圆的切点弦方程

合集下载

切点弦方程长度最值

切点弦方程长度最值

切点弦方程长度最值
标题:切点弦方程的最值
切点弦方程长度最值,是一个有趣而有挑战的问题。

我们从人类的视角出发,通过直观的描述和丰富的词汇,来解决这个问题。

假设我们有一个圆,它的半径为r。

我们想要找到一个切点P,以及通过P点的弦AB,使得弦AB的长度最大或最小。

让我们来讨论如何找到弦AB的最大长度。

我们可以观察到,当弦AB与半径的夹角θ为90°时,弦的长度是最大的。

当然,这个结论是直观的,因为当夹角为90°时,弦实际上就是直径,而直径是圆的最长线段。

那么,如何找到与半径夹角为90°的弦呢?我们知道,圆的切线与半径垂直。

所以,我们只需要找到与半径垂直的切线,然后通过切点构造弦。

这样,我们就找到了使弦长度最大的情况。

接下来,让我们看看如何找到弦AB的最小长度。

我们可以观察到,当弦AB与半径的夹角θ为0°或180°时,弦的长度是最小的。

当夹角为0°时,弦实际上就是切线,而切线是圆的最短线段。

所以,我们只需要找到与半径平行的切线,然后通过切点构造弦。

这样,我们就找到了使弦长度最小的情况。

我们通过人类的视角,用直观的描述和丰富的词汇解决了切点弦方
程长度最值的问题。

我们通过观察和推理,找到了使弦长度最大和最小的情况。

这样,我们就可以在给定圆的半径的情况下,求解出切点弦方程的最值。

希望通过这样的描述,读者能够更好地理解切点弦方程长度最值的问题,并由此产生更多的思考和探索。

让我们一起以人类的视角,探索数学中的美妙世界吧!。

(整理版)求切点弦所在直线方程的多种方法

(整理版)求切点弦所在直线方程的多种方法

求切点弦所在直线方程的多种方法在学习平面解析几何“直线与圆的方程〞一章时,我们会遇到求切点弦所在直线方程的问题,这类问题涉及到的知识点比拟多,让初学者感到费解,本文将从不同的角度来探讨它的求法。

1:圆O :x y r 222+=上一点M 〔x y 11,〕,那么以点M 为切点的圆的切线方程为x x y y r 112+=。

2:两相交圆O 1:x y D x E y F D E F 2211112121040++++=+->(),圆O x y D x E y D E F 2222222222040:+++=+->(),那么两圆的公共弦所在的直线方程为()()D D x E E y F F 2121210-+-+-=例:点P 〔x y 00,〕为圆O :x y r 222+=外一点,过点P 作圆的切线PM PM 12、,其中M M 12、为切点,求切点弦M M 12所在的直线方程。

解法1:由题意知PM OM PM OM 1122⊥⊥,所以,O 、M 1、P 、M 2四点共圆O ',且OP 为此圆的直径,即圆O ':()()()x x y y x y -+-=+020*********即x y x x y y 22000+--=又M M 12为圆O 、圆O '2知,切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

解法2:设M x y M x y 111222(,),(,)1得,PM 1方程为x x yy r PM 1122+=,方程为x x y y r 222+=。

由P PM P PM ∈∈12,,可得x x y y r x x y y r 1010220202+=+=⎧⎨⎪⎩⎪, ∴M x y M x y 111222(,),(,)两点坐标都满足关于x y ,的二元一次方程x x y y r 002+=,而过M M 12、两点的直线有且只有一条,因此,切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

圆的切线方程与切点弦方程关系探究

圆的切线方程与切点弦方程关系探究

圆的切线方程与切点弦方程关系探究作者:杨福海来源:《黑河教育》2015年第10期解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题,是数形结合思想的重要应用。

直线与圆的位置关系的判定中有几何法和代数法之分,几何法是通过圆心到直线的距离与圆的半径比大小,代数法是联立直线与圆的方程,通过方程组解的个数来判断直线与圆的位置关系。

通常情况下我们不探讨这两种方法之间的联系,特别是在学习直线与圆的位置关系时我们并不强调位置发生变化时直线方程之间有什么联系。

在课前预习时,学生遇到一道作业题,从中发现一个有趣的结论,却找不出所涉及知识的内在联系。

我也咨询了不少老师,但没有得到满意的答案,因此我尝试从另一个角度进行探讨。

作业题:已知圆C的方程为x2+y2=16 ,点P在直线X=8上,过p点引圆C的两条切线PA,PB,切点为A,B,求证:直线AB 恒过定点。

学生的解法:∵PA,PB是圆C的两条切线,∵OA⊥AP,OB⊥BP。

∵A,B在以OP 为直径的圆上。

设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点Q坐标为4,。

∴以OP 为直径的圆Q方程为(x-4)2+y-2=42+2,b∈R。

化简得:x2+y2-8x-by=0,b∈R。

∵AB为圆Q和圆C的公共弦,∴直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,所以直线AB恒过定点(2,0)。

这个解法是我们平时教学中常用的方法,但是有个别学生发现了直线AB的方程8x+by=16,b∈R与过圆x2+y2=16上一点(x0,y0)的切线方程x0x+y0y=16完全雷同,于是提出了疑问:为什么定点P在圆上时过点P(x0,y0)切线方程与定点P在圆外时过点p(x0,y0)引圆的切线方程(切点为A,B,直线AB )完全一样?在这里一条是切线一条是割线啊!为了解决这个问题,我们首先要了解,如果设P(x0,y0)为圆外一点,过P点引圆x2+y2=r2的两条切线PA,PB ,切点为A,B,则直线AB的方程称为切点弦方程。

