高中数学必修五第二章数列学案等差数列的前n项和(2)

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人教新课标版数学高二必修五2.3.2等差数列的前n项和(二)

等差数列的前n 项和(二)等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前n 项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较，过程要简捷得多.【性质1】已知等差数列{a n }，m 、p 、q ∈N *，若存在实数λ使λλ++=1qp m (λ≠-1), 则λλ++=1q p m a a a .证明：由等差数列{a n }的通项公式a n =dn +a 1-d 的几何意义：点(p,a p )、(m,a m )、(q,a q )共线，由斜率公式得mq a a pm a a m q p m --=--，因为λλ++=1qp m ，所以λ=--q m m p . 所以λ(a m -a q )=a p -a m .所以(1+λ)a m =a p +λa q ，即λλ++=1q p m a a a .评析：特别地,当λ=1时，2a m =a p +a q ，我们不妨将性质1称为等差数列的定比分点公式.【性质2】等差数列{a n }，n i ，m i ∈N *，i=1,2,3,…,k,若∑∑===ki ik i i mn 11.则∑∑===ki m ki ma a11.证明：设等差数列{a n }的公差为d .根据a n i =a mi +(n i -m i )d ，i=1,2,3,…,k,则∑∑∑∑∑======-+=k i mi k i k i k i i i mi ki nia d m n a a11111)(.所以∑∑===ki mi k i ni a a 11推论：等差数列{a n }，n i ，m ∈N *，i=1,2,3,…,k,若∑==k i i n km 1.则∑==ki n m i a ka 1.评析：本性质实质上是等差中项性质的推广.【性质3】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .n ，m ∈N *, 则d n m n S m S n m )(21-=-.证明:因为mn mS nS n S m S nm n m -=- =mnd n n na m d m m ma n ]2)1([]2)1([11-+--+=mndn mn mna d m mn mna 2)1(2)1(11----+=d mn mnmn mn n m 222+--=d mnmn n m 222- =d mn n m mn 2)(-=d n m )(21- 所以d n m n S m S n m )(21-=-.评析：实质上数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是公差为2d 的等差数列.【性质4】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .n ，m ∈N *,则S m+n =S m +S n +mnd . 证明：因为S m+n =S n +(a n +1+a n +2+…+a n +m ) =S n +(a 1+nd )+(a 2+nd )+…+(a m +nd ) =S n +(a 1+a 2+…+a m )+m nd=S m +S n +m nd ，所以S m+n =S m +S n +mnd .【性质5】等差数列{a n }前n 项和为S n ，若m=p+q(m 、p 、q ∈N *且p≠q),则有qp S S m S qp m --=. 证明：设等差数列{a n }的公差为d . 因为S p -S q =p a 1+21p(p-1)d -q a 1-21 q(q-1)d =(p-q)［a 1+21(p+q-1)d ］，所以d q p a q p S S qp )1(211-++=--.又因为d m a m S m )1(211-+=且m=p+q ，所以有qp S S m S qp m --=. 推论：等差数列{a n }前n 项和为S n ，若m+t=p+q(m 、t 、p 、q ∈N *且m≠t,p≠q),则qp S S t m S S q p t m --=--.【性质6】等差数列{a n }前n 项和为S n . (1)当n =2k(k ∈N *)时，S 2k =k(a k +a k+1); (2)当n =2k-1(k ∈N *)时，S 2k-1=k a k .。

高中数学必修五教案：2等差数列的前n项和+(2)

集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列前多少项和最小？等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.【思路探究】 (1)由a 1，d 能否求出S n ？1S n 为多少？(2)1S n能否为裂项成为正负相消的项？【自主解答】 ∵等差数列{a n }的首项a 1＝3，公差d ＝2， ∴前n 项和S n ＝na 1＋n n －2d ＝3n ＋n n －2×2＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴1S n＝1n 2＋2n ＝1n n ＋＝12(1n －1n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2)]＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝34－2n ＋3n ＋n ＋.1．若数列{a n }是等差数列，公差为d (d ≠0)，则和式T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n －1a n可用裂项法求和，具体过程如下： ∵1a n －1·a n ＝1d (1a n －1－1a n)，∴T n ＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a n －1－1a n )]＝1d (1a 1－1a n )＝n －1a 1a n.2．常用到的裂项公式有如下形式： (1)1nn ＋k ＝1k (1n －1n ＋k )； (2)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n )．本例中若把条件改为“a 1＝1，d ＝1”，其他都不变，试求解之．等差数列的综合应用(12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．(1)若b n ＝a n2n ，求证：{b n }是等差数列；(2)在(1)的条件下，设C n ＝1b n b n ＋1，求{C n }的前n 项和T n .【思路点拨】 (1)要证明{b n }是等差数列，须满足b n －b n －1＝常数(n ≥2)，即a n 2n －a n －12n －1＝精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学人教A版必修5第二章2.3 等差数列的前n项和教案

