专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题(解析版)

一．方法综述

数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.

二．解题策略

类型一数列中的恒成立问题

【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】

由题意得，则，等差数列的公差，

.

由，

得，

则不等式恒成立等价于恒成立，

而，

问题等价于对任意的，恒成立.

设，，

则，即，

解得或.

故选:A.

【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得

，借助裂项相消法得到，又

，问题等价于对任意

的

，

恒成立.

【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2

142,n n S S n n n N -++=≥∈，若

对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,5 B ．()4,6 C ．[)3,5 D ．[)4,6 【答案】A

类型二 数列中的最值问题

【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足

，

，则使

的正整数的最小值是（ ） A ．2018

B ．2019

C ．2020

D ．2021

【答案】C

【解析】

令,则,所以，从而，

因为,所以数列单调递增，

设当时, 当时,

所以当时，，，

从而,

因此,

选C.

【指点迷津】本题利用数列的递推公式,确定数列的单调性，令,利用裂项相消法得，再根据范围求正整数的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中确定数列单调性是解题的关键【举一反三】【河南省许昌市、洛阳市2019届高三三模】已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（）

A．B．C．49 D．

【答案】B

【解析】

当时，，解得.当时，由，得，两式

相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故

，

由于是单调递增数列，，.

故的最小值为，故选B.

类型三 数列性质的综合问题

【例3】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知等差数列的前n 项和为，若1≤≤3，

3≤≤6，则的取值范围是_______． 【答案】

【解析】 在等差数列中，

，

∴，

又，

∴．

由得

．

∴，即，

∴

．

即的取值范围是．

故答案为：．

【指点迷津】1.本题先根据

求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果.

2.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如()10,1n n a qa p p q -=+≠≠的递推数列求通项往往用构造法，即将()10,1n n a qa p p q -=+≠≠利用待定系数法构造成()1n n a m q a m -+=+的形式，再根据等比数例求出{}n a m +的通项，进而得出{}n a 的通项公式. 【举一反三】【广东省汕尾市2019年3月高三检测】已知数列的首项

为数列的前项和若

恒成立，则的最小值为______．

【答案】 【解析】 数列

的首项

，

则：常数

故数列是以为首项，3为公差的等差数列．

则：首项符合通项．

故：，

，

，

由于数列的前n项和恒成立，

故：，

则：t的最小值为，

故答案为：．

类型四数列与函数的综合问题

【例4】已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，，

恒成立，若数列满足（）且，则下列结论成立的是（）A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】

对任意的实数x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，

取x＝y＝0，则f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1．

当f（0）＝0时，，得余题意不符，故舍去.

所以f（0）＝1．

取y＝﹣x＜0，则f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x），

设x1＜x2，则f（x1﹣x2）＝f（x1）•f（﹣x2）1，∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数f（x）在R上单调递减．

∵数列{}满足f（a n+1）f（）＝1＝f（0）．

∴0，∵a1＝f（0）＝1，

∴，＝﹣2，＝1，，……．

∴＝．

∴＝，＝＝1．＝，＝＝﹣2．

∴f（）1，f（）＝f（1）＜1．

∴f（）＞f（）．

而f（）＝f（），f（）＜1＜f（），

f（）＝f（）＜f（）＝f（﹣2），

因此只有：C正确．

故选：C．

【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.

(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系. 【举一反三】【浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考】已知数列中，

，若对于任意的，不等式恒

成立，则实数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】

由题，

即

由累加法可得：

即