巧用切点弦方程,妙解高考解几题——兼谈圆的切点弦方程的推导及应用

巧用切点弦方程,妙解高考解几题——兼谈圆的切点弦方程的推导及应用

+告一1 的焦点在工 轴上, 过点(, 作圆z+ 。 1专) 。
一1的切线 , 切点分别为 A, 直线 AB恰好 经过 椭 B, 圆 的右焦点和上顶点 , 则椭圆方程是— — 。 解: 由已知条件 知 , 切点弦 AB所在 直线方程 为
+ y 1 一 。
由平 几 知识 得 直 线 AB 与 直线 MQ 的交 点 为 线
( —z ) 0 + ( 一 ) O 即 + 一z z = , 。 ~ o O — ,
一T .

垒 : ±
: :
则直线 A B就是 圆- + 一 — 一0 圆 z o o 与 z + : 的公 共 弦 所 在 直 线 , 其 方 程 为 ( 。 y ~ r) ( + y 一 z z— a+ 2一 T 0 Y ) O 即 3 z o 0 , 5 +y 一 。 " 0 推 论 : 知 M ( 0y ) 圆 C:( & + 已 z ,0 为 一 ) ( 一6 一r 外一点 , M 引 圆 C 切线 , 点分 别 ) 2 过 切 为 A, 则 直 线 A 方 程 为 ( 一n ( —a B, B ) z )+

备 方 考 略
巧用切点弦方程。 妙解高考解几题
兼 谈 圆的切 点 弦 方程 的推 导及 应 用
■ 刘 长盛
2 1 年江西省高考数 学理科第 1 题 ( 01 4 填空题 ) 如利用 圆的切点 弦方程求 解 , 将大 大简化 问题 求解 的难度 , 提高学生解题 的准 确率 。本 文拟 探讨 圆 的 切点弦方程 中的推 导过 程 、 法及其 在快 速处 理这 方 类数学 问题 的应 用 。 圆的切点弦方程 的推导 定理 : 已知点 M( 0 Y ) 圆 0: 。 x ,o为 z + 一 外 点 , M 引 圆 0 的 切 线 , 点 分 别 为 A, 则 直 过 切 B, 线 AB 的方 程 为 0 +Y 一 。 o 证法 一 : A, 的 坐标 分 别 为 ( , ) ( , 设 B , 。 )则经 过 (2, , z z 的 圆 的切 线 分 别 为 , 2 . Y)( , ) l +y. 1, 与 3 +y 一 , ) 一 2 * 2 2 并且它们相交 于点

