§3 行列式的展开定理
3 行列式行列式的按行(列)展开
则根据归纳假设得证: Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) ( x i x j )
( x i x j ).
n i j 1
n i j 2
作
业
P26 4(4), 9 补充： 利用范德蒙德行列式计算4阶行列式
1 1 1 1 16 8 2 4 D 81 27 3 9 256 64 4 16
D = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + ain Ain + anj Anj .
i , j 1,2,
, n
推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元 素的代数余子式乘积之和为零。 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j
1 1
例2 求解方程
1 x 0. x2
2 3 4 9
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
推论
行列式中任一行或列的元素与另一行 或列对应元素的代数余子式乘积之和 为零。即
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j
j 1
3
定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3
a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ( j 1,2, 3)
行列式的性质3克莱姆法则和行列式的逆序定义
1 3 0 6 (2) (1) 1 3 0 6
D
0 2 1 2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 3 5 3 3 3
2 1 2 0 1 0
27,
7 2
7 7 12 7 7 2
2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6 81,
N(321)=3 N(213)=1 N(132)=1
奇排列 奇排列 奇排列
特点：(1)是3!=6项的代数和。正负项各一半。
(2)各项是不同行不同列元素乘积。
即：各项可写成 a1 aj1 2 aj2 3 j3 .（行标自然排列） 观察各项列标排列，各项符号是(1)N ( j1 j2 j3)
所以三阶行列式可定义为：
(3) a43a21a35a12a54 a12a21a35a43a54 N(21534) 3
3.用定义计算行列式
010
0
002
0
例：计算 D
000
n 1
n00
0
解：除去等于零的项外，非零项只有一项，为：
a12a23 an1,n an1 1 2 (n 1) n n!
N（23 (n 1)n1） n 1
3.化为三角行列式。
a11 a1k
0
课后思考： D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
的值与
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1
, D2
的值有什么关系？
ak1 akk
bn1 bnn
D D1 D2
分析： 只对前k行运算，不影响后n行 D1 p11 p22 pkk
行列式按行列展开定理讲解学习
行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ija 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积：ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它是计算行列式的一个有效方法。
行列式是一个与矩阵相关的数值，它对于矩阵的性质和变换具有重要的作用。
行列式展开定理的全称为“按某一行（列）展开”，它是通过一系列代数运算将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的方法。
设A是一个n阶矩阵，其行列式用det(A)表示。
行列式展开定理可以按任意一行或一列展开，我以按行展开为例。
设A的第i行的元素为a[i1]、a[i2]、……、a[in]，则根据行列式展开定理，行列式的展开可以表示为如下形式：det(A) = a[i1]∙A[i1] + a[i2]∙A[i2] + … +a[in]∙A[in]其中A[i]表示经过去掉第i行和第j列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
我们可以继续展开每个A[i]，直到展开到2阶行列式或者1阶行列式为止。
对于2阶行列式，计算公式为：det(B) = b11∙b22 - b12∙b21其中B是2阶矩阵，b11、b12、b21、b22为矩阵B的元素。
对于1阶行列式，计算公式为：det(C) = c11其中C是一个1阶矩阵，c11为矩阵C的元素。
通过不断展开每个子矩阵，并根据2阶和1阶行列式的计算公式，我们最终可以将n阶行列式的计算转化为一系列的代数计算，从而得到行列式的具体数值。
行列式展开定理的应用非常广泛，例如在解线性方程组、求逆矩阵、计算行列式的值等方面都有重要的作用。
它不仅可以帮助我们更深入地理解矩阵的性质，还能够为我们提供一种高效的计算方法。
总之，行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它通过一系列代数运算将n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的值，具有广泛的应用价值。
三阶行列式的运算法则
三阶行列式的运算法则
三阶行列式的运算法则主要有以下几条：
1. 行列式的性质：行列式的值与其转置矩阵的值相等。
2. 行列式的展开定理：对于n阶行列式，可以通过任意一行或一列展开，展开后的每一项是该元素乘以它的代数余子式。
3. 行列式元素交换：交换行列式中两行或两列的位置，行列式的值取相反数。
4. 行列式的行倍加：对行列式的某一行进行倍加（或倍减）另一行的k倍，行列式的值不变。