等差数列的前n 项和教学目标：1．知识目标： (1)掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程; (2)会简单运用等差数列的前n 项和公式。

2．能力目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，培养观察、分析、归纳问题的能力。

3．情感目标：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，增强学生学好数学，热爱数学的情感。

教学重、难点：1.教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导与应用；2.教学难点：公式推导过程中的转化思想。

、课型课时：新授课、一课时教学方法：探究法、讲授法教学手段：多媒体教学过程一：知识回顾1、等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=2、在等差数列a n 中，若有m +n =p +q , m,n,p,q ∈N +,则a m +a n =a p +a q 二：创设情景，导入新知1、创设情境数学家高斯在上小学时就显示出极高的天赋。

据传说，老师在数学课上出了这样一道题：“1+2+3+……+100=？”，对于十岁左右的孩子来说这个题目是比较困难的，但高斯很快就得到了正确答案。

提问：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？思考：1+2+3+.......+101=?2、导入新知①等差数列前n 项和——公式推导（倒序相加）n n a a a a S ......321+++= ①121......a a a a S n n n n +++=-- ②则①+②可得()n n a a n S +=12 即 ()21n n a a n S += 有因为()d n a a n 11-+= 所以()d n n na S n 211-+= 强调：在n n S a d n a ,,,,1五个量中，能知三求二。

（分析公式的特点，熟练记忆所学公式.三：应用举例，巩固新知例：在等差数列{n a }中，已知d=2，n=15，n a =-10，求1a 及n S 四：跟踪练习，巩固所学练：已知等差数列{n a }中，1a =1，n a =19，n S =100，求d 与n 五：小结归纳，扩展深化1、掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

高中数学第二章数列 2.3 等差数列的前n项和教案2 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学

2.3 等差数列的前n项和教教学过程设计教学二次备课【问题3】(B)若数列｛a n｝的前n项和S n＝2n2－n，判断此数列是否是等差数列【点评】：若已知数列{a n}的前n项和为S n,则a n可用S n表示， a n＝⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11nSSnSnn.思考：（B）若数列｛a n｝的前n项和S n＝2n2－n+1，（1）求此数列的通项公式（2）判断此数列是否是等差数列.归纳：当公差0d≠时，等差数列的通项公式11(1)na a n d dn a d=+-=+-是关于n的_____ __函数，且斜率为公差d；前n和1(1)2nn nS na d-=+21()22d dn a n=+-是关于n的_________函数.五、小结掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题练习：(B)求集合{}60,,12〈∈-=*mNnnmm的元素个数，并求这些元素的和。

已知一个凸多边形的内角度数组成公差为５°的等差数列，且最小角为１２０°，问它是几边形．某钢材库新到２００根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？课外作业课本P44第3，4教学小结。

高中数学必修5高中数学必修5《2.3等差数列的前n项和(二)》教案

2.3 等差数列的前项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则1212--=n n n n B A b a ．教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、复习准备：1、等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+= 2、在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.二、讲授新课：1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n . 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.例3、已知等差数列....,743,724,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。

人教A版高中数学必修5第二章数列2.3 等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和一.学习目标：1.理解数列前n项和Sn的概念，并掌握Sn与an的关系.2.通过等差数列前n项和公式的推导体会倒序相加的思想.3.会选择恰当的公式解决简单的等差数列求和问题.4.体会两组公式分别从哪些角度反映了等差数列的性质.二．教学重点、难点：1.教学重点：掌握数列的前n项Sn与an的关系、差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些简单问题，体会两组公式所反映出的等差数列的性质是本节课的重点.2.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得是难点.三.新课内容：1.数列的前n项和①Sn=_______________②Sn与an的关系③题型练习：已知数列{an}的前n项和Sn=n2则通项公式an=_______2.你能快速求出1+2+3+...+100=?3.这种方法能推广到求一般的等差数列求前n项和？为什么？Sn=a1+a2+a3+...+an4.等差数列前n项和公式Sn=_______5.题型练习:已知等差数列{an}中①a1=-4,a8=-18则S8=______②S10=120,则a2+a9=______③a7=2,则S13=_______※该公式从哪个角度体现了等差数列的性质？6.等差数列的前n 项和Sn=________7.题型练习：已知等差数列{an}中①a1=-16,d=4,则S6=_______;Sn=_______②上式中，当n 取何值时，Sn取到最小值？※该公式从哪个角度说明了等差数列的性质？三.课堂小结、作业1.课堂小结：2.作业：课本44页例3、例4以及45页的练习题.3.思考：题型练习3中的第二问可否从通项公式着手解答？四.板书设计五.教学反思。

