1.1 不等关系 (2)
3.1.1不等关系和3.1.2不等关系与不等式(一)课件ppt
∴aabb＝abba.(8 分) a (3)当 a＜b 时，0＜ ＜1，a－b＜0， b
a a－b ∴ ＞1，∴aabb＞abba.(11 分) b
综上可知，当 a＞0，b＞0 时，aabb≥abba.(12 分)
课堂讲练互动
自学导引
1．关于a≥b或a≤b的含义 (1)a＞b或a＜b，表示严格的不等式． 大于或等于b 或者a (2)不等式“a≥b”读作“_____________”．其含义是指“_____ ＞b，或者a＝b ______________”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有
一个正确，则a≥b正确． a小于或等于b (3)不等式“a≤b”读作“______________”．其含义是指“或者 a不大于b a＜b，或者a＝b”，等价于“__________”，即a＜b或a＝b中 有一个正确，则a≤b正确．
解 1)(x
2
(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－
1 2 3 －x＋1)＝(x－1)x－ ＋ 2 4
12 3 ∵x＜1，∴x－1＜0，又x－ ＋ ＞0. 2 4 1 2 3 ∴(x－1)[x－ ＋ ]＜0，∴x3－1＜2x2－2x. 2 4
课前探究学习
课堂讲练互动
【题后反思】 (1)作商比较法的应用条件，利用作商比较 法的前提是两个数需同号，一般情况下，比较两个正数间 的大小关系多用作商法． (2)作商法的基本步骤： ①作商；②变形；③判断与1的大小；④得出结论．
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练3】 若m＞0，比较mm与2m的大小．
&1.1.1不等式的基本性质
&1.1.1不等式的性质 &1.1.1不等式的性质
一、实数的有序性
0 Ｘ
• 1.实数在数轴上的性质: 1.实数在数轴上的性质 实数在数轴上的性质: • 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 研究不等式的出发点是实数的大小关系。 轴上的点与实数1 对应， 轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小： 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
a > b, c < 0 ⇒ ac < bc. a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd.
单向性
5.乘方 : a > b > 0 ⇒ a n > b n (n ∈ Z, 且n ≥ 2 )
6.开方 : a > b > 0 ⇒ n a > n b (n ∈ Z, 且n ≥ 2)
同向相加相乘
二、不等式的基本性质
1、对称性：a > b ⇔ b < a
2、传递性：a > b, b > c ⇒ a > c
双向性
3、加（减）：a > b ⇒ a + c > b + c;
(加法法则)a > b, c > d ⇒ a + c > b + d; 4、乘(除 )：a > b, c > 0 ⇒ ac > bc;
Ａ a a<b
Ｂ b x
Ｂ b a>b
Ａ a x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 a,b是两个实数, 是两个实数 A,B,那么 当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B 那么, ,a<b;当点 A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右边 时,a>b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么a 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么aa,b的大小关系 基本事实 a>b,那么 是正数;如果a=b,那么a 等于零;如果a<b,那么a a=b,那么 a<b,那么 b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b是 负数;反过来也对. 负数;反过来也对.
