合395a =，即得解；（2）利用等差数列定义，要使{}n b 为等差数列，则11213n n ntb b -+-=-为常数，分析即得解【详解】（1）当2n =时，221331a a =+-．当3n =时，33233195a a =+-=，①223a =．①12338a =+，解得15a =．（2）当2n ≥时，()()1111133n n n n n n b b a t a t ----=+-+ ()()1113331233nn n n n a t a t t -=+--=-- 1213nt+=-．要使{}n b 为等差数列，则1213n t +-为常数，即12t =-，即存在12t =-，使{}n b 为等差数列．20．在正项数列{}n a 中，11a =()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT .【答案】（1）22n n a =，2nn b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++【解析】（1）在已知等式()()2211121n n n n a a a a ++-=-两边同时除以1n n a a +，即可证得{}n b 是等比数列（必须求出10b ≠），然后可求得n b ，解方程1n n nb a a =-可得n a ；（2）由（1）求出2(2)44nn n n a b n n -=⋅+，其前n 项和用分组求和法，一部分由等差数列前n 项和公式可得，另外一部分用错位相减法求和．【详解】（1）①()()2211121n n n n a a a a ++-=-，①11112n n n n a a a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ①12n n b b +=. 又11112b a a =-=，①{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，从而2nn b =.①1n n n b a a =-，①12n n n a a -=，又0n a >，解得22n n a =. （2）()()224444n nn n n a b n n n -=+=⋅+，设数列{}4nn ⋅的前n 项和为n S ，则214244nn S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，231414244n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，则2144444n n n n S S n +-=+++-⋅，即()11134444434143n n n n n S n ++---⨯-=-⋅=-，即()131449n nn S +-+=，故()()()11314442129n n n n n n T S n n ++-+=+⨯=++.【点睛】本题考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，考查分组求和、错位相减法求和．数列求和除等差数列和等比数列的求和公式外还有一些特殊数列的特殊方法：。

高中数学必修5：等差数列及其性质知识点及经典例题(含答案)

等差数列及其性质【知识概述】1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示，即*1(,2)n n a a d n N n --=∈≥.2.通项公式：1(1)n a a n d =+-()n N *∈3.前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+= 4.递推公式：+1+n n a a d =()n N *∈5．中项公式：若b a 、、M 成等差数列，则2M +a b =，称M 为b a 、的等差中项，即+M 2a b =；若数列{}n a 是等差数列，则n 112+(2)n n a a a n -+=≥. 6.等差数列的简单性质：)N (*∈k q p n m 、、、、（1）若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+；（2）2m n p +=,则2m n p a a a +=；（3）112m m m a a a -+=+；2+m m k m k a a a -+=（4）()m n a a m n d =+-;（5）21(21)m m S m a -=-;（6）232,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列.（7）()()n S f n an b f n n ==+⇔是n 的一次函数{}()n S f n n ⎧⎫⇔=⎨⎬⎩⎭成等差数列. （8）数列}{n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+是n 的二次函数且常数项为零.【学前诊断】1．[难度] 易已知等差数列}{n a 中，（1）若12497,1,16a a a a 则==+= ；（2）若1232,13,a a a =+= 则456a a a ++= .2．[难度] 中已知数列{}n a 是等差数列，（1）若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且k a =13,则k =________________.（2）若公差为-2，且,509741=+++a a a 则=++++99963a a a a .3．[难度] 中已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S（1）若.__________,4,8134111073==-=-+S a a a a a 则（2）若242,10,S S ==6S = .【经典例题】例1．在等差数列{}n a 中，259,33,a a ==求8a .例2．n S 设表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918,240,n S S ==若 430(9)n a n -=>，求n 的值.例3．在等差数列{}n a 中，230,100m m S S ==，3m S 求. 例4．已知数列{}n a 是一个等差数列，且251,5,n a a S ==-为其前n 项和.（1）求 {}n a 的通项n a ；（2）求n S 的最大值及相应的n 值；（3）12+n n T a a a =++….【本课总结】1．有关等差数列的计算问题一般有两种方法：基本量法：一个等差数列可以由首项1a 和公差d 完全确定，而首项1a 和公差d 又可以用其它两个独立的条件取代，因此在等差数列的有关计算中，可以依据方程思想，只要给出两个独立条件，就可以列方程组求出1a d 、，将问题转化为等差数列中的两个基本量1a d 、进行计算，可以说基本量法是万能大法.性质法：数列简单性质的使用可以简化运算，如果能恰当的使用数列性质，就可以绕开经过首项1a 的独木桥，获得简洁明快的解题方法，解题时需充分关注角标之间的关系，注意挖掘题目中的隐含条件, 隐含条件发掘的越深刻，获得的解题方法就越优秀.2．证明或判断数列为等差数列主要有以下几种方法：①定义法：1n n a a d +-=恒成立{}n a ⇔成等差数列；②通项法：通项公式n a pn q =+是n 的一次函数{}n a ⇔成等差数列；③前n 项和法：前n 项和2n S pn qn =+是n 的二次函数且常数项为零{}n a ⇔成等差数列；④中项法：211n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+{}n a ⇔成等差数列；3．求等差数列前n 项和的最值问题，常用途径有：①二次函数法：用求二次函数最值的方法求n S 的最大值，但要注意*n ∈N ；②图象法：利用二次函数图象的对称性，数形结合求n S 的最值；③通项法：利用等差数列的通项公式，重在考查数列的变化规律，对无穷等差数列{}n a ，其前n 项和n S 有如下几种情况：（i ）当10,0a d ><时，若满足0n a ≥的最大自然数为N ，则n S 的最大值为N S ；（ii ）当10,0a d <>时，若满足0n a ≤的最大自然数为N ，则n S 的最小值为N S ；（iii ）当10,0a d >>时，n S 无最大值；（iv ）当10,0a d <<时，n S 无最小值.【活学活用】1．[难度] 中等差数列}{n a 中，（1）若,36,31001==a a 则=+983a a ;（2）若262,162a a ==，则10a = ;（3）若,4,126473-=+-=a a a a 则n a = .2. [难度] 中设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，（1）若39S =，636S =，则789a a a ++= ;（2）若102030,100,S S ==则30S ＝ .3. [难度] 难已知数列{}n a 的通项为215n a n =-，前n 项和为n S .（1）当n 为多少时，n S 取最小值、n S 取最小值;（2）求201220T a a a =+++，并求12n n T a a a =+++.。

