同余问题题目
同余问题
同余问题姓名1(例)、1309被一个质数相除，余数是21，求这个质数。
2、1796被一个质数相除，余数是24，求这个质数。
3(例)、求2001×2000除以7的余数。
4、求123×345+234×456除以11的余数。
5(例)、有一个大于1的整数，它除1000、1975、2001都得到相同的余数，那么这个整数是多少？6、有三个数1989、901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。
7(例)、两个自然数相除，商15，余3，被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数。
8、两数相除商40余7，被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。
9(例)、有一个数除以3余1，除以4余2，问这个数除以12，余数是几？10、一个数除以5余1，除以6余3，除以7余4，这个数最小是几？11(例)、3867×4253＝1644□351，求□里的数。
12、4937×6845＝3379□765，求□里的数。
练习题(A组)1、两个自然数相除，商8余16，被除数、除数、商与余数的和为265，求除数是多少？2、写出除以8所得的商和余数（不为0）相同的所有的数。
3、2002×2002-2001除以9的余数是多少？4、当2002和1781除以某一个自然数，余数分别是2和1，那么这个数最大是多少？5、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？6、有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3 。
这个数除以12，余数是（）。
7、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？8、有一个数加上22的和被9除余3，这个数加上35的和被9被余几？B组1、有一个整数，用它去除45，53，143得到的3个伤痕的和是20，这个数是多少？2、有一个数用它去除100，余数是1，用它去除50，余数是6，求这个数。
3、把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个每份4个余3个。
小学奥数：同余问题.专项练习及答案解析
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12． 【答案】4,6,12【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.【考点】两个数的同余问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】 “加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
余数与同余解析
六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数＝商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b 除以同一个数m，而余数相同，那么a 和b 的差能被m 整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7＝□……□ 余数要比除数7 小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数＝商×除法＋余数，算得：0×7＋0＝0；1×7＋1＝8；2×7＋2＝16；3×7＋3＝24；4×7＋4＝32；5×7＋5＝40；6×7＋6＝48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37 除余17，被36 除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37 余17，当然17 即可满足。
2、很显然，这个数除以36 并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37 的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36 的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36 要余3，现在只是余17，即达到36 后再多出3，即余39 （注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22 个37. 6、结果是17+22×37 即为答案。
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学数学思维-物不知数与同余练习题
物不知数与同余知识精讲这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题，通常在不同的题目中，余数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件地去满足。
例1.（1）一个数除以21余17，除以20也余17，这个数最小是多少？第二小是多少？（2）一个数除以11余7，除以10余6，这个数最小是多少?第二小是多少？练习1.（1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？是多少？（2）一个三位数除以6余1，除以10余5，这个三位数最小是多少？练习2.一个三位数除以4余3，除以6也余3，这个三位数最大是多少？例3.（1）一个数除以7余2，除以11余1，这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1、2、3……，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3：如果按1、2、3……，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4，请问：一共有多少名战士？如果两个数除以同一个数所得的余数相同，我们称这两个数除以这个数同余。
例如195除以9余6，15除以9也余6，我们就说“195和15除以9同余”。
我们之前总结的余数性质以及余数的可代替性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的。
而处理余数问题的方法，除了用余数的性质、余数可代替性以及分解求余几种方法，我们还有一个极其有用的手段：转化为整除问题，195与15除以9的时候同余，195—15=180则是9的倍数，1135与35除以4的时候同余，则1135—35=1100是4的倍数，也就是说：如果两个数除以第三个数余数相同，则这两个数的差能被第三个数整除，反之亦然例4.（1）1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？（2）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0，这个除数可能是多少？练习4.（1）用150除以一个整数，所得余数是15，请问：这个除数可能是多少？（2）80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0，这个除数可能是多少？例5.刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只，如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只，如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只。
小学奥数 数论 余数问题 同余问题.题库版
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学奥数数论同余问题练习题及答案
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求21000除以13的余数.
考点：同余问题.
分析：这类型的题⽬都是采⽤⼀般⽅法来做，就是⽤前⾯⼏个数字来找规律，寻找第⼏个数被13除后的余数是1，得出对应的次⽅就是余数变化的周期，从⽽求出因此2的1000次⽅除以13的余数是与2的4次⽅除以13的余数相同，进⽽得出⼤答案.
解答：解：因为⼀个数字m如果能被13除余1的话，它就可以写成 m=13n+1这种形式.
那么根据题意它再乘以2之后就是26m+2，
这个数被13除后的余数显然是2，⼜会跟第⼀个数的余数相同了.
所以这个数对应的次⽅就是余数变化的⼀个周期.
⾸先从2开始，2除以13的余数是2;2的2次⽅是4，余数是4;按照这个⽅法⼀直找下去，
发现第12个数也就是2的12次⽅被13除后余1，所以12是余数变化的周期.
接下来把1000除以12后得到余数是4，因此2的1000次⽅除以13的余数是与2的4次⽅除以13的余数相同.
∵2的4次⽅也就是16，除以13余数为3.