高二济南数学课本目录
高二济南数学课本目录必修五第一章数列1.数列1.1数列的概念1.2数列的函数特性2.等差数列2.1等差数列2.2等差数列的前n项和3.等比数列3.1等比数列3.2等比数列的前n项和4.数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形1.正弦定理与余弦定理1.1正弦定理1.2余弦定理2.三角形中的几何计算3.解三角形的实际应用举例第三章不等式1.不等关系1.1不等关系1.2不等关系与不等式2.一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用3.基本不等式3.1基本不等式3.2基本不等式与最大（小）值4.简单线性规划4.1二元一次不等式（组）与平面区域4.2简单线性规划4.3简单线性规划的应用选修2-1第一章常用逻辑用语1.命题2.充分条件与必要条件2.1充分条件2.2必要条件2.3充要条件3.全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题3.3全称命题与特称命题的否定4.逻辑连结词“且”“或”“非”4.1逻辑连结词“且”4.2逻辑连结词“或”4.3逻辑连结词“非”第二章空间向量与立体几何1.从平面向量到空间向量2.空间向量的运算3.向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理3.3空间向量运算的坐标表示4.用向量讨论垂直与平行5.夹角的计算5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角5.3直线与平面的夹角6.距离的计算第三章圆锥曲线与方程1.椭圆1.1椭圆及其标准方程1.2椭圆的简单性质2.抛物线2.1抛物线及其标准方程2.2抛物线的简单性质3.双曲线3.1双曲线及其标准方程3.2双曲线的简单性质4.曲线与方程4.1 曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证1.归纳与类比1.1归纳推理1.2类比推理2.综合法与分析法2.1综合法2.2分析法3.反证法4.数学归纳法第二章变化率与导数1.变化的快慢与变化率2.导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义3.计算导数4.导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则5.简单复合函数的求导法则第三章导数的应用1.函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性1.2函数的极值2.导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义2.2最大值、最小值问题第四章定积分1.定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分2.微积分基本定理3.定积分的简单应用3.1平面图形的面3.2简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入1.数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念2.复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法。
1.1.1不等式的基本性质课件人教新课标4
堂 双
主
基
导 学
所以xx－2yx2＋x＋1y＞0.
达 标
所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.
课
堂
互 动 探 究
课 时 作 业
菜单
不等式的基本性质
新课标 ·数学 选修4-5
判断下列命题是否正确，并说明理由．
课
当
前 自
(1)若a>b，则ac2>bc2；
堂 双
主
基
导 学
(2)若ca2>cb2，则a>b；
自 主
A．3a>2a
B．a2<2a
双 基
导
达
学
1
C.a<a
标
D．3－2a>1－2a
课
堂 互
【答案】 D
动
探
究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
2．已知m，n∈R，则m1 ＞1n成立的一个充要条件是
课 前
A．m＞0＞n
自
主 导
C．m＜n＜0
学
B．n＞m＞0 D．mn(m－n)＜0
()
当 堂 双 基 达 标
课
堂 方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答
互 动
探 此类问题的基础．
究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
课 前 自
已知－6<a<8,2<b<3，分别求a－b，ab的取值范围．
当 堂 双
主
基
导
达
学
【解】 ∵－6<a<8,2<b<3.
标
∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6，
数学资源与评价答案
聚沙成塔：甲同学说的意思是：如果每5人一组玩一个篮球，那么玩球的人数少于50人，有些同学就没有球玩．
乙同学说的意思是：如果每6人一组玩一个篮球，那么就会有一个组玩篮球的人数不足6人．
丙同学说的意思是：如果每6人一组玩一个篮球，除了一个球以外，剩下的每6人玩一个球，还有几个（不足6人）玩另外一个篮球．
∴7.5＜x＜12，∴x可取8，9，10，11．
又∵2x=60－3y=3（20－y） ∴2x应是3的倍数
∴x只能取9，y = = 14
答：白球有9个，红球有14个．
1．4一元一次不等式（1）
1．B；2．C；3．D；4．B；5．B；6．D；7．A；8．A；9．x＝0，－1，－2，－3，－4 ；10．x＜－3；11．R＞3；12．－6；13．2；14．2≤a＜3； 15．x≥ ．
1．2 不等式的基本性质
1．C； 2．D； 3．B； 4．A； 5．C； 6．A； 7．C； 8．D； 9．（1）＜（2）＞（3）＞（4）＞（5）＞（6）＜；10．（1）＜（2）＞（3）＞（4）＜；11．a＜0； 12．（4）；
13．0，1，2，3，4，5； 14．＜ ； 15．＜2 ＜0； 16．＞ ．
16．第④步错误，应该改成无论x取何值，该不等式总是成立的，所以x取一切数．
17．（1）得x≥1；（2）x＞5；（3）x≤1；（4）x＜ 3；
18．（1）解不等式 ，得
所以当 时， 的值是非负数．
（2）解不等式 ，得
所以当 时，代数式 的值不大于1
19．p＞－6． 20．－11．
如果下月初出售，可获利y2元，则y2＝25%x－8000＝0.25x－8000
1.1-2实数大小的比较、不等式的性质
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若ab>1，则 a>b. (2)∀x∈R，x2>2x. (3)若 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则 a>0，c<0.