高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐

数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比。

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数所以{}log c n a 成等差数列二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。

word完整版等差等比数列知识点梳理及经典例题推荐文档

word完整版等差等⽐数列知识点梳理及经典例题推荐⽂档(3)8A 、等差数列知识点及经典例题⼀、数列由a n 与S n 的关系求a n由S n 求a n 时，要分n=1和n > 2两种情况讨论，然后验证两种情况可否⽤统⼀的解析式表⽰，若不能，则⽤分段1例〗根据下列条件，确定数列a n 的通项公式。

⑴⑷=1 .⼬I =3%+2孑 (2 ) a\ = 1,4+i = C n+ 1) Ofl ?分析：(1)可⽤构造等⽐数列法求解； (2)可转化后利⽤累乘法求解； (3)将⽆理问题有理化，⽽后利⽤a n 与S n 的关系求解。

丁⽿初=3兔+ 2,⼆％知+ 1=3(弘+1⼋⼆詈异=3⼯丽临为等⽐数列拾⽐+⼆為+ 1 = 2 * 3" 1 , A ^ = 2 * 3^-1.E^H =(n+> ?-=服得 S T =(A ±^!当 42 时=5⼀5-='為f "(為⼫O(2) ■!.⽚?1⼀⼇「?| ^⼀ J ........................ 「「⼇记.故"—<-累乘可得，函数的形式表⽰为a nS (n 1) Si S n 1 (n 2)解答：(1)—（cud- a, i+4）（弼―a?- I〉，⼆（召+為⼁）（的—编| —4） = QrTcin>0,「*爲+ 4 i>CbA O H —I —4=0,即％—久1=4, 化数列为等差数列，"差d=4.丁⼫ +2）⼜a? = S* =-------- g ----- ?A a. -2??:%=2⼗4（川⼀1〉=如⼀2?⼀⼆、等差数列及其前n项和（⼀）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种⽅法：第⼀种是利⽤定义，a n a n 1 d（常数）（n 2），第⼆种是利⽤等差中项，即2a.务1 %i（n 2）。

2、解选择题、填空题时，亦可⽤通项或前n项和直接判断。

（1）通项法：若数列｛a n｝的通项公式为n的⼀次函数，即a n=An+B,则｛a n｝是等差数列；（2）前n项和法：若数列｛a.｝的前n项和S n是S n An2Bn的形式（A, B是常数），则｛a“｝是等差数列。

高中数学等差数列、等比数列,典型例题、常见考题、基础测试、考试模拟,全部附答案

高中数学数列（等差、等比）第一节数列的概念与简单表示法一、走进教材－11．在数列{a}中，a＝1，a＝1＋(n≥2)，则a＝( )an－13A. B.53 C.82D.2．观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交所得的交点最多有________个。

二、基础检测1．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是()A．a＝4n－7B．a＝(－1)(4n＋1)nnC．a＝(－1)(4n－1)D．a＝(－1)＋n n(4n－1)2．设数列{a}的前n项和S＝nn n 2，则a的值为()8A．15B．16C．49D．643．已知数列{a}满足a＝0，an1n＋1＝a－3n3a＋1n，n∈N，则a等于( )2015A．0B．－3 C.3 D.3 2nn1n5 253nn n1*4．已知数列{a}的前n项和S＝nn n 2＋1，则a＝________。

n5．已知数列{a}满足a＝1，a＝3a＋2，则a＝________。

n1n＋1n n考点一考点精讲由数列的前几项求数列的通项公式【典例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式。