第七章 第5节 圆的切线、切点弦结论-解析版

第七章  第5节  圆的切线、切点弦结论-解析版

第5节 圆的切线、切点弦结论知识与方法1求过圆()()222:C x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下: (1)先验证经过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆C 相切,若是,如图1所示,所求切线为0x x =,问题求解完毕;若否,则进行下一步;(2)设切线斜率为k ,如图2所示,由PC ⊥切线,求出k ,用点斜式写出切线的方程,问题求解完毕.上述问题的结论:圆C 上点P 处的切线的方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=.2求过圆()()222:C x a y b r -+-=外一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下: (1)先验证过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆相切,若是,如图3所示,其中一条切线为0x x =(2)设切线的斜率为k ,用点斜式写出切线的方程,由圆心到切线的距离d r =,解出k ,求得切线方程.3.过圆()()222:C x a y b r -+-=外一点()00,P x y 作圆C 的两条切线,切点分别为A 和B ,如图4所示,则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=典型例题【例l 】圆()22:14C x y -+=在点(3P 处的切线方程为______.【解析】显然点P 在圆C 上,故所求切线的方程为()()01134x --+=,化简得:330x -+=.【答案】330x -+=变式1 圆22:230C x y x +--=在点()2,3P -处的切线方程为______. 【解析】易验证点P 在圆C 上,故所求切线的方程为2232302xx +-⋅-=,化简得:350x --=【反思】过圆C 上的点()00,P x y 作圆C 的切线,则切线的方程可以在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ,将2y 换成0y y ,将x 换成02x x +,将y 换成02y y+得到. 【答案】350x --=变式2 已知圆()22:14C x y -+=,则:(1)圆C 的过点()2,0P -的切线方程为_______;(2)圆C 的过点()3,1Q 的切线方程为_______ 【解析】(1)显然过点P 且斜率不存在的直线2x =-与圆C 不相切, 故可设切线的方程为()2y k x =+, 即20kx y k -+=2221k k k +=+,解得:25k =,故圆C 的过点P 的切线方程为)252y x =+; (2)易得过点Q 且斜率不存在的直线3x =与圆C 相切,设另一条切线的方程为()13y m x -=-,即130mx y m -+-=21321m m m +-=+,解得:34m =-,所以该切线的方程为()3134y x -=--,化简得:34130x y +-=,综上所述,圆C 的过点Q 的切线方程为3x =或34130x y +-=. 【答案】(1))252y x =+;(2)3x =或34130x y +-= 【例2】已知圆22:4O x y +=外一点()2,3P ,过点P 作圆C 的两条切线,切点分别为A 和B ,则直线AB 的方程为_______【解析】由题意,切点弦AB 所在直线的方程为234x y +=,即2340x y +-= 【答案】2340x y +-=变式1 已知圆22:2410C x y x y +--+=外一点()2,1P -,过点P 作圆C 的两条切线,切点分别为A 和B ,则直线AB 的方程为______.【解析】由题意,切点弦AB 所在直线的方程为212241022x yx y -++-+-⋅-⋅+= 化简得:310x y +-=【反思】过圆C 外的点()00,P x y 作圆C 的两条切线,则切点弦所在直线的方程,可在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ,将2y 换成0y y ,将x 换成02x x +,将y 换成02y y +得到.【答案】310x y +-=变式2 已知圆22:4Q x y +=,P 为直线:4l y x =+上一点,过点P 作圆O 的两条切线,切点分别为A 和B ,若四边形PAOB 的面积为12,则直线AB 的方程为______. 【解析】如图,2224AP PO AO PO =-=-所以四边形PAOB 的面积212242S AP AO PO =⨯⋅=- 由题意,22412PO -=,解得:210PO =由题意,点P 在直线:4l y x =+上,故可设(),4P m m +, 则()224PO m m =++()224210m m ++,解得:6m =-或2,当6m =-时,()6,2P --,此时直线AB 的方程为624x y --=,化简得:320x y ++= 当2m =时,()2,6P ,此时直线AB 的方程为264x y +=,化简得:320x y +-=, 所以直线AB 的方程为320x y ++=或320x y +-=【答案】320x y ++=或320x y +-=变式3 已知圆22:4O x y +=,P 为直线:260l x y ++=上一点,过点P 作圆C 的两条切线,切点分别为A 和B ,当四边形PACB 的面积最小时,则直线AB 的方程为______. 【解析】如图,2224AP PO AO PO =-=-所以四边形PACB 的面积212242S AP AO PO =⨯⋅=-PO 最小时,S 也最小,此时PO l ⊥,易求得PO 的方程为20x y -=, 联立20260x y x y -=⎧⎨++=⎩解得:65x =-,125y =-,所以612,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故直线AB 的方程为612455x y --=,化简得:36100x y ++=.【答案】36100x y ++=变式4 已知直线:4l y x =+与x 轴交于点T ,过直线l 上的动点P 作圆22:4O x y +=的两条切线,切点分别为A 、B ,设AB 中点为M ,则TM 的最小值为( )A.22B.3217 D.3【解析】如图,因为点P 在直线:4l y x =+上,所以可设(),4P m m +,则切点弦AB 所在直线的方程为()44mx m y ++=即()440m x y y ++-=,所以直线AB 过定点()1,1Q -,又M 为AB 中点,所以OM AB ⊥,故点M 在以OQ 为直径的圆上,从而点M 的轨迹是以11,22G ⎛⎫- ⎪⎝⎭2为半径的圆,显然点()4,0T -在该圆外,所以min222TMTG ==.