故21000除以13的余数为3.点评：此题主要考查了同余问题的性质，得出2的1000次⽅除以13的余数是与2的4次⽅除以13的余数相同是解决问题的关键.。
14应用同余问题
应用同余问题一、基础知识同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。
同余的定义是这样的：两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。
记作：a≡b（mod ｍ）。
读做：ａ同余于ｂ模ｍ。
比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。
同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。
“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。
也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
二、典型例题例题1：求1992×59除以7的余数。
应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学数学：余数问题
小学数学：余数问题余数问题，最基本的有两种：类型一：同余一个数除以5余2，除以6余2，除以7余2，那么这个数最小是多少？分析：这一题的特点是，除以5，6，7的余数都是2，所以将这个数减去2，就可以被5，6，7整除，因此这个数最小是5X6X7+2=212类型二：同缺一个数除以5余4，除以7余6，除以8余7，那么这个数最小是多少？分析：除以5余4，那么这个数加1就能被5整除；除以7余6，那么这个数加1也能被7整除；除以8余7，这个数加1还能被8整除。
因此，这个数加1最小是5X7X8=280，这个数最小就是280-1=279。
数学趣题：宝树上的人参果分析：3个人分要剩2个，5个人分要剩3个，7个人分也是剩2个。
这三个条件中，第一个条件和第三个条件是同余的。
先考虑这两个条件，我们就知道人参果的数量减去2可以整除3和7，也就是这个数量减去2可以整除21，因此这个数可以是21+2，42+2，63+2......。
因为5个人分要剩3个，所以这个数最小是21+2=23。
做这一题首先用的是同余中介绍的方法，然后用的是列举的方法，也就是把符合前面条件的数，一个一个列举出来，从中找出符合剩下条件的数。
如果题目既不是同余也不是同缺，那最常用的方法就是列举，列举时一般选较大的数来列举，比如上面的趣题，分析后我们知道，人参果的数量除以21余2，除以5余3。
做题时我们用除以21余2来列举，然后用除以5余3来检验；如果不这样做，用除以5余3来列举，那就是5+3，10+3，15+3，20+3，25+3......需要列举的数更多，做起来就更麻烦。
数学趣题：唐僧的经书分析：这本经书除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，除以8余7，除以9余8，这一题属于前面说的类型二。
将这本经书的页码加1，就可以整除2，3，4，5，6，7，8，9，因此页码加1后的数量是2，3，4，5，6，7，8，9的倍数，根据求最小公倍数的方法，可以得出这个数量是5X7X8X9=2520，下一个公倍数是5040，超过题目要求的页码不到3000页，所以经书的页码是2520-1=2519。
六年级奥数习题精选——同余
六年级奥数习题精选——同余[学法点拨]同余，从字面上理解，就是余数相同.解答好此类题的前提是要很好地理解和掌握整除、公约数的一些知识，这样运用起来才能得心应手.1.求2008除以7的余数.（你们知道2008年是什么日子吗？）解：同学们也许会问，同余、同余，怎么求一个数除以另一个数的余数呢，它们两个数相除余数只有一个，谈不上"相同"，你不要着急.因为只有你明白了这道题的来龙去脉，那么后面的题你也就会迎刃而解了.可以先去掉7的倍数1400余608，再去掉560还余下48，再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成：2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以7都余6.答：2008除以7的余数是6.因为2008、608、48、6除以7的余数相同，所以2008-608、608-48、2008-6、608-6这几个算式的结果能被7整除.由此不难得出这样十分有用的结论：如果若干的数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两之差（大减小）必能被这个数整除.1.试一试：求2008除以13的余数2.有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即2001-1000=1001=7×11×131000-967=33=3×112001-967=1034=2×11×47这个整数是这三个差的公约数11.答：这个整数是11.你们想一想，只求出两个差行不行呢？2.试一试：有一个整数，用它去除300、262、205，得到的余数相同.这个数是多少？3. 数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.解：根据余数相同，所求的数应能整除2001与2232的差，即2232-2001=231=3×7×11由此我们知道n可能是3或7或11，究竟哪个符全合条件呢，这我们得认真对待，千万不能手懒.只要试一试即可，得7和11、21、33、77都符合条件.答：n是7或11或21或33或77.3.试一试：有141、206、271分别除以m，余数相同并且都是奇数.m最大是几？4.用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.解：根据两个数除以同一个数余数相同的特点，我们可以得到903 -715的差能被这个数整除，又因为所得的商相差4，也就是903 -715的差除以这个数应该得4，要求这个数，即可用（903-715）÷4=47，即所求的数为47.答：这个数是47.此类题可以归结为：甲乙两个数除以一个相同的数，余数相同，且商相差n(n>1)，则这个相同的数为（甲-乙）÷n.4.试一试：某个大于1的整数，除1975，2008所得的余数相同，且商相差11.求这个数.5.若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？解：根据若干个自然数除以同一个自然数所得余数相同，那么它们两两的差定能被这个自然数整除.于是得：4582-2836=17465164-4582=5826522-5164=1358因为（1746，582，1358）=194，所以除数是194的大于10的约数.符合条件的只有97和194.如果除数=194，5164÷194=26……120（此处可以用原题中四个自然数中的任意一个都可，为什么？）余数不是两位数，与题意不符.如果除数是97，经检验，余数都是23，除数+余数=97+23=120.答：除数与余数的和是120.5.试一试：有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数相同且大于5.问：这个数与余数的和是多少？6.有三个不同的三位数，它们分别除以a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a 为两位数时，这三个数最小的和是多少？解：这道题看似很难，但我们不妨换个角度去考虑.我们先从相同的余数入手，因为余数是最大的两位偶数，我们马上意识到余数是98，既然余数为98，a只能得99.这样此题便可很轻松的完成.最小的三位数是1×99+98=197，另外的两个三位数分别为296和395.（仔细看这三个数，有什么规律吗？对！相邻的两个数相差99）于是得到此题结果为197+396+395=1188.答：三个数的最小和是1188.如果给的不是三个三位数而是其它的任意情况，同样可以采取这种方法去解题.6.试一试：已知四个四位数分别去除以y，所得的余数相同并且是三位奇数，当y最小时这四个数的和最大是多少？7.将一批货物共375千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？解：此题我们不可能将求出来，然后去除以10，求出余数.但我们可以借助同余的办法来求，我们首先看下面一组说明：3 除以10的余数是3；32除以10的余数是9；33除以10的余数是7；34除以10的余数是1；35除以10的余数是3；36除以10的余数是9；37除以10的余数是7；38除以10的余数是1；……这就说明每隔4个数除以10的余数就相同.又因为75÷4=18……3即375除以10的余数与33除以10所得余数相同，得7.答：每箱装10千克最后余下7千克.7.试一试：粮库有771千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？8.在1~500的自然数中，除以16，40余数（0除外）相同的数有多少个？解：因为16与40的最小公倍数是80，1~500的自然数除以16与40相同的余数情况有：1，2，3，4……15，共15种，也就是在连续的80个数中有15个数符合条件，500个自然中有的个数为：500÷80=6……20，在余下的20个数中有15个余数相同.这证明有7个15，所以在1~500中除以16与40余数相同的数有15×7=105个.列式：[16，40]=80500÷80=6 (20)（6+1）×15=105答：在1~500的自然数中，除以16，40余数相同的数共有105个.8.试一试：在小于1000的自然数中，除以15及33而余数（0除外）相同的数有多少个？