(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；115132961(3)，，－，，－，，…。

【变式训练】(1)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )A．a＝(－1)－nnπC．a＝2sinn ＋12，n为奇数B．a ＝0，n为偶数D．a＝cos(n－1)π＋1248163264n1n 2n(2)3 5 7 9 a ＋b已知数列，，，，，…，根据前三项给出的规律，则实2 4 6 a －b 10数对(a ，b )可能是()A ．(19,3)B ．(19，－3)C. ，D. ，－考点二由 a 与 S 的关系求通项公式 nn【典例 2】 (1). 已知数列{a }的前 n 项和为 S ，且 a ＝1，a ＝S ＋1，其中 n ∈nn1n ＋1nN ，则数列{a }的通项公式是 a ＝________。

高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案

等差等比数列综合应用【典型例题】［例1］一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列, 等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为a d,a,a d(a d) (a d) (a 4)2(a d)(a 2d 32) a2 a d2 2 a2 8a 16(1)(a2d2) 232(a d) a (2)2a 8a 16 32 32d 2 a2 3a 4d 0代入（1)d 2 8 1-(4d 2)3163d； 2 32d 64 0 (3d 8)(d 8) 08 26① d 8 a 10 ②d a3 9此三数为2、16、18或-、10、509 9 9｛b n｝所有项和为20，求:（1）求a n,b n2印3d 768a n 6n 399 209 10不等式2声)n11 m(a m 1a2m )160如果再把这个［例2］等差数列｛a n｝中，印393 ,a2 a3 768 ,{g}是等比数列，q (0,1) ,b1 2 ,（2）解不等式•步a2m 160b2101m(6m 393 12m 399)16 18 (m 1)2n 1 n 1 2n2 23 2 29m 2 396m 16 18 (m 1) 02m 12m32 0T n 中共2n 1个数，依次成等差数列2n13 22n 2 3 2n 2(m 4)(1 m 8)0 m{4 ,5,6,7 ,8}[例 3] { a n }等差，{b n }，等比,a 1b 1 0 , a 2b 2 0 , a 1解:a 2b 2 a 1 da 1q• d a1(q 1)b n a nn 1a 1 (n 1)dad(q n1 1) (n 1)(qa h [(q 1)(q n2n 3q1) (n 1)(q1)]a h (q 1)[(q n21) (n1)]a h (q 1)[(q n2 1) / n(q 3 1) ' (q 1) (1 1)]*q (0,1) q 1 0i q n 1 0 • * 0q (1,)q1 0nq1 0 •* 01)]a 2,求证：a nb n (n 3)[例4](1)求 T n ； (2) S n T n ，求 Sn 。

等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结

等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。

等差数列与等比数列类比总结(全面知识点+100道练习题附解析)精编材料word版

等差数列与等比数列知识点总结及经典题目100道练习题：答案解析：14d +5 6解析：nS有最小值，可知1a<，0d>761aa<-变形得676a aa+<，故6a<，67a a+>671121212()12()22a aa aS++==>当12n<时，nS很明显都是小于0的故nS取到最小正数时的n为12．答案：1257解析：由1020S S=知对称轴为15n=，故最大值为前15项之和．答案：A5 8解析：41434442S a d⨯=+=，81878562S a d⨯=+=两式联立解得114a=，2d=-故2(1)14(2)152nn nS n n n-=+⨯-=-+对称轴为7.5，故当7n=或8n=时取最大值27715756S=-+⨯=．答案：最大值为7856S S==59解析：根据对称性，由67S S=可知58S S=，49S S=由中间到两端以此减小，所以985S S S<=，C选项错误．答案：C6 0解析：由条件可知函数零点在18与19之间，又函数过原点则对称轴应介于182与192之间，即大于9小于9.5数列的下标只能取正整数，离对称轴最近的正整数为9，故9S最大．答案：C数学浪子整理制作，侵权必究。

等差数列等比数列综合经典例题

以下是等差数列和等比数列的经典例题：
等差数列求和问题：已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，求前n项和Sn。

解法：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，得到Sn = (a1+an)n/2 = n(a1+an)/2 = n(a1+a1+(n-1)d)/2。

将其化简可得Sn = n(a1+an)/2 = n(a1+a1+(n-1)d)/2 = (n/2)(a1+an) = (n/2)(a1+a1+(n-1)d)，其中a1和an可以根据公式计算出来，从而求得Sn。

等比数列求和问题：已知一个等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，求前n项和Sn。

解法：根据等比数列的通项公式an = a1q^(n-1)，得到Sn = a1(1-q^n)/(1-q)。

将其化简可得Sn = a1*(1-q^n)/(1-q) = a1*(1-q)*(1+q+q^2+...+q^(n-1))/(1-q)。

由于1+q+q^2+...+q^(n-1)是一个等比数列的前n项和，因此可以用等比数列求和公式S=q^n-1/(q-1)求出，将其代入上式，就可以得到Sn的表达式。

