吉林大学 2015-2016学年第一学期期末考试《离散数学》大作业

一．R，S是集合A上的两个关系。

试证明下列等式：（1）(R•S)-1= S-1•R-1
（2）(R-1)-1= R
答：
（1）对∀∈(R。

S)^(-1)
∈R。

S
∈R ∧∈S
∈S^(-1)∧∈R^(-1)
∈S^(-1)。

R^(-1)
（2）对∀∈(R^(-1))^(-1)
∈R^(-1)
∈R
二、R，S是集合A上的两个关系。

试证明下列等式：（1）(R∪S)-1= R-1∪S-1
（2）(R∩S)-1= R-1∩S-1
（1）证相互包含:
任意<x,y>∈（R∪S）^(-1),
<y,x>∈（R∪S）,
<y,x>∈R或者),<y,x>∈S
<x,y>∈R^(-1),或者<x,y>∈S^(-1),
<x,y>∈R^(-1)∪S^(-1),
（R∪S）^(-1)包含于R^(-1)∪S^(-1),
任意<x,y>∈R^(-1)∪S^(-1),
<x,y>∈R^(-1),或者<x,y>∈S^(-1),
<y,x>∈R或者,<y,x>∈S
<y,x>∈（R∪S）,
<x,y>∈（R∪S）^(-1),
R^(-1)∪S^(-1)包含于（R∪S）^(-1),
所以（R∪S）^(-1)=R^(-1)∪S^(-1),
（2）
任意<x,y>∈（R∩S）^(-1),
<y,x>∈（R∩S）,
<y,x>∈R并且,<y,x>∈S
<x,y>∈R^(-1),并且<x,y>∈S^(-1),
<x,y>∈（R^(-1)∩S^(-1),
（R∩S）^(-1)包含于R^(-1)∩S^(-1),
任意<x,y>∈R^(-1)∩S^(-1),
<x,y>∈R^(-1),并且<x,y>∈S^(-1),
<y,x>∈R并且,<y,x>∈S
<y,x>∈（R∩S）,
<x,y>∈（R∩S）^(-1),
R^(-1)∩S^(-1)包含于（R∩S）^(-1),
所以（R∩S）^(-1)=R^(-1)∩S^(-1),
三、设R是非空集合A上的关系，如果
1）对任意a∈A，都有a R a ；
2）若aRb，aRc，则bRc ；
对称性：
已知aRa,对任意b,如果aRb,那么根据条件2有bRa.
传递性：
对任意a,b,c,如果aRb且bRc,那么根据对称性有bRa,再根据条件2就有aRc.
四、若集合A上的关系R，S具有对称性，证明：R•S具有对称性的充要条件为R•S= S•R。

必要性:
任取<x,z>∈R。

S，因为R。

S具有对称性,故<z,x>∈R。

S,则一定存在y使得<z,y>∈R,且<y,x>∈S,又因为R,S有对称性,故有<x,y>∈S,且<y,z>∈R,故<x,z>∈S。

R,这就证明了R。

S含于S。

R,同样地,可证S。

R含于R。

S,这就证明了S。

R=R。

S
充分性:
任取<x,z>∈R。

S,因为S。

R=R。

S,故<x,z>∈S。

R,则一定存在y使得<x,y>∈S,且<y,z>∈R,又因为R S具有对称性,故 <z,y>∈R,<y,x>∈S,故<z,x>∈R。

S,故R。

S具有对称性
证毕
五、若R是等价关系，试证明R-1也是等价关系。

对称性：
(x,y) 属于R => (y,x)属于R
(x,y)属于R-1 =>存在一个(x,z)使得(x,z)属于R,同时(z,y)属于R
=> ( y,z),(z,x)属于R => (y,z)属于R-1
对称性性得证
自反性,
R是等价关系=> (x,x)属于R=>(x,x) 属于R-1
传递性,如果(x,y)属于R-1,(y,z)属于R-1
利用上面对称性方法构建中间关系
(x,y)属于R-1,说明存在a,(x,a),(a,y)属于R
(y,z)属于R-1,说明存在b,(y,b),(b,z)属于R
根据R的传递性,得到x,y,z,a,b都等价
所以(x,a)(a,z)属于R,(x,z)属于R-1
六．对任意集合A，B，证明：
(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；
(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；
证明：(1)证明：必要性，任取x⊆ρ (A)，则x⊆A。

