自然数平方和
平方的求和方法
平方的求和方法宝子，今天咱们来唠唠平方求和的方法呀。
咱先说说自然数的平方和。
有个超酷的公式哦，1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6。
你看这个公式，就像一个魔法咒语一样。
比如说，要求1到5的平方和。
那n就是5啦，把5代到公式里，5×(5 + 1)×(2×5 + 1)÷6 = 5×6×11÷6 = 55。
是不是很神奇呀 。
那这个公式是咋来的呢？其实有好几种推导方法呢。
有一种比较有趣的是用数学归纳法。
先验证当n = 1的时候，公式成立。
1² = 1，而1×(1 + 1)×(2×1 + 1)÷6 = 1，对啦。
然后假设当n = k的时候公式成立，再去证明n = k + 1的时候也成立。
这就像是搭积木，一块一块稳稳地搭起来呢。
要是遇到不是从1开始的连续自然数的平方和呢？比如说3² + 4² + 5²。
咱可以先求出1² + 2² + 3² + 4² + 5²的和，再减去1²+2²。
按照前面的公式，1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 5×(5 + 1)×(2×5 + 1)÷6 = 55，1²+2² = 1+4 = 5，那3² + 4² + 5² = 55 - 5 = 50啦。
还有哦，如果是一些有规律的数的平方和，比如说奇数的平方和或者偶数的平方和。
奇数的平方和公式是n(2n - 1)(2n + 1)/3，偶数的平方和公式是2n(n + 1)(2n + 1)/3。
自然数的平方和
自然数的平方和自然数的平方和是指前n个自然数的平方和，包括1到n自然数的平方。
它是一个相当简单但又有实际意义的数学概念，先从数学原理上对它进行简单介绍：1、两个自然数的平方和：a + b的平方和 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab；2、三个自然数的平方和：a +b + c的平方和= (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca；3、四个自然数的平方和：a +b +c + d的平方和 = (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2da + 2ac + 2bd；4、五个自然数的平方和：a +b +c +d + e的平方和 = (a + b + c + d + e)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2de + 2ea + 2ac + 2bd + 2ce + 2ad；5、六个自然数的平方和：a+b+c+d+e+f的平方和=(a+b+c+d+e+f)2=a2+b2+c2+d2+e2+f2+2ab+2bc+2cd+2de+2ef+2fa+2ac+2bd+2ce+2de+2ae+2bf+2cf；可以看出，求解前n个自然数的平方和的推导公式是幂次乘法的重复应用，也可以看出，求解前n个自然数的平方和的通用公式：Sn = n * n * (n + 1) * (n + 1) / 4；其次，可以通过计算把公式化成算法，常用解法如下：（1）累加法：for(i=1;i<=n;i++){sum=sum+i*i;}算法说明：从1加到n，每一步将数字i的平方累加到sum上，最终得到答案。
（2）数学法：sum=(n*(n+1)*(2*n+1))/6;算法说明：n * (n + 1) * (2 * n + 1) 就是求从1加到n自然数的总和，再除以6即为答案。
自然数平方和公式推导
自然数平方和公式推导自然数平方和公式是一种非常重要的数学公式，它描述了一系列自然数的平方和。
在这里，我们将推导出其公式，并讨论它的数学意义。
首先，我们来从实例讨论自然数平方和公式。
假设我们有一系列自然数：1，2，3，4，5。
从1到5的自然数的平方和可以表示为： 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55这里的每一个数字的平方都是以前的数字乘以自身的结果，并将这些结果相加起来。
这个公式可以简化为：1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55从上面的例子中，我们可以看出：对于自然数n，从1到n的自然数的平方和等于n^2 + (n-1)^2 + (n-2)^2 + + 1^2。
这样，我们就可以写出一般的自然数平方和公式：∑n^2 = n (n+1)(2n+1)/6这里的符号，∑表示求和，将从1到n的每一个n的平方做求和。
在此之上，n (n+1)(2n+1)/6表示自然数平方和。
这里的n(n+1)(2n+1)/6可以更进一步简化为：(n^3)/3 + (n^2)/2 + n/6从数学上讲，这个公式表明，如果有一系列自然数，那么从1到n的自然数的平方和就是n (n+1)(2n+1)/6。
此外，我们也可以将自然数平方和公式表示为归纳法的形式：设自然数n，从1开始，1、2、3、… n的自然数的平方和分别为：基本情况：1^2 = 1归纳假设：设n＞1，1^2 + 2^2+3^2 + n-1^2 = S_{n-1}归纳结论：将n^2加到S_{n-1}上，得到S_n = S_{n-1} + n^2综上所述，自然数平方和公式描述了从1到n的自然数的平方和，可以使用实例及其简化的数学形式来描述，也可以以归纳的方式来描述。
