2018届高考数学二轮复习专题八课时作业二十一坐标系与参数方程理

课时作业(二十一) 坐标系与参数方程

1．(2017·郑州市第二次质量预测)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直

线l ：ρsin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2

＝ρcos θ＋ρsin θ，

故圆O 的直角坐标方程为：x 2

＋y 2

＝x ＋y ，即x 2

＋y 2

－x －y ＝0，

直线l ：ρsin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，

即ρsin θ－ρcos θ＝1，

则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.

(2)由⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 2

＋y 2

－x －y ＝0

x －y ＋1＝0得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝0

y ＝1，

故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝

⎛

⎭⎪⎫

1，π2.

2．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝－8＋t ，y ＝t 2

(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝2s 2

，

y ＝22s

(s 为参数)．设P 为曲线

C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．

解析：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P(2s 2,

22s)， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|

12＋－22

＝2

s －2

2

＋45

.

当s ＝2时，d min ＝45

5

.

因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值45

5.

3．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲

线C 的极坐标方程为ρsin 2

θ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝－2＋2

2

t ，y ＝－4＋2

2

t (t

为参数)，两曲线相交于M ，N 两点．

(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若P(－2，－4)，求|PM|＋|PN|的值．

解析：(1)曲线C 的直角坐标方程为y 2

＝4x ，直线l 的普通方程为x －y －2＝0. (2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝－2＋2

2

t ，y ＝－4＋2

2

t (t 为参数)，

代入y 2

＝4x ，得到t 2

－122t ＋48＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝122，t 1t 2＝48>0， 所以|PM|＋|PN|＝|t 1＋t 2|＝12 2.

4．(2016·全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2

＋y 2

＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝t cos α，

y ＝t sin α

(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，

求l 的斜率．

解析：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2

＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．

设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2

＋12ρcos α＋11＝0，

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ2

2

－4ρ1ρ2

＝144cos 2

α－44.

由|AB |＝10得cos 2

α＝38，tan α＝±153.

所以l 的斜率为

153或－153

. 5．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐

标系，直线l 的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝t ，

y ＝at (t 为参数)，曲线C 1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，

定点A (6,0)，点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．

(1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；

(2)直线l 与直线C 2交于A ，B 两点，若|AB |≥23，求实数a 的取值范围． 解析：(1)根据题意，得

曲线C 1的直角坐标方程为x 2

＋y 2

－4y ＝12， 设点P (x ′，y ′)，Q (x ，y )， 根据中点坐标公式，得

⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝2x －6，

y ′＝2y ，

代入x 2＋y 2

－4y ＝12，

得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为(x －3)2

＋(y －1)2

＝4，

(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝ax ，根据题意，得圆心(3,1)到直线的距离

d ≤22－

3

2

＝1，即|3a －1|a 2＋1

≤1，解得0≤a ≤3

4.

∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，34.

6．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝2＋t ，y ＝kt ，

(t 为

参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝－2＋m ，y ＝m

k

，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变

化时，P 的轨迹为曲线C .

(1)写出C 的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．

解析：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1

k

(x ＋2)．

设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝k x －2，y ＝1

k

x ＋2，

消去k 得x 2

－y 2

＝4(y ≠0)，

所以C 的普通方程为x 2－y 2

＝4(y ≠0)．

(2)C 的极坐标方程为ρ2

(cos 2

θ－sin 2

θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，