材料力学-扭转-计算公式及例题
材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第四版课件 第三章 扭转
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学(第五版)扭转刚度
d
于弹簧的中径D的情况，
max
8FD
d 3
在考虑簧丝的曲率和 1 分布不均匀时：
max
k
8FD
d 3
k—修正系数（曲度系数）
k 4c 1 0.615 4c 4 c
弹簧的强度条件：
c D d
max
（三）、弹簧的变形计算
弹簧的压缩（拉伸）变形
外力功：
2
由功能原理： V W
1 2
F
4F 2D3n Gd 4
弹簧的变形 8F D3 n Gd4
Fλ
弹簧的变形
8FD3n Gd 4
令：
C Gd 4 8D3n
C 弹簧刚度
F
C
Fλ
BC段：
TBC 1.2 kN m
A
mA
T (kN m)
Байду номын сангаас
B
C
mB
mC
Wt
BC
d13 16
503 109 16
24.54106 m3
1.2 3.0
(max )BC
TBC
Wt
BC
1200 24.54 106
48.8MPa
轴的强度符合要求
A
Tl
GIP
Me
l
Me
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
φ
弧度
GIP
圆轴的抗扭刚度
对于阶梯轴，以及等直圆轴但扭矩为阶梯形变化的情况，
分段计算，求代数和
Tl GIP
二、圆轴扭转刚度的计算
扭转刚度(材料力学)
最大切应力：
max
T Wt
扭转截面系数
单位长度扭转角：
j T
GIt 相当极惯性矩
短边中点的切应力： max
其中 Wt b3 It b4
、、 ——与 m h 相关的因数 b
对于B的扭转角jCB。
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
解： 1）求扭矩 BA段 AC段
T1 955N m T2 637N m
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
2）求扭转角
j AB
T1l AB GIp
955103 300 80103 π 704
1.52103 rad
32
jCA
变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax=
9.56 kN•m ，轴的许可单位长度扭转角[j' ]=0.3 /m 。
试选择轴的直径。
解：1、按强度条件确定外直径D
max
Tmax Wp
Tmax
πD3 1 4
[ ]
16
D 3
π
16Tmax
1 4 [
]
3
16 9.56 106 π 1 0.54 40
等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
Ⅰ、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
横向线变 横截面发生翘曲
成曲线
不再保持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转
1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时 ——自由扭转(纯扭转) 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加 正应力产生
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学-扭转-计算公式及例题
求 AB段Mn（1-1剖面）
K N·m 4.50 背向剖切面为正
求 BC段Mn（2-2剖
面） K N·m
-4.50
求 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.50
D>=103mm
已知 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.5
求
IP m4 1.19E-05
求 φB-A
° 0.216
求 ΦC-B
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
0.62
2.05
1.43
0.62
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
校核AC段 的强度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的强度(实
数据状态
代号
单位
已知 d1 mm 40
已知 d2 mm
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
°/m
m4
1.05E+01 5.00E-01 1.50E-08
，试设 计截面的内
求 D0 mm 63.38
求 d mm 60.44
求 A1/A2
mm 0.51
