高二数学讲义圆与方程

讲义：圆与方程

圆的标准方程与一般方程

1、圆的标准方程：222

()()x a y b r -+-=（圆心(),A a b ，半径长为r ）； 圆心()0,0O ，半径长为r 的圆的方程222

x y r +=。

2、圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->

（1）当2240D E F +->时，表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆； （2）当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-

- ⎪⎝⎭

；（3）当2240D E F +-<时，不表示任何图形. 特点：（1）①2x 和2

y 的系数相同，且不等于0； ②没有xy 这样的二次项

（2）确定圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了

（3）与圆的标准方程比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标

准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

3、过圆上一点的切线方程： ),(00y x M 在圆222r y x =+上，过M 的切线方程为200r y y x x =+

当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上，过M 的圆的切线方程为

200))(())((r b y b y a x a x =--+--

典型例题

例1、已知一个圆的直径的端点是A(-1,2)、B(7,8)，求该圆的方程。

例2、求过点A(1，-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程。

例3、求以)3,1(O 为圆心，且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.

例4、已知圆的方程是2

22r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程。

例5、求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

巩固练习：

1、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )

A ．22(2)5x y -+=

B ．22(2)5x y +-=

C ．22(2)(2)5x y +++=

D ．22(2)5x y ++= 2、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）

A ．023=-+y x

B ．043=-+y x

C ．043=+-y x

D ．023=+-y x

3、求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --的圆的方程.

4、求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程。

5、求经过点A （0，4），B （4，6）且圆心在直线x ―2y ―2=0上的圆的方程;

直线与圆、圆与圆的关系

1、点与圆的位置关系：

设圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，点00(,)M x y ，将M 带入圆的标准方程， 结果>r 2在外，

判断点P 在圆上、圆内、圆外的依据是比较点P 到圆心的距离d 与半径r 的大小关系： d >r ⇔点P 在圆外；即点P ),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-外的条件是22020)()(r b y a x >-+-；

d =r ⇔点P 在圆上；在圆22)()(b y a x -+-=2r 上的条件是22020)()(r b y a x =-+-；

d

2、直线与圆的位置关系：

①代数法：由方程组⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0

r b y a x C By Ax ，得)0(02

2≠=++m p nx mx ，mp n 42-=∆

0>∆方程组有两解

0=∆方程组有一解

0<∆方程组无解

②几何法： 直线与圆相交

r d <

直线与圆相切

r d =

直线与圆相离 r d >

3、圆与圆的位置关系：几何角度判断（圆心距与半径和差的关系）

（1）相离1212C C r r ⇔>+； （2）外切1212C C r r ⇔=+； （3）相交121212r r C C r r ⇔-<<+；

（4）内切1212C C r r ⇔=-； （5）内含1212C C r r ⇔<-.

例1、设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2

=m 的位置关系为（ ）

A.相切

B.相交

C.相切或相离

D.相交或相切

例2、圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于（ ） A.6 B.

225 C.1 D.5 例3、已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.

证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点。

巩固练习：

1、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）

A. 03=--y x

B. 032=-+y x

C. 01=-+y x

D. 052=--y x 2、圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）

A ．2

B ．21+

C ．221+

D ．221+ 3、若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截

距是 __________________.

4、点(),P a b 在直线01=++y x 上，求22222+--+b a b a 的最小值。

5、已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，

求圆C 的方程。