【反思】当动点P 在与圆C 相离的某一定直线上运动时,过点P 作圆C 的两条切线,则切点弦所在的直线是过定点的直线,熟悉这一模型,本题的求解就不困难了. 【答案】A强化训练1.(★★)圆22:40C x y x +-=在点(3P 处的切线方程为( ) A.320x y +-=B.340x y -=C.340x +=D.320x -+=【解析】显然点P 在圆C 上,故所求切线的方程为113402xx y +⋅-⋅=,化简得:320x -+=.【答案】D2.(★★)已知圆()22:11C x y +-=,则: (1)圆C 的过点()0,2P -的切线方程为______; (2)圆C 的过点()1,1Q -的切线方程为______.【解析】(1)显然过点P 且斜率不存在的直线0x =与圆C 不相切,故可设切线的方程为()()20y k x --=-,即20kx y --=21211k --=+,解得:22k =±C 的过点P的切线方程为22y x =±-;(2)易得过点Q 且斜率不存在的直线1x =与圆C 相切,设另一条切线的方程为()()11y m x --=-,即10mx y m ---=21111m m ---=+,解得:34m =-,所以该切线的方程为()()3114y x --=--,化简得:3410x y ++=,综上所述,圆C 的过点Q 的切线方程为1x =或3410x y ++= 【答案】(1)22y x =±-;(2)1x =或3410x y ++=3.(★★)已知圆()22:12C x y -+=外一点()2,2P ,过点P 作圆C 的两条切线,切点分别为A 和B ,则直线AB 的方程为______. 【解析】由题意,切点弦AB 所在直线的方程为()()21122x y --+=,化简得:230x y +-=. 【答案】230x y +-=4.(★★)已知圆()()22:129C x y -+-=外一点()4,2P -,过点P 作圆C 的两条切线,切点分别为A 和B ,则直线AB 的方程为______.【解析】由题意,切点弦AB 所在直线的方程为()()()()4112229x y ---+--=,化简得:45x =-.【答案】45x =-5.(★★)已知圆22:2440C x y x y +---=外一点()4,1P --,过点P 作圆C 的两条切线,切点分别为A 和B ,则直线AB 的方程为______.【解析】由题意,切点弦AB 所在直线的方程为414244022x y x y -----⋅-⋅-=,化简得:5320x y +-=.【答案】5320x y +-=6.(★★★)已知圆22:2440C x y x y +---=,P 为直线:20l x y ++=上一点,过点P 作圆C 的两条切线,切点分别为A 和B ,若四边形PACB 的面积为12,则直线AB 的方程为______.【解析】如图,2229AP PC AC PC =--所以四边形PACB 的面积212392S AP AC PC =⨯⋅=- 由题意,23912PC -,解得:5PC =,由题意,点P 在直线20x y ++=上,故可设(),2P m m --,则()()22122PC m m -+---()()221225m m -+---,解得:4m =-或1,当4m =-时4,2P -,此时直线AB 的方程为4242244022x yx y -++-+-⋅-⋅-=, 化简得:45x =-,当1m =时,()1,3P -, 此时直线AB 的方程为133244022x yx y +-+--⋅-⋅-=, 化简得:15y =, 所以直线AB 的方程为45x =-或15y =.【答案】45x =-或15y =7.(★★★)已知圆22:2440C x y x y +---=,P 为直线:20l x y ++=上一点,过点P 作圆C 的两条切线,切点分别为A 和B ,当四边形PACB 的面积最小时,则直线AB 的方程为______.【解析】()()222224429x y x y y +---⇒+-=⇒圆心()1,2C ,半径3r =. 如图,2229AP PC AC PC =--所以四边形PACB 的面积212392S AP AC PC =⨯⋅=- 所以当PC 最小时,S 也最小,此时,PC l ⊥, 故PC 的方程为21y x -=-,即10x y -+=,联立1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得:32x =-,12y =-,即31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,所以直线AB 的方程为()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得:5530x y ++=.【答案】5530x y ++=8.(★★★★)已知P 为抛物线2:4C y x =上的动点,过P 作圆()22:44M x y -+=的两条切线,切点分别为A 和B ,则当四边形PAMB 的面积最小时,直线AB 的方程为______. 【解析】如图,2224AP PM AMPM =-=-所以四边形PAMB 的面积212242S AP AM PM =⨯⋅=- 所以当PM 最小时,S 也最小,由题意,()4,0M , 可设()2,2P t t ,则()()2222242244416212PM t t t t t =-+=-+=-+,故当2t =±PM 取得最小值,此时(2,22P ±,所以直线AB 的方程为()()244224x --±=, 化简得:220x ±-=.【答案】220x +-=或220x =-=9.(★★★★)已知圆22:2440C x y x y +---=,P 为直线:20l x y ++=上的动点,过点P 作圆C 的两条切线,切点分别为A 和B ,AB 的中点为Q ,若点T 的坐标为111,1010⎛⎫⎪⎝⎭,则TQ 的最小值为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=⇒圆心()1,2C ,半径3r =, 设(),2P m m --,则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()112229m x m y --+----=, 化简得:()140m x y x y -+--=,所以直线AB 过定点41,55K ⎛⎫- ⎪⎝⎭,如图,显然CQ KQ ⊥,所以点Q 的轨迹是以CK 为直径的圆,其圆心为111,1010G ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2241921255CK ⎛⎫⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为22111111*********GT ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭min 122TQ GT GK =-=.2。