d2=70mm。 。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
求 CD段Mn（2-2剖面）
K N·m 0.62 背向剖切面为正
° -0.270
求 φD-C
° -0.108
强度计算 序号
名称
代号
单位
max
M n max Wp
[ ]
1
横截面上的最大扭 矩
Mn max
扭转强度计算公式
扭转强度计算公式
扭转强度是指材料可以承受持续转变外力的能力，它也是衡量材料结构强度的一个重要指标。
由于它对于确定材料性能及其结构安全性起着重要作用，因此了解扭转强度和计算其值非常重要。
扭转强度的计算可以通过以下公式来实现：T=F * r / J，其中T为扭转强度，F为外力，r为外力的作用半径，J为扭转截面积矩，即材料主轴线上的横截面积。
通过上述公式可以看出，要计算扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J的大小。
外力F是指作用在材料上的外力，可以通过实验来确定。
而扭转截面积矩J是指材料的横截面积，可以通过实验或理论计算来确定。
在实际应用中，扭转强度的计算还受到水平和垂直外力的影响，因此，在计算扭转强度时，必须考虑外力的方向和强度。
在计算扭转强度时还要考虑材料的尺寸、形状和结构，以及外力的作用点。
这些因素都会影响材料的扭转强度，因此，在计算扭转强度时，必须将这些因素考虑在内。
要计算材料扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J，还要考虑材料尺寸、形状和结构以及外力方向和强度等因素。
通过恰当的计算，可以准确地测量出材料的扭转强度，从而为结构的安全性
提供可靠的参考。
第三章 材料力学-扭转
上计算中对此并未考核。
例题3-2、3-4好好看一下（重要）
第三章 扭转
§3-5 等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件
Ⅰ. 扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) 来度量。
Me
Me
A D B C
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭 d T 转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的 d x GI p 相对扭转角为 l T d dx l 0 GI p
！把重点放在前两条上面（红色字体）
第三章 扭转
受力特点: 杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用面垂直于杆件轴线
的力偶。
Me
Me
变形特点： Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线； Ⅲ. 实际构件在工作时除发生扭转变形外，
还伴随有弯曲或拉、压等变形。
第三章 扭转
D
解：轴的扭矩等于轴传递的转矩
T M 1.98KNm
轴的内，外径之比
M M t
d D 2t 0.934 D D
d
D
D 4 (1 4 ) IP 7.82105 mm4 32 IP Wt 2.06104 mm3 D 2
由强度条件 由刚度条件
max
第三章
扭转
扭转这一章节一般出一道大题，而且这一章题型比较独立，不牵涉其 他章节的知识点，这一章题分值大概15分，而且题型比较简单，把公式记 牢，概念好好理解，应该问题不大。
• 铁大考试大纲： 扭转（5-10%） （1）掌握圆轴扭转时横截面上的扭矩计算和切应力计算方 法，掌握握圆轴扭转的变形计算方法。 （2）熟练运用强度条件和刚度条件对圆轴进行设计。 （3）理解应变能的概念并能够进行杆件的应变能计算。 （4）了解矩形截面杆自由扭转时的应力和变形计算方法。
材料力学第四章 扭转
扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符 号 规
Mn I
离M开n截 面
定 ：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d
d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截 面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0
材料力学 扭转 计算公式及例题
Ip
m4
0.1
求
Ip m4
4.00E-02
求
Ip m4
1.00E-01
求
WP m3
1.99E-01
求
WP m3
1.00E-01 求 d mm
1.01E+03 求 d mm
1.00E+03
数据状态 代号 单位 数值
数据状态 代号 单位 数值
已知 φ ° 1 已知 θ °/m 2
已知
求
代号 θmax
Ip Mn max
G [θ]
单位 °/m
m4 N·m Pa °/m
序号 1 2 3
名称 外力偶矩
功率 转速
代号 T NK n
序号
1 2 3
名称
横截面上的最大扭矩 抗扭截面模量 材料许用切应力
代号 圆轴扭转时的强度条件