这些例题是等差数列和等比数列求和问题中比较经典的例子，掌握了这些例题的解法，就能够比较顺利地解决一类问题。

在实际应用中，还会有更加复杂的情况，需要根据具体的条件设计相应的求和方法。

等比数列知识点总结与典型例题+答案

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：，称为公比()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且q 2、通项公式：，首项：；公比：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠1a q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或,,a A b A a b 2A ab=A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列是等比数列{}n a 211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前项和公式：n n S （1）当时，1q =1n S na =（2）当时，1q ≠()11111n n n a q a a qS q q--==--（为常数）11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---,,','A B A B 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数n 11(0){}n n n n n na a qa q qa a a ++==≠⇔或为常数，列（2）等比中项：为等比数列21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔（3）通项公式：为等比数列()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且1{}n n n a qa a +=⇔7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有。

*,m n N ∈{}n a n m n m a a q -=（3）若，则。

特别的，当时，得*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈n m s t a a a a ⋅=⋅2m n k += 注：2n m k a a a ⋅=12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列中，, ,求.{}n a 1964a a ⋅=3720a a +=11a 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出1a q 和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.1a q 11a 1937+=+3a 7a 11a 等差数列等比数列定义da a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式d a a n n +=-1；mda a n m n +=-q a a n n 1-=；mn m n q a a -=通项公式dn a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（0,,*f f k n N k n ∈）)0(f k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,*f f k n N k n ∈）前n 项和)(21n n a a nS +=dn n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

高考数学综合复习：等差数列与等比数列的综合(含解析)

