§3 行列式的展开定理

3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
a11 A21 a12 A22 a1n A2n 0
§3 行列式的展开定理
( xi x j )
2 jin
x2n2 x3n2
§3 行列式的展开定理
xnn2
下证对于 n 阶范德蒙行列式 Dn 结论也成立. 把 Dn 从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的 x1 倍，得
1 0
Dn 0
1 x2 x1 x22 x1 x2
1 x3 x1 x32 x1 x3
0 x2n1 x1 x2n2 x3n1 x1 x3n2
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n
§3 行列式的展开定理
证：
a11
a12
D ai1 0 0 0 ai2 0
a1n 0 0 ain
an1
an2
ann
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
ai1 0
0 0 ai2
0 0 0
ain
an1 an2
解：
1111
A11
A12
A13
A14
1 1
1 3
0 1
5 3
4.
2 4 1 3
§3 行列式的展开定理
M11 M21 M31 M41
( x2
x1 )( x3
x1 )
1 x2
1 x3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
§3 行列式的展开定理
证：用数学归纳法.
10
n
2
时， 1 x1
1 x2
x2 x1.
结论成立．
20 假设对于n 1阶范德蒙行列式结论成立．即
11
x2 x3
Dn1
x22
x32
1
xn
xn2
1 xn x1 xn2 x1 xn
xnn1 x1 xnn2
§3 行列式的展开定理
x2 x1 x2( x2 x1 )
x3 x1 x3( x3 x1 )
xn x1 xn( xn x1 )
x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
xnn2( xn x1 )
11
1
n aki Akj
D 0
i j i j
k 1
§3 行列式的展开定理
代数余子式三种和形式比较
1. ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain D aij n 定理
2. ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j 推论
a11
a1n
3. Ai1 Ai2
定义 在 n 阶行列式 det(aij ) 中将元素 aij所在的
第 i 行与第 j 列划去，剩下 (n 1)2个元素按原位置
次序构成一个n 1 阶的行列式，
a11
a1, j1 a1 , j1
a1n
ai1, 1 ai1 ,1
a a i1, j1 i1, j1 a a i1 , j1 i1, j1
D aij Aij .
§3 行列式的展开定理
例如
5 1 1 1
D
11 0
1 0
3 1 10
5 5 3 0
5 11 M33 11 1 1
5 5 0
5 11 A33 (1)33 11 1 1
5 5 0
D a33 A33 1 (1)33 M33 .
§3 行列式的展开定理
证： 先证 aij a11 的情形，即
an1
a1, j1 a1 , j1
a a i1, j1 i1, j1 a a i1 , j1 i1, j1
an, j1 an , j1
a1n
ai1 , n ai1 ,n
ann
(1)i j2 aij Mij (1)i j aij Mij
aij (1)i j Mij aij Aij . 结论成立.
( xi x j )
2 jin
注：范德蒙行列式Dn 0 x1中, x2至少, x两n 个相等．
范德蒙行列式另一形式： 1 x1 x12
x1n1
1 x2 x12
x2n1
1 x3 x32
x3n1
1 xn xn2
xnn1
§3 行列式的展开定理
第一节的例2：解方程 11 1 2 3 x 0. 4 9 x2
1 Ai4 a j1
2和3的解题
1
, a jn
思路：根据行 列式D构造新 的行列式。
an1
ann
M11 M21 M31 M41 A11 A21 A31 A41
§3 行列式的展开定理
3 5 2 1
例5.设
D
1 1
1 3
0 1
5 3
,
求
2 4 1 3
A11 A12 A13 A14 和 M11 M21 M31 M41 .
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33
a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示．
§3 行列式的展开定理
一、余子式、代数余子式
结论成立.
a11
ai 1,1 0
ai 1,1
an1
a1, j1 a1 j a1, j1
ai1, j1 0
ai1, j1
ai1, j aij ai1, j
ai1, j1 0
ai1, j1
an, j1 anj an, j1
a1n
ai 1,n 0
ai1,n
ann
§3 行列式的展开定理
0
0
aij
0
0
a11
第一章 行列式
§1 行列式的定义 §2 行列式的性质与计算 §3 行列式展开定理、克拉默法则
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a11 0
0
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
由行列式的定义，有
D
(1) ( j1 j2
a a jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
a11
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
§3 行列式的展开定理
a22 a11
an2
一般情形：
a2n ann a11M11 a11 A11 .
§3 行列式的展开定理
例4.计算2n阶行列式
a
b
D2n
ab ba
b
a
2n
其中未标明的元素都是0.
