16783-数学模型课件(北邮)-4
16781-数学模型课件(北邮)-4 (2)
§5.4 投入产出分析模型问题：大到国家甚至整个国际社会，小到一家企业，我们均可以将其视为一个经济体系来加以考察。
一个国家其国民经济的各个组成部分间、一家企业的不同车间部门或产品间，投入与产出存在怎样的相互依存关系，对其进行合理准确的建模分析为管理者做出科学的决策有着非常重要的意义。
特别对于一家大型的工业制造企业，其部门数、原料与产品种类通常都比较多，且不同部门不同产品的间的技术经济联系非常紧密，生产计划、产品价格的科学制定，原材料的顺利采购等均直接关系企业的效益。
投入产出法最早是有美国经济学家瓦西里·列昂剔夫在20世纪30年代初提出的，迄今已发展为一个内容相当丰富并有着广泛应用的方法体系。
本文只介绍体系中最基本的一个方法模型。
一． 模型假设考虑一家大型的工业制造企业，按照产品来划分其组成部门：1．n 种自产产品，m 种外购原料，其中自产产品有一部分是供应市场需求的，也有一部分是在生产其它产品时作为原料而被中间消耗；2．每一种产品的生产均有稳定的技术条件：)..1,(n j i a ij =、)..1;..1(n j m i h ij ==分别表示生产单位第j 种产品需要消耗的第i 种自产产品、第i 种外购原料的量，分别称之为对自产产品、外购原料的直接消耗系数，它们均为常数，与产品的产量无关；3．T n x x x X ),(21 =、T n y y y Y ),(21 =、T n u u u U ),(21 =、T m z z z Z ),(21 =分别表示在某一时期自产产品的总产（向）量、最终产出（供应市场需求的）（向）量、对自产产品的直接消耗（向）量，以及对外购原料的直接消耗（向）量。
二． 模型建立若记n n ij a A ⨯=)(、n m ij h H ⨯=)(，分别称之为对自产产品、外购原料的直接消耗系数矩阵，根据模型假设，可得如下数学模型：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=+=X H Z XA U Y U X 模型中第一个方程是一平衡模型方程，而后两个分别称之为中间（对自产产品的）消耗、原始（对外购原料的）消耗函数模型。
北京邮电大学数学建模课程讲义.doc
前言数学模型与数学实验课在我国大多数高等院校中普遍开设，它是当前我国高等教育基础课程教学改革的前沿课程之一。
这一课程的成功开设，为学生正确理解数学教育的重要性以及数学学科与其它诸多专业课之间的内在联系有着非常重要的作用——它是学生在学期间弥合基础理论与各应用学科之间鸿沟的一座桥梁，同时，作为数学教育的一门重要的辅助课程，这门课程的开设也为整合大学数学教学过程中不同数学课程所可能留给初学者的各自孤立甚至极为琐碎的印象成为可能。
因此，如果在教学中处理得当，对这门课程在本科生教育中的重要意义作什么样的肯定性估价均不会过分。
北京邮电大学较早地将数学模型课作为全校公共选修课在本科生中开设，迄今已逾十载。
期间，有多位老师对本课程的教学以及课程建设做出了大量而又细致的工作，更兼期间校院领导对本课程教学的重视，应当说这门课程在我校的教学实践是相当成功的——愈来愈多的学生注册选修本课程和参加有关的数学建模竞赛活动。
特别，我校学生在最近几年参加全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛中连续取得了非常出色的成绩。
本课件的开发可以被看作是对我校最近几年在数学模型课课程教学以及数学建模活动的开展过程中所积累下来的资料所进行的一次较为全面的整理，其内容包括：1）贺祖国老师数学模型课教学以及组织培训参加数学建模竞赛队员过程中所编写的讲义、有关数学建模教学的交流文稿或科研论文等；2）1997年以来，我校学生参加全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛时所完成的参赛论文，甚至包括一些队员在学习期间完成的与数学建模有关的科研论文（这些论文有的在一些比较有影响的学术征文中获奖）；3）其它像数学建模竞赛题目、部分赛题的优秀参赛论文等学习资料。
本课件凝结了许多人的劳动和才智，其中王晓霞副教授（北方交通大学）在课程讲义的组织整理过程中做了大量的工作，孙洪祥、罗守山两位教授为课件的内容组成以及框架构思提供了许多宝贵的建议。
当然，应当特别题及的是在我们身边的许多参加数学建模学习和竞赛活动的同学，没有他们的劳动这项工作将黯然失色——这里资料的原创权有相当大部分是归他们的；网页是由董乘宇、袁楠、刘冰等几位同学合力设计完成的。
数学模型多媒体授课课件
聚类模型
总结词
聚类模型是一种无监督学习模型，通 过将相似的数据点聚集在一起形成不 同的群组。
详细描述
聚类模型的目标是将相似的数据点归 为同一类，而将不相似的数据点归为 不同的类。常见的聚类算法有Kmeans、层次聚类等。
主成分分析模型
总结词
主成分分析模型是一种降维技术，通过将多个相关变量转化为少数几个不相关的主成分来简化数据结 构。
详细描述
气候变化模型通过考虑自然因素和人为因素 对气候的影响，建立数学模型，模拟和预测 全球气候的变化趋势。这种模型对于制定环 境保护政策、应对气候变化等方面具有重要 意义。
05
数学模型软件介绍
MATLAB软件介绍
要点一
总结词