圆的切点弦所在直线方程的求法

圆的切点弦所在直线方程的求法

圆的切点弦所在直线方程的求法
过圆外一点作圆的两条切线,两切点所在直线方程的求法,虽然这不是什么很难的问题,但好些同学还是不能熟练掌握。

下面我们从一道简单例题出发,对这一问题做一做初步探讨。

同学们也可用其它方法论证。

若把圆用一般方程表示,能否得到相关结论?同学们若有兴趣,请自己研究。

以上我们从一道例题出发,探讨得出了三种解题方法和两个结论。

虽然探讨得到的结果价值不是很高、但过程却很重要。

这个过程对同学们今后的学习和研
究各类问题能有所帮助。

圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用

圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用

圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用(总6页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用作者:吴时清 薛青丽 联系方式: 时间:切点弦方程是解析几何中的热点问题,也是高考命题热点之一.随着导数的介入,它的内涵更加丰富,本文从圆锥曲线的切点弦定义入手,对圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中常见的曲线的切点弦方程进行证明,再到一般的圆锥曲线的切点弦方程的结论,以及切点弦方程在近年来高考中的应用. 一、切点弦方程的概念平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程. 二、圆的切点弦方程证明:设),(00y x P 圆:C 022=++++F Ey Dx y x 外一点,过点P 作圆C 的的两条切线,切点是B A 、,则直线AB 的方程是:0220000=++++++F E yy D x x y y x x . 证明:由平面几何知识易知,弦AB 是圆C 与以C P ,为直径端点的圆的相交弦.以C P ,为直径端点的圆的方程是:0))(2())(2(00=-++-+y y Ey x x D x , 即022)2()2(000022=---+-++y Ex D y y E x x D y x ……①又022=++++F Ey Dx y x …………………………………② ②-①得: 0220000=++++++F E yy D x x y y x x . 三、椭圆、双曲线、抛物线的切点弦方程设),(00y x P 是圆锥曲线不含焦点部分外的一点,过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程如下表:四、二次曲线的切点弦方程设从点),(00y x P 引曲线0),(=y x F 的两条切线,切点为),(),(2211y x N y x M 、,则过N M 、的且线方程分别是:022*******=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax ,0222222222=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x B x Ax 因为点),(00y x P 在上述两条切线上,所以),(),,(2211y x y x 满足方程0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax ………………(**) 所以经过N M 、的直线方程是(**) 五、利用切点弦方程解高考题 【例1】2008年山东理科数学22题如图,设抛物线方程为x 2=2py (p >0),M 为 直线y =-2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A ,B .(Ⅰ)求证:A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列;(Ⅱ)已知当M 点的坐标为(2,-2p )时,410AB =(Ⅲ)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上,其中,点C 满足OC OA OB =+(O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.(Ⅰ)证明:由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p-<由22x py =得22x y p=,则,x y p '=所以12,.MA MB x xk k p p== 因此直线MA 的方程为102(),x y p x x p+=- 直线MB 的方程为202().x y p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p+=-①222202().2x xp x x p p+=- ②由①、②得212120,2x x x x x +=+- 因此 21202x x x +=,即0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x 0=2时, 将其代入①、②并整理得: 2211440,x x p --=2222440,x x p --=所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根,因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p-+===- 所以2.AB k p=由弦长公式得AB ==又AB = 所以p =1或p =2,因此所求抛物线方程为22x y =或24.x y =(Ⅲ)解:设D (x 3,y 3),由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),则CD 的中点坐标为123123(,),22x x x y y y Q ++++ 设直线AB 的方程为011(),x y y x x p-=- 由点Q 在直线AB 上,并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上, 代入得033.x y x p=若D (x 3,y 3)在抛物线上,则2330322,x py x x ==因此 x 3=0或x 3=2x 0.即D (0,0)或202(2,).x D x p(1)当x 0=0时,则12020x x x +==,此时,点M (0,-2p )适合题意.(2)当00x ≠,对于D (0,0),此时2212222212120002(2,),,224CDx x x x x x pC x k px px +++==又0,AB x k p=AB ⊥CD , 所以222201212201,44AB CDx x x x x k k p px p++===- 即222124,x x p +=-矛盾.对于2002(2,),x D x p 因为22120(2,),2x x C x p+此时直线CD 平行于y 轴,又00,AB x k p=≠ 所以 直线AB 与直线CD 不垂直,与题设矛盾, 所以00x ≠时,不存在符合题意的M 点. 综上所述,仅存在一点M (0,-2p )适合题意.【例2】2008年江西高考数学理设点),(00y x P 在直线)10,(<<±≠=m m y m x 上,过点P 作双曲线122=-y x 的两条切线PB PA ,,切点为B A ,,定点)0,1(mM . ⑴过点A 作直线0=-y x 的垂线,垂足为N ,试求AMN ∆的重心G 所在曲线的方程; ⑵求证:B M A ,,三点共线.解: ⑴设),(),,(A A N N y x A y x N ,∵AN 垂直于直线x y =,则1-=--AN AN x x y y∴2A A N y x x +=, N 点坐标为)2,2(AA A Ay x y x ++ 设AMN ∆的重心为),(y x G ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=++=+++=26326231321A A AA A A A A A A y x y x y y y x m y x x m x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=m y x y m y x x A A 414943434349 代入双曲线方程122=-y x 并整理得:1292)31(922=--y m x ,∴ 重心G 的轨迹方程为1292)31(922=--y m x⑵设点),(),,(2211y x B y x A ,方程122=-y x 对y 求导得: 022'=-yy x ∴ yxy =' ∴ 切线PA 的斜率为11y x ,方程为)(1111x x y xy y -=-,又12121=-y x ∴ 切线PA 的方程为111-=x x y y 同理: 切线PB 的方程为122-=x x y y ,又),(0y m P 在PA ,PB 上, ∴1,1202101-=-=m x y y m x y y 即点),(),,(2211y x B y x A 都在直线10-=mx y y 上,又)0,1(mM 也在直线10-=mx y y 上 ∴ B M A ,,三点共线.【例2】2013年广东高考理20题已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程;(Ⅲ)当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 解:(Ⅰ)依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =2=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ)抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ)由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y --=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.。

切线方程和切点弦所在直线方程

切线方程和切点弦所在直线方程

(一)圆的切线方程1. 过圆上一点的圆的切线方程方法:设圆心为C ,切点为),(00y x P ,根据CP ⊥切线,便可得到切线的斜率,再根据“点斜式”,即可求出切线方程.【例1】过点)1,1(P 作圆2:22=+y x O 的切线l ,求l 的方程【例2】求过点)2,1(A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程【推广结论】过圆222r y x =+上一点),(00y x A 的圆的切线方程为2. 过圆外一点的圆的切线方程方法:设出切线方程,由“圆心到切线的距离等于半径”,可解出斜率.注:先考虑切线的斜率是否存在!【例2】求过点)32-(,A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程(二)圆的切点弦所在直线方程1. 什么叫“圆的切点弦”?如图,过圆C 外一点P 作圆C 的切线,切点为B A ,,则称“AB ”为圆C 的切点弦.2. 如何求“圆的切点弦”所在直线方程?以P 为圆心,PA (PB )为半径作圆P ,则AB 可以视为圆P 与圆C 的相交弦,于是我们只需求出圆P 的方程,再将它与圆C 的方程相减,即得直线AB 的方程.【例3】已知点)3,2(--P ,圆9)2()4(:22=-+-y x Q ,PB PA ,是圆Q 的切线,求直线AB 的方程.【例4】(山东高考)过点1)1()1,3(22=+-y x 作圆的两条切线,切点分别是B A ,,则直线AB 的方程是( )34 )( 034 )(032 )( 032 )(=-+=--=--=-+y x D y x C y x B y x A【例5】已知圆044222=---+y x y x 为,点)1,4(--P ,过点P 作圆的切线PB PA ,,求直线AB 的方程.。