9.希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？解：解答此题的关键是求出最后一个胶卷归了几张，即以全影张数为被除数，36为除数，求余数.假如将五、六年级合乘一车的16名学生和20（36-16=20）人去掉，那么其余五、六年级的学生合影正好可以用掉整数卷胶卷.这样一来我们只考虑五年级那16人与六年级那么20人即可.因为每人都要与不同年级的人合影，所以这16人与20人要合影320（根据乘法原理16×20=320）张.所有人都拍完后的总张数除以36所得的余数与320除以36余数相同，为32，所以最后一个胶卷照了32张.于是有36-32=4张，即最后一个胶卷还剩4张.列式：36-16=20（人）16×20=320（张）320÷36=8 (32)36 - 32 = 4（张）答：最后一个胶卷还剩4张.9.试一试：甲、乙两个旅游团乘车参观，每辆车可乘35人，两团成员坐满若干辆车后，甲团余下的15人与乙团余下的成员正好又坐满一辆车.为了纪念这次参观，甲乙两团的每个成员都与不同团的每人合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍35张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？10.甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？分析：从表面上看，这道题目问的是"剩余"人数，但我们知道"剩余"是因为不能被整除而产生的，所以，解答这道题目的关键是求"每组有几人"（即求除数）这个除数在何处找呢？其实呀，它远在天边，近在眼前，这个除数就藏在它的"差"里.这是为什么呢？我们可以这样想：既然甲、乙、丙三个学校人数被某数除的余数相同，那么这三个数的两两之差一定能被这个数整除（因为它们相减时，余数恰好相互"抵消"了）.懂得了以上这个道理之后，再来解答这个问题就不困难了.甲、乙、丙三校人数的差分别是：93-69=2485-69=1693-85=8不难看出，它们的最大公约数是8.这也正是我们所要寻找的"除数".验证如下：69÷8=8……5（分成8组，剩下5人）85÷8=10……5（分成10组，剩下5人）93÷8=11……5（分成11组，乘下5人）最后来推算丁校分组情况：97÷8=12 (1)答：丁校分组后剩下1人.10.试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多.真巧！剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？[方法归纳]如果若干个自然数除以同一个自然数，余数相同，那么这些自然数两两之差必能被这个自然数整除.参考答案1. 6.2. 1或19.3. 65.4. 3.仿例4.5. 60.提示：这个整数为38，余数为22.6. 39368.提示：y为102，余数为101.这四个数分别是9995，9893，9791，9689.7. 43千克.提示：7的1次方开始除以50的余数分别是7，49，43，1，7，49，43，……8. 93.仿例89. 15张.仿例910. 19个。
小学数学：余数问题
小学数学：余数问题余数问题，最基本的有两种：类型一：同余一个数除以5余2，除以6余2，除以7余2，那么这个数最小是多少？分析：这一题的特点是，除以5，6，7的余数都是2，所以将这个数减去2，就可以被5，6，7整除，因此这个数最小是5X6X7+2=212类型二：同缺一个数除以5余4，除以7余6，除以8余7，那么这个数最小是多少？分析：除以5余4，那么这个数加1就能被5整除；除以7余6，那么这个数加1也能被7整除；除以8余7，这个数加1还能被8整除。
因此，这个数加1最小是5X7X8=280，这个数最小就是280-1=279。
数学趣题：宝树上的人参果分析：3个人分要剩2个，5个人分要剩3个，7个人分也是剩2个。
这三个条件中，第一个条件和第三个条件是同余的。
先考虑这两个条件，我们就知道人参果的数量减去2可以整除3和7，也就是这个数量减去2可以整除21，因此这个数可以是21+2，42+2，63+2......。
因为5个人分要剩3个，所以这个数最小是21+2=23。
做这一题首先用的是同余中介绍的方法，然后用的是列举的方法，也就是把符合前面条件的数，一个一个列举出来，从中找出符合剩下条件的数。
如果题目既不是同余也不是同缺，那最常用的方法就是列举，列举时一般选较大的数来列举，比如上面的趣题，分析后我们知道，人参果的数量除以21余2，除以5余3。
做题时我们用除以21余2来列举，然后用除以5余3来检验；如果不这样做，用除以5余3来列举，那就是5+3，10+3，15+3，20+3，25+3......需要列举的数更多，做起来就更麻烦。
数学趣题：唐僧的经书分析：这本经书除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，除以8余7，除以9余8，这一题属于前面说的类型二。
将这本经书的页码加1，就可以整除2，3，4，5，6，7，8，9，因此页码加1后的数量是2，3，4，5，6，7，8，9的倍数，根据求最小公倍数的方法，可以得出这个数量是5X7X8X9=2520，下一个公倍数是5040，超过题目要求的页码不到3000页，所以经书的页码是2520-1=2519。
2018农信社招聘考试：【行测】数量关系题目中同余定理的应用
2018农信社招聘考试：【行测】数量关系题目中同余定理的应用同余在考试的时候也会经常性的出现，它一般都是与整除思想相结合的，在备考的过程中要分清楚同余的几种情况，同余特性经常会与中国剩余定理混淆，提醒在备考时要抓住两者的区别点，避免考试时出错。
1.同余概念两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于m 同余。
例：21÷4余1，17÷4余1，所以17和21对于4同余。
2.同余特性(1)余数的和决定和的余数例：23、16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1。
(2)余数的差决定差的余数例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以 23-16=7除以5的余数等于2，即两个余数的差3-1。
(3)余数的积决定积的余数例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
(4)余数的幂决定幂的余数。
例：求20122012÷5的余数。
一个2012除以5余2，根据余数的积决定积得余数，所以20122012÷5的余数和22012÷5的余数是一样的，又因为22012=16503，所以16÷5余1，所以20122012÷5的余数和1503÷5的余数一样，都为1。
【例题1】已知a除以2余1，那么27a+20032除以2余几?A.1B.2C.3D.4【中公解析】27是2的倍数，所以27a是2的倍数，20032除以2余1，则27a+20032除以2余0+1=1。
答案选择A。
【例题2】今天是星期六，请问再过2010天是星期几?再过20102010天是星期几?再过20122012天是星期几?【中公解析】2010除以7余1，故再过2010天是星期日。
又根据余数的幂决定幂的余数，所以20102010除以7的余数与12010除以7的余数相同，因此20102010除以7的余数为1，所求为星期日。
小学奥数竞赛专题之同余问题
小学奥数竞赛专题之同余问题[专题介绍]：同余问题生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。
因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。
[分析]1、两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m 同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……[经典例题]例1：求437×309×1993被7除的余数。
公务员考试技巧余数同余问题
余数同余问题在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型，更是公务员考试研究中心一直很重视的题型。
现公务员考试研究中心对常见的几类余数同余题目给予分析，帮助考生轻松解决此类问题。
按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类：一、代入排除类型【例1】(江西2009)学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。
如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( )【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。
二、余数关系式和恒等式的应用余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数)，但是在这里需要强调两点：1、余数是有范围的(0≤余数<除数)，这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。
2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商+余数。
【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少?【解析】余数是11，因此，根据余数的范围(0≤余数<除数)，我们能够确定除数>11。