解析
() () ()
教材整理 2 不等式的性质
阅读教材 P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题． 性质 1 对称性 a＞b⇔b＜a
设m＝1x＋1y，n＝x＋4 y，试比较 ＝x＋xyy－x＋4 y＝x＋xyyx2＋－y4xy＝xyx－x＋yy2，
m与n的大小．
∵x，y均为正数，
∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，
(x－y)2≥0，
∴m－n≥0，即m≥n.
2.判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a＞b，则 ac2＞bc2；(2)若ca2＞cb2，则 a＞b； (3)若 a＞b，ab≠0，则1a＜1b；(4)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd.
实数大小的比较 【例 1】 (1)比较（3x-2）（x+1）与（2x+5）（x-1）的大小； (2)若 a＞0，b＞0 试比较 abba 与 aabb 的大小．
[精彩点拨] (1)只需考查两者差同 0 的大小关系； (2)注意到 2m＞0，可求商比较大小，但要注意到用不等式的性质．
比较大小的常用方法及步骤 1．求差法：a≥b⇔a－b≥0，a≤b⇔a－b≤0. 一般步骤是：作差→变形→判号→定论． 变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．
推论 2 如果 a＞b＞0，那么 a2＞b2
推论 3 如果 a＞b＞0，那么 an_＞_bn(n 为正整数) 推论 4 如果 a＞b＞0，那么 a1n＞__b1n(n 为正整数)
3.1.2不等关系与不等式(二)课件ppt(北师大版必修五)
所以f(－2)＝4a－2b＝2(x＋y)－(y－x)＝3x＋y， 而1≤x＝a－b≤2,2≤y＝a＋b≤4，所以5≤f(－2)≤10.
本题把所求的问题用已知不等式表示，然后利用 同向不等式的性质 加以解决，解决此类问题常用的方法是 方程组思想与待定系数法．
课前探究学习
课堂讲练互动
[正解] 法一 (待定系数法)： 设 f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
所以－m＋m＋n＝n＝4，－2， 解得mn＝＝13.，
答案 3
课前探究学习
课堂讲练互动
题型二 利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 (1)已知 a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc； (2)已知 a＞1，m＞n＞0，求证：am＋a1m＞an＋a1n. [思路探索] (1)对不等式进行变形，利用不等式的性质证 明；(2)将不等式两边相减，转化为比较与0的大小问题．
课堂讲练互动
想一想：若a＞b＞0，当n＜0时，an＞bn成立吗？
提示 不成立，如当 a＝3，b＝2，若 n＝－1，则 3－1＝ 13＜2－1＝12，所以原式不成立．
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．对不等式性质的理解 (1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的 依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关 键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用． (2)性质4中①当c＞0时，得同向不等式．②当c＜0时，得 异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc. (3)性质5是同向不等式相加得同向不等式并无相减式． (4)性质6是均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式， 并无相除式．
不等式与不等式组
不等式与不等式组引言：不等式是数学中一种重要的表达式，它可以描述数值之间的大小关系。
而不等式组则是多个不等式的集合，通过不等式组可以更准确地描述多个数值之间的关系。
本文将介绍不等式的基本概念、解不等式的方法以及解不等式组的方法，并通过实例进行详细说明。
一、不等式的基本概念1.1 不等式的定义不等式是数学中一种比较两个数值大小关系的表达式。
常见的不等式符号包括大于（>）、小于(<)、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
1.2 不等式的性质不等式有以下基本性质：（1）任意数与自身的不等关系是等式关系，即a = a；（2）如果a > b，那么b < a；（3）如果a > b，且b > c，则a > c（传递性质）；（4）两个不等式可以通过加法、减法、乘法和除法进行运算，运算的结果仍然是不等式。
二、解不等式的方法解不等式的方法主要有图解法、试值法和换元法。
下面将对这三种方法进行详细介绍。
2.1 图解法图解法是通过将不等式转化为图形进行分析和求解的方法。
以一元不等式为例，画出数轴并标出关键点，再根据不等式的符号来判断解的范围，从而得到不等式的解集。
2.2 试值法试值法是通过选择一些特定的数值，代入不等式进行验证，找出满足不等式的数值范围，进而得到不等式的解集。
2.3 换元法换元法是通过引入新的变量，将原不等式转化为一个更简单的形式进行求解。
常用的换元方法有代换法、平方取非负法等。
三、解不等式组的方法不等式组是由多个不等式组成的集合，解不等式组需要判断每一个不等式的解集并进行求交集的操作。
下面介绍两种解不等式组的方法。
3.1 图解法图解法也适用于解不等式组。
以二元不等式组为例，将每个不等式转化为平面直角坐标系上的图形，并找出所有满足条件的交集区域，便得到了整个不等式组的解集。
3.2 代入法代入法是通过将不等式组的某个解代入原不等式组进行验证，从而找出满足全部不等式的解集。
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质
探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
不等关系说课稿
不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的大小关系。
在数学的学习过程中，深入理解不等关系对于解决问题和推理判断都具有重要意义。
本文将从不等关系的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、不等关系的定义1.1 不等关系的基本概念不等关系是指两个数之间的大小关系，可以分为大于、小于、大于等于、小于等于四种情况。
用符号表示时，大于用 ">"，小于用 "<"，大于等于用"≥"，小于等于用"≤"。
1.2 不等关系的传递性不等关系具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。
这个性质在解决问题时非常实用，可以简化推理过程。
1.3 不等关系的对称性不等关系不具有对称性，即a>b不一定意味着b<a。
这是因为不等关系是基于数的大小进行比较，而不是数的本身。
二、不等关系的性质2.1 不等关系的反身性不等关系具有反身性，即对于任意的数a，都有a≥a或者a≤a。