切点弦过定点公式

切点弦过定点公式

切点弦过定点公式接下来,我们来寻找切点和弦的关系。

1.切点公式:首先,我们找到圆上与点P连线垂直的切点T。

切点T与圆心O连线与切线PT垂直。

我们可以使用向量的方法来表示切点的坐标。

假设切点T的坐标为(Tx,Ty)。

首先,我们求出圆心O与切点T之间的向量,根据勾股定理可知:OT的模长=rOT的单位向量=(TxOx,TyOy)/r根据切线与半径垂直的条件,可以得到:OT与PT的点积=0(TxOx,TyOy)·(PxOx,PyOy)=0根据点积的定义,我们可以将上式展开计算得到:(TxOx)*(PxOx)+(TyOy)*(PyOy)=0进一步化简就可以得到切点T的坐标(Tx,Ty)。

2.弦过定点公式:接下来,我们来寻找过定点P的弦与切点T的关系。

假设弦与切线PT的交点为Q,弦的两个端点分别为A和B。

我们要求的就是点Q的坐标(Qx,Qy)。

首先,我们将弦PA的斜率表示为k1,弦PB的斜率表示为k2,这里k1和k2可以通过两点间的斜率公式计算得到。

我们可以得到以下关系式:k2=k1设弦PA的方程为yPy=k1(xPx)设弦PB的方程为yPy=k2(xPx)将k2替换成k1,并将yPy移项整理得到:k1xy+(Pyk1*Px)=0由于弦过切点T的坐标为(Tx,Ty),我们可以通过将坐标代入上述方程得到:k1*TxTy+(Pyk1*Px)=0解上述方程可以得到k1的值,进而可以计算得到点Q的坐标(Qx,Qy)。

综上所述,切点弦过定点的公式如下:切点T的坐标(Tx,Ty):(TxOx)*(PxOx)+(TyOy)*(PyOy)=0点Q的坐标(Qx,Qy):k1*TxTy+(Pyk1*Px)=0。

圆的切点弦方程

圆的切点弦方程

圆的切点弦方程
上篇圆的切线方程的小公式讲的是过圆上一点的切线
问题,现在说说过圆外一点的切线问题. 以下面这道题为例. 显然,点M在圆外部.我们利用d=r来建立方程求解. 如何设直线方程呢?已知点M,当然设点斜式啊.可是,斜率一定存在吗?所以我们应该首先考虑斜率不存在的情况.
然后再考虑斜率存在的情况.
这道题不难,但是容易漏掉第一种斜率不存在的情况. 检查的方法就是记住这一点:过圆外一点作圆的切线有2条.如果你计算正确且只解出一条切线来,一定是漏掉了斜率不存在的情况.
观察上图,从M出发的切线有两条,设切点分别为A和B,连接AB,我们称AB为圆的切点弦.顾名思义,切点弦就是连接两切点得到的弦. 切点弦所在的直线的方程是什么呢?我们作一个一般化的推导.
研究过程中用到了圆的切线方程的小公式中的结论.
大家发现,这个结论和圆的切线方程的小公式中的结论有些类似. 区别在于:
当然,如果圆心不在原点,类比圆的切线方程的小公式,有这样的结论.
如果圆的方程为一般式,同样类比圆的切线方程的小公
式,也有这样的结论.
我们现学现卖,练下面一道题,体会一下这个公式好不好用?
审完题,判断求解的是切点弦所在直线的方程,可以用上述公式.
最后来看一道浙江省高中数学竞赛题.
分析:PQ为切点弦,考虑使用切点弦所在的直线方程.垂直关系可翻译为向量的数量积为零.
小结:1.点在圆上,小公式对应的是切线方程;2.点在圆外,小公式对应的是切点弦所在的直线方程;3.小公式如何记忆:对称原则,即把圆方程中的x和y保留一半,替换一半.。

切点弦定理

切点弦定理

切点弦定理切点弦定理,是初中数学中的重要定理之一。

它是指在一个圆上,如果有一条弦,那么这条弦所在直线与圆的交点,以及这条弦所在直线上离圆最近的点,这两个点所构成的线段,其长度相等。

这个定理的证明可以采用相似三角形的方法。

我们先将圆心与这条弦所在直线的交点连接起来,然后可以得到两个相似的三角形。

其中一个三角形的底边是弦,另一个三角形的底边是切线,而且这两个三角形的顶角相等。

因此,我们可以得到这样一个方程:弦的长度/切线的长度=切线上离圆最近的点到圆心的距离/圆心到弦中点的距离。

由于圆心到弦中点的距离是常数,因此我们可以得到:弦的长度=切线上离圆最近的点到圆心的距离×2。

这个定理有很多应用。

其中一个应用就是求解圆内接四边形的对角线长度。

我们可以先连接对角线,然后将对角线所在直线与圆相交,可以得到四个交点。

根据切点弦定理,我们可以得到对角线长度相等。

另外一个应用就是求解圆外接四边形对角线长度之积。

我们可以将这个四边形分割成两个三角形和一个内接四边形。

由于内接四边形的对角线长度相等,因此我们只需要求解两个三角形的斜边长度即可。

我们可以连接两个顶点和圆心,然后根据切点弦定理求解出斜边长度。

除了初中数学中的应用之外,切点弦定理在高中数学和大学数学中也有很多应用。

例如,在高中数学中,我们可以利用切点弦定理来证明某些三角函数恒等式;在大学数学中,切点弦定理也有很多应用,例如在微积分中,我们可以利用切点弦定理来证明某些导数公式。