这个公式对许多数学概念有重要的作用，例如，它可以帮助我们解决找到自然数的某些和的问题，以及其他一些复杂的问题。
自然数平方和公式及证明
自然数平方和公式证明1：此式对于任何自然数n都成立。
依次把n=1，2，3,...,n-1,n代入止式可得把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下；而前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。
因而我们得到。
现在这里对这个结果进行恒等变形可得移项，合并同类项可得即证明2:设12+ 22 + … + n 2 =An 3+Bn 2+Cn+D,令n=1，2，3，4得关于A ，B ，C 。
D 的四元一次方程组，可解得A=C=16 ，B=12 ，D=0，再用数学归纳法证明。
证明3:设f(x)=(1+x)2+ (1+x)3 +… +(1+x)n ,则x 2的系数和为 C 22 + C 23 +… + C 2n=12 [12+ 22 + … + n 2]-12 (1+2+… + n) = 12 [12+ 22 + … + n 2]- -14n(n+1) 又f(x)=(1+x)2-(1+x)n+1x,其中x 2的系数为C 3n+1 ,于是有12 [12+ 22 + … + n 2]- -14 n(n+1)= C 3n+1 ，解得 12+ 22 + … + n 2 = n(n+1)(2n+1)6关于自然数平方和的几个模型归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明示k 个k 之和(图1(1))．旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图1(2)、1(3))，每一线段上的数字顺序成等差数列，再重叠三个数阵，则每一点上的数字和为(2n ＋1)．于是透了运动的思想，动静结合，相得益彰．割补、数形结合来证明．(n－1)(2n－1)个单位正方形；再给前n－2层各补(2n－3)个单位正方形，共补(n－2)(2n－3)个；……，最后给第一层补3个，这样添补的单位正模型2数形结合，以形助数，比较直观．而应用映射方法将求和问题映射成几何上的求堆垒总数问题，再利用几何体的割补求和，也体现了化归思想．而添补的立方体个数为1×3＋2×5＋…＋n(2n＋1)，原有立方体个数以上三个均属构造的数学模型，另外还可以构造物理模型，从物理意义上进行探讨．垂线段上分别等距离地放1个，2个，…，n个重量为1个单位的质点．则这些质点对原点的力矩数学知识结构之间的相互联系，为我们解决问题提供了丰富的源泉．数学问题的模型是多样的．通过对不同模型的探讨，将有助于开阔我们的视野，有助于提高我们的分析问题和解决问题的能力．前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法关于前n 个连续自然数的平方和： )12)(1(61 (222)2321++=++++n n n n 的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好. 我们先来计算：321222++=1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。
1到n平方的求和
1到n平方的求和1到n平方的求和是数学中一个基本的问题，很多人都曾经在学习中遇到过这个问题。
在计算阶乘、求平均数、计算质数等问题中，我们都需要用到这个公式。
那么该如何求出1到n平方的和呢？首先，我们需要明确1到n平方的含义，它就是将1到n的所有自然数都平方，然后将结果相加得到的一个数值。
举个例子，如果我们要计算1到5的所有自然数的平方之和，那么结果应该为1+4+9+16+25=55。
其次，我们需要知道如何列出1到n的数字列表，这样才能够方便地进行计算。
列出1到n的数字列表的方法很简单，只需要从1开始依次写下数字，直到写到n为止。
如果需要列出1到10的数字列表，那么就按照以下方式写下数字：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10最后，我们需要知道如何将平方求和。
这里我们可以采用循环计算的方式，一步步累加平方值。
具体实现方式如下：1. 定义一个变量sum，并初始化为0；2. 使用循环语句，从1到n依次取出每个数字；3. 将当前数字平方，并将结果加到sum中；4. 循环完毕后，sum中的值就是1到n平方的和。
下面是一个代码示例，通过Python实现1到n平方的求和：``` pythondef square_sum(n):sum = 0for i in range(1, n+1):sum += i**2return sumn = 5print("1到%d的平方和为：%d" % (n, square_sum(n)))```以上代码中，我们定义了一个名为square_sum的函数，其中n表示要计算的自然数范围，sum表示当前计算的平方和。
在for循环中，我们使用range函数按照1到n的顺序取出每个数字，并计算其平方值，并将平方值加到sum中。
最后，函数返回sum的值，表示1到n平方的总和。
在实际使用中，我们可以根据不同的需求，修改n的值来计算不同自然数范围内的平方和。
自然数平方和
这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。