高中数学必修五教案：2等差数列的前n项和

集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日等差数列前n 项和公式的基本运算在等差数列{a n }中， (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8； (2)已知a 2＋a 4＝485，求S 5.【思路探究】 (1)能否把已知条件写成关于a 1，d 的方程组并求出a 1，d 进而解出a 8的值？(2)能否使用等差数列的下标和性质求出a 1＋a 5？可以求S 5的值吗？等差数列中(1)已知首项、末项与项数求前n 项和时一般用公式S n ＝n a 1＋a n2，由于a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…，故解决本类问题常用到等差数列的“下标和”性质．(2)通项公式与前n 项和公式中涉及到a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，已知其中的三个可求其余两个量，即“知三求二”，体现了方程思想的应用．(1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 15＝40，求S 17；(2)在等差数列{a n }中，已知a 3＝16，S 20＝20，若S n ＝110，求n .一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息． (1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h ，这支车队当天一共行驶了多少路程？【思路探究】 (1)各车辆行驶的时间是否构成等差数列？(2)最后一辆车行驶的时间是这个数列的第几项？(3)所有车行驶的总时间该如何计算？【自主解答】由题意，知第1辆车休息时行驶了240 min ，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝240，公差d ＝－10，则a n ＝240－10(n －1)＝－10n ＋250. (1)因为a 15＝－10×15＋250＝100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100 min. (2)这支车队所有车辆行驶的总时间为240＋1002×15＝2 550 min ＝852h ，所以这支车队当天一共行驶的路程为852×60＝2 550 (km)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝，2n ，n∴数列{a n }不是等差数列．小结1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n a 1＋a 22较好，若已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋n n －2d 较好．3．已知数列的前n 项和S n ，可以求通项公式a n 为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝，S n －S n －1，n精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学必修五学案 2.3等差数列的前n项和(第二课时)

●学习目标
1.掌握等差数列前n 项和的性质
2.会用等差数列的前n 项和公式及性质解决一些简单的与前n 项和有关的问题 ●学习重点
等差数列n 项和的性质理解、推导及应用
●学习难点
灵活应用等差数列前n 项公式及性质解决一些简单的有关问题
●教学过程
一、自主学习
例1 已知数列{}n a 的前n 项为212
n S n n =+，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解后反思： 1、由s n 求n a 得步骤：
（性质1）2、数列{}n a 是等差数列等价于s n =An
2+Bn .
思考：结合例3，思考课本 “探究”：一般地，如果一个数列{}n a 的前n 项和为2.n S pn qn r =++其中p 、q 、r 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
例2、已知数列{},n a 是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 6，S 12-S 6，S 18-S 12成等差数列，设k k k k k S S S S S N k 232,,,--∈+成等差数列吗？
解后反思：性质2
二、课堂练习求集合{}
100,,7*<∈=m N n n m m 且的元素个数，并求这些元素的和。

二、课堂达标 1.已知等差数列2454377
，
，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.
2.已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220.求这个等差数列的前30项的和
三、课后作业
P46第4、5、6题
四、课堂小结。

高中数学第二章数列 2.3 等差数列前N项和(2)教案新人教A版必修5(2021年最新整理)

黑龙江省鸡西市高中数学第二章数列2.3 等差数列前N 项和（2）教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究。