2.2 不等关系的传递闭包不等关系的传递闭包是指将不等关系中的传递性扩展到所有可能的数对上。
通过传递闭包，我们可以得到更多的不等关系。
2.3 不等关系的等价关系不等关系可以看做是等价关系的一种特殊情况。
等价关系具有自反性、对称性和传递性，而不等关系只具有自反性和传递性。
三、不等关系的应用3.1 不等关系在数学推理中的应用不等关系在数学推理中起到了重要的作用，可以匡助我们解决各种问题。
例如，在证明不等式时，我们可以利用不等关系的传递性和性质来进行推导。
3.2 不等关系在实际问题中的应用不等关系在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在经济学中，不等关系可以描述不同商品的价格大小关系；在物理学中，不等关系可以描述物体的大小和分量关系等。
3.3 不等关系在计算机科学中的应用不等关系在计算机科学中也有重要的应用。
例如，在排序算法中，我们可以利用不等关系对元素进行比较和排序；在数据库查询中，不等关系可以用于筛选满足特定条件的数据。
C.第3章 不等式
第三章不等式1.1不等关系1.2不等关系与不等式课时目标1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a，b的大小(1)文字叙述：如果a－b是正数，那么a____b；如果a－b等于____，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a____b，反之也成立．(2)符号表示：a－b>0⇔a____b；a－b＝0⇔a____b；a－b<0⇔a____b. 2．常用的不等式的基本性质(1)a>b⇔b____a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a____c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c____b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac____bc；a>b，c<0⇒ac____bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c____b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac____bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒a n____b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒na____nb.一、选择题1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A.1a<1b B．a2>b2 C.ac2＋1>bc2＋1D．a|c|>b|c|2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2 B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a3．已知a、b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是()A．a2<b2B．a2b<ab2 C.1ab2<1a2b D.b a< a b4．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则()A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a 5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是()A．b－a>0 B．a3＋b3<0 C．a2－b2<0 D．b＋a>0 6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是()A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2二、填空题7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为____________．8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．9．若x∈R，则x1＋x2与12的大小关系为________．10．设n>1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________．三、解答题11．设a>b>0，试比较a2－b2a2＋b2与a－ba＋b的大小．12．设f(x)＝1＋log x3，g(x)＝2log x2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．能力提升13．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1 D.1 214．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．2.1 一元二次不等式的解法课时目标1.会解简单的一元二次不等式.2.了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．1．一元一次不等式：一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．(1)若a >0，解集为________________；(2)若a <0，解集为________________． 2．一元二次不等式：一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．3(a >0)的解集一、选择题1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2} 3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( )A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)二、填空题7．二次函数28．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是______________．9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 10．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________________．三、解答题11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.能力提升13．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3D.⎝⎛⎭⎫0，2a 3 14．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．2.2 一元二次不等式的应用课时目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1.