吉林大学 2015-2016学年第一学期期末考试《离散数学》大作业

一．R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：（1）(R•S)-1= S-1•R-1

（2）(R-1)-1= R

答：

（1）对∀∈(R。S)^(-1)

∈R。S

∈R ∧∈S

∈S^(-1)∧∈R^(-1)

∈S^(-1)。R^(-1)

（2）对∀∈(R^(-1))^(-1)

∈R^(-1)

∈R

二、R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：（1）(R∪S)-1= R-1∪S-1

（2）(R∩S)-1= R-1∩S-1

（1）证相互包含:

任意∈（R∪S）^(-1),

∈（R∪S）,

∈R或者),∈S

∈R^(-1),或者∈S^(-1),

∈R^(-1)∪S^(-1),

（R∪S）^(-1)包含于R^(-1)∪S^(-1),

任意∈R^(-1)∪S^(-1),

∈R^(-1),或者∈S^(-1),

∈R或者,∈S

∈（R∪S）,

∈（R∪S）^(-1),

R^(-1)∪S^(-1)包含于（R∪S）^(-1),

所以（R∪S）^(-1)=R^(-1)∪S^(-1),

（2）

任意∈（R∩S）^(-1),

∈（R∩S）,

∈R并且,∈S

∈R^(-1),并且∈S^(-1),

∈（R^(-1)∩S^(-1),

（R∩S）^(-1)包含于R^(-1)∩S^(-1),

任意∈R^(-1)∩S^(-1),

∈R^(-1),并且∈S^(-1),

∈R并且,∈S

∈（R∩S）,

∈（R∩S）^(-1),

R^(-1)∩S^(-1)包含于（R∩S）^(-1),

所以（R∩S）^(-1)=R^(-1)∩S^(-1),

三、设R是非空集合A上的关系，如果

1）对任意a∈A，都有a R a ；

2）若aRb，aRc，则bRc ；

对称性：

已知aRa,对任意b,如果aRb,那么根据条件2有bRa.

传递性：

对任意a,b,c,如果aRb且bRc,那么根据对称性有bRa,再根据条件2就有aRc.

四、若集合A上的关系R，S具有对称性，证明：R•S具有对称性的充要条件为R•S= S•R。必要性:

任取∈R。S，因为R。S具有对称性,故∈R。S,则一定存在y使得∈R,且∈S,又因为R,S有对称性,故有∈S,且∈R,故∈S。R,这就证明了R。S含于S。R,同样地,可证S。R含于R。S,这就证明了S。R=R。S

充分性:

任取∈R。S,因为S。R=R。S,故∈S。R,则一定存在y使得∈S,且∈R,又因为R S具有对称性,故 ∈R,∈S,故∈R。S,故R。S具有对称性

证毕

五、若R是等价关系，试证明R-1也是等价关系。

对称性：

(x,y) 属于R => (y,x)属于R

(x,y)属于R-1 =>存在一个(x,z)使得(x,z)属于R,同时(z,y)属于R

=> ( y,z),(z,x)属于R => (y,z)属于R-1

对称性性得证

自反性,

R是等价关系=> (x,x)属于R=>(x,x) 属于R-1

传递性,如果(x,y)属于R-1,(y,z)属于R-1

利用上面对称性方法构建中间关系

(x,y)属于R-1,说明存在a,(x,a),(a,y)属于R

(y,z)属于R-1,说明存在b,(y,b),(b,z)属于R

根据R的传递性,得到x,y,z,a,b都等价

所以(x,a)(a,z)属于R,(x,z)属于R-1

六．对任意集合A，B，证明：

(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；

(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；

证明：(1)证明：必要性，任取x⊆ρ (A)，则x⊆A。由于A⊆B，故x⊆B，从而x⊆ρ(B)，于是ρ (A)⊆ρ (B)。

充分性，任取x⊆A，知{x}⊆A，于是有{x}⊆ρ(A)。由于ρ (A) ⊆ρ (B)，故{x}⊆ρ (B)，由此知x⊆B，也就是A⊆B。

（2）证明：

任取X⊆ρ (A)∪ρ (B)，则X⊆ρ (A)或X⊆ρ (B)

∴X⊆A或X⊆B

∴X⊆ (A∪B)

∴X⊆ρ (A∪B)

所以ρ (A)∪ρ (B) ⊆ρ ( A∪B)

七．对任意集合A，B，证明：

(1)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；

(2)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。

举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)

（1）证明：

先证r(A)∩ρ (B) ⊆ρ ( A∩B)

任取X⊆ρ (A)∩ρ (B)，则X⊆ρ (A)且X⊆ρ (B)

∴X⊆A且X⊆B

∴X⊆ A∩B

∴X⊆ρ ( A∩B)

所以ρ (A)∩ρ (B) ⊆ρ ( A∩B)

再证ρ ( A∩B) ⊆ρ (A)∩r(B)

任取Y⊆ρ (A∩B)，则Y⊆ A∩B

∴Y⊆A且Y⊆B

∴Y⊆ρ (A)且Y⊆ρ (B)

∴Y⊆ρ (A)∩ρ (B)

所以ρ ( A∩B) ⊆ρ (A)∩ρ (B)

故ρ (A)∩ρ (B) = ρ ( A∩B)得证。

举例：A={1}，B={a}

则ρ (A)={ f，{1}}，ρ (B)={ f，{a}}

ρ (A)∪ρ (B) = { f，{1}，{a}}

A∪B={1，a}

ρ ( A∪B)={ f，{1}，{a}，{1，a}}

可见{1，a}⊆ρ ( A∪B)，{1，a}⊆ρ (A)∪ρ (B)

所以ρ (A)∪ρ (B)≠ρ ( A∪B)

(2)对任意的集合x，若x=φ，则x⊆ρ ( A-B) 且x⊆ (ρ ( A) -ρ ( B))∪{φ}。若x¹φ，则x⊆ρ ( A-B)当且仅当x⊆ ( A-B)当且仅当x⊆AÙx⊈B当且仅当x⊆ρ ( A) Ùx⊆ρ ( B) 当且仅当x⊆ (ρ (A)- ρ(B))。综上所述，可知ρ (A-B) ⊆ (ρ (A)- ρ (B)) ⋃{φ}。

八．设A是m元集合，B是n元集合。问A到B共有多少个不同的二元关系？设A={a，b}，B={1，2}，试写出A到B上的全部二元关系。

解：A到B上共有2mn个二元关系。题中A*B的全部子集φ，｛（a，1）｝，｛（a，2）｝，｛（b，1）｝，｛（b，2）｝，｛（a，1），（a，2）｝，｛（a，1），（b，1）｝，｛（a，1），（b，2）｝，｛（a，2），（b，1）｝,{(a,2),(b,2)},{(a,1),(a,2),(b,1)},{(a,1),(a,2),(b,2)},{(a,1),(b,1),(b,2)},{(a,2),(b,1),(b,2)},{(a,1) (a,2),(b,1),(b,2)}为A到B的全部二元关系

九．若非空集合上的非空关系R是反自反的，是对称的，试证明R不是传递的。

证明设R是集合X上的一个自反关系,如果R是X上对称和传递的,则当任意a,b,c∈X,

若有∈R且∈R

则∈R且∈R

故得∈R

反之,由∈R,∈R,必有< b,c>∈R,

则对任意a,b∈X,

若∈R,

因R是集合X上的一个自反关系,有∈R,

则得到< b,a >∈R,

故R是对称的.