除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。
【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。
那么，这四个自然数的和是?A. 216B. 108C. 314D. 348【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商+余数，有A=B×5+5=(B+1)×5。
由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。
小学奥数教程：同余问题_全国通用(含答案)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
同余练习
第8讲同余（补充练习）[练习1] 从1依次写到99，可以组成一个多位数123456789101112……979899。
这个多位数除以11的余数是多少？分析：⑴能被11整除的数的特征是：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差（大减小）能被11整除。
n是一个自然数，n的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差被11除余α，则自然数n被11除余α。
⑵奇数位上的数字和是：（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋0）×9＋1＋3＋5＋7＋9＝430偶数位上的数字和是：（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）×10＋8＋6＋4＋2＝470奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差（大减小）是：470－430＝40，40÷11的余数是7，所以多位数123456789101112……979899除以11的余数是7。
[练习2] 若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为。
把题意用数学表达式表示：2836÷χ＝……□□4582÷χ＝……□□5164÷χ＝……□□6522÷χ＝……□□2836，4582，5164，6522对于自然数χ同余，根据同余的基本性质，他们两两相减的差必是χ的倍数，χ是差的约数。
由于余数是两位数，除数比余数大，所以χ至少是两位数。
分析：⑴ 5164－4582＝582；6522－5164＝1358。
（582，1358）＝194。
194＝2×97，χ是194的约数，χ至少是两位数，χ可能是97或194。
⑵检验：如果χ＝194，2836÷194＝14……120，余数不是两位数，与题意不符。
如果χ＝97， 2836÷97＝29……23，余数是两位数，与题意相符。
⑶除数是97，余数是23。
除数＋余数＝97＋23＝120答：除数和余数的和为120。
同余定理答案版
第4讲同余定理同余定理是奥数考试中最常考的题型，同时也是数论知识中最具有代表性的知识之一。
本讲将带领大家一起领略巧妙的数论方法，相信大家一定会被同余的意想不到的魅力所吸引。
若a c ÷余数为m ，b c ÷余数为n ，则()a b c +÷的余数等于()m n c +÷的余数；()a b c -÷的余数等于()m n c -÷的余数（m n >）或()m c n c +-÷的余数（m n <）。
a b c ⨯÷的余数等于m n c ⨯÷的余数。
特别的，当m n =时，()a b -是c 的倍数。
若两个整数a 、b 被同一个非零自然数c 除，余数相同，那么称a 、b 对于m 同余，用式子表示为(mod )a b c ≡.编写说明知识要点【例1】 有三个自然数a ，b ，c ，其中a 除以c 的余数是1，b 除以c 的余数是2，a b +恰好是c 的倍数，求c 的值。
【分析】 根据同余定理，a b +除以c 的余数是3，而a b +恰好是c 的倍数，所以3c =。
【拓展】 已知：6a b c -=，其中a 、b 、c 均为正整数，且b 除以6的余数是3，则a 除以6的余数是多少?【分析】 a b -是6的倍数，所以a 和b 除以6的余数相同，a 除以6的余数是3。
【温馨提醒】这边可以帮助学生总结出和（或差）的余数等于余数的和（或差）的余数。
【例2】 135********⨯⨯⨯⨯⨯的乘积除以8的余数是多少？【分析】 1，3，5，7，9，...，2007，2009除以8的余数分别为1，3，5，7，1，3，5，7， (1)3，5，7，1，1357⨯⨯⨯除以8的余数是1，所以135********⨯⨯⨯⨯⨯除以8的余数是1。
【温馨提示】这边可以帮助学生总结出积的余数等于余数的积的余数。
【拓展】 234199077777+++++的末两位是多少？【分析】 要求末两位，可以转化为求其除以100的余数是多少，7除以100余数是7，27除以100余数是49，37343=除以100余数为43，472401=除以100余数是1，54777=⨯除以100的余数是7，依此类推，余数是以7，49，43，1循环的，199044972÷=，所以所有余数的和是(749431)497749497+++⨯++=，49756除以100的余数是56，所以和的末两位是56。
20181213小学奥数练习卷(知识点：同余定理)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：同余定理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共6小题）1．一个自然数被3、5、7除的余数分别为1、2、4，三个商的整数部分之和是257，那么这个自然数除以11的余数是（）A．2B．4C．6D．82．已知283，352，444被同一个正整数除的余数相同，则相同的余数是（）A．5B．7C．8D．93．一个整数去除151、197、238所得3个余数的和是31，所得3个商的和是（）A．12B．15C．18D．214．某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是（）A．53B．37C．71D．415．学校买来了200多本《汉语词典》，若7本7本地搬，最后余5本；若9本9本地搬，搬最后一次时差2本，这批《汉语词典》共有多少本？（）A．252B．251C．250D．616．有写着5、9、17的卡片各8张，现在从中任意抽出5张，这5张卡片上的数字之和可能是（）A．31B．39C．55D．41第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共37小题）7．被3、4、5除都余1，且不等于1的最小非0自然数是．8．若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是．9．S（n）表示自然数n的数码和，比如S（123）=1+2+3=6，如果两个不同的正整数m、n，满足，那么我们就称m、n构成一个数对＜m，n＞．数对＜m，n＞共有对．10．有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的两个自然数写在这里．11．对任意正整数m、n，定义r（m，n）为m÷n的余数（比如r（8，3）表示8÷3的余数，所以r（8，3）=2．那么满足方程r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）+…+r（m，10）=4）的最小正整数解为．12．我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”用现代语言表述就是“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这里．13．如果两个自然数的积被13除余1，那么我们称这两个自然数互为“模13的倒数”比如，2×7=14，被13除余1，则2和7互为“模13的倒数”；1×1=1，则1的“模13的倒数”是它自身．显然，一个自然数如果存在“模13的倒数”则它的倒数并不是唯一的，比如，14就是1的另一个“模13的倒数”．判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”，并利用所得结论计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12（记为12！，读作12的阶乘）被13除所得的余数．14．420×814×1616除以13的余数为．15．86×87×88×89×90×91×92÷7的余数是．16．一个数介于2013至2156之间，它除以5、11、13这三个数所得的余数相同，这个余数最大是．17．在除以7余1、除以11也余1的自然数中，大于1的最小自然数是．18．有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个．已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，共有个．19．393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有个，它们是．20．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．这些自然数共有个．21．1﹣﹣﹣2009之间同时能被3、5、7除都余2的数有个．22．甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、99人．