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的商业数学软件， 主要用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算 等。
课程目标
01
02
03
04
掌握数学模型的基本概念和原 理
学会运用数学软件进行建模和 求解
培养学生对实际问题的分析能 力和解决能力
培养学生的创新思维和团队协 作精神
02
数学模型基础
数学模型定义
总结词
数学模型是用来描述现实世界中某一特定现象的数学系统， 通过数学公式和符号来表达现象的内在规律和变化趋势。
数学模型多媒体授课课 件
目录 CONTENT
• 引言 • 数学模型基础 • 常用数学模型 • 数学模型应用案例 • 数学模型软件介绍 • 数学模型前沿研究
01
引言
课程背景
数学模型在现代科技 、经济、社会等领域 中的广泛应用
提高学生数学应用能 力和创新思维的目标
传统数学授课方式与 现代科技结合的需求
16759-数学模型课件(北邮)-2 (10)
§6.2 战争模型一．问题分析影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。
本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
总以)(t x 、)(t y 表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，不妨视为双方的士兵人数，0)0(x x =、0)0(y y =表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。
在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化主要有如下三个因素：1．战斗减员率，它取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；2．非战斗减员率，比方由于疾病或逃跑等因素导致一个部队减员，它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；3．增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。
由此，可以得到一般的战争模型：⎩⎨⎧+⋅--=+⋅--=)(),()()(),()(t v y y x g t y t u x y x f t x βα 而评价双方的胜负，总认定兵力先降为“零”（全部投诚或被歼灭）的一方为败。
以下分正规战和游击战来讨论。
二． 正规作战模型模型假设：1．不考虑增援，忽略非战斗减员；2．甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力立即转移到其他士兵身上。
因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是正比关系，以a 、b 分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间的杀伤力。
若以x r 、y r 分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，它们通常主要取决于部队的武器装备；以x p 、yp 分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，它们主要取决于士兵的个人素质，则有y y p r a ⋅=、x x p r b ⋅=。
16775-数学模型课件(北邮)-3 (4)
§11.3 最短路问题：在现实生活当中，有许多问题类似我们在假日旅行时，当目的地确定后，我们常常为了缩短行程或者节省开销而选择一条总路程或总开销最小的旅行路线。
1．设),(E V D 是一个赋权有向图，且其中每条有向边的边权)(e w 均为非负实数，},...,{1n v v V =。
现要求出D 中顶点1v 与任一顶点j v 的距离j d1，当+∞<j d 1时求出D 中1v 到j v 的最短路*1j P。
● 路ni i i v v v P ...10=的权：)()(11k k i i nk v v w P w -∑==;●最短路：设*P 为 i v 到jv的路满足{}的路到）中（为j i v v E V D P P w Min P w ,|)()(*=，则称*P 为 i v 到 jv 的最短路;●i v 到 j v的距离：⎪⎩⎪⎨⎧∞+=的路到若不存在的最短路到若存在j i j i j i ij v v P v v P w v v d OR d **)(),(.2．定理：设),(E V D 是一个赋权有向图，且其中每条有向边的权)(e w 均为正数，设*P 为 i v 到jv的最短路，则*P 必为一初级路，即不含圈。
证明：设K i i i v v v P ...10*=为 0i i v v = 到 Ki j v v = 的最短路，且*P 中含圈，即21,k k ∃，K k k ≤<≤210，满足21k k i i =，此时，由已知“),(E V D 是一个边权均为正数的赋权有向图，K k k k i i i i i i v v v v v v P 2212110'++=为 i v 到 j v 的路，且)()(*'P w P w <，这与假设“K i i i v v v P ...10*=为 i v 到 j v 的最短路”矛盾。