5. 行列式的某一行成比例：如果行列式的某两行（或两列）成比例，行列式的值为0。
6. 行列式的线性性质：对于任意的n阶行列式，如果其中有两行（或两列）完全相同，则该行列式的值为0。
7. 行列式的乘法法则：对于两个n阶行列式，它们的乘积的值等于其中一个行列式的值乘以另一个行列式的值。
8. 方阵的逆与行列式的关系：对于n阶方阵A，如果它的行列式的值不为0，则存在一个n阶方阵A的逆矩阵A-1，它的行列式的值为A的行列式的倒数。
这些是三阶行列式的运算法则的一些基本规律，可以帮助人们进行行列式的计算和推导。
行列式的展开定理
行列式的展开定理
行列式的展开定理是指给定一个n阶行列式A，n≥1，对A进行展开，则A等于其各行中任取一项，乘上对于这一项的代数余子式，按行号排列
的和。
展开定理的主要思想是求解行列式，可以将原本n阶行列式简化为二
阶行列式，逐渐简化，最后变为一阶行列式，其值即为最终求出的行列式值。
展开定理的乘积分配律为：对于一个n阶行列式A，其中的任一一行
乘以一个常数c，那么这个行列式的值就相应乘以一个常数c。
展开定理的符号表示方法为：记A为行/列式，aij表示A的第（i，
j）项。
通常情况下，行列式展开定理表示为：
A=a11|A11|+a12|A12|+…+ain|Ain|，其中|Aij|表示行列式A的第i
行第j列的余子式。
经常使用的展开定理有两种：一类是Sarrus定理，一类是Laplace
定理。
Sarrus定理：3阶行列式可以按照a11,a12,a21,a22,a31,a32的顺序
展开，即A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-
a11a23a32。
Laplace定理：n阶行列式可以按照每行或每列任取一项，乘以这一
项的代数余子式，按行号或列号排列求和。
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
行列式的性质及展开式
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1 1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
11 1 b2 b
1Leabharlann 1 c21 c11 d2
1 d
0.
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11 设为 D2
qn1
0 q11 qnn .
pnk
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
p11
0
D
pk1 c11
an1 L (ani kanj ) L anj L anj
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 例１ D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
bj1 bj2 L bjn M MMM
ai1 ai2 L ain M MMM
an1 an2 L ann
bn1 bn2 L bnn an1 an2 L ann
第三节行列式按行展开
其中(1) N ( j2 j3 jn ) a2 j2 anjn 恰是M 11的一般项. 所以，D = a11M 11 = a11 (1)1+1 M 11 = a11 A11
山东财政学院统计与数理学院
（2）其次讨论行列式D的第i行的元素除aij ≠ 0外，其余都为0的情形； aij 0 0 a11 a1 j a1n i 1 2 1 i ai 1, j ai 1, j 1 0 = D ' 0 aij 0 j 1 2 j 1 anj an , j 1 ann a a a
定理1.3.1 (行列式按行（列）展开) n 阶行列式D = aij 等于它的 任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即
D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain (i = 1, 2, , n) 或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj ( j = 1, 2, , n)
中的代数余子式，记为Aij , 即 Aij = (1)i + j M ij
山东财政学院统计与数理学院
a11 a21 例如：D = a31
a32的余子式
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a32 的代数余子式
a41
a13 a23 a14 a24
a11 M 32 = a21 a41
a11 A32 = (1)3+ 2 a21 a41
a13 a23 a43
a14 a24 a44
a43
a44
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式
行列式的行(列)展开定理
行列式的行（列）展开定理
行（列）展开定理用于分析行列式的结构，它表明行列式的值可以从各行（列）中求出。
行展开定理的证明以行列式的一行为基础，将该行中的元素看作常数，把它们乘以该行中的未知数，然后做加法运算，得出了行列式的值。
公式表示为a(1,1)x(1)+a(1,2)x(2)+...+a(1,n)x(n)=|A|，其中a(1,1)~a(1,n)表示第一行的元素，x(1)~x(n)表示第一行未知数，|A|表示行列式A的值。
同样，列展开定理用列来求出行列式的值，其公式为
a(1,1)x(1)+a(2,1)x(2)+...+a(n,1)x(n)=|A|，其中a(1,1)~a(n,1)表示第一列的元素，x(1)~x(n)表示第一列未知数，|A|表示行列式A的值。
相比于行展开定理，列展开定理更容易理解，理论上它们是均有用的，但由于行列式结构的不规则性，有时列展开定理比行展开定理更加有效，避免了因展开完毕后加法操作量过大而需要累加回路的结果。
总之，行（列）展开定理是一种分析行列式结构的基本方法，它既可以用来求出行列式的值，也可以用来求出未知数。