总之,切点弦定理是一个非常重要的定理,它不仅有着广泛的应用,而且还是许多高级数学知识的基础。

在学习数学时,我们应该认真掌握这个定理,并善于运用它来解决各种问题。

圆的切点弦方程的九种求法

圆的切点弦方程的九种求法

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上,如何正确地多角度观察、分析问题,再运用所学知识解决问题,是解题的关键所在。

本文仅通过一个例题,圆的部分的基本题型之一,分别从不同角度进行观察,用不同的知识点和九种不同的解法,以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识:1、在标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P(x0,y0)的切线方程为:(x0-a ()x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ;在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D+E-4F>0)下过圆上一点P(x0,y0)的切线方程为: xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。

222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 (D1+E1-4F1>0)与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 (D2+E2-4F2>0)的公共弦所在的直线方程为:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。

223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D+E-4F>0)外一点P(x1,y1)作圆的切线,其切线长公式为:|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。

224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 (D+E-4F>0)外一点22P(x1,y1)作圆的切线,切点弦AB所在直线的方程为:;(x1-a()x-a)+(y1-b)(y-b)=r2(在圆的标准方程下的形式)xx1+yy1+Dx+x1y+y1。

+E+F=0(在圆的一般方程下的形式)22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P(-4,-1),过点P作圆的切线PA、PB,求过切点A、B的直线方程。

三、解法解法一:用判别式法求切线的斜率如图示1,设要求的切线的斜率为k(当切线的斜率存在时),那么过点P(-4,-1)的切线方程为:y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1), 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为:5x+3y-2=0。

切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结

切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结

切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结谢吉【摘要】 切点弦方程是平面解析几何中的热点问题,求常见曲线的切点弦方程也成 了近年来高考的热门题型。

随着导数的引入 , 它的内涵更加深刻、题型更加丰富 熟练掌握切点弦方程的基本知识点,熟记圆锥曲线切点弦的基本性质,巧妙的应用 切点弦的几个定理,能够非常灵活的求出常见曲线的切点弦方程。

本文将会总结出 常见曲线切点弦方程相关的知识点,探究圆锥曲线的基本性质,并对切点弦方程的 相关定理及应用技巧做简要介绍,其目的在于说明运用此定理可以有效简化解题过 程,提高解题速度,启迪思维开阔视野。

【关键词】:切点弦 圆锥曲线 1、常见曲线的切点弦知识点归纳 (1)圆的切点弦方程命题 1 过圆 C: x2+ y2= r2 外一点 M ( x0 , y0 ) 作圆的两条切线 MA 、MB , 则切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x + y0 y = r2证明: 因为 OA MA , O B MB, 所以,O 、 A 、 M 、 B 四点落在以 O M 为 直径的圆 x ( x - x0 ) + y ( y - y0 ) = 0 上 , 它与圆 C 的公共弦即为 AB 。

两圆方程相减 , 得切点弦 AB 所在的直线方程为 x0 x + y0y = r2 (2) 椭圆的切点弦方程x0x y0y12 21MB ,则切点弦 AB 所在的直线方程为 a 2b 2也成立。

L : x 2x y2 y1MB 2 2a b 。

x1x 0 y 1y 0 1, x 2x 0 y 2y0 1 22 2 2又 M( x 0 , y 0 ) 在直线 MA 、 MB 上 , 则 a 2b 2a 2b2命题 22 x 2 过椭圆 C: a 22b y21外一点M ( x0 , y0 )作椭圆的两条切线 MA 、证明: 设 A ( x1 , y1 )、 B ( x2 , y2 ),将方程 2x 2a2y2212b 2两边对 x 求导2x 2 22y y '1a 2b 2。

【高中数学】高中数学知识点:圆的切线方程

【高中数学】高中数学知识点:圆的切线方程

【高中数学】高中数学知识点:圆的切线方程
圆的切线方程:
1、已知圆

(1)若已知切点
在圆上,则切线只有一条,其方程是

(2)当
圆外时,
表示过两个切点的切点弦方程。

(3)过圆外一点的切线方程可设为
,再利用相切条件求k,这时必有两条切线。

(4)斜率为k的切线方程可设为y=kx+b,再利用相切条件求b,必有两条切线。

2、已知圆

(1)过圆上的
点的切线方程为

(2)斜率为k的圆的切线方程为。

圆的切线方程的求法:
①代数法:设出切线方程,利用切线与圆仅有一个交点,将直线方程代入圆的方程,从而△=0,可求解;
②几何法利用几何特征:圆心到切线的距离等于圆的半径,可求解.
过定点的圆的切线方程:
①过圆上一点的切线方程:
与圆
的切线方程是
与圆
的切线方程是
与圆
的切线方程是
与圆
的切线方程是
②过圆外一点的切线方程:设
外一点,求过P
点的圆的切线.
方法l:设切点是
,解方程组
求出切点P
1
的坐标,即可写出切线方程。

方法2:设切线方程是
,再由
求出待定系数k,就可写出切线方程.
特别提醒:一般说来,方法2比较简便,但应注意,可能遗漏k不存在的切线.因此,当解出的k值唯一时,应观察图形,看是否有垂直于x轴的切线.
感谢您的阅读,祝您生活愉快。

