人教版高中数学必修四和必修五知识点归纳
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教学重点： 正弦、余弦、正切线的概念。 同角三角函数的基本关系式
教学难点： 正弦、余弦、正切线的利用。 三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用
难点突破
1、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P的坐标是(x,y),
它与原点的距离是r(r= x2 +y2 >0),则sin = y , cos = x , tan = y (x 0)
终边相同的角有无数个，它们之间相差360o的整数倍。 2、象限角和轴线角：在平面直角坐标系中，若角的顶点 与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，此时，
角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角
的终边与坐标轴重合，就说这个角不属于任何象限，称之
为轴线角或象限界角。
例：已知角是第三象限角，则 是第几象限角。
2、由y=Asin (x+)(A>0,>0)的一段图像求这个函数的解析式，结果往往不统一，
要具体问题具体分析，由周期T求，确定时，若能求出距离远点最近的右侧图像上
升（பைடு நூலகம்下降）的零点的横坐标x 0
,令
x
0
+
=0（或
x
0
+
=），即可求出，也可以用
最高点或者最低点的坐标来求，如果对有范围要求，则可用诱导公式转化。
向量.
教学难点： 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
难点突破
1、向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较 大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小。
2、由向量的定义可知，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的， 因此用有向线段表示向量时，可以任意选取起点，所以任意一组平行向量都可以 平移到一条直线上。
uuur uuur uuur 3、减法公式 AB AC CB常用语向量式的化简。
4、向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向中点”，
向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”
向量加法的平行四边形法则的要素是“起点重合”
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
5、A、B、P三点共线 AP AB( 0) OP (1 t )OA tOB
3、一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT(n z)也是函数f(x)的周期。 4、判断三角函数的奇偶性首先要看定义域是否关于原点对称，
若满足，再看f(x)与f(-x)的关系，常见的奇函数有y=Asinx或 y=Atan x,偶函数有y =A cos x+b.
5、三角函数的定义域是研究三角函数一切性质的前提，求三角函数的 定义域其实就是解最简单的三角不等式（组），可利用图像求解，通
教学难点： 理解向量加法、减法、数乘的定义.
难点突破
1、线段中点的向量表示：若M是线段AB的中点，O 是平面内任一点，
uuuur 则OM
1
uuur (OA
uuur OB)
2
2、向量加法的多边形法 uuu则 r ：有uu限uu个 r 向量uuau1u,ar 2 ,a3 -----anu相 uuu加 uur，可以从 点O出发，逐一uu做 ur 向uu量 uurOA1 au1u,uAu1uAur2 uuauu2r, A2 A3 a3 ,----- An1 An an ,则 a1 +a2 +---+an =OA1 + A1 A2 +----+ An-1 An =OAn 当An与O重合时，和向量为零向量。
r
r
x
如、若的终边上有一点P(-4，a),sin cos = 3 ,则a的值是（ ）
4 2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正。
如：sin -cos >1,则角在第（ ）象限。
3、已知角的一个三角函数值，求其他三角函数值时，如果应用平方关系
3、共线向量的方向可以相反也可以相同，但是共向向量的方向只能是相同的。
2.2向量的线性运算及其几何意义
教学目标： 掌握向量的加法、减法、数乘运算，并理解其几何意义； 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量线性运算的交换律和结
合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点： 会用向量的运算法则作两个向量的线性运算.
57.30o
1.2任意角的三角函数
教学目的： 1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值； 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 4、能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联
系； 5.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
y
例.由右图所示函数图象，求
2
y Asin(x )(| | )的表达式.