它丰富了行列式计算的方法，被广泛用于各种电子计算机的程序设计和机器算法中，为工程实际应用和科学研究提供了有力帮助。
行列式展开
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a11
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a 32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a 32
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a23 a31 a33
1 x4 x x
2 4 3 4
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
2 x3 ( x3 x1 )
1 x4 x1 x4 ( x4 x1 )
2 x4 ( x4 x1 )
1 ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x4 x1 ) x 2 2 x2
2014-6-29 第一章 行列式
例3
计算4阶范德蒙 (Vandermonde)行列式
D
1 x1 x x
2 1 3 1
1 x2 x x
2 2 3 2
1 x3 x x
2 3 3 3
1 x4 x x
2 4 3 4
[分析]相邻两行元素较接近! 末行始, 后一行加上 其前行的(-x1)倍, a11下面元素都变为0,按首列展开
2014-6-29 第一章 行列式 15
a13
a21 a22 a31 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行 列式的计算。 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行列式来计算？
2014-6-29 第一章 行列式 1
1.3 行列式的展开定理
设
D aij
n
一、行列式按某行(列)展开 1. 两个概念
(1)元素aij的余子式：在D aij n 中划去元素aij所在 的第i行和第j列元素，得到的n-1阶行列式。记Mij
行列式按行列展开定理
一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D=,22D x D =,…n N D x D = 1111,1122,11,1......................j n j j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
2.3-行列式的展开定理
1
2 = −10 (− 2) − 7
6
6
2 6
= 20(− 42 − 12) = −1080.
17
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
n12..每i幂j列次1 (从行0)为递某增个到数(nx-1的3 −不x同2 )(方x幂4 − x2 )( xn − x2 ) 3. 结果为后列元素( x减n 去− 前xn列−1 )元素的乘积
23
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
11
x1 x2 Vn ( x1 , x2 , xn ) = x12 x22
n−2
2
3
xn−2 n
( xn − x1 ) ( xi − x j ) n i j 2
n-1阶范德蒙 行列式
27
例4：计算n阶行列式
a1 b b b a2 b Dn = b b a3
b b b , b≠ai, i=1, …,n.
bbb
an
28
解：用加边法，构造行列式， 使得按第一行（列）展开后，等于原行列式
xn−2 n
(
xn
−
x1
)
26
将Vn按第一列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出来，
11
1
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ( xn − x1 ) x2
x3
xn
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 )
= ( xi − x j ).
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了一个n阶行列式可通过对其中一行（或一列）进行展开，用余子式乘以对应元素的代数余子式构成的和来表示。
这个定理的证明主要基于数学归纳法和代数性质的运用。
首先，我们来介绍一些必要的定义和概念。
行列式是一个有序数表，是一个正方形矩阵中对角线上元素相乘并按照一定规则相加得到的一个数。
例如，对于一个2阶行列式（2x2矩阵）：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\\\end{vmatrix}$ = ad - bc行列式的计算可以通过对行或列的操作转化为三角形矩阵，从而简化计算。
对于n阶行列式，可以递归地进行以下展开运算：选择第i行（或第j列）进行展开，将此行的元素乘以对应的代数余子式，并进行符号调整后相加。
具体地，使用数学归纳法，我们可以证明行列式展开定理。
当n=2时，定理显然成立。
假设当n=k时，定理成立，即k阶行列式可以通过任选一行（或一列）展开为余子式乘以对应元素的代数余子式之和，即$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2k}\\\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kk}\\\end{vmatrix}$=$a_{i1}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+(-1)^(i+1)$a_{i2}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+$\ldots$+(-1)^(i+k)$a_{ik}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$。
第三节 按行(列)展开定理