1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? （n^2表示n×n＝n2为了好打字）一、推导1、直接推导：1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2+ +2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2+ +3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2+ +. .. .(i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,……,n-1)|| ||S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4两边求一下得所求S此法较为直观正规2、用其他的公式推导：容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n) 于是1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1) 3、二项式推导：2^3=1^3+3*1^2+3*1+13^3=2^3+3*2^2+3*2+14^3=3^3+3*3^2+3*3+1.......(n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1sum up both sides substract common terms:(n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for bb=1^2+2^2+...+n^2此法需要较强的基本功，属奥妙之作4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）5、用现成恒等式推导二、证明1、数学归纳法1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 当n=1时,显然成立.设n=k时也成立,即:1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6那么当n=k+1时,等式的左边等于:1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]=(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6而等式的右边等于:(当n=k+1时)(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边所以对于一切n,等式都成立此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜～，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢2、图形法计算12＋22＋32＋42。
自然数平方和公式推导
我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形：12 23 3 34 4 4 4……n n …… n这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的：1 1 1 (1)2 2 2 (2)3 3 3 (3)4 4 4 (4)……n n n …… n这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2而我们补上的数字是哪些呢？1 1 1 …… 1 (n-1)个的12 2 …… 2 (n-2)个的23 …… 3 (n-3)个的3………n-1又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。
而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2]将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2=S(n-1)/2+(n-1)*n/4=S(n-1)/2+n2/4-n/4也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……①因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/23S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/43S(n)=n3+3n2/2+n/2S(n)=n3/3+3n2/6+n/6上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6另外一种经典的方法设：S=12+22+32+…+n2另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。
连续自然数的平方求和公式
连续自然数的平方求和公式哎，今天我们来聊聊一个有趣的话题，那就是连续自然数的平方求和公式。
听起来有点高大上，其实呢，咱们只要稍微动动脑筋，就能明白。
