高等数学教案

普洱市职业教育中心教师备课本科目：《高等数学》班级：_________________任课教师：周文德日期：_________________《高等数学》（上册第一分册）一元函数微积分柳重堪主编1.函数2.极限与连续3.导数与微分4.导数的应用5.不定积分6.定积分及其应用➢初等数学与高等数学的根本区别用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。

高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。

用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

➢关于数学应用的评价“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学”。

——华罗庚“数学处于人类智能的中心领域”——冯.诺依曼“数学是调节理论和实践、思想和经验之间的差异的工具。

它建起了一座连通双方的桥梁，并在不断地加固它。

事实上，全部现代文明中有关理性认识和征服自然的部分都有赖于数学”。

——希尔伯特第1章函数本章教学内容:1.1 实数1.2 函数1.3 初等函数1.4 建立函数关系举例【课题】1.1 实数 1.2 函数【教学目标】（1）理解区间的概念，学会用区间表示不等式的解集；（2）理解函数的概念，学会求函数值和定义域；（3）了解函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性）．【教学重点】函数的概念及其性质【教学难点】函数的概念及其性质【教学设计】（1）本次课内容旨在复习中专数学内容，温故知新，以自主学习为主；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】1.1实数一、实数➢创设情景兴趣导入人们在幼童时期就学会了数东西，那就是自然数的一种应用，此后，在记账时为了表示收入和支出，需要用到正数和负数；在标明商品价格、测量物体长度和重量时要用到小数或分数；边长为1米的正方形，由勾股定理知其对角线的长为2米，这就导致无理数。

数的概念的逐步拓展，一方面是出于实践的需要，另一方面也完善了关于数的理论。

➢实数包括有理数和无理数两大类。

1)有理数是能表示为两个整数相除的形式的数，或者等价地，有理数就是有限小数或无限循环小数。

2)凡是不能表示成两个整数相除的数称为无理数，或者等价地，无理数是无限不循环小数。

➢在几何上，可以用数轴上的点来表示实数。

这样，就可以建立起全体实数和数轴之间一一对应的关系。

换句话说，任意给定一个实数，总可以在数轴上找到唯一的一个点与之对应，反之，在数轴上的每一个点也必定唯一地对应一个实数。

二、区间➢创设情景兴趣导入1、问题资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的，设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．如何表示列车的运行速度的范围？2、解决不等式：200<v<3503、区间概念一般地，给定两个数a和b（假定a<b），我们把所有大于a且小于b的数的全体记为(a，b)，把所有不小于a且不大于b的数的全体记为[a，b]，并引入记号“∈”如下：x∈(a，b)表示a<x<bx∈[a，b]表示a≤x≤b(a，b)称为开区间，[a，b]称为闭区间，并称a，b为区间的端点. 在数轴上，(a，b)和[a，b]表示点a和点b之间的线段，前者不包括端点，后者包括端点。

类似地有半开区间：(a，b]和[a，b)；无限区间：（-∞，a），（-∞，+∞）……引入问题中，新时速旅客列车的运行速度值（单位：公里/小时）区间为(200,350).三、绝对值在数轴上，|x|表示点x到原点o的距离. 显然，|x-y|表示点x与点y之间的距离.例1 解不等式|x|≤9解：|x|≤9等价于不等式-9≤x≤9，即x∈[-9,9]例2 解不等式|x|>9解：|x|>9等价于x>9或x<-9因此x∈(-∞,-9)或x∈(9,+∞)例3 解不等式|u-2|<0.1解：|u-2|<0.1等价于-0.1< u-2<0.1，即1.9< u<2.1,因此u∈(1.9,2.1)思考：| u -a|<ε小结：要求学生会求诸如|x|>a，|x|<b的不等式和|x-a|<δ（a的δ邻域）.练习1.12、4、5、61.2 函数一、常量与变量➢创设情景兴趣导入在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子：例如：某种商品的销售单价为p元，则其销售额L与销售量x之间存在这样的依赖关系：L=px，其中p为常量，L和x是变量.又例如：圆的面积S和半径r之间存在这样的依赖关系：2r=,其中π是常量，S,r是Sπ变量.不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。

两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。

二、函数的定义定义1.1 设D是一非空数集，如果有一个对应规则f，使得对每一x∈D，都能对应于唯一的一个数y，则此对应规则f称为定义在集合D上的一个函数，并把数x与相应的数y 之间的对应关系记为y=f(x)并称x为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D为定义域.当自变量x取遍定义域D中数值时，相应的函数值y取值集合Z={y|y=f(x),x∈D}称为函数f 的值域.函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。

例1 f (x )=2x 2+3x -1就是一个特定的函数，f 确定的对应法则为：f ( )=2( )2+3( )-1例10：设f (x +1)=2x 2+3x -1，求f (x ).解：设x +1=t 得x =t -1，则f (t )=2(t -1)2+3(t -1)-1=2t 2-t -2∴f (x )=2x 2 – x – 2其对应法则：f ( )=2( )2 - ( ) -2定义域：使函数有意义的自变量的集合。