一元二次不等式的解集：判别式 Δ＝b 2－4acΔ>0x 1<x 2 Δ＝0 Δ<0ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)2.(1)f (x )g (x )>0⇔________； (2)f (x )g (x )≤0⇔__________； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔__________；ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔__________. (2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则：a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________. 4．简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f (x )>0用穿针引线法(或数轴穿根法)求解，其步骤是： (1)将f (x )最高次项的系数化为正数；(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积或商的形式；(3)将每个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f (x )值的符号变化规律，写出不等式的解集．一、选择题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1}3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}4．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]5．不等式x 2－x －6x －1＞0的解集为( )A.{}x | x ＜－2，或x ＞3B.{}x | x ＜－2，或1＜x ＜3C.{}x | －2＜x ＜1，或x ＞3D.{}x | －2＜x ＜1，或1＜x ＜36．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 二、填空题7．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________.8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )<0的解集可用P 、Q 表示为________． 10．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．能力提升13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509D ．不存在14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，注意分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ； (2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3.1 基本不等式课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab (当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b2____ab (当且仅当a ____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中______称为a ，b 的算术平均数，______称为a ，b 的几何平均数． 3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；(2)当x >0时，x ＋1x ≥____；当x <0时，x ＋1x ≤______.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥____；当ab <0时，b a ＋ab≤____.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、选择题1．已知a >0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b 中最小的是( )A.a ＋b 2B.abC. a 2＋b 22D.2ab a ＋b2．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n 3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <1 4．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 5．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )A.12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 2 6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3二、填空题7．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________．8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y 的最小值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．214．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c .1．设a ，b 是两个正实数，用min(a ，b )表示a ，b 中的较小的数，用max(a ，b )表示a ，b中的较大的数，则有min(a ，b )≤21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max(a ，b )．当且仅当a ＝b时，取到等号．2．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取…＝‟号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .3.2 基本不等式与最大(小)值课时目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．设x ，y 为正实数(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当______时，积xy 有最____值，且这个值为______． (2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当______时，和x ＋y 有最____值，且这个值为______． 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x ，y 必须是______；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为______； 求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为______． (3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．