16783-数学模型课件(北邮)-4

§4.4 随机贮存模型——),(S s 策略

由于顾客对一种商品的需求是随机的，因此在实际生活中，还有一种进货策略——),(S s 策略被广为采用：商店老板每个一定时间要对商品的存货进行清点，只有当存货数量不足s 时才决定进货，且一次进货的订货量取S 与当前存货数量的差值。

一． 模型假设

1．假设商店经营的商品单一，商店采用周期进货策略：每隔一定时间，比方一

周，商店老板要对商品的存货进行清点，以决定是否进货。只有当存货数量q 不足s 时才决定进货，且一次进货的订货量取S 与当前存货数量的差值，x 表示进货量；

2．顾客在一周时间内对该物品的需求量r 是一随机变量，)(r ρ表示随机变量r

的概率密度函数；

3．商店在一周可能支付的费用有：每次的订货费0c ，其取值与进货数量无关；

每件商品在一周的贮存费1c 。a 、b 分别表示一件商品的购进价格和售出价格；

4．商店在一周的销售活动全部集中在一周的周初，因此商店须为剩余商品支付

一周的贮存费用；

二． 模型建立

首先考虑S 的确定，设当前存货数量q ，且决定进货，这时进货数量x 成为决策变量。和报童卖报一样，x 的取值应当在期望值的意义上使得利润最大化。

⎩

⎨⎧+>-+⋅-+≤-+⋅+-⋅-=q x r IF c q x a b q x r IF r q x c c r a b r x f )()( )]([)(),(010 为进货数量取x ，而需求量为r 时商店在下周的利润。取其数学期望，得：

⎰⎰

⎰∞++++∞

-+-+-++--=⋅⋅=q x q x dr r c q x a b dr r r q x c c r a b dr r r x f x f )(]))([()()]}([){( )(),()(00100

ρρρ 若记⎰⎰+∞⋅-+---=u u dr r u a b dr r r u c r a b u L )()()()]()[()(01ρρ，则

0)()(c q x L x f -+=。

三． 模型求解 令0=dx

f d ，得最优性条件：⎰⎰+∞++⋅-=⋅q x q x dr r a b dr r c )()()(01ρρ ，其经济意义和对报童购报的诀窍导出的最优性条件的解释是类似的，不在赘述。

我们也直接从最优性条件获得，不论当前存货数量q 取何值，只要决定进货，那么最优的订货量总是使得下期起初的货物量q x +达到确定的值：)()(10a b c a b dr r q x -+-=⎰+ρ ，即S 应满足)

()(10a b c a b dr r S -+-=⎰ρ。 按照前面的进货策略，根据当前存货数量q ，要么选择进货q S x -=，这时

下周销售利润的期望0)(c S L f -=；要么选择不进货，这时下周销售利润的期望)(q L f =。显然，若)()(0q L c S L <-时，应当选择不进货。如图所示，函数)(q L 在),0[+∞上通常为一单峰曲线，可得})()(|0{0c S L q L q Min s -≥>=，也即关于变量q 方程)()(0q L c S L =-在),0(S 内的解。

四． 点评

在本章涉及的四个贮存模型均被归结为最优化问题，或成本最小化，或利润最大化，这并非偶然，因为人类所从事的一切生产或社会活动均是有目的的，其行为总是在特定的价值观念或审美取向的支配下进行的，因此，当可行方案不唯一的前提下，总是在某中评价指标下选择最优的方案。可以说，最优化思想和方法是数学建模的灵魂。

另外，在两个随机性模型分析中，目标函数选择利润函数，其避免了在“允许缺货的贮存模型”讨论中的许多含糊的地方。