考察如下赋权有向图D：图11.3.1图11.3.1 (a)、(b)、(c)分别为D 中从顶点1v 、2v 、3v 到其它各顶点的最短路，它们分别是以1v 、2v 、3v 为根的根树（当然不包括距离为∞的顶点）。
16771-数学模型课件(北邮)-2.1
人口增长的建模人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到“地球在变小”，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义。
本节介绍几个经典的人口模型，也以此试图说明数学建模的一般步骤。
以P(t)表示时刻t 某地区（或国家）的人口数。
模型一：人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus ，1766--1834）一．模型假设1．时刻t 人口增长的速率（即单位时间人口的增长量）与当时人口数成正比，即人口的相对增长率为常数，记之为r 。
2．设人口数P(t)足够大，可以连续变量处理，且P(t)关于t 连续可微。
二．模型建立及求解：据模型假设，不难得到如下初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=0)0(P P P r dt dP 解之得 rt e P t P ⋅=0)(。
三．模型检验1．19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合。
19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战。
2．+∞=∞→rt t e P 0lim模型二：阻滞增长模型（Logistic ）一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在——或者说，模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多远。
在指数增长模型中，我们只考虑了人口数本身一个因素影响人口的增长速率，事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源，定性的分析，人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的。
一．模型假设1．地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用*/1P （这里事实上也内在地假定了地球的极限承载人口为*P ）；2．在时刻t ，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设它与当时的剩余资源量*-=P P s /1成正比；比例系数*r 表示人口的固有增长率；3．设人口数P(t)足够大，可以连续变量处理，且P(t)关于t 连续可微。
16770-数学模型课件(北邮)-2 (9)
§5.2 经济增长模型问题：大到一个国家的国民产值，小到一个企业中某种产品的生产量，其值通常取决于相关的生产资料和劳动力等重要因素。
而这些量之间究竟存在何种依赖关系，进而劳动生产率提高的条件是什么？一． 模型假设1． 生产量Q ，只取决于两个重要因素：生产资料K （厂房、设备、技术革新等）和劳动力L （数量、素质等），即),(L K f Q =；另外，这几个量又是随着时间t 的变化而不断改变的，因此也把它们视为时间t 的函数：)(t Q 、)(t K 、)(t L ，在劳动生产率增长的条件的讨论中，)(t L 服从指数增长规律，相对增长率为常数ρ，而)(t K 的增长率正比于生产量)(t Q ，即将)(t Q 按照某一固定比率σ用于生产（资料）性扩大再生产投资； 2． 劳动生产率Z 可由生产量Q 与劳动力L 之比来表征。
定性分析，),(L K f Q =关于L K ,均单调增，即0,≥∂∂∂∂L Q K Q二． 模型建立与求解1． 道格拉斯（Douglas ）生产函数在附表中美国马萨诸塞州1890~1926年生产资料指数K i 、劳动力指数L i 与总产量指数Qi 的一组统计数据，取1899年为基年，即0=t ，以此为参照，)0()()(,)0()()(,)0()()(K t K t i L t L t i Q t Q t i K L Q ===也许我们很难直接从表上发现什么，但若定义)()(ln)(t i t i t K L =ξ，)27..9()()(ln)(-==t t i t i t K Q ψ，并作}27..9|))(),({(-=t t t ψξ的散点图，发现ψξ,基本上服从正比例关系，利用数据拟合，可得ξψ733674.0=。
这一结果并非偶然，事实上它被后来更多地区或国家的统计数据所肯定：存在常数)1,0(∈γ，ξγψ⋅=。
当然常数)1,0(∈γ取值通常和相应地区或国家的经济发展阶段以及主要产业类型等因素有关。
数学建模课程教学ppt
以行星为坐标原点建立活动架标， 以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向 量分别是
er = cosθ i + sinθ j , eθ = − sinθ • i + cosθ j • 由于2r w+ r w = 0 •• 因此得出