2、通过等差数列前n项和的公式应用，体会数学的逻辑性3、通过有关内容在实际生活中的应用,引导学生要善于观察生活教材分析教学重点熟练掌握等差数列的求和公式教学难点灵活应用求和公式解决问题疑难预设2)1(1dnnnaSn-+=与二次函数模式与方法讲练结合教学流程教学内容师生活动及时间分配个案补充1、课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容:①等差数列的前n项和公式1:2)(1nnaanS+=②等差数列的前n项和公式2：2)1(1dnnnaSn-+=2、讲授新课探究：--课本P51的探究活动结论：一般地，如果一个数列{},n a的前n项和为2nS pn qn r=++，其中p、q、r为常数,且0p≠,那么这个数列一课前提问师说明——课本P51的探究活动小组讨论后,组织好语言，一人说明结论，及过程2.3 等差数列的前n项和2教学流程由2nS pn qn r=++，得11S a p q r==++当2n≥时1n n na S S-=-=22()[(1)(1)]pn qn r p n q n r++--+-+=2()pn p q-+1[2()][2(1)()]n nd a a pn p q p n p q-∴=-=-+---+=2p对等差数列的前n项和公式2:2)1(1dnnnaSn-+=可化成式子：n)2da(n2dS12n-+=，当d≠0，是一个常数项为零的二次式小结:3、课堂练习①一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通项公式.②差数列{na｝中,4a＝－15，公差d＝3, 求数列{na｝的前n项和nS的最小值.4、课时小结①前n项和为2nS pn qn r=++，其中p、q、r为常数，且0p≠，一定是等差数列，该数列的②差数列前项和的最值问题有两种方法:（5、课后作业课本P46习题[A组]的5、6题，［B组］的2题对等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）利用n a:当na〉0，d<0，前n项和有最大值可由na≥0，且1+na≤0，求得n的值当na<0，d〉0，前n项和有最小值可由na≤0，且1+na≥0，求得n的值（2）利用n S:由n)2da(n2dS12n-+=利用二次函数配方法求得最值时n的值首项是1a p q r=++1）当na>0,d<0,前n项和有最大值可由na≥0，且1+na≤0，求得n的值。

人教新课标版数学高二B必修5学案等差数列的前n项和(二)