1 o
3 7
88
x
8
2
3、y=Asin (x+)(A>0,>0)的单调性的讨论的基本方法是将x+作为一个整体来处理，带入
正弦函数的增区间或者减区间，求出的区间即为y=Asin (x+)(A>0,>0)的增区间或者减区间，
教学重点 处理三种变换的综合应用时的图象信息．
教学难点 处理三种变换的综合应用时的图象信息．
难点突破
1、函数y=Asin (x+)(A>0,>0)的图像在作图时，就是通过变量代换，设z=x+,
令z分别取0、 、、3 、2 来求相应的x，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图像。
2
2
常要考虑周期的影响，如sin x> 1 的解集是（2k + ,2k + 5 ）,k Z
2
6
6
6、并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如函数f(x)=c(c为常数)
就没有最小正周期。
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
教学目标 （1）了解三种变换的有关概念； （2）能进行三种变换综合应用； （3）掌握y=Asin(ωx+φ)+h的图像信息．
-6 -5
-4 -3
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
4 5
6 x
y y=cosx
1
-6 -5 -4 -3 -2
- -1
2
3
4
5
6 x
Y=tanx
3 2
2
0 2
3 x
2
2、根据三角函数图像总结它们的定义域、值域、奇偶性、最值、单调性、对称 轴、对称中心、最小正周期等性质。
一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离
开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是
s 3sin
g l
t
6
, t
[0,)
，
（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好
是1秒，线的长度l应当是多少？
(其中O为平面内任一点，t R)
如：设a或b是两个不共线向量，且向量a + b与-（b-2a）共线，则
=（ ）
2.3平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的： （1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握 应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
解： （1）
g T 2 2
l
l,f 1 g 2
g l
（2） 若T 1，即l g 24.8cm
4 2
第二章 平面向量
实际背景 向量
向量及其基本概念
线性运算 基本定理
向量的数量积
坐标表示 向量的应用
2.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示
教学目标： 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、
零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、 相等向量和共线向量.
通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的 能力.
教学重点： 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示
教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．
教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． “角度制”与“弧度制”的区别与联系
难点突破
1、终边相同的角的集合：S ={ | =k • 360o+ ,k Z},
相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，
函数模型.
教学重点 根据数据得到函数模型
教学难点 总结三角函数模型应用基本步骤
难点突破
三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中 有着广泛的应用，如交流电问题、缆车的高度问题等，对于
三角函数模型，如y=Asin (x+)(A>0,>0)等类型的问题，
通常的办法是先从给定的图标中设法求出相应的参数，再利 用函数式解决有关问题。
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 正、余弦函数的周期性
教学难点：作余弦函数的图象。 正、余弦函数周期性的理解与应用
难点突破
1、通过几何法（单位圆）引导学生画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，根据作 图过程总结出画三角函数图像的五点法，但要指出在精确度要求不高时，才会经常采用 五点法作图辅助解题。
5
4cos( 3 )
1.4正弦、余弦函数的图象
教学目的：
（（（123）））利根用用据“单五位点cos圆法x 中”si的作n(x三出 角正2 )函弦数 函关线 数系作 、，出 余作弦的出函图数象y的，简c明o图s确x，,图x 并象R利的用形的图状图象；象解；决一些有
关问题； （4）要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
2 3、角的集合的表示方法不是唯一的，如，终边在Y轴负半轴
上的角的集合可以表示为{x|x=k • 360o-90o,k Z}，也可以表示 为{x|x=k • 360o+270o,k Z}
4、角度与弧度的互化
1o = rad 0.01745rad,
180
1rad
=
180
o
教学难点 运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
难点突破
1、六个诱导公式可以利用口诀简化记忆“奇变偶不变，符号看象限”
sin(180 ) sin cos(180 ) cos
tan(180 ) tan
sin( ) cos
但是当A 0，<0时，需要先用诱导公式将函数y=Asin (x+)变形为y=-Asin (-x-)，
则y=Asin (-x-)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间。
1.6三角函数模型的简单应用
教学目的 1.掌握三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到
2
cos( ) sin
2
2、三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了.
如：求下列函数值：
(1) cos 65 , (2) sin( 31 ), (3) sin 670, (4) tan 580.
6
4
如、已知 sin( ) 4 ,且sin cos 0,求 2sin( ) 3tan(3 )的值.