a = ( r − rw )er
2
再将椭圆方程 两边微分两次， 两边微分两次，得
p = r(1− e cosθ )
p 1 2 2 ( r − rw ) + 3 ( r w ) = 0 r r
2 ••
b2 2πab 2 和焦参数 p = 将前面得到的结果 r w = a T •• 4π 2a3 1 2 代入， • 2 代入，即得 r − rw = − 2 T r
也就是说行星的加速度为
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通 人口模型、 范畴 流模型、经 济模型、 基因模型等 流模型、 济模型、
§1.4 数学建模与能力的培养 仅最近几年里， 仅最近几年里，我校
学生都在只参加了半 年左右的学习和实践 锻炼， ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 后，就在国际性的竞 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 调查研究阶段， 要用到观察能力、分析能力和 观察能力 赛（美国大学生数学 能力等 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 建模竞赛） 建模竞赛）中交出了 能力。 能力。 综合素质， 生的综合素质 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 非常出色的研究论文， 非常出色的研究论文， 题的本领。 题的本领。 在真正开始自己的研究之前， ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 夺得了特等奖兼 前人或别人的工作， 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 INFORMS奖 INFORMS奖2项（1999 继续而不是别人工作的重复， 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 2003年各一项 年各一项）、 年、2003年各一项）、 果用作你的假设，去探索新的奥秘。 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 22项一等奖 18项二 项一等奖、 22项一等奖、18项二 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 查到并学会我想应用的知识的本领。 我想应用的知识的本领 等奖的好成绩。 等奖的好成绩。 创新的能力。 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
北邮运筹学ch3-4 运输问题的变体
Variants of Transportation Problems
应用
【例12】（教材P93例3）
季度 1 2 3 需求量（台） 生产能力（台） 单位成本（万元） 10 15 25 25 35 30 10．8 11．1 11．0
北京邮电大学 运筹学
§3.4 运输问题的变体
Ch3 Transportation Problem
2013-9-13 Page 2 of 22
Variants of Transportation Problems
第一种方法：将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运 价表为C=（Cij）m×n，用一个较大的数M（M≥max{Cij}）去减每一 个Cij得到矩阵C/=（C′ij）m×n ，其中C/ij=M－Cij≥0,将C/作为极小化问 题的运价表，用表上用业法求出最优解，目标函数值为
2013-9-13 Page 15 of 22
Variants of Transportation Problems
1 B1
B12
1 B2
2 B2
B3 35
B4 25
ai 60 40
A1 A2 A3 A4 A5 bj 20 0 20 30 10 40 50 20 20 40 10
20
30 50 30
9 X 10 8 4 0
λ11=8,λ12=4,λ21=2,λ23=2 全 部 非 负 , 得 到 最 优 运 输 方 案 X, 最 大 利 润 Z=8×9+10×10+6×8+5×4=240
第二种方法:所有非基变量的检验数λij≤0时最优.求初始运输方案可 采用最大元素法. 如上例,用最大元素得到 的初始运输方案: 2 5 8 9 9 C 9 10 7 10 X 10 6 5 4 12 8 4 0 8 14 9 求检验数:λ11=－8,λ12=－4,λ21=－2,λ23=－2,全部非正,得到最优解运输 方案,结果与第一种方法相同. 北京邮电大学 运筹学
(推荐)《数学模型电子教案》PPT课件
)
r 2
x 2
12
x1 N
1
x2 N
2
0
平衡 P 1(N 点 1,0 )P ,： 2(0 ,N 2),
P 3N 11 (1 1 2 1),N 12 (1 1 22),P 4(0,0)
仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义
18
北方民族大学信息与计算科学系
平衡点稳 定性分析