Mn max WP
[τ]
序号
名称
强度计算
代号
1
横截面上的最大扭矩
2
Wp
πD3 16
公 圆式柱 公圆式柱 形， 形，
求
WP
m3
1.00E-01 求 d mm
1.01E+03 求 d mm
1.00E+03
公式
圆柱形，实心
Ip
πD 4 32
Wp
πD3 16
公式
公式
圆柱形，空心
圆柱形，薄壁
I
p
π（D4 32
d4）
πD4（1- 32
4）
Ip 2πr03t
Wp
πD3
已知 Mn(AC) K N·m 1.43
已知 G MPa
材料力学扭矩
Ip
A
dA —极惯性矩
2
扭转刚度
dA
应力公式
1. 横截面上任意点的切应力：
d
Mx
GI p
dx
Mx
d
dx GI p
d
Gg G
dx
扭转角沿x轴向的变化率
(单位长度杆的相对扭转角θ)
对于一个给定的截面来说，该值为常量
M x
Ip
M x：横截面上的扭矩
利用截面法，得AB段BC段的扭矩分
别为：T1＝180 N·m， T2＝-140 N·m
设其扭转角分别为φAB和φBC，则：
AB
Tl
1
GI
(180N m)(2m)
(80 109 Pa)(3.0 105 10 12 m 4 )
1.50 10 2 rad
BC
：点到截面形心的距离
g tan g
d
dx
横截面上任意点的剪应变与该点到圆心的距离ρ成正比
2. 横截面边缘点： max
M xr M x
Ip
Wp
其中： Wp
T
d/2
D/2
ρ
d/2
O
O
max
d 4
Wp
max
空心圆
实心圆
32
r
抗扭截面模量
T
Ip
Ip
d 3
应力：。。。横截面上的任意点受到什么
样的应力作用？
变形：如何来形容扭转变形
工程实例：
a) 汽车方向盘
b) 机械传动轮
材料力学基础公式
材料力学基础公式一、轴向拉压。
1. 内力 - 轴力（N）- 截面法：N = ∑ F_外（轴力等于截面一侧外力的代数和，拉力为正，压力为负）2. 应力 - 正应力（σ）- σ=(N)/(A)（A为横截面面积）3. 变形 - 轴向变形（Δ L）- 胡克定律：Δ L=(NL)/(EA)（L为杆件原长，E为弹性模量）- 线应变：varepsilon=(Δ L)/(L)，且σ = Evarepsilon二、扭转。
1. 内力 - 扭矩（T）- 截面法：T=∑ M_外（扭矩等于截面一侧外力偶矩的代数和，右手螺旋法则确定正负，拇指指向截面外法线为正）2. 应力 - 切应力（τ）- 对于圆轴扭转：τ=(Tρ)/(I_p)（ρ为所求点到圆心的距离，I_p为极惯性矩）- 在圆轴表面：τ_max=(T)/(W_t)（W_t为抗扭截面系数）3. 变形 - 扭转角（φ）- φ=(TL)/(GI_p)（G为剪切弹性模量）三、弯曲内力。
1. 剪力（V）和弯矩（M）- 截面法：- 剪力V=∑ F_y（截面一侧y方向外力的代数和）- 弯矩M=∑ M_z（截面一侧对z轴外力矩的代数和）- 剪力图和弯矩图：- 集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力大小），弯矩图有折角。
- 集中力偶作用处，弯矩图有突变（突变值等于集中力偶大小），剪力图无变化。
2. 弯曲正应力（σ）- σ=(My)/(I_z)（y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对z轴的惯性矩）- 最大正应力：σ_max=(M)/(W_z)（W_z为抗弯截面系数）3. 弯曲切应力（τ）- 对于矩形截面：τ=(VQ)/(Ib)（Q为所求点以上（或以下）部分面积对中性轴的静矩，b为截面宽度）- 对于圆形截面：τ=(4V)/(3A)（A为圆形截面面积）四、梁的变形。
1. 挠曲线近似微分方程。
- EIfrac{d^2y}{dx^2} = M(x)（y为挠度，x为梁轴线坐标）2. 用叠加法求梁的变形。
扭转角度计算公式
扭转角度计算公式哎呀，说起扭转角度计算公式，这可真是个有点复杂但又超级有趣的话题。
我还记得有一次，在学校的实验室里，我们一群学生和老师一起研究一个机械模型的扭转角度问题。
那个模型看起来普普通通，但要准确算出它的扭转角度，可真不是一件容易的事儿。
咱们先来说说扭转角度的基本概念哈。
简单来讲，扭转角度就是一个物体在受到扭矩作用时发生扭转的程度。
比如说，一根轴在力的作用下转了一定的角度，这个角度就是扭转角度。
在实际应用中，扭转角度的计算常常涉及到材料的性质、轴的直径、扭矩的大小等等因素。
常见的计算公式里，会有像极惯性矩这样的概念。
这极惯性矩呢，就好比是物体抵抗扭转的一种“能力”指标。
就拿一个简单的例子来说吧，假如我们有一根实心的圆柱形轴，它的直径是 D，长度是 L，受到的扭矩是 T。
那么，根据材料力学的知识，它的扭转角度φ 就可以通过公式φ = TL / (GIP) 来计算。
这里的 G 是材料的剪切模量，IP 就是极惯性矩。
可别小看这个公式，计算的时候可得仔细喽。
有一次，我们班的一个同学，在计算的时候把直径的值给搞错了，结果算出来的扭转角度那叫一个离谱。
老师一看就笑了，说：“你这算的不是扭转角度，是要把这轴扭成麻花啦！”全班同学都哈哈大笑起来。