等差数列与等比数列的综合高考预测一：等差等比的证明1．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，对*n N ∀∈都有1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--成立．（Ⅰ）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；（Ⅱ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）21n n i i S a ==∑，21nn i i T b ==∑，求证：6n n S T -<．2．已知数列{}n b 是首项为1的等差数列，数列{}n a 满足1310n n a a +--=，321b a +=，11a =．（1）证明数列1{}2n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令1()2n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．3．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53332S =，求λ．4．已知等比数列{}n a 的公比12q =-．（1）若314a =，求数列{}n a 的前n 项和；（2）证明，对任意k N +∈，k a ，2k a +，1k a +成等差数列．高考预测二：等差等比的交汇问题5．在等差数列{}n a 中34584a a a ++=，973a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间(9m ，29)m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和mS ．6．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．（1）若31n a n =+，是否存在m 、*k N ∈，有1m m k a a a ++=？说明理由；（2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈，1n n na b a +=，并说明理由；（3）若15a =，4d =，13b q ==，试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一项，请证明．7．已知数列{}n a 中，112a =，且1131()(1122n n n n n a a n n --=-⋅->-且*)n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求满足22350n S n n -+>的所有正整数n 的值．8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*2(1)()n Sna n n N n=+-∈．（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式；（2）是否存在自然数n ，使得2123(1)201323S S Sn S n n+++⋯+--=若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．（3）设*2({})(7)n n C n N n a =∈+，*123()n n T c c c c n N =+++⋯+∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*n N ∈均有32n mT >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．参考答案：高考预测一：等差等比的证明1．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，对*n N ∀∈都有1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--成立．（Ⅰ）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；（Ⅱ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）21n n i i S a ==∑，21nn i i T b ==∑，求证：6n n S T -<．【解析】()I 证明：对*n N ∀∈都有1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--成立．111()2n n n n a b b a ++∴+=+，111b a +=．11()()2n n n n a b a b ++---=．111a b -=． ∴数列{}n n a b +是等比数列，公比为12；{}n n a b -是等差数列，公差为2． ()II 解：由()I 可得：11()2n n n a b -+=．12(1)21n n a b n n -=+-=-．11()(21)22n n a n ∴=+-．11()(21)22n n b n =--．()III 解：2211(21)()2i i i a b i --=-．21111135()(21)()222n n n n H S T n -∴=-=+⨯+⨯+⋯⋯+-，21111113()(23)()(21)()22222n n n H n n -=+⨯+⋯⋯+-+-⨯， ∴12111[1()]1111112212[()()](21)()12](21)()122222212n n n n n H n n ---=+++⋯⋯+--⨯=+⨯---⨯- 121662n n n H -+∴=-<． 2．已知数列{}n b 是首项为1的等差数列，数列{}n a 满足1310n n a a +--=，321b a +=，11a =．（1）证明数列1{}2n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令1()2n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】（1）证明：1310n n a a +--=，131n n a a +∴=+，即1113()22n n a a ++=+， ∴数列1{}2n a +是首项为32，公比为3的等比数列，∴113322n n a -+=⨯，即312n n a -=，（2）由（1）知，232311132b a -=-=-=，又数列{}n b 是首项为1的等差数列，{}n b ∴的公差为1，n b n ∴=，∴13()22nn n n n c a b =+=， ∴21(13233)2n n T n =⨯+⨯+⋯+⨯，∴23113(13233)2n n T n +=⨯+⨯+⋯+⨯，∴23112(33333)2n n n T n +-=+++⋯+-，∴111113(31)112323(33)3323124244n n n n n n n n n T ++++⨯---=⨯-=--=--，∴1(21)338n n n T +-+=．3．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53332S =，求λ．【解析】解：（1）根据题意，若1n n S a λ=+，0λ≠，0n a ∴≠．当2n 时，111n n S a λ--=+，两式相减，得1111n n n n n a a a a a λλλλ--=+--=-，即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠．10λ∴-≠．即1λ≠，即11n n a a λλ-=-，(2)n ， {}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=，即111a λ=-， ∴11()11n n a λλλ-=--；（2）若53332S =，则451311[()]1132S λλλλ=+=--，即5331()113232λλ=-=-，则112λλ=-，得13λ=． 4．已知等比数列{}n a 的公比12q =-．（1）若314a =，求数列{}n a 的前n 项和；（2）证明，对任意k N +∈，k a ，2k a +，1k a +成等差数列．【解析】（1）解：由23114a a q ==，以及12q =-可得11a =． ∴数列{}n a 的前n 项和111[1()]22()221312n nn S ⨯----==+．（2）证明：对任意k N +∈，2112()2k k k a a a a ++-+= 11k q a +- 11k q a -- 1k q a = 12(21)k q q q ---．把12q =-代入可得2210q q --=，故212()0k k k a a a ++-+=，故k a ，2k a +，1k a +成等差数列．高考预测二：等差等比的交汇问题5．在等差数列{}n a 中34584a a a ++=，973a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间(9m ，29)m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．【解析】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 34584a a a ++=，973a =． ∴113984873a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得119a d =⎧⎨=⎩，1(1)998n a n n ∴=+-⨯=-．（2）由29989m m n <-<，得121889999m m n --+<<+， ∴数列{}n a 中落入区间(9m ，29)m 内的项的个数21199m m m b --=-，12m m S b b b ∴=++⋯+2123112(999)(9991)m m m m ----=++⋯+-++⋯++229(91)919191m m --=--- 219991808m m +--=-． 6．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．（1）若31n a n =+，是否存在m 、*k N ∈，有1m m k a a a ++=？说明理由；（2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈，1n n na b a +=，并说明理由；（3）若15a =，4d =，13b q ==，试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一项，请证明．【解析】解：（1）由1m m k a a a ++=，得6531m k +=+，整理后，可得423k m -=，m 、*k N ∈，2k m ∴-为整数，∴不存在m 、*k N ∈，使等式成立．（2）设n a nd c =+，若1n n na b a +=，对n N ⨯∈都成立，且{}n b 为等比数列，则211/n n n na a q a a +++=，对n N ⨯∈都成立，即221n n n a a qa ++=，2()(2)()dn c dn d c q dn d c ∴+++=++，对n N ⨯∈都成立，22d qd ∴=()i 若0d =，则0n a c =≠，1n b ∴=，*n N ∈．()ii 若0d ≠，则1q =，n b m ∴=（常数），即dn d cm dn c++=+，则0d =，矛盾．综上所述，有0n a c =≠，1n b =，使对一切n N ⨯∈，1n n na b a +=．（3）41n a n =+，3n n b =，*n N ∈，设123k m m m p k a a a b ++++++==，p 、*k N ∈，m N ∈．4(1)14()132k m m p p +++++=，∴3423km p p++=，p 、*k N ∈，3s p ∴=，s N ∈取32k s =+，222243233(41)2(41)30s s s s m ++=-⨯-=--⨯--，由二项展开式可得整数1M 、2M ，使得221(41)41s M +-=+，22(41)8(1)2s S M ⨯-=+-1244(2)((1)1)2S m M M ∴=---+，∴存在整数m 满足要求．故当且仅当3s p =，s N ∈，命题成立． 7．已知数列{}n a 中，112a =，且1131()(1122n n n n n a a n n --=-⋅->-且*)n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求满足22350n S n n -+>的所有正整数n 的值．【解析】解：（1）因为1131()(1122n n n n n a a n n --=-⋅->-且*)n N ∈, 所以1131()122n n n a a n n --=-⋅--, 则311212()()...()121321n n n a a a aa a a a n n n -=+-+-++-- 12111[1()]131111322[()()...()]122222221()2n n -----=--+-++-=-⋅--11()2n =+-,上式对1n =也成立，故1()(*)2n n a n n n N =+-∈；（2）22350n S n n -+>等价为23502n n nS -->,数列{34}n -的前n 项和为2352n n-,令134()242n n n c a n n n =-+=⋅--+,其前n 项和为2352n n n nC S -=-,则有132c =,212c =,3198c =-, 故10C >,20C >,30C <,当4n 时，11()24[()1]4022n n n c n n n n =⋅--+=⋅---+<,则有0n C <,综上可得,不等式成立的1n =或2． 8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*2(1)()n Sna n n N n=+-∈．（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式；（2）是否存在自然数n ，使得2123(1)201323S S Sn S n n+++⋯+--=？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．（3）设*2({})(7)n n C n N n a =∈+，*123()n n T c c c c n N =+++⋯+∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*n N ∈均有32n mT >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：由2(1)nn S a n n=+-，得*2(1)()n n S na n n n N =--∈．当2n 时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，即14n n a a --=，故数列{}n a 是以1为首项，以4为公差的等差数列．于是，43n a n =-，2*1()2()2n n a a nS n n n N +==-∈；（2）解：由2(1)n n S na n n =--，得*21()nS n n N n=-∈，又2222321(1)1357(21)(1)(1)2123n S S S S n n n n n n n+++⋯+--=++++⋯+---=--=-．令212013n -=，得1007n =，即存在满足条件的自然数1007n =；（3）解：21111()(7)(22)21n n C n a n n n n ===-+++，123n n T c c c c ∴=+++⋯+111111[(1)()()]22231n n =-+-+⋯+-+ 11(1)212(1)nn n =-=++．要使32n m T >总成立，需11324m T <=成立，即8m <且m Z ∈，故适合条件的m 的最大值为7．。