圆的切点弦方程公式推导

圆的切点弦方程公式推导

圆的切点弦方程公式推导
圆的切点弦方程公式是x×x0+y×y0=r^2。

圆的切点弦方程公式推导
过圆x+y=r外一点P(x0,y0)作切线PA,PB,A(x1,y1),B (x2,y2)是切点,则过AB的直线xx0+yy0=r,称圆的切点弦方程。

证明:x+y=r在点A,B的切线方程是xx1+yy1=r,xx2+yy2=r
∵点P在两切线上
∴x0x1+y0y1=r,x0x2+y0y2=r
此二式表明点A,B的坐标适合直线方程xx0+yy0=r,而过点A,B 的直线是唯一的
∴圆的切点弦方程是x×x0+y×y0=r^2
说明:
切点弦方程与圆x+y=r上一点T(x0,y0)的切线方程相同。

过圆(x-a)+(y-b)=r外一点P(x0,y0)作切线PA,PB,切点弦方程是(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r。

圆的切点弦方程的概念
切弦亦称切点弦,是一条特殊弦。

从圆外一点向圆引两条切线,连结此两切点的弦称为切弦。

6.2.1圆的切线方程和切点弦方程

6.2.1圆的切线方程和切点弦方程

结论 3.过圆 C : ( x a)2 ( y b)2 r 2 外一点 P( x0 , y0 )
作与圆相切的两直线的切点弦所在直线方程为
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2 .
2 2 2
且与圆相切的直线方程为
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2 .
变式训练 1 求过点 P(2,6) 且与圆 x2 y 2 8 相切的 直线方程.
变式训练 2 求过点 P(2,6) 且与圆 x2 y 2 8 相切直 线有两条,切点分别为 A,B,求过 A,B 两点的直线方 程。
6.2.1
圆的切线方程和切点弦方程
例 1.求过点 A(2, 2) 且与圆 C : x2 y 2 8 相切的直 线 l 的方程.
变式 1-1.求过圆 x y r (r 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 且与
2 2 2
圆相切的直线方程.
变式 1-2. 求证 : 过圆 C : ( x a)2 ( y b)2 r 2 上一点
(2015 重庆)若点 P(1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆 在点 P 处的切线方程为________.
2 (2013 山东)过点(3,1)作圆 x 1 y 1 的两条切线, 2
切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 A. 2 x y 3 0 C. 4 x y 3 0 B. 2 x y 3 0 D. 4 x y 3 0
结论 1.过圆 x y r (r 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 且与圆相
2 2 2
切的直线方程为 x0 x y0 y r 2 .
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

圆的切点弦方程
222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。

22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。

【方法】1.设出直线,再求解;
2.利用轨迹思想,用向量或平面几何知识求解。

【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ,直线L :200r y y x x =+与圆O :222r
y x =+究竟是什么关系呢下面我们进行探究: 一、当点M 在圆O 上时,直线L 是圆的切线。

二、当点M 在圆O 外时,
1.直线L 不是圆O 的切线,下面证明之: ∵圆心O 到L 的距离为2
22y x r d +=
,由),(00y x M 在圆O 外,得r y x >+2
020

r d <,故直线L 与圆O 相交.
2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢 首先研究L 的特征: 易知:OM ⊥L 。

2
2
0r x =
2,OA ON OM ∴=⋅(N 为L 与OM 的交点)
从而OA ⊥MA ,MA 为圆的一条切线,
故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

事实上(另证),
如图1,设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B, 则直线MA:2
11r y y x x =+,直线MB:2
22r y y x x =+. ∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程,
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2
01022
0101r
y y x x r y y x x ,
由此可见A 、B 的坐标均满足方程2
00r y y x x =+,
由于两点确定一条直线
∴直线AB 的方程为2
00r y y x x =+。

所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程,而不是圆O 的切线。

【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

特别的,当M 在圆上时,极线即为切线。

三、当点M 在圆O 内时,
1.直线L 也不是圆O 的切线。

下面给出证明: ∵圆心O 到L 的距离为2
22y x r d +=
,由),(00y x M 在圆O 内,得r y x <+2
020

r d > 故直线L 与圆O 相离.
2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢 首先研究L 的特征: 由上述探讨过程易知, 直线L ⊥OM ,
此外,L 一定过点P (P 为两切线的交点,AB ⊥OM ), 从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。

事实上(另证), ∵直线L 的斜率00y x k l -=,而直线OM 的斜率0
0x y
k om =, ∴OM L ⊥
一方面,过点M 与OM 垂直的直线0L 方程为,0)()(0000=-+-y y y x x x 即2
02
000y x y y x x +=+
另一方面,将直线OM 与L 的方程联立⎪⎩

⎨⎧==+x
x y y r y y x x 00
200, 得到它们的交点P 的坐标为),
(
2
2
0202
2
020y x r y y x r x ++,
由(二)可知过点P 的圆的切点弦所在直线的方程为
22
2
0202
2
020r y y x r y x y x r x =⋅++
⋅+,
即2
02000y x y y x x +=+,即为直线0L 的方程。

由此我们看到L ∥0L ,直线L 是由点M 确定的。

另外,直线L 是过点M 的弦(除O ,M 的弦)的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹, 证明如下:
设(,),P x y ''由(二)可知动弦AB 的方程为2
x x y y r ''+=,
又因为点M 在AB 上,则200x x y y r ''+=,以x ,y 分别代,x y '',则2
00r y y x x =+。

相关文档
最新文档