曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分

一、对弧长的曲线积分

⎰⎰

+=L

L

y d x d y x f ds y x f 22),(),(

若 ⎩⎨

⎧==)

()

(:t y y t x x L βα≤≤t

则 原式=

dt t y t x t y t x f ⎰'+'β

α

)()())(),((22

对弧长的曲线积分

222(,,)((),(),(L

L

f x y z ds f x t y t z t d x d y d z =++⎰

⎰

若 ():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

βα≤≤t

则 原式=

222((),(),())(())(())(())f x t y t z t x t x y t z t dt β

α

'''++⎰

常见的参数方程为：

B A

参数方程

()

()x x y x x y y y =⎧=⎨

=⎩

()()x x

y y x y y x =⎧=⎨

=⎩

特别的：

2

2

222.2x

y L

L

L

e ds e ds e ds e π+===⎰

⎰⎰

2

2

=2(0)L x y y +≥为上半圆周

二、对坐标的曲线积分

⎰

+L

dy y x q dx y x p ),(),(

计算方法一： 若 ⎩

⎨⎧==)()

(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则

原式=

dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰β

α

对坐标的曲线积分

(,,)(,,)(,,)L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰

()

:()()x x t L y y t z z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

起点处α=t ，终点处β=t 则

原式

=

((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β

α'''++⎰

计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。

1

1

(,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+⎰

⎰

1

(

)(,)(,)L D

q p

dxdy p x y dx q x y dy x y

∂∂=±--+∂∂⎰⎰⎰

如图：

三、格林公式

⎰⎰=∂∂-∂∂D

dxdy y

p

x q )(

⎰

+L

dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界

特别地：当

y

p x q ∂∂=∂∂时，积分与路径无关， 且

⎰⎰⎰

+=+2

1

2

1

2211),(),(),(),(21)

,()

,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p

(,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P

x y

∂∂⇔

=∂∂ 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。

四、对面积的曲面积分

1、 当曲面为

⎰⎰

⎰⎰++=

=∑

xy

D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 2

21)),(,,(),,()

,(μμ 2、

当

曲面为

(,)

(,,)(,(,),xz

D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑

==⎰⎰⎰⎰ 3、

当

曲面为

(,)

(,,)((,),,yz

D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑

==⎰⎰⎰⎰ 特别的：

ds ∑=∑⎰⎰面积。

例：

2

ds r π∑

∑∑

===⎰⎰⎰⎰ ∑为上半球面2

2

2

2(0)x y z z ++=≥ 五、对坐标的曲面积分

1、

⎰⎰∑

dxdy z y x R ),,(中，∑只能为),(y x f z =，它在xoy 面的投影为xy

D

，且