数学必修5—5等差数列与等比数列的综合应用

第6讲等差数列与等比数列的综合应用考点1 等差数列变等比数列考法11.（2015·浙江卷·文科）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 123a =，1d =-． 2.（2017·全国卷Ⅲ·理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 AA ．24-B ．3-C ．3D ．83.（2013·重庆卷·理科）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S = ． 864S =4.（2014·天津卷·文科）设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = D A. 2 B. 2- C.12 D. 12- 5.（2011·天津卷·理科）已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为 D A ．-110 B ．-90 C ．90 D ．1106.（2014·全国卷Ⅱ·文科）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项n S = A A ．(1)n n + B.(1)n n - C.(1)2n n + D.(1)2n n - 7.（2014·安徽卷·理科）数列{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +构成公比为q 的等比数列，则q = . 1q = 8.（2010·大纲全国卷Ⅰ·文科）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且12a ，2a ，31a +成等比数列，求n S . 113a d =⎧⎨=⎩，1(31)2n S n n =-或184a d =⎧⎨=-⎩2210n S n n =-+.9.（2013·四川卷·理科）在等差数列{}n a 中，138a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．140a d =⎧⎨=⎩，4n S n =；或113a d =⎧⎨=⎩，232n n nS -=考法21.（2014·辽宁卷·理科）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a ⋅为递减数列，则 CA ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d > 2.（2010·陕西卷·文理科）已知{}n a 是公差不为零的等差数列,11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列. n a n = （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）求数列{}n a 2的前n 项和n S . 122n n S +=- 3.（2018·北京卷·文科）设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =,235ln 2a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； (ln 2)n a n =⋅ （Ⅱ）求12n a a a e e e +++. 122n n S +=-考法31.（2011·重庆卷·理科）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 中的3b ，4b ，5b . （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；352n n b -=⨯.（Ⅱ）数列{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列.55244n n S =⨯-, 55244n n n c S =+=⨯2.（2013·福建卷·文科）已知等差数列}{n a 的公差d =1，前n 项和为n S . （Ⅰ）若1，1a ，3a 成等比数列，求1a ； 12a = （Ⅱ）若519S a a >⋅，求1a 的取值范围. 152a -<<3.（2012·重庆卷·文科）已知{}n a 为等差数列，且138a a +=，2412a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 2n a n =（Ⅱ）记{}n a 的前n 项的和为n S ，若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求正整数k 的值.3k =4.（2013·全国卷Ⅱ·文科）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； 227n a n =-+ （Ⅱ）求14732n a a a a -++++L . 2328n T n n =-+5.（2013·浙江卷·文理科）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列.（Ⅰ）求d ，n a ； 446n d a n =⎧⎨=+⎩；或111nd a n =-⎧⎨=-+⎩.（Ⅱ) 若0d <，求123n a a a a ++++. 2212111221211101222n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ 6.（2013·全国大纲卷·理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且1S ，2S ，4S 成等比数列，求{}n a 的通项式. 3n a =,或21n a n =-. 7.（2014·湖北卷·文理科）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式. 02n d a =⎧⎨=⎩；或442n d a n =⎧⎨=-⎩.（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 41n =.考点2 等比数列变等差数列考法11.（2010·湖北卷·文科）已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+ CA．1．1．3+3- 2.（2010·广东卷·文理科）已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和.若2312a a a ⋅=,且4a 与72a 等差中项为54，则5S = CA. 35B. 33C. 31D. 293.（2013·四川卷·文科）在等比数列}{n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，（Ⅰ）数列}{n a 的通项公式； 13n n a -=. （Ⅱ）求前n 项和n S . 1(31)2nn S =-. 4.（2012·陕西卷·理科）设{}n a 的公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且5a ，3a ，4a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的公比； 2q =- （Ⅱ）证明：对任意k N +∈，2k S +,k S ,1k S +成等差数列.考法21.（2014·全国大纲卷·理科）等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{lg }n a 的前8项和等 C A ．6 B ．5 C ．4 D ．32.（2014·广东卷·文科）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a ⋅=，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=_____. 53.（2014·广东卷·理科）若等比数列{}n a 的各项均为正数，512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= . 504.（2014·福建卷·文科）在等比数列{}n a 中，23a =，581a =. （Ⅰ）求n a ； 13n n a -= （Ⅱ）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . (1)2n n n S -=. 考点3 混合应用1.（2017·北京卷·理科）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-,44a b =8=，则22a b =____. 1 2.（2017·全国卷Ⅱ·文科）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T .11a =-，11b =，222a b +=.（Ⅰ）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； 12n n b -= （Ⅱ）若321T =，求3S . 321S =或36S =-. 3. （2011·重庆卷·文科）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； 2n n a =.（Ⅱ）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .2122n n S n +=+-.4.（2013·重庆卷·文科）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； 13n n a -=，1(31)2nn S =-. （Ⅱ)已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ．201010T =.5.（2015·北京卷·文科）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； 22n a n =+（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =.问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？63. 6.（2014·重庆卷·文科）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求n a 及n S ； 21n a n =-,2n S n =. （Ⅱ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足()24410q a q S -++=，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 124n n b -=⨯,2(41)3nn T =-. 7.（2015·湖北卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； 1212n n n a n b -=-⎧⎨=⎩,或11(279)929()9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩. （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．116(23)()2n n T n -=-+⨯.8.（2015·重庆卷·文科）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； 12n n a +=. （Ⅱ）设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T .21n n T =-. 9.（2015·天津卷·文科）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 12n n a -=,21n b n =- （Ⅱ）设*,n n n c a b n N =∈,求数列{}n c 的前n 项和. (23)23n n T n =-⋅+.10.（2016·北京卷·文科）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； 21n a n =-.（Ⅱ）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和. 21(31)2n n S n =+-.11.（2017·北京卷·文科）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==,24a a +10=，245b b a ⋅=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； 21n a n =-. （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++． 312n T -=.12.（2017·天津卷·理科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 32n a n =-，2n n b = （Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 1328433n n n T +-=⨯+ 13.（2017·天津卷·文科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 32n a n =-，2n n b = （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N . 2(34)216n n T n +=-⨯+14.（2012·陕西卷·理科）已知等比数列{}n a 的公比为12q =-.（Ⅰ）若3a =14，求数列{}n a 的前n 项和；（Ⅱ）证明：对任意k N +∈，k a ，2k a +，1k a +成等差数列.15.（2012·江西卷·理科）已知数列{}n a 的前n 项和212n S n kn =-+,其中n N +∈，且n S 的最大值为8.（Ⅰ）确定常数k ，求n a ；92n a n =-+（Ⅱ）求数列92{}2n n a -的前n 项和nT .（错位相减法） 114(2)()2n n T n -=-+⨯. 16.（2014·安徽卷·文科）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，n N +∈.（Ⅰ）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）设3n n b ={}n b 的前n 项和n S .（错位相减法）11(21)(33)4n n S n +=-+ 17.（2014·北京卷·文科）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；3n a n =， 132n n b n -=+ （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和. 3(1)212n n S n n =++-. 18.（2014·全国大纲卷·文科）数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+. （Ⅰ）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式. 222n a n n =-+. 19.（2014·全国卷Ⅰ·文科）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程256x x -+0=的根.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； 112n a n =+. （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 112(4)()2n n S n +=-+⨯. 20.（2014·全国卷Ⅱ·理科）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：123111n ++<…+.21.（2016·全国卷Ⅰ·文科）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足1=b 1，21=3b ，11n n n n a b b nb +++=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； 31n a n =-.（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和. 31[1()]23n n S =-.22.（2016·山东·文科）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； 31n b n =+.（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .（错位相减法）232n n T n +=⨯. 23.（2017·全国卷Ⅰ·文科）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； (2)n n a =- （Ⅱ）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.24.（2017·山东·文科）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=,123a a a ⋅=.（Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； 2n n a =（Ⅱ）{}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和n S ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 15(25)()2n n T n =-+⨯。

