两角和与差正弦余弦公式PPT课件

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两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)

tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算来求值、化简和证明.

练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式PPT

1 cos 2α
2
;
(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
教材研读栏目索引
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1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( D )
A.- 3 B. 3 C.- 1 D. 1
2
2
2
2
2.化简cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°的值为 ( B )
0,
2
,tan
α=2,则cos
α
4
=
.
(3)设sin
2α=-sin
α,α∈
2
,
,则tan
2α的值是
.
栏目索引
考点突破
栏目索引
答案 (1)A (2) 3 10 (3) 3
10
解析
(1)∵sin
6
α
=cos
6
α
,
∴ 1 cos α- 3 sin α= 3 cos α- 1 sin α.
2
5
故sin
4
α
=sin
4
cos
α+cos
4
sin
α
=
2 2
×
2
5 5
+2
2
×5
5
=-10
10
.
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× 5
5
×
2
5 5
=4-
5
,
考点突破
栏目索引
cos 2α=1-2sin2α=1-2×
5 2

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)

第五章三角函数
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点：掌握两角差的余弦公式. 教学难点：公式的推导过程.
根据两点间的距离公式
思考两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β，得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0，保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143，由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评：解答此类问题分三步：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五

( − ) = ，

( − ) = .

公式六

( + ) = ，
2

( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.

2
;

1
④ cos

两角和与差的正弦、余弦、正切公式ppt

ห้องสมุดไป่ตู้
例题讲解
例7
sin(2a + b ) sin b （1）求证： - 2 cos(a + b ) = sin a sin a
(2)在△ABC中，求证： tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
小结作业
1.明确各公式的内在联系，掌握公式的
形成过程. C 2.公式 S ( a + b ) 与 S ( a - b ) ， ( a + b ) C 与 T ( a + b ) 与 T ( a - b ) 的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
问题探究
怎样用任意角、的正弦、余弦值表示? cos( ) ? sin( ) ? sin( ) ? tan( ) ? tan( ) ?
公式变式
公式 S ( a + b ) ,C ( a + b ) ,T ( a + b ) 称为和角公式，公式 S ( a - b ) , C a - b , T ( a - b ) 称为差角公式.
例题讲解
例5、 3 4 (1)sin sin , cos cos , 5 5 求 cos( ). (2)sin cos a, cos sin b 求 sin( )
例题讲解
3 12 例6、已知 ,cos( ) 2 4 13 3 sin( ) , 求 sin 2的值. 5
3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.
小结作业
P137：（1）6、7、8、10、13、（1）-—（5）；（2）《学海导航》第二课时

课件9：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

类型 1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式
例1
(1)
sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
【解析】sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°
＝sin（17°＋30c°o）s －17s°in 17°cos 30°
＝sin
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－102＝
2 2.
又 α∈0，π2，∴α＝π4.
探究点辅助角公式的应用探究 1 函数 y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为 2 对吗？
为什么？
【提示】不对．因为 sin x＋cos x
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)
基础·初探
教材整理 1 两角和与差的余弦公式
【解析】逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝ cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
1．公式
名称
简记符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
_s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β_

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT

何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(

3.1.2第1课时两角和与差的正弦、余弦公式课件

为啥总是听懂了，但不会做，做不好？
栏目导引
第三章三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目导引
第三章三角恒等变换
超级记忆法
栏目导引
第三章三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第1课时两角和与差的正弦、余弦公式
第三章三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、余弦推导过程及各公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、余弦公式的应用
重点难点重点：公式的正用、逆用及变式应用．难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
栏目导引
第三章三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章三角恒等变换
栏目导引
第三章三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴让你的青春少走弯路
栏目导引
第三章三角恒等变换
小案例—哪个是你

2 第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(共41张PPT)

＝cos
17°sin 30° cos 17°
＝sin 30°＝12.
探究点 2 给值求值
已知π2＜β＜α＜34π，cos(α－β)＝1132，sin(α＋β)＝－35，求 cos 2α 与
cos 2β 的值．【解】因为π2＜β＜α＜34π，所以 0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π. 所以 sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β）＝ 1－11232＝153，
所以 cos (α＋β)＝cos π4＋β－π4－α
＝cos π4＋β·cos π4－α
＋sin π4＋βsin π4－α
＝－21× 23＋
23×－12＝－
3 2.
又因为π2<α＋β<π，
所以 α＋β＝56π.
1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于
A．12
B．－12
若 sin π4－α＝－12，sin π4＋β＝ 23，其中π4<α<π2，π4<β<π2，求 α＋β 的值．解：因为π4<α<π2，π4<β<π2，所以－π4<π4－α<0，π2<π4＋β<34π. 所以 cos π4－α＝ 1－sin2π4－α＝ 23， cos π4＋β＝－ 1－sin2π4＋β＝－12，
求下列各式的值．
(1)sin
105°；(2)tan
165°；(3)sin
47°－sin 17°cos sin 73°
30° .
解：(1)sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°·sin 60°
＝ 22×12＋ 22× 23＝
6＋ 4