一、选择题1．函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2 2B ．4 2C ．16D ．不存在3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值14．函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为( )A ．2 B.52 C ．1 D ．不存在 5．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1126．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92 二、填空题7．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．8．已知正数a ，b 满足a ＋b －ab ＋3＝0，则ab 的最小值是________．9．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．10．函数y＝log a(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图像恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则1m＋2n的最小值为________．三、解答题11．已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?能力提升13．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有() A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉M C．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M 14．设正数x，y满足x＋y≤a·x＋y恒成立，则a的最小值是______.1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑结合函数图象求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．4.1 二元一次不等式(组)与平面区域课时目标1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念含有________未知数，并且未知数的次数是____的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为________________． 2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线__________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成______以表示区域不包括边界．不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成______． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得的符号都____． (2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由____________的符号可以断定Ax ＋By ＋C >0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．一、选择题1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6>0x <0B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6≥0x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ y >－23x －2y ＋6>0x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6<0x <02．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( )A ．(－1,6)B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 3．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的区域为( )4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1 6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34二、填空题7．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是_____________．8．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________． 10．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．三、解答题11．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3y ≥26x ＋7y ≤50的整数解．12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于直线x＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是多少？能力提升13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞) 14．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是_______．1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分． 2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路，不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．4.2 简单线性规划课时目标 1.了解线性规划的意义.2.会求一些简单的线性规划问题．名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式可行解 满足____________的解(x ，y ) 可行域 所有________组成的集合 最优解 使目标函数取得____________的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.7152．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．103．