人教版高中数学《等差数列与等比数列》讲义(部分有答案)

等差数列与等比数列一、等差数列的判定与性质【知识要点】1. 等差数列的判定（常用）：(1)定义法：d a a n n =-+1（常数）{}n a ⇔是等差数列； (2)等差中项法：)(221*++∈+=N n a a a n n n {}n a ⇔是等差数列； 2. 等差数列的性质（常用）：由等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=可以推出许多性质,如:(1)),()(*∈-+=N n m d m n a a m n(2)若,s r q p +=+则,s r q p a a a a +=+特别地,k n k n n a a a +-+=2 【基础训练】1. 若{}n a 是等差数列，且5,342==a a ，则=6a 。

2. 等差数列{}n a 中,,457,4328==a d 则=9a . 3. 等差数列{}n a 中,85,a a 是方程0532=--x x 的两根,则该数列前12项的和=12S 。

4. 若{}n a ,{}n b 都是等差数列,且,100,75,252211=+==b a b a 则=+250250b a 。

5. 已知项数为偶数的等差数列{}n a 中,奇数项的和为24, 偶数项的和为30,公差41=d ，那么该数列的项数是 .6. 已知等差数列{}n a 中,,12321=++a a a ,18654=++a a a 则151413a a a ++= .【典例精析】例1．【判定】已知数列{}n a 满足),2(44,411≥-==-n a a a n n 若,21-=n n a b (1)求证: {}n b 是等差数列; (2)求数列{}n a 的通项公式.例2．【性质】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24=S ，68=S 。