现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组都是A名游客，以便乘车前往参观游览．已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，那么，丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩人．23．三个数：23，51，72，各除以大于1的自然数，得到同一个余数．则这个除数是．24．一个四位数被7，8，9，10除都余3，此四位数最大是．25．智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是人．26．一个数除以2余1，除以3余1，除以5也余1，这个数最小是．27．三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是，，．28．有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，这个数是．29．在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是．30．22002与20022的和除以15的余数是．31．三个自然数57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零，求284被这个数除的余数是．32．妈妈有些糖，若5块5块的分，最后余1块，若4块4块的分，也余1块，妈妈至少有块糖．33．有一类自然数除112所得的余数都是7，那么，这类自然数共有个．34．71427和19的积被7除，余数是．35．270和213对于除数19同余．（判断对错）36．（1）10106÷7余；（2）1245÷7余．37．111…111（1003个1）÷7余．38．123456789101112…483484÷9余，商的末3位是．39．用一个大于0的自然数，分别去除35、59和123，所得的余数相同．这个数是．40．自然数390，369，425被某自然数（且大于1）除时余数相同，那么2851被这个自然数除的余数是．41．某校有13个课外兴趣小组，各组人数如下表．一天下午学校同时举办语文、数学两个讲座，已知有12个小组去听讲座．其中听语文的人数是听数学讲座人数的6倍，还有一个小组在教室里讨论问题，这一组是第组．42．一个数除以3余2，除以5余1，除以7余2，这个数最小是．43．某班同学决定分组去看望动车事故受伤的病人，按7人一组还剩1人，按6人一组也还剩1人，已知这个班人数不超过50人，则这个班级有人．三．解答题（共7小题）44．如果两个自然数的积被9除余1，那么我们称这两个自然数互为“模9的倒数”．比如，2×5=10，被9除余1，则2和5互为“模9的倒数”：1×1=1，则1的“模9的倒数”是它自身．显然，一个自然数如果存在“模9的倒数”，则它的倒数并不是唯一的，比如，10就是1的另一个“模9的倒数”．判断1，2，3，4，5，6，7，8是否有“模9的倒数”，并将存在“模9的倒数”的数．以及它们相对应的最小的“模9的倒数”分别写出来．45．小林在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来小3，但余数恰好相同．这道题的除数是多少？余数应该是几？46．传说中的一条龙有100个头，一名武士一剑可以砍掉它的15，17，20或5个头．就在这种情况下，勇士再次挥剑之前，在龙的肩上又分别会长出24，2，14或17个新的头．如果把龙的头都砍光了，龙就死了．问：龙会死吗？请说明理由．47．学校买来101个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓网．如果把这三种物品平均分给每个班，这三种物品剩下的数量相同．学校应有个班．48．一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是．49．求l﹣2001的所有自然数中，有多少个整数x使2x与x2被7除余数相同？50．有一个整数，除300、262、205得到相同的余数．问这个整数是几？参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．一个自然数被3、5、7除的余数分别为1、2、4，三个商的整数部分之和是257，那么这个自然数除以11的余数是（）A．2B．4C．6D．8【分析】先根据除以3、5、7的余数是1，2，4得出最小数，再确定出3，5，7的最小公倍数，即可得出结论．【解答】解：假设这个数为A，根据分别除以3，5，7的余数是1，2，4，所以这个最小的数是67，而三个商的和为257，所以67还不够，而[]+[]+[]=44，3，5，7的最小公倍数为105，所以（257﹣44）÷（[]+[]+[]=3，所以A=67+105×3=383，383÷11余8．故选：D．【点评】此题是同余定理，主要考查了除以3，5，7的余数是1，2，4的特征，最小公倍数的确定，确定出除3，5，7的余数是1，2，4的最小的数是67是解本题的关键．2．已知283，352，444被同一个正整数除的余数相同，则相同的余数是（）A．5B．7C．8D．9【分析】根据据同余定理，283，352，444这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数进一步解答即可．【解答】解：352﹣283=69=3×23，444﹣352=92=2×2×23，444﹣283=161=7×23；所以这个整数为三个差的公有因数23；283÷23=12 (7)答：相同的余数是7．故选：B．【点评】本题解答的依据是同余定理之一：a、b对于模n同余的充要条件是：a 与b的差能被n整除．3．一个整数去除151、197、238所得3个余数的和是31，所得3个商的和是（）A．12B．15C．18D．21【分析】由题意，这个整数可以被151+197+238﹣31=555=3×5×37整除，经试算可知这个整数是37，即可得出结论．【解答】解：由题意，这个整数可以被151+197+238﹣31=555=3×5×37整除，经试算可知这个整数是37，（151+197+238﹣31）÷37=3×5=15，所以三个商的和是15．故选：B．【点评】本题考查同余定理，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是这个整数可以被151+197+238﹣31=555=3×5×37整除．4．某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是（）A．53B．37C．71D．41【分析】如果这个自然数减去1就是2、4、5的公倍数，所以先求出2、4、5的最小公倍数，然后试算是否符合除以3余2，再进一步解答即可．【解答】解：2、4、5的最小公倍数是：4×5=2020+1=2121÷3=7不符合，除以3余2，20×2+1=4141÷3=13 (2)符合，除以3余2，所以，这个数最小是41．故选：D．【点评】解答本题关键是结合余数的几种情况，转化为求2、4、5的最小公倍数．5．学校买来了200多本《汉语词典》，若7本7本地搬，最后余5本；若9本9本地搬，搬最后一次时差2本，这批《汉语词典》共有多少本？（）A．252B．251C．250D．61【分析】″若7本7本地搬，最后余5本；若9本9本地搬，搬最后一次时差2本″可以考虑用同余的概念，也就是这批《汉语词典》的本书除7余5，除9余7，然后再注意书的本书要多于200即可．这种题目的一个技巧是：这个数加2，既是7的倍数，也是9的倍数．【解答】解：法一：先分别算出大于200的除7余5，除9余7的数，并从小到大排列：因为200÷7=28…4，所以最小的大于200的除7余5的数为：7×28+5=201所以除7余5的数有：201，208，215，222，229，236，243，250，257，263，270，277，284，291，298，305同理200÷9=22…2，所以最小的大于200的被9除余7的数为：9×22+7=205所以除9余7的数有：205，214，223，232，241，250，259，268，277，286，295，304很容易观察大于200的满足题意的只有250，法二：这个数加2，既是7的倍数，也是9的倍数，所以这个数+2后是63的倍数，63的倍数有：63、126、189、252、305又因为是200多页，所以是252，减去2为250．答：本题答案选C．【点评】本题考查的是用同余法解题，抓住同余的概念即可．另外，把A、B、C 选项直接代入检验会更简便．6．有写着5、9、17的卡片各8张，现在从中任意抽出5张，这5张卡片上的数字之和可能是（）A．31B．39C．55D．41【分析】5、9、17三个数除以4都是余1的，任取5张，余数的和是5，也是5张卡片上的数字之和除以4余1的数，据此判断即可【解答】解：5÷4=1…1，9÷4=2…1，17÷4=4…1，所以，三个数除以4都是余1的，任取5张，也是5张卡片上的数字的和除以4余1的数，所以只有D符合要求；故选：D．【点评】本题关键是转化思维的角度，结合已知的三的数的特点明确除以4余数是1是解答的关键．二．填空题（共37小题）7．被3、4、5除都余1，且不等于1的最小非0自然数是61．【分析】求出3、4、5的最小公倍数加1，即可得出结论．【解答】解：3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，加1，即60+1=61，故答案为61．【点评】本题考查同余定理，考查学生的计算能力，求出3、4、5的最小公倍数是关键．8．