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1，0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)24．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,35．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x ，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125D ．2 二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为________． 三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．4.3 简单线性规划的应用课时目标1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.2.掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．1．用图解法解线性规划问题的步骤：(1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．一、选择题1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )如图所2. 示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的 值为( )A.14B.35 C ．4 D.533．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱5．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，仅点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫23，2B.⎝⎛⎭⎫1，53C.⎝⎛⎭⎫－2，－23D.⎝⎛⎭⎫－3，－43 二、填空题 6．(2009·山东)某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元． 7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大． 三、解答题9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能 既满足营养，又使费用最省？10．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？能力提升11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数 z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．112．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别至少为15、18、 27块，问各截这两种钢板多少张可得所 需三种规格成品，且使所用钢板张数最 少？1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优 整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．。
玩转数学符号认识大于小于和等于的含义
玩转数学符号认识大于小于和等于的含义玩转数学符号认识大于、小于和等于的含义数学是一门语言表达和解决问题的工具，而数学符号则是这门语言中至关重要的组成部分之一。
在数学中，大于、小于和等于是最基本的比较关系，通过这些符号，我们可以准确地描述和比较数值的大小关系。
本文将带您深入了解大于、小于和等于的含义及其在数学中的应用。
一、大于（>）的含义及应用大于符号（>）表示一个数值比另一个数值要大。
例如，若 a > b，则表示 a 的数值比 b 的数值更大，数轴上 a 的位置在 b 的右侧。
大于符号的应用非常广泛，在数学中常用于比较大小、表示不等关系和进行推理推断。
下面列举几个具体的应用场景：1.1 大于的比较关系在数学中，大于符号经常用于比较两个数值的大小。
例如，若 a = 5，b = 3，则可以写作 5 > 3，表示 5 大于 3。
这种比较关系在数学运算、数列排序等方面都有广泛的应用。
1.2 不等关系的表示大于符号还可以用来表示不等关系。
当 a 大于 b 时，可以写作a ≠ b。
这种表示方法在解决方程组、不等式等中十分常见，用于表达数值之间的差异。
1.3 推理和推断在数学推理和推断中，大于符号也发挥着重要的作用。
通过比较数值大小，我们可以对数值进行排序、找出最大值或最小值，并推导出数学结论。
例如，通过观察 a > b 和 b > c 的关系，可以得出 a > c 的结论。
二、小于（<）的含义及应用小于符号（<）与大于符号相反，表示一个数值比另一个数值要小。
若 a < b，则表示 a 的数值比 b 的数值更小，数轴上 a 的位置在 b 的左侧。
小于符号的应用与大于符号类似，常用于比较大小、表示不等关系和进行推理推断。
以下是小于符号的具体应用示例：2.1 小于的比较关系小于符号在数学中用于比较两个数值的大小。
例如，若 a = 2，b = 4，则可以写作 2 < 4，表示 2 小于 4。
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修)
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。
八年级不等关系知识点
八年级不等关系知识点在数学学科的学习中，不等关系是十分重要的一个知识点。
在八年级的数学课程中，学生们需要学会理解和应用不等关系的基本概念和方法，以便在日常生活、学术研究和职业发展中得到更好的应用。
一、不等关系的基本概念不等关系是指两个数、两个量或两个代数式之间的大小或大小关系不同的关系。
在不等关系中，有等于、大于、小于、大于等于和小于等于五个常用的运算符号。
以数的不等关系为例，对于两个数 a 和 b，如果 a > b，则说明a 大于 b；如果 a < b，则说明 a 小于 b；如果a ≥ b，则说明 a 大于或等于 b；如果a ≤ b，则说明 a 小于或等于 b；如果 a = b，则说明 a 等于 b。
二、不等关系的性质除了运算符号的含义外，不等关系还有一些重要的基本性质，对于学生们的学习和理解也是十分关键的。
1. 对称性。
不等关系的对称性是指，如果 a > b，则 b < a；如果 a < b，则 b > a。
2. 传递性。
不等关系的传递性是指，如果 a > b，b > c，则 a > c；如果 a < b，b < c，则 a < c。
3. 反对称性。
不等关系的反对称性是指，如果a ≥ b，b ≥ a，则a = b。
三、不等关系的应用不等关系不仅仅是理论知识，还具有实际应用。
在日常生活和工作中，人们常常需要应用不等关系来进行量化和比较。
1. 应用于数学领域。
不等关系在代数学、函数学、几何学等学科中有广泛的应用，帮助研究人员更好地理解数学基础理论的构建和发展。
2. 应用于物理学领域。
在物理学中，不等关系用于物体的质量、速度、角度等多种因素的比较和分析中。
3. 应用于经济学领域。
不等关系在经济学中常用于分析收入、财富等经济因素的差异和不平等现象，并提出相应的政策建议和措施。