因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0 ④y=x 0 (x ≠0 ) ⑤y=tanx(x ≠Z k k ∈+,2ππ)等.例2 求函数y=6—2x －x +arcsin712x－的定义域. 解：要使函数有定义，即有：1|712|062≤-≥--x x x ⇔ 4323≤≤--≤≥x x x 或⇔4323≤≤-≤≤-x x 或 于是，所求函数的定义域是：[-3，-2] [3，4].小结：函数有两要素：定义域和对应法则，即只要这两样定了，函数就定了，所以我们判断两个函数是否是同一函数就有依据了。

例3 求函数x y =的定义域解：在实数范围内使函数x y =有意义的自变量x 的取值范围是x ≥0，故定义域为[0,+∞].例4 求函数211x xy --=的定义域. 解：对于x 1，要求x ≠0;对于21x -，要求x 满足-1≤x ≤1,因此211x xy --=的定义域是[-1,0]∪(0,1]例5 判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数.（2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数.三、函数表示法（1）解析法（或分析法、公式法）。

如：x y sin =、12+=x y ，这样的表达式亦为函数的解析式，这种表示法的主要优点是严密；（2）图示法：如用直角坐标平面的一条曲线表示，这种表示法的主要优点是直观；(3)表格法：如三角函数表、对数表、正态分布表等，这种表示法的主要优点是能进行函数值的查询。

四、函数的几种属性1.有界性 设函数y=f （x ）在区间D 内有定义，如果存在正数M ，使得当x 在D 内取任何值时均有|f (x )|≤M则称函数f (x )在区间D 内有界.如果不存在这样的数M ，便称函数在D 内是无界的。

例如：x y sin =，x y cos =在（-∞，+∞）上均有界，而xx 1)(=ϕ在（0，1）内无界. 思考：在定义域内，下列函数中哪些有界？y=sinx y=cosx y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx2.奇偶性 一般地，如果函数定义域D 以原点为对称，且恒满足等式f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))，则称f(x)是偶函数(或奇函数). 奇函数的几何图形关于原点对称，而偶函数的几何图形关于y 轴对称．例如：函数2xx a a x f -+=)(是偶函数。

例如：函数3x y =和2xx a a x f --=)(是奇函数。

例如：函数12+=x y 既不是奇函数也不是偶函数。

3.周期性 我们在中专时已知道y=sinx,y=cosx,y=tanx 及y=cotx都是周期函数，一般地，对于函数y=f (x ),设其定义域为D ，如果存在正常数T >0，使得对任一x ∈D ，有x ±T ∈D 且下列等式成立：f(x±T)=f(x)则称f(x)是以T为周期的周期函数思考：周期函数的周期唯一吗？4.单调性如果当任意的x1,x2∈(a,b)，且x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2),则称函数在(a,b)上单调增加，区间(a,b)称为单调增区间；类似地，如果当任意的x1,x2∈(a,b)，且x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2), 则称函数在(a,b)上单调减少，区间(a,b)称为单调减区间．单调增区间或单调减区间统称为单调区间课堂练习：练习1.2 2小结：1.函数的概念；2.函数的有界性、奇偶性、周期性和单调性布置作业：练习1.1 5 练习1.2 3、4、5（1）-（4）选做12【课题】1.3 初等函数 1.4 建立函数关系举例【教学目标】1.掌握基本初等函数的图形和性质,培养数形结合的数学思想；2.理解复合函数的概念；3.掌握复合函数的构成过程.【教学重点】复合函数的构成过程.【教学难点】复合函数的分解【教学设计】（1）实例引入知识，提升学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，培养学生的思维能力；（3）实际问题的解决，培养学生分析与解决问题的能力．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】1.3 初等函数一、基本初等函数在初等数学中，我们学习过下列六种函数，它们统称为基本初等函数.1.常值函数y=c，其定义域为（-∞，+∞），图形是一条平行于x轴的直线.2.幂函数y=xα,α为常数.思考：当α分别等于-1，1/2，1，2，3时的定义域、图形.3.指数函数y=x a(a>0，a≠1，a为常数).当a>1时是增函数；当0<a<1时是减函数.4.对数函数y=xlog(a>0，a≠1，a为常数). 当a>1时是增函数；当0<a<1时是减函a数.当a=e时的对数函数称为自然对数，记为y=ln x.注意：指数函数与对数函数互为反函数，其图形以直线y=x对称.例如y=5x与y=log5x 互为反函数，其图形以直线y=x对称.5. 三角函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx6.反三角函数 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx二、函数的复合运算定义 设),(u f y =其)(x u ϕ=中，且)(x ϕ的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ϕ=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.简单说：几个基本初等函数的组合例1：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为 y=x sin ，要求u 必须≥0，∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π]例2：分析下列复合函数的结构（1）y=2cot x （2）y=1sin 2+x e解：（1）y=u ，u=cosv ，v=2x （2）y=u e ，u =sin v ，v =t ，t =x 2+1例3：设f (x )=2x g (x )=x 2 求f [g (x )] g [f (x )]解：f [g(x )]=f (x 2)=(x 2)2=4x g [f (x )]=g (2x )=22x注：此题用“整体代换”的思想.三、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤构成，且可用一个解析式表示的函数，叫做初等函数，否则就是非初等函数。