若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是35．【分析】根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除，则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即988，1292，304均能被d整除，不难得出，三个数的最大公因数是76，即d的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0）；然后分别用725除以d的可能值，求出d﹣r的值，选取d﹣r的最大值即可．【解答】解：根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除，则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即988，1292，304均能被d整除，988=2×2×19×131292=2×2×19×17304=2×2×2×2×19所以三个数的最大公因数是：2×2×19=76，d为76的因数，即d的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0），当d=76时，此时：725÷76=9…41，即r=41，即此时d﹣r=76﹣41=35；当d=38时，此时：725÷38=19…3，即r=3，即此时d﹣r=38﹣3=35；当d=19时，此时：725÷19=38…3，即r=3，即此时d﹣r=19﹣3=16；当d=4时，此时：725÷4=182…1，即r=1，即此时d﹣r=4﹣1=3；当d=2时，此时：725÷2=362…1，即r=1，即此时d﹣r=2﹣1=1；当d=1时，此时：725÷1=725，即r=0，即此时d﹣r=1﹣0=1；则，d﹣r的最大值是35．故答案为：35．【点评】本题考查了同余定理的灵活应用，关键是求出除数d的取值范围．9．S（n）表示自然数n的数码和，比如S（123）=1+2+3=6，如果两个不同的正整数m、n，满足，那么我们就称m、n构成一个数对＜m，n＞．数对＜m，n＞共有99对．【分析】先判断出m是9的倍数，进而确定出m的取值情况，再代值逐一计算．【解答】解：∵一个数与其数字之和mod9的余数相同，即：n=S（n）（mod9），则n﹣S（n）=0（mod9），由m+S（n）=n+2S（m），得S（m）=（n﹣S（n）﹣（m﹣S（m））=0（mod9），故m=0（mod9），即m是9的倍数，因为m＜100且m为正整数，所以，m=9，18，27， (99)代入n﹣S（n）=m﹣2S（m）中逐一计算，并设n=10a+b，所以S（n）=a+b，n﹣S（n）=9a，即：9a=m﹣2S（m），当m=9时，S（m）=9，9a=9﹣9×2，a=﹣1舍，当m=18时，S（m）=1+8=9，9a=18﹣9×2，a=0，n=0～9，有9对；当m=27时，S（m）=2+7=9，9a=27﹣9×2，a=1，n=10～19，有10对；当m=36时，S（m）=3+6=9，9a=36﹣9×2，a=2，n=20～29，有10对；当m=45时，S（m）=4+5=9，9a=45﹣9×2，a=3，n=30～39，有10对；当m=54时，S（m）=5+4=9，9a=54﹣9×2，a=4，n=40～49，有10对；当m=63时，S（m）=6+3=9，9a=63﹣9×2，a=5，n=50～59，有10对；当m=72时，S（m）=7+2=9，9a=72﹣9×2，a=6，n=60～69，有10对；当m=81时，S（m）=8+1=9，9a=81﹣9×2，a=7，n=70～79，有10对；当m=90时，S（m）=9+0=9，9a=90﹣9×2，a=9，n=80～89，有10对；当m=99时，S（m）=9+9=18，9a=99﹣18×2，a=7，n=70～79，有10对；综上所述，数对＜m，n＞共有9+10+10+10+10+10+10+10+10+10+10═99对，故答案为99．【点评】此题是同余定理，主要考查了新定义的理解，整除的判断，确定出9a=m ﹣2S（m）是解本题的关键．10．有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的两个自然数写在这里31，94．【分析】这个自然数用7除余3，用9除余4，考虑用同余的方法分别算出被7除余3的数，被9除余4的数，然后再对比找相同的数．【解答】解：易求得：被7除余3的数有：10，17，24，31，38，45，52，59，66，73，80，87，94被9除余4的数有：13，22，31，40，49，58，67，76，85，94，103答：本题的答案为：31，94．【点评】本题考查的是同余的概念，计算时认真一点就可以了．11．对任意正整数m、n，定义r（m，n）为m÷n的余数（比如r（8，3）表示8÷3的余数，所以r（8，3）=2．那么满足方程r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）+…+r（m，10）=4）的最小正整数解为120．【分析】如果m≡1（mod2），那么m除以4，6，8，10的余数不可能为0，此时的余数的和超过4了，所以m≡0（mod2），由于余数的和为4，对于一个偶数来说，它除以8的余数只能是0，2或4（如果是6就超过4了）．分类讨论即可得出结论．【解答】解：如果m≡1（mod2），那么m除以4，6，8，10的余数不可能为0，此时的余数的和超过4了，所以m≡0（mod2），由于余数的和为4，对于一个偶数来说，它除以8的余数只能是0，2或4（如果是6就超过4了）．①如果这个数除以8的余数是4，则它必须为3，5，7，9，10的公倍数，由于[3，5，7，9，10]=630，为了满足除以8的余数是4，这个数至少为630×2=1260；②如果这个数除以8的余数是2，则它除以4的余数也为2，所以它还是3，5，7，9，10的公倍数，这个数至少为630×3=1890；③如果这个数除以8的余数是0，则m≡0（mod2），m≡0（mod4），m≡0（mod8），我们要进一步分析．如果m除以3的余数不是0，那么它除以6，9的余数也不会为0，由于m为偶数，所以m除以6的余数至少为2．为了使得余数的和为4，则只能是m≡1（mod3），m≡2（mod6），m≡1（mod9），但是m≡2（mod6），可得m≡2（mod3），矛盾，所以这个数诱导是3的倍数．由于这是一个偶数，而且它有事3的倍数，所以必定是6的倍数，所以m≡0（mod3），m≡0（mod6），至此，我们得出m≡0（mod1），m≡0（mod2），m≡0（mod3），m≡0（mod4），接下来对m除以9的余数进行讨论：如果m≡3（mod9），只剩下1个余数了，考虑到m≡1（mod5），所以m≡1或6（mod10），m≡1（mod10），所以m≡1（mod5），所以剩下的余数应该给7，也就是说m≡0（mod5），m≡1（mod7），m≡3（mod9），m≡0（mod10），此m最小为120；如果m≡0（mod9），剩下4个余数，考虑到m≡0（mod8），m≡0（mod9），此时m已经是[8，9]=72的倍数了，显然72不满足我们的要求，而72×2已经超过120了，综上所述，m最小为120．故答案为120．【点评】本题考查最大与最小问题，考查同余定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”用现代语言表述就是“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这里157．【分析】可以用同余的方法分别求出用″2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4″的数，然后把它们按照从小到大的顺序排列，再进行比较，就可以求得满足条件的最小自然数．【解答】解：先考虑从较大的除数开始：被9除余4的数：4，13，22，31，40，49，58，67，76，85，94，103，112，121，130，139，148，157，166除2余1，排除偶数；除5余2，尾数必须是7，所以先看67，用7除不余3，再看157，用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，满足题意，所以最小的自然数是157．答：满足条件的最小自然数是157．【点评】本题在算同余时，一个技巧就是先从除数最大的开始，这样可以最快找到我们要求的自然数．另一个技巧是，除2余1，排除偶数；除5余2，尾数必须是7．这样可以减少运算，使解答变得简便．13．如果两个自然数的积被13除余1，那么我们称这两个自然数互为“模13的倒数”比如，2×7=14，被13除余1，则2和7互为“模13的倒数”；1×1=1，则1的“模13的倒数”是它自身．显然，一个自然数如果存在“模13的倒数”则它的倒数并不是唯一的，比如，14就是1的另一个“模13的倒数”．判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”，并利用所得结论计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12（记为12！，读作12的阶乘）被13除所得的余数12．【分析】判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”只需从定义出发判断即可；计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12被13除所得的余数需要用同余的性质2来简化运算．