性质五：行列式某一行 (列)的所有元素的 k 倍加到另一行 (列) 性质五：
的对应元素上， 的值不变。 的对应元素上，行列式 的值不变。
余子式与 余子式与代数余子式
a11 ⋮ a i −11 ∆= a12 ⋮ ⋯ a1 j −1 ⋮
a1 j ⋮
a1 j +1 ⋮
行列式相等。 即：行列式和它的转置 行列式相等。
），行列式的值改变符 性质二： 互换行列式的两行（ 性质二： 互换行列式的两行（列 ），行列式的值改变行列式有两行（列） 完全相同，则此行列式 的值为零。 完全相同， 的值为零。
性质三： 性质三：
行列式的某一行（ 式的外面。 行列式的某一行（列） 的公因子可以提到行列 式的外面。
b a a a b a a a = b 2a + b a a 2a + b b a 2a + b a b
2a + b a a
2a + b b a 1 0 b−a 0
2a + b a b 0 0 b−a
1 = ( 2a + b ) a a
1 b a
1 a b
= ( 2a + b ) a a
b−a = ( 2a + b ) 0
n
按第一例元素的展开式
= a11 A11 + a 21 A21 + ⋯ + a n1 An1 = ∑ a i 1 Ai 1
i =1
n
b 例题 1：计算行列式 a a
a b a
a a 的值。 的值。 b
分析： 行列式的特点是每列元 素之和都是 2a + b， 分析： 所以将第二行、第三行 都加到第一行上，得 都加到第一行上， 所以将第二行、
《行列式展开定理》课件
行列式展开定理
总结词
外代数中的行列式展开定理是行列式理论的一个重要推广，它涉及到更广泛的代数结构 ，包括向量空间、线性变换和矩阵等。
详细描述
在外代数中，行列式展开定理表述为在任意维度的向量空间中，任意线性变换的行列式 值等于其各个特征值的乘积。这个定理在向量空间和线性变换的研究中具有重要意义，
因为它提供了一种计算行列式值的方法，并且有助于理解线性变换的性质和行为。
多线性代数中的行列式展开定理
总结词
多线性代数中的行列式展开定理是针对 高阶矩阵和多线性映射的行列式值的计 算。
VS
详细描述
在多线性代数中，行列式展开定理表述为 对于一个给定的n阶矩阵A，其行列式值 可以通过对A的每个元素进行求和得到。 这个定理在研究高阶矩阵和多线性映射时 非常有用，因为它提供了一种计算高阶矩 阵行列式值的方法。
《行列式展开定理》ppt课 件
目录
• 行列式展开定理的概述 • 行列式展开定理的证明 • 行列式展开定理的应用 • 行列式展开定理的推广 • 行列式展开定理的习题与解析
01 行列式展开定理 的概述
定义与性质
定义
行列式展开定理是线性代数中的基本 定理之一，它描述了行列式与矩阵元 素之间的关系。
性质
计算多元函数的偏导数
行列式展开定理可以用于计算多元函数的偏导数，通过偏导数的定 义和行列式展开定理，可以方便地计算出偏导数值。
求解多元函数的极值
通过行列式展开定理，可以求解多元函数的极值，利用极值的必要 条件和行列式展开定理，可以找到函数的极值点。
计算高阶导数
利用行列式展开定理，可以方便地计算高阶导数，从而求解一些复 杂的高阶微分方程。
非交换代数中的行列式展开定理
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§1 行列式的定义 §2 行列式的性质与计算 §3 行列式展开定理、克拉默法则
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
a11 A21 a12 A22 a1n A2n 0
§3 行列式的展开定理
( xn xn1 )
( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) ( xn x1 )( xn x2 ) ( xn xn1 )
§3 行列式的展开定理
先证明3阶范德蒙行列式
111
D3 x1 x2 x3
( xi x j )
x12 x22 x32 1 ji3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
ai1 , n ai1 ,n
an1
an, j1 an , j1
ann
称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
§3 行列式的展开定理
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij之为元素 aij 的代数余子式．
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式
和一个代数余子式．
② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．
§3 行列式的展开定理
例1.计算行列式
解：
3 1 1 2
D
5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
5 1 1 1
D
11 0
1 0
3 1 10
5 5 3 0
5 11 11 1 1
5 5 0
5 11 6 2 0
5 5 0
(1)13
6 5
2 5
40
§3 行列式的展开定理
2.定理 行列式按行（列）展开法则
ab
00
0 a (n1)
00
00 00
b0 a b (n1)
a an1 (1)n1 b bn1 an (1)n1 bn.
§3 行列式的展开定理
考虑按照第一行或 是最后一行或是最
后一列展开
例3.证明范德蒙行列式
1 11 x1 x2 x3 Dn x12 x22 x32
1
xn
xn2
( xi x j )
x2 x3
xn
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) x22 x32
xn2
§3 行列式的展开定理
x2n2 x3n2
xnn2
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 )Dn1
( x2 x1)( x3 x1)
( xi x j )
1 jin
( xn x1)
§3 行列式的展开定理
例4.计算2n阶行列式
a
b
D2n
ab ba
b
a
2n
其中未标明的元素都是0.