f
甲 6.4 种群的相互依存
乙 两 种
群 1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲 的 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
相 互
依 2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 存 时相互提供食物、促进增长。
有 三
种 3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存 形 时相互提供食物、促进增长。
式
24
北方民族大学信息与计算科学系
种群依存模型的平衡点及稳定性
平衡点
p
q
稳定条件
P1(N1,0)
r1r2(21) r1r2(21) 21,121
P2N11(1121),N12(2121)
r1(11)r2(2 1) 112
r1r2(11)(2 1) 112
1 1,2 12 1
1,
P(0,0) 3
r1 r2
r1r2
不稳定
P2是甲乙相互依存而共生的平衡点
稳定性判断
系数 矩阵
A
l
k
p()0 qdeAtkl
平衡点(x0, y0)稳定的条件 p0,q0
kl
12
北方民族大学信息与计算科学系
模型的定性解释
双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件
《数学模型绪论》课件
VS
详细描述
机器学习模型通过训练和学习大量数据， 自动构建出高效的数学模型，并能够根据 新的数据自动调整和优化模型。机器学习 模型广泛应用于语音识别、图像识别、自 然语言处理、推荐系统等领域，为人工智 能的发展提供了强大的支持。
THANKS
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数学模型的应用领域
总结词
应用领域与实例
详细描述
数学模型在各个领域都有广泛的应用，如物理学、化学、生物学、工程学、经济 学、社会学等。例如，物理学中的牛顿第二定律、化学中的化学反应平衡方程、 生物学中的种群增长模型、经济学中的供需关系模型等。
为什么学习数学模型
总结词
重要性及意义
详细描述
学习数学模型对于培养人的逻辑思维、问题解决能力、创新能力和跨学科合作能力等方面具有重要意义。通过数 学模型的建立和分析，可以更好地理解和解决实际问题，推动科学技术和社会的发展。同时，数学模型也是现代 科学研究和工程设计的重要工具，对于未来的学习和职业发展具有重要的作用。
详细描述
人口预测模型基于历史人口数据，通过建立数学模型来分析人口变化的规律和趋势，从而预测未来人 口数量、年龄结构、性别比例等指标的变化。该模型可以帮助政府和企业制定相应的人口政策、社会 福利、经济发展规划等。
经济预测模型
总结词
经济预测模型是利用数学方法和统计技术来预测未来经济发 展趋势的模型。
详细描述
微分在近似计算中的应用
微分可以用于近似计算函数的值，例如泰勒级数 展开就是利用微分进行近似计算的。
ABCD
导数在物理中的应用
在物理中，导数可以用于描述速度、加速度、温 度变化率等，是解决物理问题的重要工具。
微分在优化问题中的应用
通过求函数的导数，可以找到函数的极值点，进 而解决优化问题。
数学建模方法ppt课件
微
了很大作用。
分
方
应用实例：
程 模
单种群模型(Malthus Logistic )
型
两种群模型
传染病模型（SI SIS SIR）
作战模型
商品销售模型
回归分析是研究变量间统计规律的方法，属于”黑 箱“建模中常用的方法，根据自变量的数值和变化， 估计和预测因变量的相应数值和变化。有线性回归和 非线性回归。
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)点b2击添加文本
ax1m,1x点x21 ,击添a,m加x2nx文2本0 amnxn (, )bn
点击添加文本
建模步骤：
1.建立模型：找出目标函数及相应的限定条件
2.模型的求解：可利用Lin点go击软添件加进文行本求解模型。
3.结果分析
4.灵敏度分析：改变个别相关系数观察最优解是否会
min{D( p, k), D(q, k)}
点击添加文本
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步骤4：重复步骤2和步骤3，直至满足聚类为止。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性与模 糊不确定性两类。模糊数学就是研究属于不确定性， 而又具有模糊性量的变化规律的一种数学方法。
模
点击添加文本
糊
数 学
原理关键词： 模糊集 隶属函数 模糊关系 模糊矩阵
yi 0 1xi1 2 xi2 p xip , i 1,2,, n
其中， i 是随机误差，相互独立且满足E(i ) 0, var(i ) 2
一般非线性模型的形式： 其中， f 是一般的非线性函数， 是 p维参数向量， 是一随机 误差变量，E( ) 0, var( ) 2
，把 Gp 和 Gq 合并
步骤3：计算新类与其他类的距离 点击添加文本
D(r, k) min{d (r, k) r Gr , k Gk , k r} min{d ( j, k) j Gp Gq , k Gk , k j}
16748-数学模型课件(北邮)-1 (13)