高中数学必修四知识点 张趁
任意角与弧度制； 单位圆
第一章 三角函数
任意角的 三角函数
三角函数线；
三角函数的图 像和性质
三角函数模
型的简单应 用
同角三角函数的 基本关系式
诱导公式
1.1任意角与弧度制
教学目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握 区间角的集合的书写． 理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系； 熟记特殊角的弧度数
求三角函数值，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再进 一步确定三角函数值的符号。
如：已知是第二象限角，tan =- 1 ,则cos =( )
2
1．3诱导公式
教学目标 ⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力．
教学重点 掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾 驭公式．
教学难点： 正弦、余弦、正切线的利用。 三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用
难点突破
1、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P的坐标是(x,y),
它与原点的距离是r(r= x2 +y2 >0),则sin = y , cos = x , tan = y (x 0)
终边相同的角有无数个，它们之间相差360o的整数倍。 2、象限角和轴线角：在平面直角坐标系中，若角的顶点 与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，此时，
角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角
的终边与坐标轴重合，就说这个角不属于任何象限，称之
为轴线角或象限界角。
例：已知角是第三象限角，则 是第几象限角。
2、由y=Asin (x+)(A>0,>0)的一段图像求这个函数的解析式，结果往往不统一，
要具体问题具体分析，由周期T求，确定时，若能求出距离远点最近的右侧图像上
升（பைடு நூலகம்下降）的零点的横坐标x 0
,令
x
0
+
=0（或
x
0
+
=），即可求出，也可以用
最高点或者最低点的坐标来求，如果对有范围要求，则可用诱导公式转化。
向量.
教学难点： 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
难点突破
1、向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较 大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小。
2、由向量的定义可知，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的， 因此用有向线段表示向量时，可以任意选取起点，所以任意一组平行向量都可以 平移到一条直线上。
uuur uuur uuur 3、减法公式 AB AC CB常用语向量式的化简。
4、向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向中点”，
向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”
向量加法的平行四边形法则的要素是“起点重合”
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
5、A、B、P三点共线 AP AB( 0) OP (1 t )OA tOB
3、一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT(n z)也是函数f(x)的周期。 4、判断三角函数的奇偶性首先要看定义域是否关于原点对称，
若满足，再看f(x)与f(-x)的关系，常见的奇函数有y=Asinx或 y=Atan x,偶函数有y =A cos x+b.
5、三角函数的定义域是研究三角函数一切性质的前提，求三角函数的 定义域其实就是解最简单的三角不等式（组），可利用图像求解，通
教学难点： 理解向量加法、减法、数乘的定义.
难点突破
1、线段中点的向量表示：若M是线段AB的中点，O 是平面内任一点，
uuuur 则OM
1
uuur (OA
uuur OB)
2
2、向量加法的多边形法 uuu则 r ：有uu限uu个 r 向量uuau1u,ar 2 ,a3 -----anu相 uuu加 uur，可以从 点O出发，逐一uu做 ur 向uu量 uurOA1 au1u,uAu1uAur2 uuauu2r, A2 A3 a3 ,----- An1 An an ,则 a1 +a2 +---+an =OA1 + A1 A2 +----+ An-1 An =OAn 当An与O重合时，和向量为零向量。
r
r
x
如、若的终边上有一点P(-4，a),sin cos = 3 ,则a的值是（ ）
4 2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正。
如：sin -cos >1,则角在第（ ）象限。
3、已知角的一个三角函数值，求其他三角函数值时，如果应用平方关系
3、共线向量的方向可以相反也可以相同，但是共向向量的方向只能是相同的。
2.2向量的线性运算及其几何意义
教学目标： 掌握向量的加法、减法、数乘运算，并理解其几何意义； 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量线性运算的交换律和结
合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点： 会用向量的运算法则作两个向量的线性运算.
57.30o
1.2任意角的三角函数
教学目的： 1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值； 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 4、能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联
系； 5.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
y
例.由右图所示函数图象，求
2
y Asin(x )(| | )的表达式.