想象一下，咱们从1开始，接着是2、3、4……数下去，真是让人怀念那种童年无忧的感觉。
然后，咱们把这些数字都平方，最后再把它们加起来。
哦，这个过程就像是在给你的小脑袋加点儿调味料，越加越有趣！好吧，先举个简单的例子。
咱们从1到3来算算。
1的平方是1，2的平方是4，3的平方是9。
把它们加在一起，1加4加9，得到了14。
是不是感觉挺好玩的？但是这只是冰山一角哦。
随着数字越大，平方数也越庞大，结果就像是火箭发射一样，飞得越来越高。
别说，咱们中国人真是聪明，古人早就找到了这个规律：连续自然数的平方和其实可以用一个公式来表示。
你猜怎么着？这个公式是：( S_n = frac{n(n + 1)(2n +1){6 )。
哇，听上去像是高深莫测的数学，但其实只要简单代入，就能得到你想要的结果。
哎，真是太神奇了！我知道，这时候有人可能会挠头：这公式到底是什么鬼？别急，咱们慢慢来。
举个例子吧，假如咱们想算从1到5的平方和。
用咱们的公式：n是5，那么代入一下，( S_5 = frac{5(5 + 1)(2 times 5 + 1){6 )。
你瞧，动手算一下，得到的是55。
那再去逐个平方加一下，1、4、9、16、25，加起来，哎呀，果然还是55！这下没问题了吧，数学家们真是料事如神。
再往深了说，咱们不光是简单的加法，里面还有很多故事。
想象一下，数学就像一杯浓郁的咖啡，每一口都有不同的滋味，能让人陶醉。
这里面不仅有平方，还有许多数学定理，譬如说，利用公式，咱们还能推导出一些更复杂的东西。
说到这里，不得不提“和差”了。
和差的运用就像咱们在生活中经常碰到的那种朋友之间的关系，互相依存又各有各的特长。
数学家们就是这么把这些规律归纳总结出来的，真是智慧的结晶。
回到咱们的平方和，试想一下，如果每次都要逐个平方再加，那简直是费时费力，有了这个公式，简直就像给了咱们一把钥匙，打开了通往数学殿堂的大门。
自然数平方和公式
自然数平方和公式
关于自然数平方和公式，首先有必要了解一下自然数平方和的定义。
自然数平方和是指把平方数的和在有限的自然数N中，对这N个数分别求其平方和，即把自然数1、2、3...N的平方和，其公式为：
S = 1^2 + 2^2 + ... + N^2 = (1+2+…+N)^2
根据公式，有如下几种计算方法：
1. 等差数列求和法：Sn=n(n+1)(2n+1)/6
2. 等差数列求积法：Sn=(n+1)(2n+1)(3n+2)(n!)/30
3. 二次项积分法：Sn=n^3/3+ n^2/2+n/6
4. 数值积分法：Sn=2*Σn(i-1)^2*h(i)
最后，借此可以用自然数平方和公式解决许多经典的数学问题，比如两边的数的平方和等于一边的数的平方、数的立方和等，增加了算法的深度，也提高了计算的效率，为后边的科学研究打下坚实的基础。
自然数平方和微积分
自然数平方和微积分全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：自然数平方和微积分自然数平方和问题是数学中一个古老而又经典的问题，它涉及到自然数序列的平方和与微积分的关系。
自然数序列就是从1开始的整数序列，即1, 2, 3, 4, 5, 6, …，而平方和就是将这些数的平方相加所得的和。
比如1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + … 就是自然数序列的平方和。
自然数平方和问题最早由希腊数学家毕达哥拉斯提出，他发现了一种简单的方法来求解自然数平方和。
这种方法就是利用微积分的概念来求解。
微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化和积分的计算。
自然数序列的平方和可以看作是一个函数，我们可以用微积分来计算它的积分值。
为了更直观地理解自然数平方和与微积分的关系，我们可以考虑一个简单的例子：1 + 4 + 9 + 16 + …，这个序列就是自然数的平方和。
如果我们将这个序列写成函数的形式，可以表示为f(x) = x^2，其中x 为自然数的序号。
我们想要计算这个序列的和，就是要求解积分∫f(x)dx。
利用微积分的方法，我们可以求解这个积分。
首先我们需要将函数f(x) = x^2进行积分运算，得到积分函数F(x) = (1/3)x^3 + C，其中C为常数项。
然后我们将积分函数F(x)求解在1到n的区间上的积分值，即∫[1, n]f(x)dx = F(n) - F(1) = (1/3)n^3 - (1/3)。
在实际应用中，自然数平方和问题经常出现在数学、物理、工程等领域中。
比如在统计学中，我们经常需要计算一些序列的平方和来求解方差、标准差等统计参数；在物理学中，自然数平方和也经常用来计算物体的质心、惯性矩等物理参数；在工程中，自然数平方和可以用来计算电路中的电流、电压等相关参数。
自然数平方和问题是一个古老而又经典的数学问题，它涉及到自然数序列的平方和与微积分的关系。
通过微积分的方法，我们可以更快速地求解各种自然数序列的和式，从而解决现实生活中的各种问题。
最新自然数平方和公式
最新自然数平方和公式最新自然数平方和公式，也称为高斯公式或平方和公式，是数学中的一个重要公式，用于计算从1到n的平方和。
这个公式最早由卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在他还是一个孩子的时候发现，并且在他的数学生涯中得到了广泛的应用。
1²+2²+3²+...+n²=(n*(n+1)*(2n+1))/6其中，n是一个自然数。