第九章 图论方法建模§9.1 图论课程简介一． 基本概念1. 哥尼斯堡七桥问题：居民从某处出发，试图发现这样的路线，经过所有的桥，且对每一座桥只经过一次，并最终回到原处。
有人请教了当时的大数学家欧拉，欧拉将之转化为如下的一副“图”，仅包含“点”、“线”的一类拓扑结构：2. 图：称由若干个点 {}n v v v V ,,21= 以及以这些点为端点的若干条边{}m e e e E ,,21= 形成的一种拓扑结构为图。
记之为),,(ψE V G ，其中{}n v v v V ,,21=为顶点集，{}m e e e E ,,21=为边集，VV E ⨯→:ψ为边集到“顶点集与顶点集自身的笛卡儿积集”上的一个映射，称之为关联关系。
简记为),(E V G边与顶点的关系有如下几种典型情况：3.简单图：无自回环，无重边的图。
无向图：边没有指向，2121},{)(iiiiivvvve==ψ.此时称边ie与顶点1iv、2iv关联，称顶点1i v与顶点2i v邻接。
有向图：边有指向，2121),()(iiiiivvvve==ψ顶点的度：与一个顶点关联的边的个数；若是有向图，则分为顶点的出度和入度。
（以上，左图为一无向图，右图为一有向图，它们均为简单图；七桥问题对应的图为一无向图，但由于存在重边，故不是简单图）4.图),(EVG的关联矩阵m nijrR⨯=)(，若),(EVG为无向图，⎪⎩⎪⎨⎧=为自回环关联，与非自回环关联，与不关联与jjijjijiijeeveevevr21；若),(EVG为有向图，⎪⎩⎪⎨⎧=的终点是的起点是不关联与jijijiijevevevr215.图),(EVG的邻接矩阵n nijaA⨯=)(，若),(EVG为无向图，的边数，若不邻接，取到从jiijvva=；若),(EVG为有向图，的有向边数，若无，取到从jiijvva=。
例如⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111111111111R、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111111111111A，分别为下图的关联矩阵和邻接矩阵。
16769-数学模型课件(北邮)-2 (8)
§4.2 允许缺货的确定性贮存模型我们经常遇到这样的情形：当我们到一家商店中购买一件物品时，被店员告知该物品缺货——在本节我们讨论一个允许缺货的确定性贮存模型，和前面介绍的不允许缺货的确定性贮存模型相比，容易发现当一家商店由于缺货而支走顾客而失去销售机会，从而使利润减少；减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，因此在建模时引入“缺货费”。
一． 模型假设：1．假设商店经营的商品单一，顾客对该物品的需求量在时间上保持恒定，即在任何时刻，单位时间（每天）对物品的需求量恒为r （吨）；2．商店采用周期进货策略：每隔时间T （天）进货Q （吨）；且假设每次进货是在存货全部售出之后进行，允许缺货，即T r Q ⋅≤；3．每次进货需支付订货费（等一次性费用）1c ，在正常期间，还需支付货物的贮存费用，单位时间（天）单位（吨）货物需支付货物的贮存费用2c ；在缺货期间需对由于错失销售机会而承担损失，每天单位时间（天）单位（吨）货物需支付缺货费3c ；4．以)(t q 表示在时刻t 该货物的存量，当0)(<t q 时表示缺货量；二． 模型建立根据假设，不难得到如下最优化问题：{}T t tr Q t q t s Tdt t q c dt t q c c C Min Tr Q r Q ≤≤⋅-=⋅⋅-⋅⋅+=⎰⎰0)(../)()(/3/021 可以进一步化简，得02)(223221>-⋅+⋅+=T rTQ rT c rT Q c T c C Min，即本模型有两个独立的决策变量T 、Q ，其中目标函数C 表示在进货周期为T 、进货量为Q 时，商店在单位时间（每天）承担的平均费用，为T 、Q 的一个二元函数。
三． 模型求解 令⎩⎨⎧==∂∂∂∂00QC T C ，解之可得最优的进货周期332212c c c rc c T +⋅=，进而得每次的进货量323212c c c c rc Q +⋅=。
四． 点评将本模型的解和前面一节不允许缺货的模型的解进行比较，发现进货周期变长，而一次进货量却有所减少，即确实存在一段时间，商店是处在缺货状态下的。
数学模型思想PPT教学课件
数学建模 活动
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建立数学模型的一般步骤
把数学模型应用 于原型，得出实 际原型问题的解， 或得到检验，基 本符合原型问题 分析 模型 数学计 的数学模型就是 算 对数学模型进行 原型 检验 对原型问题合理 一个成功的模型 数学推导和计算， 简化，取主舍次， 得出数学结果。 以便进行数学描 述，用数学的语 言和符号表示各 数学抽 种关系。 象 确定量 的关系 确定能反映所要研究问题 的基本量和关系，分辨量 与量之间的关系的主次之 分。必要时，可作一些假 30 设。
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随机性数学模型：这类模型的实际对象具有随机性， 数学模型的表示工具是概率论、数理统计及随机过程 等。