(1)求数列的公差d ；(2)求16151413a a a a +++。

例3．【性质与判定】已知等差数列{}n a 中, 公差),(02,0,0212*++∈=++≠≠N n k a x a x a a d k k k n .(1)求证:当k 取不同的正整数时方程有公根; (2)若方程不同的根为依次为,,,,21n x x x 求证:11,,11,1121+++n x x x 是等差数列.二、等比数列的判定与性质【知识要点】1. 等比数列的判定方法(常用): (1)定义法：q a a nn =+1(常数))(*N n ∈{}n a ⇔是等比数列; (2)等比中项法：)(*221N n a a a n n n ∈=++{}n a ⇔是等比数列; 2. 等比数列的性质（常用）:由通项公11-=n n q a a 可以推导出许多性质,(1)),(*-∈=N n m qa a mn m n ； (2)若s r n m +=+.则s r n m a a a a ⋅=⋅，特别地,k n k n n a a a +-⋅=2；【基础训练】1．若{}n a 是等比数列，且4,242==a a ，则=6a 。

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等差与等比数列的综合问题
【知识概述】
一、两种数列综合考查有以下几种命题方式：
1.嵌套式：将一种数列嵌套在另外一种数列中作为一个知识点进行考查；
2.拼盘式：在一个综合问题中，将两种数列像一个拼盘一样拼在一起，来综合考查这两种数列的各种概念与性质
3.引申式：将等差数列或者等比数列进行引申，将它与其他的数学知识产生联系，从而在考查数列知识的同时考查数学的其他相关知识
二、等差数列与等比数列在一定情况下可以互相转换
1.若{}n a 为等差数列{}(0,1)n a a a a ⇔>≠为等比数列；
2.若{}n a 为等比数列{log }(0,1)a n a a a ⇔>≠为等差数列.
【学前诊断】
1．[难度] 易
已知等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则4a = .
2．[难度] 中
设{}n a 为等差数列，{}n b 是各项都是正数的等比数列，111a b ==, 243a a b +=，
243b b a =，求及{}n b 的前10项的和10S 及10T .
3．[难度] 中
设{}n a 是等差数列，1
()2n a n b =，已知b 1＋b 2＋b 3＝8
21，b 1b 2b 3＝81. （1）求证：数列{b n }是等比数列；
（2）求等差数列{a n }的通项a n .
【经典例题】
{}n a
例1．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37,S =且
1233,3,4a a a ++构成等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式．
（2）令31ln ,1,2n n b a n +==…, 求数列{}n b 的前n 项和n T .
例2．已知数列{}n a 的前n 项和2
22n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和2n n T b =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）设 2n n n c a b =，证明：当且仅当n ≥3时，1n c +< n c .
例3．已知等差数列的公差d 不为0，设，
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若成等比数列，求q 的值；
（3）若.
例4．已知数列{}n a 中，112
a =,点*1(,2)()n n n a a n +-∈N 在直线y x =上. （1）令11n n n
b a a +=--,求证数列{}n b 是等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项；
（3）设n S ，n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和,是否存在实数λ使得数列
n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
等差数列？若存在，试求出λ，若不存在,则说明理由.
【本课总结】
}{n a 121-+++=n n n q a q a a S *1121,0,)1(N n q q a q a a T n n n n ∈≠-++-=-- 15,1,131===S a q }{n a 3211,,,S S S d a 且=*2222,1)1(2)1(1,1N n q q dq T q S q q n n n
∈--=+--±≠）证明（
1.等差和等比数列是两个基本的数列模型，是高考的重点和热点，将两种数列综合在一起进行考查是常见的命题形式，难度低中等，但若是在等差、等比数列的基础上引申和创新的问题，则一般难度较大，对考生的观察理解能力和灵活利用所学知识分析和解决问题的能力要求较高，命题的规律则通常是以一种类型数列为主导，兼顾另一种数列的相关知识，如中项公式等，目的是从基本量的角度给出确定数列的条件.解决等差数列与等比数列综合问题的关键，是能够熟练、准确和综合的运用相关的知识.注重总结常见问题的题型特征和命题规律以及相应的解题方法，并能比较深刻的理解和掌握问题中所蕴含的数学思想方法.
2.请同学们体会如何将两种特殊数列进行综合，如何把他与其它的知识进行综合，不同的综合方式构成了不同难度的试题形式，当等差数列和等比数列综合的时候，要对这两个数列的基本知识进行很好的把握，把问题做适当的分解，便可以获得恰当的解题方法
【活学活用】
1．[难度] 中
公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 .
2. [难度] 中
已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项;
（2）求数列{}2
n a 的前n 项和n S
3. [难度] 难
已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a =，2716a a +=.
（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：
*312123()2222
n n n b b b b a n =++++∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S。