这个公式的证明可以使用数学归纳法完成。
首先，我们需要证明当n=1时，等式成立。
当n=1时，等式左边为1²=1，等式右边为(1*(1+1)*(2*1+1))/6=1，两边相等，所以当n=1时，等式成立。
接下来，我们假设当n=k时，等式成立，即1²+2²+3²+...+k²=(k*(k+1)*(2k+1))/6、我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
当n=k+1时，等式左边为1²+2²+3²+...+k²+(k+1)²，根据归纳假设，我们可以将等式左边的部分替换为(k*(k+1)*(2k+1))/6、将等式右边的n替换为k+1，则等式右边变为((k+1)*(k+1+1)*(2(k+1)+1))/6、我们需要证明等式左右两边相等。
化简等式左边：(k*(k+1)*(2k+1))/6+(k+1)²=(k*(k+1)*(2k+1)+6(k+1)²)/6=(k*(k+1)*(2k+1)+6(k²+2k+1))/6=(2k³+3k²+k+6k²+12k+6)/6=(2k³+9k²+13k+6)/6=(k+1)*(k+2)*(2k+3)/6化简等式右边：((k+1)*(k+1+1)*(2(k+1)+1))/6=((k+1)*(k+2)*(2k+3))/6我们可以看到，等式左右两边相等，所以我们可以得出结论，当n=k+1时，等式也成立。
连续自然数平方和公式推导
连续自然数平方和公式推导1. 引言：数学的魔法说到数学，很多人都觉得它像是黑暗中的一团迷雾，摸不着头脑。
不过，今天咱们聊聊一个既简单又有趣的东西——连续自然数的平方和公式。
这个公式不仅在数学上有用，更是在生活中能找到它的影子。
想象一下，你的小孩在做作业，问你“1到n的平方和是多少？”你是不是想直接扔给他一个公式？别担心，今天咱就来扒一扒这个公式背后的故事。
2. 什么是连续自然数平方和？2.1 定义首先，咱们得明白什么是“连续自然数”。
简单来说，就是从1开始，一直往上数，比如1、2、3……直到n。
咱们所说的“平方和”，就是把这些数的平方加起来，像这样：(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)。
听起来是不是有点复杂？没关系，咱们一步一步来。
2.2 公式好啦，咱们来看看这个神奇的公式。
经过研究，数学家们发现，连续自然数的平方和可以用一个简单的公式来表示，那就是：S_n = frac{n(n + 1)(2n + 1){6。
是不是看上去有点拗口？但是放心，咱们慢慢来，一定能搞明白！3. 推导过程3.1 用图形来理解说到推导，这可是个有趣的过程。
想象一下，你在纸上画一个正方形，每个边的长度是n。
然后，把这个正方形分成小方块。
这样一来，正方形里就有n²个小方块。
这是啥意思呢？就是你用1到n的数平方加起来，最后能填满这个正方形！不过，咱们不仅要看这个正方形，还得看看不同的组合。
3.2 分组求和好啦，接下来咱来点实际的。
你可以把1到n的平方分成几组来算。
比如，你可以把1的平方和n的平方放在一起，2的平方和(n1)的平方放在一起，依此类推。
这样，你会发现每一对的和是一样的。
嘿，这样一来，数学就变得简单多了！而且，咱们还发现，每对的和可以写成这样的形式：(i + (n i + 1))^2如果用公式来算，这个和就变成了一个更大、更有趣的东西。
像这种方法就像是在拼图，把复杂的东西变得简单明了。
连续自然数的平方和
连续自然数的平方和哎呀，今天咱们聊聊一个看似简单但其实很有意思的话题——连续自然数的平方和。
听起来是不是有点高深莫测，别担心，我保证把这事儿说得简单明了，绝对让你觉得“哦，原来是这样啊！”你想啊，数数的事儿，谁不喜欢呢？而且平方，咱们从小就学过的，2的平方、3的平方……咳咳，我这就开始了。
想象一下，咱们从1开始，一路数下去，1、2、3、4、5……这就是咱们的连续自然数。
然后，咱们来个平方，1的平方是1，2的平方是4，3的平方是9，4的平方是16，5的平方是25。
这么一来，把这些平方值加起来，嘿，变得挺有意思了，不是吗？1加4加9加16加25，咱们一算，哎哟，结果还挺惊人。
大家都是怎么觉得的呢？好像每加一个数字，那种心里小小的满足感就会蹭蹭蹭往上窜。
如果咱们再往下加，6的平方是36，加上前面的，结果又变得更大，像雪球一样越滚越大。
说实话，这感觉就像在吃棉花糖，开始的时候觉得小小的，越吃越甜，越吃越大，直到你意识到自己可能吃多了，哈哈！这连续自然数的平方和，真的是让人心里美滋滋的，感觉简直不虚此生。
这个平方和有什么用呢？哦，别急，我这就告诉你。
比如你在玩一个游戏，要计算分数，或者在某个数学题里用到，这时候，你就会发现，平方和可以让你得心应手。
就像你在厨房里做饭，所有的调料都齐全，那可是随心所欲啊，随便调。
想想看，咱们的生活其实也很像这平方和，种种经历的叠加，最终形成了咱们的人生。
听我讲这些，你可能会想，这样的平方和有没有什么公式能算得更快呢？嘿，还真有！想象一下，这就像一把金钥匙，帮你打开一个快速计算的大门。
这个公式很简单，咱们记得前面提到的平方和，就是从1加到n的平方和，可以用一个公式来表示，那就是 ( frac{n(n+1)(2n+1){6 )。
一听这公式，哎哟，难道这就是传说中的“公式之王”吗？简直太神奇了吧！这下子你再算平方和，就像开了外挂，简直快得飞起。
不过，有时候公式也不是万能的，咱们还是得回到最初的计算。