由于A⊆B，故x⊆B，从而x⊆ρ(B)，于是ρ (A)⊆ρ (B)。

充分性，任取x⊆A，知{x}⊆A，于是有{x}⊆ρ(A)。

由于ρ (A) ⊆ρ (B)，故{x}⊆ρ (B)，由此知x⊆B，也就是A⊆B。

（2）证明：
任取X⊆ρ (A)∪ρ (B)，则X⊆ρ (A)或X⊆ρ (B)
∴X⊆A或X⊆B
∴X⊆ (A∪B)
∴X⊆ρ (A∪B)
所以ρ (A)∪ρ (B) ⊆ρ ( A∪B)
七．对任意集合A，B，证明：
(1)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；
(2)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。

举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)
（1）证明：
先证r(A)∩ρ (B) ⊆ρ ( A∩B)
任取X⊆ρ (A)∩ρ (B)，则X⊆ρ (A)且X⊆ρ (B)
∴X⊆A且X⊆B
∴X⊆ A∩B
∴X⊆ρ ( A∩B)
所以ρ (A)∩ρ (B) ⊆ρ ( A∩B)
再证ρ ( A∩B) ⊆ρ (A)∩r(B)
任取Y⊆ρ (A∩B)，则Y⊆ A∩B
∴Y⊆A且Y⊆B
∴Y⊆ρ (A)且Y⊆ρ (B)
∴Y⊆ρ (A)∩ρ (B)
所以ρ ( A∩B) ⊆ρ (A)∩ρ (B)
故ρ (A)∩ρ (B) = ρ ( A∩B)得证。

举例：A={1}，B={a}
则ρ (A)={ f，{1}}，ρ (B)={ f，{a}}
ρ (A)∪ρ (B) = { f，{1}，{a}}
A∪B={1，a}
ρ ( A∪B)={ f，{1}，{a}，{1，a}}
可见{1，a}⊆ρ ( A∪B)，{1，a}⊆ρ (A)∪ρ (B)
所以ρ (A)∪ρ (B)≠ρ ( A∪B)
(2)对任意的集合x，若x=φ，则x⊆ρ ( A-B) 且x⊆ (ρ ( A) -ρ ( B))∪{φ}。

若x¹φ，则x⊆ρ ( A-B)当且仅当x⊆ ( A-B)当且仅当x⊆AÙx⊈B当且仅当x⊆ρ ( A) Ùx⊆ρ ( B) 当且仅当x⊆ (ρ (A)- ρ(B))。

综上所述，可知ρ (A-B) ⊆ (ρ (A)- ρ (B)) ⋃{φ}。

八．设A是m元集合，B是n元集合。

问A到B共有多少个不同的二元关系？设A={a，b}，B={1，2}，试写出A到B上的全部二元关系。

解：A到B上共有2mn个二元关系。

题中A*B的全部子集φ，｛（a，1）｝，｛（a，2）｝，｛（b，1）｝，｛（b，2）｝，｛（a，1），（a，2）｝，｛（a，1），（b，1）｝，｛（a，1），（b，2）｝，｛（a，2），（b，1）｝,{(a,2),(b,2)},{(a,1),(a,2),(b,1)},{(a,1),(a,2),(b,2)},{(a,1),(b,1),(b,2)},{(a,2),(b,1),(b,2)},{(a,1) (a,2),(b,1),(b,2)}为A到B的全部二元关系
九．若非空集合上的非空关系R是反自反的，是对称的，试证明R不是传递的。

证明设R是集合X上的一个自反关系,如果R是X上对称和传递的,则当任意a,b,c∈X,
若有∈R且∈R
则∈R且∈R
故得∈R
反之,由∈R,∈R,必有< b,c>∈R,
则对任意a,b∈X,
若∈R,
因R是集合X上的一个自反关系,有∈R,
则得到< b,a >∈R,
故R是对称的.
十.设A,B,C为任意三个集合，下列各式对否？并证明你的结论。

（1）若A∈B且B⊆C，则A∈C；
（2）若A∈B且B⊆C，则A⊆C；
（3）若A⊆B且B∈C，则A∈C；
（4）若A⊆B且B∈C，则A⊆C。

解：(1) 正确。

因B∈C，所以，对任何x∈B均有x∈C，今A∈B，故A∈C。

(2) 错误。

例如，令A={1},B={{1},2},C={{1},2,3}。

(3) 错误。

例如，令 A={1},B={1,2},C={{1,2}}。

(4) 错误。

例如，令 A=B={1},C={{1}}。