再来说说不同材料对扭转角度的影响。
有些材料比较硬，像钢铁，它能承受的扭矩大，扭转角度相对就小。
而像一些塑料或者橡胶材料，就比较软，稍微一用力，扭转角度就大得很。
在工程实践中，准确计算扭转角度那是至关重要的。
比如说汽车的传动轴，如果扭转角度计算不准确，那开起来可就麻烦啦，说不定还会出危险呢。
还有啊，在建筑领域，一些钢结构的构件也需要精确计算扭转角度，以确保整个结构的稳定性和安全性。
总之，扭转角度计算公式虽然有点复杂，但只要我们认真学习，多做练习，掌握其中的规律，就能轻松应对各种相关的问题。
就像我们在实验室里，虽然一开始会犯错，但通过不断地尝试和学习，最终还是能得出准确的结果。
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学-扭转问题解读
Me2=T2=557 N.m
Me3=T3=185.7 N.m
由
max
T Wt
Wt
D 3
16
T1 16.54 MPa Wt 1
max E
T2 max H 22.69 MPa Wt 2
Me
Me
Me （ +） T n Me
右手螺旋法则 , 确定内力正负
（ +） n T
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
例 已知PkA=19kW,PkB=44kW, PkC=25kW, n =150rpm 求:作图示传动轴的扭矩图.
MA
MB
MC
解: 1. 求外力偶 MA= 9549 19 =1210Nm
4 4
d 2 76mm
5.选同一直径时
d d1 86.4mm
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
4580 N m 7640 N m
d1
受力合理
C
M e2
A
M e1
d2
B M e3
4580 N m
3060 N m
一 变形几何关系
dx d
d
dx
T
二 物理条件： G G d dx 三 平衡条件：dT dA
d
T
T dT dA
A
材料力学3-第三章扭转
第三章扭转目录第三章扭转 3§3－1 扭转的概念 3一、定义 3二、基本概念 3三、实例 3§3－2 外力偶矩计算、扭矩和扭矩图 3一、外力偶矩计算 3二、扭矩和扭矩图 3§3－3 纯剪切 5一、薄壁圆筒扭转时的剪应力 5二、剪应力互等定理 5三、剪应变、剪切胡克定律 6§3－4 圆轴扭转时的应力 6一、圆轴扭转时的应力计算公式 6二、极惯性矩计算 7三、圆轴扭转强度条件 7§3－5 圆周扭转时的变形 9一、相邻截面扭转角计算公式 9第三章扭转§3－1 扭转的概念一、定义在杆两端作用两大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶，使杆的任意两个截面发生绕轴的相对转动。
杆件的这种变形形式称为扭转。
二、基本概念轴：工程中一般将发生扭转变形的直杆称为轴扭转角：扭转时杆的任意两个横截面的相对角位移三、实例搅拌机轴、汽车传动轴等1、螺丝刀杆工作时受扭2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭3、机器中的传动轴工作时受扭。
§3－2 外力偶矩计算、扭矩和扭矩图一、外力偶矩计算在工程实际中，作用于轴上的外力偶矩往往上未知的，已知的往往是轴的转速以及轴上各轮所传送的功率。
以下图所示的齿轮轴简图为例，主动轮B的输入功率经轴的传递，由从动轮A、C输出给其它构件。
1. 外力偶矩与功率、角速度关系2. 外力偶矩与功率、转速关系(1马力=735.5N?m/s)二、扭转杆件的内力——扭矩和扭矩图1、扭转杆件的内力（截面法）由平衡方程，，称为截面m-m上的扭矩。
按右手螺旋法则把表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线的方向一致时，为正；反之，为负。
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。
以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩，绘成的图形称为扭矩图。
材料力学专项习题练习扭转
扭 转1. 一直径为1D 的实心轴，另一内径为d , 外径为D , 内外径之比为22d D α=的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比12/A A 有四种答案：(A) 21α-； (B)(C)； (D)。
2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立3. 一内外径之比为/d D α=的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则内圆周处的切应力有四种答案：(A) τ ； (B) ατ； (C) 3(1)ατ-； (D) 4(1)ατ-。
4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。
扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭转角ϕ有四种答案：料的切变模量(A) 43π128d G a ϕ(C) 43π32d G a ϕ8. 一直径为D 重量比21W W 9. 10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。
1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. C 7. B 8. 0.479. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；4/3 10. 横截面翘曲11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。
证：截面切应力 4103s R R ρρττρ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭截面扭矩 04d 12πd 03Rs s A T A R ρρτρτρρ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰ 证毕。
12. 图示直径为d 的实心圆轴,两端受扭转力偶e M 用1/m C τγ=表示，式中C ，m 式为：证：几何方面 d d xρϕγρ=物理方面 1/1/d d mmC C x ρϕτγρ⎛⎫== ⎪⎝⎭静力方面 1//21/e 0d d 2πd d md mAM T A C x ρϕρτρρρρ⎛⎫==⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰所以 1/e (31)/2π()23m 1mm mM m d ρρτ+=+ 证毕。
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已知 D0 mm 63.38
例：有一个阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮，如图所示。轴的直径分别为d1=40mm， d2=70mm。已知作用在轴上外力偶矩分别为T1=0.62KN·m，T2=2.05KN·m，T3=1.43KN·m。材料 的许用切应力[τ]=60MPa，G=8×104MPa，轴的许用单位长度扭转角为[θ]=2°/m，试校核轴的
-1.43
已知
[τ]
MPa
<
60
已知 [τ] MPa
<
60
求
θmax(单位不要错）
°/m
1.77
<
求
θmax(单位不要错）
°/m
0.43
<
已知 [θ] °/m
2
已知 [θ] °/m
2
T2=3KN·m， ；材料的[τ]=80MPa，
D0=105mm，试计算
求 AB段Mn（1-1剖面）
K N·m 4.50 背向剖切面为正
°/m
m4
1.05E+01 5.00E-01 1.50E-08
，试设 设计截面的
求 D0 mm 63.38
求 d mm 60.44
求 A1/A2
mm 0.51
， 。材料 ，试校核轴的
。材料 ，试校核轴的
求 CD段Mn（2-2剖面）
K N·m 0.62 背向剖切面为正
求 DB段Mn（3-3剖
面） K N·m
d2=70mm。已知作用在轴上外力偶矩分别为T1=0.62KN·m，T2=2.05KN·m，T3=1.43KN·m。材料 的许用切应力[τ]=60MPa，G=8×104MPa，轴的许用单位长度扭转角为[θ]=2°/m，试校核轴的 强度和刚度。
画扭矩图
数据状态
已知
已知
已知
求
代号
T1
T2
T3
AC段Mn（1-1剖面）
[]
单位 N·m KW r/min
公式
T 9550 N K n
单位 时的强度条件
N·m m3 Pa
公式
max
M n max Wp
[ ]
序号
名称 代号 单位
1
极惯性矩 Ip m4
2
抗扭截面模 量
WP
m3
3
α=d/D
r0=D0/2，平 均半径，D0
单位
max
M n max Wp
[ ]
N·m m3
变形计算 名称 扭转角 极惯性矩 横截面上的扭矩 剪切弹性模量 杆件长度
代号 φ Ip Mn G l
序号 1 2 3 4 5
刚度条件 名称 单位长度上的最大扭转角 极惯性矩 横截面上的最大扭矩 剪切弹性模量 许用单位扭转角
代号 θmax
Ip Mn max
G [θ]
序号
名称
1
极惯性矩
2
抗扭截面模量
3
α=d/D
画扭矩图
数据状态
已知
已知
已知
已知
代号
T1
T2
T3
T4
单位
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
1.5
3
9
4.5
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
利用强度 条件算轴
数据状态
代号
单位
数值 利用刚度 条件算轴
数据状态
代号
单位
数值
已知 τmax MPa
已知 Mn(AC) K N·m 1.43
已知 G MPa
8.00E+04
已知 G MPa
8.00E+04
21.23
求 IP m4 2.51E-07
求 IP m4 2.36E-06
