高中数学必修五第二章数列学案 等差数列的前n项和(2)

§2.3 等差数列的前n 项和(2)

主备人： 王 浩 审核人： 马 琦

学习目标

1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；

2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；

3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.

学习过程

一、复习回顾

1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .

2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .

二、新课导学

※ 探究一：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？

※探究二：记等差数列{}n a 的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇．当项数为2n 时，则有

S S nd -=奇偶 ；当项数为21n -时，则有n S S a -=奇偶 。

※探究三：当等差数列{}n a 的项数为21n -时，有12-n S = 。

※ 典型例题

例1、已知数列{}n a 的前n 项为212

n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列

吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

变式：已知数列{}n a 的前n 项为212

343n S n n =++，求这个数列的通项公式.

小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为

n a =11(1)

(2)n

n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .

例2、等差数列{}m a 共有2n 项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且

2133n a a -=-，求该数列的公差d 。

变式：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且745

3

n n A n B n +=+，求n n a b 。

例2、已知等差数列24

54377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.

变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.

小结：等差数列前n 项和n S 的最大（小）值的求法. （1）通项公式法：

当10a >，0d <时，n S 有最大值；满足⎩⎨⎧≤≥+00

1

n n a a 的项数n 使得n S 取最大值．

当10a <，0d >时，n S 有最小值；满足⎩⎨⎧≥≤+00

1

n n a a 的项数n 使得n S 取最小值．

（2）函数法：由21()22

n d d

S n a n =

+-，利用二次函数的对称轴求得最大（小）值时n 的值. 三、总结提升

※ 学习小结

1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；

2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. ※ 知识拓展

等差数列奇数项与偶数项的性质如下： 1°若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；

1

(2)n n S a

n S a +≥奇偶＝； 2°若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；

1

S n S n +偶

奇＝.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测

1. 下列数列是等差数列的是（ ）.

A. 2n a n =

B. 21n S n =+

C. 221n S n =+

D. 22n S n n =-

2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 12

3. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 170

4. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .

5. 在等差数列中，公差d ＝

1

2

，100145S =，则13599...a a a a ++++= .

1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.

2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？

3．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.

等差数列的前n 项和练习题（二）

一、选择题

1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

2．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2

110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（ ）

A ．2-

B ．0

C ．1

D ．2

3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27

4．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260

5．在等差数列}a {n 中，0a 1<，n S 为前n 项和，且163S S =，则n S 取得最小值时n 的值为（ ）

A ．9

B ．10

C ．9或10

D ．10或11