1 o
3 7
88
x
8
2
3、y=Asin (x+)(A>0,>0)的单调性的讨论的基本方法是将x+作为一个整体来处理，带入
正弦函数的增区间或者减区间，求出的区间即为y=Asin (x+)(A>0,>0)的增区间或者减区间，
教学重点 处理三种变换的综合应用时的图象信息．
教学难点 处理三种变换的综合应用时的图象信息．
难点突破
1、函数y=Asin (x+)(A>0,>0)的图像在作图时，就是通过变量代换，设z=x+,
令z分别取0、 、、3 、2 来求相应的x，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图像。
2
2
常要考虑周期的影响，如sin x> 1 的解集是（2k + ,2k + 5 ）,k Z
2
6
6
6、并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如函数f(x)=c(c为常数)
就没有最小正周期。
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
教学目标 （1）了解三种变换的有关概念； （2）能进行三种变换综合应用； （3）掌握y=Asin(ωx+φ)+h的图像信息．
-6 -5
-4 -3
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
4 5
6 x
y y=cosx
1
-6 -5 -4 -3 -2
- -1
2
3
4
5
6 x
Y=tanx
3 2
2
0 2
3 x
2
2、根据三角函数图像总结它们的定义域、值域、奇偶性、最值、单调性、对称 轴、对称中心、最小正周期等性质。
一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离
开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是
s 3sin
g l
t
6
, t
[0,)
，
（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好
是1秒，线的长度l应当是多少？
(其中O为平面内任一点，t R)
如：设a或b是两个不共线向量，且向量a + b与-（b-2a）共线，则
=（ ）
2.3平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的： （1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握 应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
解： （1）
g T 2 2
l
l,f 1 g 2
g l
（2） 若T 1，即l g 24.8cm
4 2
第二章 平面向量
实际背景 向量
向量及其基本概念
线性运算 基本定理
向量的数量积
坐标表示 向量的应用
2.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示
教学目标： 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、
零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、 相等向量和共线向量.
通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的 能力.
教学重点： 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示
教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．
教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． “角度制”与“弧度制”的区别与联系
难点突破
1、终边相同的角的集合：S ={ | =k • 360o+ ,k Z},
相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，
函数模型.
教学重点 根据数据得到函数模型
教学难点 总结三角函数模型应用基本步骤
难点突破
三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中 有着广泛的应用，如交流电问题、缆车的高度问题等，对于
三角函数模型，如y=Asin (x+)(A>0,>0)等类型的问题，
通常的办法是先从给定的图标中设法求出相应的参数，再利 用函数式解决有关问题。
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 正、余弦函数的周期性
教学难点：作余弦函数的图象。 正、余弦函数周期性的理解与应用
难点突破
1、通过几何法（单位圆）引导学生画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，根据作 图过程总结出画三角函数图像的五点法，但要指出在精确度要求不高时，才会经常采用 五点法作图辅助解题。
5
4cos( 3 )
1.4正弦、余弦函数的图象
教学目的：
（（（123）））利根用用据“单五位点cos圆法x 中”si的作n(x三出 角正2 )函弦数 函关线 数系作 、，出 余作弦的出函图数象y的，简c明o图s确x，,图x 并象R利的用形的图状图象；象解；决一些有
关问题； （4）要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
2 3、角的集合的表示方法不是唯一的，如，终边在Y轴负半轴
上的角的集合可以表示为{x|x=k • 360o-90o,k Z}，也可以表示 为{x|x=k • 360o+270o,k Z}
4、角度与弧度的互化
1o = rad 0.01745rad,
180
1rad
=
180
o
教学难点 运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
难点突破
1、六个诱导公式可以利用口诀简化记忆“奇变偶不变，符号看象限”
sin(180 ) sin cos(180 ) cos
tan(180 ) tan
sin( ) cos
但是当A 0，<0时，需要先用诱导公式将函数y=Asin (x+)变形为y=-Asin (-x-)，
则y=Asin (-x-)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间。
1.6三角函数模型的简单应用
教学目的 1.掌握三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到
2
cos( ) sin
2
2、三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了.
如：求下列函数值：
(1) cos 65 , (2) sin( 31 ), (3) sin 670, (4) tan 580.
6
4
如、已知 sin( ) 4 ,且sin cos 0,求 2sin( ) 3tan(3 )的值.
高中数学必修四知识点 张趁
任意角与弧度制； 单位圆
第一章 三角函数
任意角的 三角函数
三角函数线；
三角函数的图 像和性质
三角函数模
型的简单应 用
同角三角函数的 基本关系式
诱导公式
1.1任意角与弧度制
教学目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握 区间角的集合的书写． 理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系； 熟记特殊角的弧度数
求三角函数值，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再进 一步确定三角函数值的符号。
如：已知是第二象限角，tan =- 1 ,则cos =( )
2
1．3诱导公式
教学目标 ⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力．
教学重点 掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾 驭公式．