两角和与差正弦余弦公式课件

于信号的合成、滤波等操作。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、余弦公式常与其他数学知识结合，用于解决代数问题，例如求值、证明等。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余弦公式常用于证明几何定理或解决几何问题，例如角度计算、面积计算等。
03
两角和与差正弦余弦公式的扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实际问题，如测量、物理、工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复杂的三角函数计算，提高计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他领域，如复数、矩阵等领域，促进数学和其他学科的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确性。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
规律方法化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二给角求值问题
【例 2】求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

由于角的范围过大致误
典例 4 已知 sinα＝ 55，sinβ＝ 1100，且 α、β 为锐角，求 α＋β 的值． [错解] ∵α 为锐角，∴cosα＝ 1－sin2α＝255．又 β 为锐角，∴cosβ＝ 1－sin2β＝31010． ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ 55×31010＋255× 1100＝ 22．由于 0°<α<90°，0°<β<90°，所以 0°<α＋β<180°，故 α＋β＝45°或 135°．
[辨析] 上述解法欠严密，仅由 sin(α＋β)＝ 22以及 0°<α＋β<180°就得到 α＋β ＝45°或 α＋β＝135°是不正确的，因为角 α、β 的范围是有一定限制的，事实上 sinα ＝ 55<12，sinβ＝ 1100<12，故 α<30°，β<30°，从而 0°<α＋β<60°，故应仅有 α＋β＝ 45°.为了避免出现上述失误我们可以选用两角和的余弦公式计算．
又 cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝－35，
所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝
1－11232＝153，
cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β＝－所以 sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
1－－352＝－45．
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝153×(－45)＋1123×(－35)＝－5665．
辅助角公式及其运用
(1)公式形式：公式 asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ)(或 asinα＋bcosα)＝ a2＋b2cos(α－φ)将形如 asinα＋bcosα(a，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围， (2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
若把本例题的条件改为“α∈(0，2π)，β∈(－π2，0)，且 cos(α－β)＝35，sin β＝－102”，试求角 α 的大小．
化简求值： (1)sin1π2－ 3cos1π2；
sin 15°－cos 15° (2)cos 15°＋sin 15°.
【思路探究】解答本题中的(1)可先考虑如何去变换系数，才能与学习的公式相联系，可以考虑 1＝2×12， 3＝ 2× 23，引入特殊角的三角函数；(2)可先分子分母同除以 cos 15°得出t1a＋n 1ta5n°－151°，然后再把该式向公式 tan(α±β)转化．
＝ 22sin(x＋51π2)．
1．对于形如 sin α±cos α， 3sin α±cos α 的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．
【自主解答】
(1)法一
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(sinπ6sin1π2－cosπ6cos1π2)
＝－2cos(π6＋1π2)＝－2cosπ4
＝－ 2.
法二
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(cosπ3sin1π2－sinπ3cos1π2)
＝－2sin(π3－1π2)
将本例中条件“已知 α、β 是锐角”改为“α、β 都是钝角”．仍求 sin β 的值．

两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件

如何求sin 的值？
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思考：公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是否对任意角α,β都成立？提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立；当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ；若 θ∈(π ， 2π ］， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公式对任意角α,β都成立.

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(共37张PPT)

(2)在△ABC 中，∵cos B＝－34，
∴π2<B<π，sin B＝
1－c<A＋B<π，sin(A＋B)＝23，
∴cos(A＋B)＝－ 1－sin2A＋B＝－ 35，
∴cosA＝cos[(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B
＝－ 35×－34＋23× 47＝3
解析：cos x＋cosx－π3
＝cos
x＋12cos
x＋
3 2 sin
x＝32cos
x＋
3 2 sin
x
＝ 3 23cos x＋12sin x＝ 3cosx－π6＝－1. 答案：C
4．设 α，β 都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A．sin(α＋β)>sin α＋sin β B．cos(α＋β)>cos αcos β C．sin(α＋β)>sin(a－β) D．cos(α＋β)>cos(α－β)
2．若 sin α2＝ 33，则 cos α＝( )
A．－23 B．－13
1 C.3
2 D.3
解析：因为 sin
α2＝ 33，所以 cos α＝1－2sin2
α2＝1－2×
3 3
2＝13.
答案：C
3．已知 cosx－π6＝－ 33，则 cos x＋cosx－π3的值是(
)
A．－233 B．±233 C．－1 D．±1
1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα－－π3π3＝1＋1－1×13 13＝12. 答案：12
4．已知
cos(α －
π 6
)＋
sin
α
＝
4 5
3
，

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