【解答】解：观察1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12易发现：2×7=14 14÷13=1 (1)3×9=27 27÷13=2 (1)4×10=40 40÷13=3 (1)5×8=40 40÷13=3 (1)6×11=66 66÷13=5 (1)12×12=144 144÷13=11 (1)所以1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12都有“模13的倒数”．由同余的性质2可知：对于同一个除数，两个数的乘积与他们的余数的乘积同余，则：1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12=1×2×7×3×9×4×10×5×8×6×11×12=14×27×40×40×66×1214×27×40×40×66×12≡12（mod13）所以，1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12被13除所得的余数为12．答：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12有“模13的倒数”；1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12被13除所得的余数为12．【点评】本题主要考察同余的性质2，但在运用同余性质2时，需要观察并找到2×7，3×9，…，6×11，刚好都是1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12的因式这一规律，方可解题．14．420×814×1616除以13的余数为11．【分析】根据同余定理“积除以模的余数，等于各个因数除以模的余数的积”据此解答即可．【解答】解：420×814×1616≡4×8×4≡128≡11（mod13）故答案为：11．【点评】解答本题关键是明确同余定理，利用定理解决问题．15．86×87×88×89×90×91×92÷7的余数是0．【分析】若算86×87×88×89×90×91×92的值然后再除7这样很麻烦，可以考虑同余的性质2：对于同一个除数两个数的乘积与他们余数的乘积同余．这样可以大大简化运算．【解答】解：法一：先算86，87，88，89，90，91，92除7的余数：86÷7=12...2 87÷7=12...3 88÷7=12 (4)89÷7=12...5 90÷7=12...6 91÷7=13 092÷7=13 (1)则由同余性质2可得：86×87×88×89×90×91×92≡2×3×4×5×6×0×1（mod7）又因为：2×3×4×5×6×0×1÷7=0÷7=0所以，86×87×88×89×90×91×92÷7的余数是0．法二：容易观察91÷7=13，则86×87×88×89×90×91×92÷7=86×87×88×89×90×13×92，显然可以除尽，所以余数为0．故答案为：0．【点评】本题主要考察同余的性质二，但考虑本题的特殊性，法二更为简便．16．一个数介于2013至2156之间，它除以5、11、13这三个数所得的余数相同，这个余数最大是4．【分析】先找出2013至2156之间同时是5、11、13倍数的数，5×11×13=715，715×3=2145，余数不能超过除数，因此这个余数最大是4，此时这个数是2145+4=2149．【解答】解：因为5×11×13=715，715×3=2145，余数不能超过除数，因此这个余数最大是4．答：这个余数最大是4．故答案为：4．【点评】此题也可根据它除以5有余数，余数不能超过除数，因此这个余数最大是4．17．在除以7余1、除以11也余1的自然数中，大于1的最小自然数是78．【分析】由除以7余1、除以11也余1，可知：这个大于1的最小自然数是7和11的最小公倍数加1，因为7和11是互质数，所以它们的最小公倍数是77，然后加上1即可．【解答】解：7×11+1=78；答：这个数最小是78；故答案为：78．【点评】明确求这个数即7和11的最小公倍数加1，是解答此题的关键．18．有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个．已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，共有142个．【分析】可以看做4个4个地数，少2个；6个6个地数，少2个；8个8个地数，也是少2个．也就是4、6、8的公倍数减2．[4、6、8]=24．可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，x=6．这筐桃子共有24×6﹣2，计算即可．【解答】解：[4、6、8]=24．这筐桃子的数量可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，所以x=6，这筐桃子共有：24×6﹣2=142（个）．答：这筐桃子共有142个．故答案为：142．【点评】关键是通过把原题转化，运用了求最小公倍数以及解不等式的方法解决问题．19．393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有4个，它们是1135 5577．【分析】首先把393﹣8=385，分解质因数，再进一步分析质因数以及他们的乘积解决问题．【解答】解：393减8，那么差一定能被两位数整除．因为393﹣8=385，385=5×7×11=（5×7）×11=（5×11）×7=（7×11）×5．所以385能被两位数11，35，55，77整除．故答案为：4，11，35，55，77．【点评】此题属于同余问题，考察了学生分解质因数的有关知识．20．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．这些自然数共有11个．【分析】这些自然数一定整除1998（2008﹣10），其中1998=2×3×3×3×37，又因为余数大于10 所以该数必须大于10，求出1998所有的因数，去掉小于10的因数解决问题．【解答】解：2008﹣10=1998一定能被这些数整除，且这些数一定大于10，1998=2×3×3×3×37．1998的因数一共有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个．其中小于10的有：1，2，3，6，9那么大于10的因素有16﹣5=11个．即这些自然数共有11个．故答案为：11．【点评】此题考查了整除以及分解质因数的相关知识．21．1﹣﹣﹣2009之间同时能被3、5、7除都余2的数有20个．【分析】一个数能同时被3、5、7除都余2，则只需求出3、5、7的倍数，然后再加2在1﹣﹣﹣2009之间的个数即可．【解答】解：先看3、5、7的最小公倍数：3×5×7=105，再看1﹣﹣﹣2009之间有多少个105的倍数：2009÷105=19…4，观察105×19=1995，1995+2=1997比2009小，又因为2同时能被3、5、7除都余2，所以共有：19+1=20．故答案为：20．【点评】本题把求能被3、5、7除都余2的数转化为求3、5、7的公倍数然后再加2即可；另外，本题容易忽略2这个数，2不是105的倍数，但它同样能被3、5、7除都余2．22．甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、99人．现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组都是A名游客，以便乘车前往参观游览．已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，那么，丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人．【分析】如果几个数关于某一数同余，那么这个数就是原来几个数对应差的公约数，由此求得即可．【解答】解：因为85﹣69=16，93﹣85=8，93﹣69=24，16、8、24的公约数有8、4、2、1，所以A=8或4或2，若A=2，99÷2=48…3，即丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩1人；若A=4，99÷4=24…3，即丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人；若A=8，99÷8=12…3，即丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人；综上所述丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人．答：丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人．故答案为：3．【点评】此题考查同余定理，利用同余定理解决问题．23．三个数：23，51，72，各除以大于1的自然数，得到同一个余数．则这个除数是7．【分析】因为72﹣51=21，51﹣23=28，又23，51，72同余，所以除数必是两两之差的最大公因数，两两的差有21，28，它们的最大公因数是7，所以这个除数是7．【解答】解：72﹣51=21，51﹣23=28；又（28，21）=7．所以这个除数是7．故答案为：7．【点评】本题考查了学生根据同余定律解决问题的能力．24．一个四位数被7，8，9，10除都余3，此四位数最大是7563．【分析】一个四位数被7，8，9，10除都余3，即这个四位数减3能被7，8，9，10整除，求出7，8，9，10的最小公倍数，再求出符合要求的四位数即可．