§3 行列式的展开定理
解：
a0 0b0 0a b00
0a0 00a
D2n a 0 b b0 00
a b 0 (1)2n1 b 0 0 b
0a0
0b0
0 0 a (2n1)
b00
a0 0a a2 0b b0
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n
§3 行列式的展开定理
证：
a11
a12
D ai1 0 0 0 ai2 0
a1n 0 0 ain
an1
an2
ann
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
ai1 0
0 0 ai2
0 0 0
ain
an1 an2
( xi x j )
2 jin
x2n2 x3n2
§3 行列式的展开定理
xnn2
下证对于 n 阶范德蒙行列式 Dn 结论也成立. 把 Dn 从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的 x1 倍，得
1 0
Dn 0
1 x2 x1 x22 x1 x2
1 x3 x1 x32 x1 x3
0 x2n1 x1 x2n2 x3n1 x1 x3n2
1 Ai4 a j1
2和3的解题
1
, a jn
思路：根据行 列式D构造新 的行列式。
an1
ann
M11 M21 M31 M41 A11 A21 A31 A41
§3 行列式的展开定理
3 5 2 1
例5.设
D
1 1
1 3
0 1
5 3
,
求
2 4 1 3
A11 A12 A13 A14 和 M11 M21 M31 M41 .
1 jin
x1n1 x2n1 x3n1
xnn1
特点：1.第一行都是1。 2.第二行是基本元素行。 3.从第一行开始每一行是第二行的幂形式。
§3 行列式的展开定理
( xi x j )
1 jin
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( x3 x2 )
( xn x1 ) ( xn x2 )
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33
a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示．
§3 行列式的展开定理
一、余子式、代数余子式
§3 行列式的展开定理
例如
5 1 1 1
D
11 0
1 0
3 1 10
5 5 3 0
5 11 M33 11 1 1
5 5 0
5 11 A33 (1)33 11 1 1
5 5 0
§3 行列式的展开定理
二 、行列式按行(列)展开法则
1.引理
若n 阶行列式 D = det(aij ) 中的第 i 行所有 元素除 aij 外都为 0，则
( xi x j )
2 jin
注：范德蒙行列式Dn 0 x1中, x2至少, x两n 个相等．
范德蒙行列式另一形式： 1 x1 x12
x1n1
1 x2 x12
x2n1
1 x3 x32
x3n1
1 xn xn2
xnn1
§3 行列式的展开定理
第一节的例2：解方程 11 1 2 3 x 0. 4 9 x2
an1
a1, j1 a1 , j1
a a i1, j1 i1, j1 a a i1 , j1 i1, j1
an, j1 an , j1
a1n
ai1 , n ai1 ,n
ann
(1)i j2 aij Mij (1)i j aij Mij
aij (1)i j Mij aij Aij . 结论成立.
( x2
x1 )( x3
x1 )
1 x2
1 x3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
§3 行列式的展开定理
证：用数学归纳法.
10
n
2
时， 1 x1
1 x2
x2 x1.
结论成立．
20 假设对于n 1阶范德蒙行列式结论成立．即
11
x2 x3
Dn1
x22
x32
1
xn
xn2
0b
a0
b0
0a
(1)2n11 b2
ab
0b0 a (2n2)b00b b0
a0 0a 0 0 (2n1)
0b b0
ab 0 a (2n2)
(a2 b2 )D2(n1) (a2 b2 )2 D2(n2)
(a2
§3
行 列b2式)n的1 展ab开ab定理
(a
2
b2
)n
(a2 b2 )n1 D2
a11 0
0
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
由行列式的定义，有
D
(1) ( j1 j2
a a jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
a11
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
§3 行列式的展开定理
a22 a11
an2
一般情形：
a2n ann a11M11 a11 A11 .
1 xn x1 xn2 x1 xn
xnn1 x1 xnn2
§3 行列式的展开定理
x2 x1 x2( x2 x1 )
x3 x1 x3( x3 x1 )
xn x1 xn( xn x1 )
x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
xnn2( xn x1 )
11
1
a1, j1 a1 j a1, j1
a1n
(1)i1 ai1,1 ai 1,1
a a a i1, j1 i1, j i1, j1 a a a i1, j1 i1, j i1, j1
ai 1,n ai1,n
an1
an, j1