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这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。
1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? （n^2表示n×n＝n2为了好打字）
一、推导
1、直接推导：
1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2
+ +
2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2
+ +
3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2
+ +
. .
. .
(i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,……,n-1)
|| ||
S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4
两边求一下得所求S
此法较为直观正规
2、用其他的公式推导：
容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成
1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n) 于是
1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1) 3、二项式推导：
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
4^3=3^3+3*3^2+3*3+1
.......
(n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1
sum up both sides substract common terms:
(n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for b
b=1^2+2^2+...+n^2
此法需要较强的基本功，属奥妙之作
4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）
5、用现成恒等式推导
二、证明
1、数学归纳法
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 当n=1时,显然成立.
设n=k时也成立,即:
1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
那么当n=k+1时,等式的左边等于:
1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]
=(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
而等式的右边等于:(当n=k+1时)
(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边
所以对于一切n,等式都成立
此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜～，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢
2、图形法
计算12＋22＋32＋42。
根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：12=1×1=1、22=2×2=2＋2、32=3×3=3＋3＋3、42=4×4=4＋4＋4＋4，则12＋22＋32＋42=1＋2＋2＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4。
把这10个加数排写在一个三角形内（图1），计算这个算式的和，就是计算这个三角形内所有数的和。
（其实学生如果会算自然数n项和，下面的说明就可省了，不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵）
我们对图1进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个逆时针旋转60°得到图2，另一个顺时针旋转60°得到图3。
先把图2和图3重合，得到图4。
图4中，重合的两个图形相对应位置的两个数相加，它们的和有什么规律呢？我们发现，从上往下看，第一行两个数的和是8，第二行两个数的和都是7，第三行两个数的和都是6，第四行两个数的和都是5。
再把图4和图1重合，得到图5。
从图中可以看出，每个圆圈中都有三个数，这三个数的和都是9，9=2×4＋1。
而10=1＋2＋3＋4=(1＋4)×4÷2。
图5中所有数的和应是图1中所有数的和的3倍，所以图1中所有数的和=9×10÷3=（2×4＋1）×(1＋4)×4÷2÷3=4× (1＋4)×（2×4＋1）×1/6。
即12＋22＋32＋42=4× (1＋4)×（2×4＋1）×1/6。
观察这个算式，用同样的思考方法，我们可推出这样的结论：
12＋22＋32＋42＋……＋n2=n× (1＋n)×（2×n＋1）×1/6
这个不是证明的过程对小学生来说算是证明吧。