【解答】解：这个四位数减3能被7，8，9，10整除，8=2×2×2，9=3×3，10=2×57，8，9，10的最小公倍数为：2×2×2×3×3×5×7=2520，因为是4位数，所以，2520+3=2523，2520×2+3=5043，2520×3+3=7563，2520×4+3=10083（不符合要求），即2523，5043，7563，其中最大的是7563．故答案为：7563．【点评】解答本题关键是理解这个数减去3就是7，8，9，10的公倍数，要求这个数最小就是求7，8，9，10的公倍数的最小公倍数加上3．25．智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是127人．【分析】此题属于孙子定理，又叫同余定理，中国剩余定理，分组时，只要余数相同，求总数，就可以先求出分组时组员数目的最小公倍数，然后再加上余数；本题有两个余数，可分部求解．【解答】解：因为按3人和7人一行排队都多出1人，所以总人数应该是3和7的公倍数多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数同理，又因为按5人一行排队多2人，所以总人数应该是5的倍数多2，所以总人数的最后一位数字应该是2或7最终符合题意的是127．答：该年级的人数是127．故答案为：127．【点评】此题考查了孙子定理，根据已知条件，只要分组时余数相同，就求最小公倍数，然后加上余数，明白同余定理是解决此题的关键．26．一个数除以2余1，除以3余1，除以5也余1，这个数最小是31．【分析】这个数除以2、3、5都余1，这个数最小是2、3和5的最小公倍数加上1，即可得解．【解答】解：2、3、5互质，所以2、3、5的最小公倍数是2×3×5=30，30+1=31；故答案为：31．【点评】此题考查了同余问题，根据题目特点，先求3个数的最小公倍数，然后加上余数，解决问题．27．三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是523，631，847．【分析】本题考察同余定理．把除数和商用字母表示出来后列式化简，根据倍数特征可以确定出除数和商的数值，进而求解．【解答】解：设所得的商为a，除数为b．19a+b+23a+b+31a+b=2001，化简可得73a+3b=2001，由b＜19，可求得a=27，b=10．所以，这三个数分别是19a+b=523，23a+b=631，31a+b=847．故填：523、631、847．【点评】本题题型常规，难度较低，细心解答即可．28．有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，这个数是2，7，14．【分析】根据同余定理知：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．据此进行解答．【解答】解：101﹣45=56101﹣59=4259﹣45=1456、42和14的最大公约数是14，14的约数有1，2，7，14，所以这个数可能为2，7，14．答：这个数可能是2，7，14．故答案为：2，7，14．【点评】本题主要考查了学生对同余定理的掌握情况．29．在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是98．【分析】要求在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是多少，用13903减去13511，14589减去13903得到的两个数，求这两个数的最大公约数，即可得解．【解答】解：13903﹣13511=392，14589﹣13903=686，392=2×2×2×7×7，686=2×7×7×7，392、686的最大公约数为：2×7×7=98，因此最大为98时，该数除13511.13903.14589时能剩下相同的余数；13511÷98=137…85，13903÷98=141…85，14589÷98=148…85．答：在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是98．故答案为：98．【点评】此题考查了同余除法，已知余数相同，求除数，先求出三者间的对应差值，再求两个差值的最大公约数即可．30．22002与20022的和除以15的余数是8．【分析】除以15的余数，对于2的2002次方来说，可以通过指数的性质，化为16为底（也就是15+1）的指数形式的关系式．【解答】解：22002=22000×22=（24）500×4=16500×4．因为16除以15余1，所以16500除以15也余1，推知22002除以15余4．2002除以15余7，所以20022与72除以15的余数相同，都是4．（22002+20022）除以15的余数是4+4=8．故答案为：8【点评】熟练运用指数形式和平方和形式的同余定理的运用，对于求解复杂算式除以某数的余数很重要．31．三个自然数57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零，求284被这个数除的余数是11．【分析】可设57=x+a，a是余数，96=y+a，148=z+a，x，y，z能被这个自然数整除，两两相减之后，比如96﹣57=y﹣x能被这个自然数整除，所以得到这个结论：这个数能同时整除它们的差，然后求出公约数即可解答．【解答】解：96﹣57=39=3×13148﹣96=52=2×2×13148﹣57=91=7×1339，52，91能同时被这个数整除，它们的公约数为13，284÷13=21 (11)。
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同余问题 学生版
第五讲 同余问题
--Da侠老师整理
【知识要点】
1.
1)
余数的加法定理
a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16 除以5 的余数分别是3 和1，所以23+16=39 除以5 的余数等 于 4，即两个余数的和3+1.
2)
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19 除以5 的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数即2.
3. 同余定理
1) 若两个整数a、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a、b 对于模m 同余，用式子表示为： a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于b，模m。 2) 由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a，b 的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有 a≡b ( mod m )，那么一定有 a-b＝mk，k 是整数，即 m|(a－b) 3) 费马小定理：假如 p 是质数，且(a,p)=1，那么 a 那么 a 的(p-1)次方除以 p 的余数恒等于 1。
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同余问题 学Leabharlann 版12 【例 7】 求 6443 19 的余数
【例 8】 一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是 a 5, 2a, a ，求这个自然数和 a 的值.
【例 9】 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能 被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
p 1
1(mod p) 。即：假如 p 是质数，且 a,p 互质，
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同余问题 学生版
【例 1】 有一个大于 1 的整数，除 45，59，101 所得的余数相同，求这个数。
【例 2】 若2836，4582，5164，6522 四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数， 除数和余数的和为_____。
2. 余数的乘法定理
1) a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如：23，16 除以5 的余数分别是3 和1，所以23×16 除以5 的余数等于3×1=3。 2) 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。 例如：23，19 除以5 的余数分别是3 和4，所以23×19 除以5 的余数等于3×4 除以5 的余数，即2.
【例 3】 已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是 10，那么这样的自然数共有多少个？
【例 4】 22003 与 2003 的和除以 7 的余数是________．
2
1 2 3 4 【例 5】 1 2 3 4
20052005 除以 10 所得的余数？
【例 6】 六名小学生分别带着14元、 17元、 18元、 21元、 26元、 37元钱， 一起到新华书店购买 《成语大词》 ． 一 看定价才发现有5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3 人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊 2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是______元．