§3 行列式的展开定理
解：
a0 0b0 0a b00
0a0 00a
D2n a 0 b b0 00
a b 0 (1)2n1 b 0 0 b
0a0
0b0
0 0 a (2n1)
b00
a0 0a a2 0b b0
x2 x3
xn
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) x22 x32
xn2
§3 行列式的展开定理
x2n2 x3n2
xnn2
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 )Dn1
( x2 x1)( x3 x1)
( xi x j )
1 jin
( xn x1)
§3 行列式的展开定理
例1.计算行列式
解：
3 1 1 2
D
5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
5 1 1 1
D
11 0
1 0
3 1 10
5 5 3 0
5 11 11 1 1
5 5 0
5 11 6 2 0
5 5 0
(1)13
6 5
2 5
40
§3 行列式的展开定理
2.定理 行列式按行（列）展开法则
行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
i 1,2, ,n
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j
j 1,2, ,n
n
ain Ain aik Aik
k 1
n
anj Anj akj Akj k 1
( xn xn1 )
( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) ( xn x1 )( xn x2 ) ( xn xn1 )
§3 行列式的展开定理
先证明3阶范德蒙行列式
111
D3 x1 x2 x3
( xi x j )
x12 x22 x32 1 ji3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
ab
00
0 a (n1)
00
00 00
b0 a b (n1)
a an1 (1)n1 b bn1 an (1)n1 bn.
§3 行列式的展开定理
考虑按照第一行或 是最后一行或是最
后一列展开
例3.证明范德蒙行列式
1 11 x1 x2 x3 Dn x12 x22 x32
1
xn
xn2
( xi x j )
a1n
(1)i1(1) j1 ai1, j ai1,1 ai1, j ai1,1
a a i1, j1 i1, j1 a a i1, j1 i1, j1
ai 1,n ai1,n
anj an1
an, j1 an, j1
ann
§3 行列式的展开定理
a11
(1)i j2 aij
ai1, 1 ai1 ,1
ai1 , n ai1 ,n
an1
an, j1 an , j1
ann
称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
§3 行列式的展开定理
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij之为元素 aij 的代数余子式．
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式
和一个代数余子式．
② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11
a j1Aj1
ai1 a jn Ajn
a j1
an1
a1n
ain ,
a jn
ann
把 a jk 换成 aik (k 1,,n),可得
§3 行列式的展开定理
a11
a1n
ai1Aj1
ai1 ain Ajn
ai1
an1
∴ 当 i j 时,
1 jin
x1n1 x2n1 x3n1
xnn1
特点：1.第一行都是1。 2.第二行是基本元素行。 3.从第一行开始每一行是第二行的幂形式。
§3 行列式的展开定理
( xi x j )
1 jin
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( x3 x2 )
( xn x1 ) ( xn x2 )
0b
a0
b0
0a
(1)2n11 b2
ab
0b
0 a (2n2)
b0
0b b0
a0 0a 0 0 (2n1)
0b b0
ab 0 a (2n2)
(a2 b2 )D2(n1) (a2 b2 )2 D2(n2)
(a2
§3
行 列b2式)n的1 展ab开ab定理
(a
2
b2
)n
(a2 b2 )n1 D2
ann an1 an2
ann
an1 an2
ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
§3 行列式的展开定理
i 1,2,,n
ab0 0ab 例2.计算n阶行列式 Dn 000 b00
00 00
. ab 0a
解： a b
0a Dn a
00 00
00
b0
00
ab
(1)n1 b
a1, j1 a1 j a1, j1
a1n
(1)i1 ai1,1 ai 1,1
a a a i1, j1 i1, j i1, j1 a a a i1, j1 i1, j i1, j1
ai 1,n ai1,n
an1
an, j1
aij 0 a1 j a11
anj an, j1
ann
0
0
0
a1, j1 a1, j1
证明
11
1
D3
r3
r2 ( x1 )
x1 0
x2 x22 x1 x2
x3 x32 x1 x3
11
1
r2 r1 ( x1 ) 0 x2 x1 x3 x1 0 x22 x1 x2 x32 x1 x3
§3 行列式的展开定理
x2 x1 x22 x1 x2
x3 x1 x32 x1 x3
ain ,
ain
ann
第i行 第 j行
相同
ai1 Aj1 ai2 Aj来自百度文库 同理可证,
ain Ajn 0.
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
§3 行列式的展开定理
综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：
n aik Ajk
D 0
i j i j
k 1
§3 行列式的展开定理
例如
5 1 1 1
D
11 0
1 0
3 1 10
5 5 3 0
5 11 M33 11 1 1
5 5 0
5 11 A33 (1)33 11 1 1
5 5 0
§3 行列式的展开定理
二 、行列式按行(列)展开法则
1.引理
若n 阶行列式 D = det(aij ) 中的第 i 行所有 元素除 aij 外都为 0，则