2.2.2 等差数列的前n 项和(二)明目标、知重点 1.掌握等差数列与其前n 项和S n 有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题.2.掌握可以转化为等差数列的数列求和问题.3.会用等差数列的相关知识解决简单的实际问题．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，那么数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…(k ∈N ＋)是等差数列，其公差等于k 2d .(2)若在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若在等差数列{a n }中，a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．(3)若等差数列的项数为2n (n ∈N ＋)时，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，且S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1 .(4)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N ＋)时，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，且S 奇－S 偶＝a n ，S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)·a n,S 奇S 偶＝n n －1.在学等差数列时，我们探究了等差数列的一些性质，现在我们学习了等差数列的前n 项和，它又有哪些性质？这就是本节我们探究的主要问题．探究点一等差数列前n 项和的性质思考1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？答由S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1＋md ＋a 2＋md ＋…＋a m ＋md ＝S m ＋m 2d .同理S 3m －S 2m ＝a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m ＝S 2m －S m ＋m 2d . 所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，并且公差为m 2d .思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明之．答a nb n ＝S 2n －1T 2n －1. 证明：∵S 2n －1＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)＝2n －12·2a n ＝(2n －1)a n ；同理T 2n －1＝(2n －1)b n ； ∴S 2n －1T 2n －1＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝a nb n. 即a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 例1 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．解 (1)方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512. 反思与感悟等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n . 解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n (－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .探究点二求数列{|a n |}的前n 项和例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，2n 2－15n ＋56，n ≥5.反思与感悟等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和．跟踪训练2 已知数列{a n }中，S n ＝－n 2＋10n ，数列{b n }的每一项都有b n ＝|a n |，求数列b n 的前n 项之和T n 的表达式．解由S n ＝－n 2＋10n 得a n ＝S n －S n －1＝11－2n (n ≥2，n ∈N ＋)．验证a 1＝9也符合上式．∴a n ＝11－2n ，n ∈N ＋. ∴当n ≤5时，a n >0，此时T n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n >5时，a n <0，此时T n ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.即T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50(n >5).探究点三等差数列的前n 项和公式在实际中的应用例3 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”，从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年：(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？(“教育储蓄”不需缴利息税)(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(“零存整取”需缴20%的利息税) 解 (1)100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰＝0.27(元)．第1个100元存36个月，得利息0.27×36(元)；第2个100元存35个月，得利息0.27×35(元)； ……第36个100元存1个月，得利息0.27×1(元)．因此，到期时李先生获得利息0．27×(36＋35＋…＋1)＝179.82(元)．本息和为3 600＋179.82＝3 779.82(元)． (2)100元“零存整取”的月利息是 100×1.725‰＝0.172 5(元)，存三年的利息是0．172 5×(36＋35＋…＋1)＝114.885(元)，因此，李先生多收益179．82－114.885×(1－20%)＝87.912(元)．答 (1)李先生一次可支取本息共3 779.82元．(2)李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元．反思与感悟解决有关等差数列的实际应用题时，首先要搞清楚哪些量能成等差数列，建立等差数列的模型，然后根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，最后转化为等差数列问题来解决．跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2 ×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．1．等差数列前n 项和的性质(1)对于前n 项和形如S n ＝An 2＋Bn 的数列一定为等差数列，且公差为2A ，记住这个结论，如果已知数列的前n 项和可以直接写出公差．(2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S 偶的关系是不相同的．(3)数列{S n n }是等差数列，首项为a 1，公差为d2.2．等差数列{a n }与数列{|a n |}的前n 项和等差数列各项取绝对值后组成的数列{|a n |}的前n 项和，可分为以下情形：(1)等差数列{|a n |}的各项都为非负数，这种情形中数列{|a n |}就等于数列{a n }，可以直接求解． (2)等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，这种数列只有前面有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{a n }分成两段来处理．(3)等差数列{a n }中，a 1<0，d >0，这种数列只有前面有限项为负数，其余都为非负数，同样可以分成两段处理．一、基础过关1．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．10 000B ．8 000C ．9 000D ．11 000 答案 A解析由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.2．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D 解析a nb n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1. ∴n ＝1,2,3,5,11.3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.4．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.5．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .6．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是252，则它的首项与公差分别是a 1＝__________，d ＝________. 答案 12 12解析 S 偶－S 奇＝5d ＝15－252＝52，∴d ＝12. 由10a 1＋10×92×12＝15＋252＝552，得a 1＝12.7．已知数列{a n }中，a 1＝－7，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋2，求S 100. 解由a 1＝－7，a n ＋2＝a n ＋2，可得a n ＋2－a n ＝2，∴a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 99是以－7为首项，公差为2的等差数列，共50项．∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50×(－7)＋50×(50－1)2×2＝2 100.同理，a 2，a 4，a 6，…，a 100是以3为首项，公差为2的等差数列，共50项． ∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝50×3＋50×(50－1)2×2＝2 600.∴S 100＝2 100＋2 600＝4 700. 二、能力提升8．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.10．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －1n ＋7，则a 7b 7＝________.答案1910解析方法一 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13－113＋7＝1910. 方法二因为S n T n ＝3n －1n ＋7，所以设S n ＝(3n －1)kn ，T n ＝(n ＋7)·kn (k ≠0)．所以a 7＝S 7－S 6＝38k ，b 7＝T 7－T 6＝20k . 所以a 7b 7＝38k 20k ＝1910.11．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．解方法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.方法二设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧ a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n . ∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. 12．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n .(2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2·(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2 (n ≤5)n 2－9n ＋40 (n >5). 三、探究与拓展13．有两个加工资的方案：一是每年年末加1 000元；二是每半年结束时加300元．如果在该公司干10年，问：(1)选择哪一种方案好？选准了较好的方案，与另一方案相比，10年中多加薪多少元？(2)如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，问a 取何值时，总是选择第二方案比第一方案加薪多？解按第一种方案，每年加薪数形成等差数列{a n }且a 1＝1 000，d ＝1 000，n ＝10，按第二种方案，每半年加薪数形成等差数列{b n }且b 1＝300，d ＝300，n ＝20.(1)第10年的年末，依第一方案可得共加薪S n ＝(1 000＋2 000＋3 000＋…＋10 000)＝55 000(元)．依第二方案可得共加薪T n ＝(300＋300×2＋300×3＋300×4＋…＋300×20)＝63 000(元)，因此在公司干10年，选择第二方案好，多加薪63 000－55 000＝8 000(元)．(2)到第n 年年末，依第一方案可得共加薪1 000(1＋2＋…＋n )＝500n (n ＋1)(元)．依第二方案可得共加薪a (1＋2＋3＋4＋…＋2n )＝an (2n ＋1)(元)．由题意an (2n ＋1)>500n (n ＋1)对一切n ∈N ＋都成立，即a >500(n ＋1)2n ＋1＝250＋2502n ＋1，又因为250＋2502n ＋1≤250＋2503，所以a >250＋2503＝1 0003. 所以当a >1 0003元时，总是选择第二方案比第一方案加薪多．。