总结在八年级的数学学习中，透彻理解不等关系的基本概念、性质和应用是至关重要的。
1.1 不等关系 课件9(北师大版八年级下)
由此可见，“不相等”处处可见. 从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．
问题一：如图，用两根长度均为l的绳子，分别 围成一个正方形和圆.
在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表 示为:
l 2 ( ) 4
圆的面积可以表示为:
l 2 ( ) 2
如图，用两根长度均为l的绳子，分别围成一个 正方形和圆。
1、如果要使正方形的面积不大于25平方厘米， 那么绳长l应满足怎样的关系式？ 要使正方形的面积不大于25平方厘米，就是
l 2 ( ) 25 4 2 l 即 25 16
如图，用两根长度均为l的绳子，分别围成一个 正方形和圆。
2
2 2
4
4<5.1,
2
此时圆的面积大
当l=12时，正方形的面积为
12 2 11 . 5 ( cm ) 圆的面积为 4
12 2 9(cm ) 16
2
9<11.5, 此时圆的面积大
如图，用两根长度均为l的绳子，分别围成一个 正方形和圆。
4、你能得到什么猜想？改变你的取值再试一试. 我们可以猜想，用长度均为lcm的两根绳 子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值， 圆的面积总是大于正方形的面积，即
新功的可能性比我们设想的要大。
[英国]培根
• 我没有什么特别的才能，不过喜欢 寻根刨底地追究问题罢了。
[美国]爱因斯坦
1 不等关系
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的 工作原理吗？ 其实，翘翘板就是靠不断改变两端的重量 对比来工作的．
看 一 看
1 不等关系
不等式与区间探索不等式与区间的性质解决不等式的相关问题
不等式与区间探索不等式与区间的性质解决不等式的相关问题不等式与区间是数学中重要的概念，用于描述数值之间的大小关系。
在解决不等式相关问题时，我们需要了解不等式的性质以及区间的特点。
本文将探讨不等式与区间的性质，并通过实例解决不等式的相关问题。
一、不等式的基本概念与性质在数学中，不等式是一种数值之间大小关系的描述。
通常用符号“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）和“≥”（大于等于）表示。
不等式的基本概念如下：1.1 不等式的定义不等式是由等号“=”和大于、小于关系符号（如“<”和“>”）组成的数学表达式。
例如，1 + x > 5就是一个简单的不等式。
1.2 不等式的性质（1）传递性：如果a>b，b>c，则a>c。
这个性质可以在解不等式时进行推理。
（2）加法性：如果a>b，则a+c>b+c。
不等式两边同时加上相同的数，不等关系不变。
（3）乘法性：如果a>b，且c>0，则ac>bc。
不等式两边同时乘以正数，不等关系不变；如果c<0，则ac<bc，不等关系反转。
二、区间的基本概念与表示方法区间是指实数的一个子集，其中的数满足一定的范围关系。
在解决不等式问题时，区间起到了重要的作用。
下面是区间的基本概念和表示方法：2.1 区间的定义区间是实数构成的集合，满足特定条件的数值范围。
一般可以表示为[a, b]，其中a和b是实数。
2.2 区间的分类（1）闭区间：包含区间端点的区间，用[a, b]表示。
（2）开区间：不包含区间端点的区间，用(a, b)表示。
（3）半开区间：包含一个端点但不包含另一个端点的区间，用[a, b)或(a, b]表示。
（4）无穷区间：端点为无穷大或无穷小的区间，用[-∞, b]、(-∞, b]、[a, +∞)或[a, +∞)表示。
三、解决不等式问题的方法在解决不等式问题时，我们可以通过特定的方法和技巧来求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B A
CB
A D
CD
AB
解：设这棵树生长x年其树围才能超过 2.4m， 根据题意得：
5＋3x＞240
例题 某பைடு நூலகம்票5元/张，一次性购满30张，每
张4元。27人去游览，团长这正准备买27张 票，小明却提议买30张，这岂不是“浪费” 吗？
想一想：团体至少多少人时，多买票反而合算 呢？
解： 4×30=120（元） 5×27=135（元）
§1.1.不等关系
“数学是科学之王”——高斯（数学王子）
学习目标：
1.举例说明现实生活中的不等式的意义. 2.能结合生活实例列出不等式
自学指导
1、不大于，不小于，至少，非负数， 不超过分别表示什么？ 2、周长相等，圆和正方形谁的面积大？ 你能说明吗？ 3、举例说明什么是不等式？
警告！为了你的生命安全，燃
放时请及时转移至5米之外。
此例中有不等关系： “大于5”
生产日期：2010.02.15 保质期： 6个月
此例中有不等关系： “不大于6”
看一看
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想 过它的工作原理吗？其实，翘翘板就是 靠不断改变两端的重量对比来工作的．
此例中也含不等关系。
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作 原理，并且根据这一原理设计出了一些简单机 械，并把它们用到了生活实践当中．
此例中也含不等关系。
由此可见，“不相等”处处可见。从今天起，我们开始学习一类 新的数学知识：不等式．
不等式的定义及表示方法：
一般地，
用符号 “＜” （或 “≤”）， “＞” （或 “≥”）连接的式子叫做不 等式。
用适当的符号表示下列语句： “不大于”≤ ——， “不小于”≥ ——， “至少” ≥ ——， “非负数”≥0——， “不超过”≤ ——。
想一想(如下图)：用两根长度均为lcm的
绳子，分别围成一个正
方形和圆。
1.如果要使正方形的面积不大于25cm2, 那么绳长 l 应满足怎样的关系式？
l2
≤ 25
16
2.如果要使圆的面积不小于100cm2， 那么绳长l 应满足怎样的关系式？
l2
4 ≥ 100
3.当 l = 8时，正方形与圆
的面积哪个大？l = 12呢？
设团体至x人. 则5x≥30×4 ∴x≥24
答：不浪费.团体至少24人时，多买票反而合算。
随堂练习 用适当的符号表示下列关系：
（1）a是非负数； ( a≥o )
（2）直角三角形斜边c比它的两直角边a,b都长；
( c＞a, c＞b )
（3）x与17的和比它的5倍小；( X+17＜5x )
（4）从2，4，6，8，10中任取两个数就组成一组
∵ 82 4 16
cm 2
82 5.1 cm 2
4
4.你能得到什么猜想？改 变 l 的取值再试一试。
l2
＞
l2
∴ 圆的面积大
4 16
做一做（P4）
通过测量一棵树的树围（树干的 周长）可以计算出它的树龄，通常规 定以树干离地面1.5cm的地方作为测 量部位。某树栽种时的树围为5cm， 以后树围每年增加约3cm。这棵树至 少生长多少年其树围才能超过2.4m？ （只列关系式）
数，写出其中两数之和不大于10的所有数组。
( 2，4）（2，6 ) （4，6）（2，8）
（5）（课本p 5～6. 3, 4 ）
（6）写出A,B,C之间的大小关系：
（A，B，C表示重量）（用符号“＞”表示）
B
A A ＞B
A
C ＞A
C
小结： （1）不等式的定义及表示方法； （2）会用适当的符号表示不等关系；