第3节正态总体方差的检验

σ0
2
~ χ ( n − 1),
2
≥ χα (n − 1)
2
⎫ ⎬ =α ⎭
拒绝域：
( n − 1) S 2
σ0
2
2 ≥ χα ( n − 1)
例1 某工厂生产的某种型号的电池， 2 σ 其寿命长期以来服从方差 = 5000 （平方小时）的正态分布，现有一批 这种电池，从它的生产情况看，寿命 的波动性有所改变。现随机地取26只 2 s 电池，测出其寿命的样本方差 = 9200 （平方小时）。问根据这一数据能否 推断这批电池的寿命的波动性较以往 的有显著性的变化（取 α = 0.02）？ (p190 例1)
}
=α
2 ⎧ ⎞ ⎛ ⎞⎫ − ( n 1) S ⎪⎛ (n − 1) S 2 ⎪ 2 2 ≤ χ α (n − 1) ⎟ U ⎜ ≥ χ α (n − 1) ⎟ ⎬ = α Pσ 2 ⎨⎜ 2 2 ⎜ σ ⎟ ⎜ σ ⎟ 0 1− 0 0 ⎪ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎩⎝ ⎭
拒绝域： 或
( n − 1) s 2
2 2
显著性水平 α
当H 0 为真时 , ( n − 1)S
2
σ0
2
~ χ 2 ( n − 1),
f (x)
X ~ χ (n)
2
α
2
α
2
χ
(n − 1) S 2
2 1−α 2
(n)
χα 2(n)
2
x
σ2
Pσ 2 {
0
~ χ 2 (n − 1)
2 ⎛ ( n − 1) S 2 ⎞ ⎛ ⎞ ( n 1) S − 2 2 ≤ χ α (n − 1) ⎟ U ⎜ ≥ χ α (n − 1) ⎟ ⎜ 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 − σ0 σ0 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
解
H 0 : σ 2 = 5000,
H1 : σ 2 ≠ 5000, α = 0.02
当H 0为真时 ,
( n − 1)S 2
σ0
2
~ χ ( n − 1),
2
2 ⎧⎛ (n − 1) S 2 ⎫ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ( n 1) S − ⎪ 2 2 ≤ χ α (n − 1) ⎟ U ⎜ ≥ χ α (n − 1) ⎟ ⎬ = α Pσ 2 ⎨⎜ 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1− σ σ 0 0 ⎪ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎩⎝ ⎭
第三节
正态总体方差的假设检验
一、单个正态总体的假设检验 二、两个正态总体的假设检验
2 χ 一、单个正态总体的假设检验（
检验法）
总体 X ~ N( µ ,σ ), 其中 µ ,σ 未知，
2 2
x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅, x n 为样本
H 0 : σ = σ 0 , H 1 : σ 2 ≠ σ 0 2 (σ 0 2为已知常数 )
78.4 76.0 75.5 76.7 77.3
(2)新方法
79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1
设这两个样本相互独立，且分别来自 2 2 2 µ , µ , σ 正态总体 N( µ1 ,σ ) 和N( µ2 ,σ ) ， 1 2 均未知.问建议的新操作方法能否提 高得率？
因此
( n − 1) s
2
σ 02
2 = 46 > 44.314 = χ α (25) 2
所以拒绝 H 0 . 认为这批电池的寿命的波动性较以往 的有显著性变化.
二、两个正态总体的假设检验（F 检验法）
⎧ 总体 ⎨ ⎩ 总体
2 µ X ~ N( 1, σ1 ) 2 Y ~ N ( µ 2 ,σ 2 )
2 S1 F= 2 S2
2 2 ⎫ σ E ( S = σ = 2 2)
有偏大的趋势.
⎧ S12 ⎫ Pσ 2 =σ 2 ⎨ 2 ≥ Fα (n1 − 1,n 2 − 1) ⎬ = α , 1 2 ⎩ S2 ⎭ s2 1 ≥ Fα (n1 − 1, n 2 − 1) 于是，拒绝域为： 2 s2
例2 在平炉上进行一项试验以确定改 变操作方法的建议是否会增加钢的得率， 试验是在同一只平炉上进行的.每炼一 炉钢时除操作方法外，其他条件都尽可 能做到相同。先用标准方法炼一炉，然 后用建议的新方法炼一炉，以后交替进 行，各炼了10炉，其得率分别为 (1)标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4
2 ⎧ ⋅ ⋅ ⋅ X , X , , X , X, S n1 1 ⎪ 1 2 2 2 均未知 µ µ σ σ , , , , 样本⎨ 1 2 1 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ Y , Y , , Y , Y, S ⎪ n2 2 ⎩ 1 2
H0 : σ 1 ≤ σ 2 ,
2 2
H1 : σ 12 > σ 2 2
显著性水平为 α
由
( ni − 1)S i
2
σ i2
~ χ 2 (n i − 1) 知
S2 1 S2 2
2 1
2 S2 / σ 1 1
S2 / σ
2
2 2
~ F(n1 − 1,n 2 − 1)
故当 H 0 为真时 ,
E ( S12 ) =
~ F(n1 − 1,n 2 − 1)
当 H 0 为真 ⇒ ⎬ 2 2 2 2 > E ( S ) = σ σ = E ( S 当H1 为真 1 1 2 2) ⎭
例2
试对上例中的数据检验假设 H :σ = σ , H :σ ≠ σ （取α = 0.01 ）
2 2 0121Fra bibliotek2 1
2
2
解 当 H 0 为真时,
S2 1
2 S2
~ F(n1 − 1,n 2 − 1)
2 ⎧ ⎞ ⎛ S12 ⎞⎫ ⎪⎛ S1 ⎪ P ≤ F (n −1,n2 −1)⎟ U ⎜ 2 ≥ Fα (n1 −1,n2 −1)⎟⎬ = α σ12 =σ22 ⎨⎜ ⎜ S 2 1−α 1 ⎟ ⎜S ⎟ ⎪ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎪ ⎩⎝ 2 ⎭
拒绝域 现在
( n − 1) s 2
σ0
2
≤χ
2 1−
α
2
( n − 1)
或
( n − 1) s 2
σ0
2
≥ χ α ( n − 1)
2 2
2 2 n = 26, χ α (n − 1) = χ 0 .01 ( 25) = 44.314 2 2 2 χ 2 α (n − 1) = χ 0 ( 25 ) = 11 . 524 s = 9200 .99 1− 2
σ0
2
≤ χ2
1−
α
2
(n − 1)
( n − 1) s 2
σ 02
2 ≥ χα (n − 1) 2
注: 单边检验拒绝域见P190表格.
H0 : σ
2
≤
σ 0 , H 1 : σ 2 > σ 0 2 (σ 0 2为已知常数 )
2
显著性水平 α
当H 0 为真时 ,
Pσ
0 2
( n − 1)S 2
⎧ ( n − 1) S 2 ⎨ 2 σ 0 ⎩