2019-2020年人教A版高中数学必修五第二章第3节《等差数列前n项数和》(第2课时)教案

2019-2020年人教A版高中数学必修五第二章第3节《等差数列前n项数和》（第2课时）教案一、教学目标：1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究。

2、通过等差数列前n项和的公式应用，体会数学的逻辑性3、通过有关内容在实际生活中的应用，引导学生要善于观察生活二、教学重点难点：教学重点：等差数列前n项和公式的性质.教学难点：等差数列前n项和公式的性质及函数与方程的思路.三. 教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.五.教学过程教学过程设计为六个教学环节：（如下图）前，那么这个数列一探究点1. 已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为 S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1)，可知，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n－[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可见：数列{a n }是以32为首项，公差为2的等差数列．探究点二等差数列前n 项和的最值思考1 将等差数列前n 项和 S n ＝na 1＋n n －2d 变形为S n 关于n的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？答由于S n ＝na 1＋nn －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0. 思考2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？答由二次函数的性质可以得出：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．另外，数列作为特殊的函数，则有(1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．(2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值；特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．解由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57，所以S n ＝5n ＋n n －2(－57)＝－514(n －152)2＋1 12556. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值．另解：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－57＝－57n ＋407.a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8，即a 8＝0，a 9<0.所以和是从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项或前8项和最大．反思与感悟：在－1)2＋12(n －1)+1]＝2n －12.当n ＝1时代入a n ＝2n －12得a 1＝23≠25. ∴a n ＝{)2(212)1(25≥-=n n n .2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．解方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2.∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时， S n 取到最小值．易求S 6＝S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12. ∴S n ＝na 1＋a n 2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694.∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42.列，该数列的。

高中数学 2.3等差数列前n项和(2)导学案人教A版必修5

2.3 等差数列前n 项和(2)【学习目标】1. 探索并掌握等差数列的前n 项和公式2. 能够应用等差数列的前n 项和公式解决等差数列的问题.【重点难点】在具体的问题情境中，如何灵活运用等差数列的前n 项和公式解决相应的实际问题【学习过程】一、自主学习：任务1:等差数列的通项公式和其变形公式等差数列的通项公式和一次函数比较图像为其变形公式n a 关于n 的一次函数形式为任务2:等差数列的前n 项和公式是和等差数列的前n 项和公式化为二次函数一般式为，图像为二、合作探究归纳展示探究1：问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？三、讨论交流点拨提升例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a . 例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当01>a ，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当01<a ，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d d S n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.．四、学能展示课堂闯关知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1.若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S a n S a +≥奇偶＝； 2.若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝.1. 下列数列是等差数列的是（）.A. 2n a n =B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（）.A. 3B. 4C. 6D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）.A. 70B. 130C. 140D. 1704. 在小于100的正整数中共有个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++=五、学后反思1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.【课后作业】1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？。

高三数学必修5教案：《等差数列的前n项和》

高三数学必修5教案：《等差数列的前n项和》在学习上做一眼勤、手勤、脑勤，就可以成为有学问的人。

教学目标数列求和的综合应用教学重难点数列求和的综合应用教学过程典例分析3.数列{an}的前n项和Sn=n2-7n-8，（1）求{an}的通项公式（2）求{|an|}的前n项和Tn4.等差数列{an}的公差为，S100=145，则a1+a3 + a5 + …+a99=5.已知方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=6.数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12（1）求{an}的通项公式（2）令bn=anxn ，求数列{bn} 前n项和公式7.四数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项之和为21，中间两项之和为18，求此四个数8. 在等差数列{an}中，a1=20，前n项和为Sn，且S10= S15，求当n为何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值. 已知数列{an}，an isin;N*，Sn= （an+2）2（1）求证{an}是等差数列（2）若bn= an-30 ，求数列{bn}前n项的最小值0. 已知f（x）=x2 -2（n+1）x+ n2+5n-7 （nisin;N*）（1）设f（x）的图象的顶点的横坐标构成数列{an}，求证数列{an}是等差数列（2设f（x）的图象的顶点到 x轴的距离构成数列{dn}，求数列{dn}的前n项和 sn.11 .购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少（精确到1元）12 .某商品在最近100天内的价格f（t）与时间t的函数关系式是 f（t）=销售量 g（t）与时间t的函数关系是g（t）= -t/3 +109/3 （0 le;t le;100）求这种商品的日销售额的最大值注：对于分段函数型的应用题，应注意对变量x的取值区间的讨论；求函数的最大值，应分别求出函数在各段中的最大值，通过比较，确定最大值。