例如：在一定的条件下，一只鸡蛋可以孵化出一 只小鸡，小鸡是雄是雌却具有随机性，它也受一 种自然规律的支配。
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模糊性数学模型：这类模型所对应的实体对象及其关 系均具有模糊性，数学模型的基本表示工具是模糊几 何理论及模糊逻辑等。 例如：“远大于10的自然数”。
原型
模型是指人们为一定的目
的对原型的某一部分信息
模型
加以简略和提炼而构建出 来的这个原型的某个代替 物。例如，城市交通图是 城市的一个模型．
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模型的分类
模型分类
物质模型 （形象模型）
理想模型 （抽象模型）
直观模型
物理模型
思维模型
符号模型
数学模型
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数学模型：是针对或参照某种事物系统的特征或数量 相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表 达出来的一种数学结构。 从广义上讲
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每个建模单元四个环节构成
选题
开题
做题
结题
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在中学数学中的体现——课程
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在中学数学中体现——追求的境界
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§4.4 随机贮存模型——),(S s 策略
由于顾客对一种商品的需求是随机的，因此在实际生活中，还有一种进货策略——),(S s 策略被广为采用：商店老板每个一定时间要对商品的存货进行清点，只有当存货数量不足s 时才决定进货，且一次进货的订货量取S 与当前存货数量的差值。
一． 模型假设
1．假设商店经营的商品单一，商店采用周期进货策略：每隔一定时间，比方一
周，商店老板要对商品的存货进行清点，以决定是否进货。
只有当存货数量q 不足s 时才决定进货，且一次进货的订货量取S 与当前存货数量的差值，x 表示进货量；
2．顾客在一周时间内对该物品的需求量r 是一随机变量，)(r ρ表示随机变量r
的概率密度函数；
3．商店在一周可能支付的费用有：每次的订货费0c ，其取值与进货数量无关；
每件商品在一周的贮存费1c 。
a 、b 分别表示一件商品的购进价格和售出价格；
4．商店在一周的销售活动全部集中在一周的周初，因此商店须为剩余商品支付
一周的贮存费用；
二． 模型建立
首先考虑S 的确定，设当前存货数量q ，且决定进货，这时进货数量x 成为决策变量。
和报童卖报一样，x 的取值应当在期望值的意义上使得利润最大化。
⎩
⎨⎧+>-+⋅-+≤-+⋅+-⋅-=q x r IF c q x a b q x r IF r q x c c r a b r x f )()( )]([)(),(010 为进货数量取x ，而需求量为r 时商店在下周的利润。
取其数学期望，得：
⎰⎰
⎰∞++++∞
-+-+-++--=⋅⋅=q x q x dr r c q x a b dr r r q x c c r a b dr r r x f x f )(]))([()()]}([){( )(),()(00100
ρρρ 若记⎰⎰+∞⋅-+---=u u dr r u a b dr r r u c r a b u L )()()()]()[()(01ρρ，则
0)()(c q x L x f -+=。
三． 模型求解 令0=dx
f d ，得最优性条件：⎰⎰+∞++⋅-=⋅q x q x dr r a b dr r c )()()(01ρρ ，其经济意义和对报童购报的诀窍导出的最优性条件的解释是类似的，不在赘述。
我们也直接从最优性条件获得，不论当前存货数量q 取何值，只要决定进货，那么最优的订货量总是使得下期起初的货物量q x +达到确定的值：)()(10a b c a b dr r q x -+-=⎰+ρ ，即S 应满足)
()(10a b c a b dr r S -+-=⎰ρ。
按照前面的进货策略，根据当前存货数量q ，要么选择进货q S x -=，这时
下周销售利润的期望0)(c S L f -=；要么选择不进货，这时下周销售利润的期望)(q L f =。
显然，若)()(0q L c S L <-时，应当选择不进货。
如图所示，函数)(q L 在),0[+∞上通常为一单峰曲线，可得})()(|0{0c S L q L q Min s -≥>=，也即关于变量q 方程)()(0q L c S L =-在),0(S 内的解。
四． 点评
在本章涉及的四个贮存模型均被归结为最优化问题，或成本最小化，或利润最大化，这并非偶然，因为人类所从事的一切生产或社会活动均是有目的的，其行为总是在特定的价值观念或审美取向的支配下进行的，因此，当可行方案不唯一的前提下，总是在某中评价指标下选择最优的方案。
可以说，最优化思想和方法是数学建模的灵魂。
另外，在两个随机性模型分析中，目标函数选择利润函数，其避免了在“允许缺货的贮存模型”讨论中的许多含糊的地方。