例：如图装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知 T1=1.5KN·m，T2=3 T3=9KN·m，T4=4.5KN·m；各轮的间距为L1=0.8m，L2=1.0m，L3=1.2m；材料的[τ] [θ]=0.3°/m，G=8×104MPa。试求：（1）设计轴的直径D；（2）若轴的直径D0=105mm 全轴的相对角φD-A。
L
θ
m
°/m
2
0.5
已知
求
L
φ
m
°
1
2
强度计算
数据状态
已知
已知
求
代号 单位 数值
[τ]
Mpa
60
Mn max KN·m 1.05E+01
WP m3 1.75E-04
max
M n max Wp
[ ]
数据状态 代号 单位 数值
已知 G
Mpa
80000
刚度计算
已知
已知
求
Mn max
θmax
Ip
KN·m
实心轴
数据状态 代号 单位 数值
已知 [τ] M Pa 40
已知 Mn max K N·m
2
空心轴
数据状态 代号 单位 数值
已知 α 无 0.8
已知 WP m3
0.00005
面积比 空心比实心
数据状态 代号 单位 数值
已知
已知
D
d
mm
mm
75.55524026 60.44419221
求 WP m3 5.00E-05
数据状态 代号 单位 数值
已知 NK KW 1
已知 n
r/min 100
求 T KN·m 0.0955
例：传动轴系钢制的实心圆轴，其承受最大扭矩为2KN·m，[τ]=40MPa，试设 计圆轴的直径D。若将此轴改为内外直径比d/D=0.8的空心轴，试设计截面的 内外直径，并比较实心圆轴和空心圆轴的用料。
80
已知 [θ]（注意单
位） °/m 0.3
已知 Mn(AC) K N·m
4.5
已知 Mn(AC) K N·m
4.5
求 D mm 65.92
已知 G MPa
8.00E+04
D>=66mm
求 D mm 102.28
根据题 意计，算选扭转 角φD-A=
数据状态
代号
单位 数值 数据状态 代号 单位
已知
D
mm 105 已知 L1 m
m4 N·m Pa °/m
序号 1 2 3
名称 外力偶矩
功率 转速
代号 T NK n
序号
1 2 3
名称
横截面上的最大扭矩 抗扭截面模量 材料许用切应力
代号 圆轴扭转时的强度条件
Mn max WP
[τ]
序号
名称
强度计算
代号
1
横截面上的最大扭矩
2
抗扭截面模量
3
材料许用切应力
Mn max WP
[τ]
序号 1 2 3 4 5
已知 Mn(AC) K N·m
求 WP m3 1.26E-05
求 WP m3
求 τmax MPa 49.34
求 τmax MPa
数值
校核AC段 的刚度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的刚度(实
数据状态
代号
单位
数值
70
已知 d1 mm 40
已知 d1 mm 70
1.43
6.73E-05
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
已知
G
MPa 8.00E+04
已知 L2 m
已知
AB段Mn（1-1 剖面）
K N·m 4.5 已知 L3 m
已知 BC段Mn（2-2剖面）
K N·m -4.5
数值
0.8
1
1.2
实心轴 数据状态 代号 单位 数值 数据状态 代号 单位 数值 数据状态 代号 单位 数值
已知 d mm 799
已知 WP m3
0.1994 已知
Ip
m4
0.1
求
Ip m4
4.00E-02
求
Ip m4
1.00E-01
求
WP m3
1.99E-01
求
WP m3
1.00E-01 求 d mm
1.01E+03 求 d mm
1.00E+03
数据状态 代号 单位 数值
数据状态 代号 单位 数值
已知 φ ° 1 已知 θ °/m 2
已知
求
求 BC段Mn（2-2剖
面） K N·m
-4.50
求 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.50
D>=103mm
已知 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.5
求
IP m4 1.19E-05
求 φB-A
° 0.216
求 ΦC-B
° -0.270
求 φD-C
° -0.108
强度计算 序号
名称
代号
单位
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
0.62
2.05
1.43
0.62
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
校核AC段 的强度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的强度(实
数据状态
代号
单位
已知 d1 mm 40
已知 d2 mm
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
代号
Ip WP