2018届高考数学二轮复习专题八课时作业二十一坐标系与参数方程理
2018年高考数学总复习 选考部分 坐标系与参数方程
l 的距离为 d=|3cos������+√41s7in������-������-4|. 当 a≥-4 时,d 的最大值为���√���+179.由题设得���√���+179 = √17,所以 a=8;
当 a<-4 时,d 的最大值为-√������1+71.由题设得-√������1+71 = √17,所以 a=-16. 综上,a=8 或 a=-16.
(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. ( × )
(2)点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标
方程.
(× )
(3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为
2,
3π 4
.
(4)参数方程
������ ������
= =
-21+-������,������(t
选修4—4 坐标系与参数方程
-2-
考纲要求
五年考题统计
1.了解坐标系的作用,了
解在平面直角坐标系伸
缩变换作用下平面图形 的变化情况. 2.了解极坐标的基本概 念,会在极坐标系中用极 坐标刻画点的位置,能进 行极坐标和直角坐标的 互化. 3.能在极坐标系中给出简 单图形表示的极坐标方
程. 4.了解参数方程,了解参 数的意义. 5.能选择适当的参数写出
①直线过极点:θ=θ0和 θ=π +θ0 ;
②直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ρcos θ=a ;
③直线过 M
������,
π 2
,且平行于极轴:
ρsin θ=b
.
5.圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+������0.2-r2=0
2018年高考数学(理)二轮练习：第2部分 必考补充专题 第23讲 选修4-4 选修4-5
第23讲 选修4－4 选修4－5(对应学生用书第118页)一、选择题1.(2017·全国Ⅰ卷)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【导学号：07804137】[解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16. 选修45：不等式选讲已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·山西五月模拟)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ(t 为参数，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．[解] 由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0，故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0， 整理得，t 2＋2t cos φ－3＝0， 设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3， ∴|MN |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1·t 2＝4cos 2φ＋12，∵φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴cos φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴|MN |∈[13，4]．(2017·郑州第一次质量预测)选修4－5：不等式选讲 已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |的最小值为4. (1)求a ＋b 的值； (2)求14a 2＋19b 2的最小值．[解] (1)因为|x ＋a |＋|x －b |≥|a ＋b |，所以f (x )≥|a ＋b |，当且仅当(x ＋a )(x －b )<0时，等号成立， 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ， 所以a ＋b ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＝4，b ＝4－a ， 14a 2＋19b 2＝14a 2＋19(4－a )2＝1336a 2－89a ＋169 ＝1336⎝⎛⎭⎪⎫a －16132＋1613，当且仅当a ＝1613，b ＝3613时，14a 2＋19b 2取到最小值为1613.3.(2016·全国Ⅰ卷)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【导学号：07804138】[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.(2016·全国Ⅰ卷)选修45：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图231[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 4．(2017·石家庄一模)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2. (1)求曲线C 2的参数方程；(2)过坐标原点O 且关于y 轴对称的两条直线l 1与l 2分别交曲线C 2于A ，C 和B ，D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l 1的普通方程．[解](1)由ρ＝2，得ρ2＝4，因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.由题可得曲线C 2的方程为x 24＋y 2＝1.所以曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(2)设四边形ABCD 的周长为l ，点A (2cos θ，sin θ)，则l ＝8cos θ＋4sin θ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ＋15sin θ＝45sin (θ＋φ)， 其中cos φ＝15，sin φ＝25.所以当θ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，l 取得最大值，最大值为4 5.此时θ＝2k π＋π2－φ(k ∈Z )，所以2cos θ＝2sin φ＝45，sin θ＝cos φ＝15，此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，15.所以直线l 1的普通方程为y ＝14x .(2017·全国Ⅱ卷)选修45：不等式选讲 已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4， (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3a ＋b24(a ＋b )＝2＋3a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8， 因此a ＋b ≤2.。
2018大二轮高考总复习文数文档：解答题5 选修4-4(坐标系与参数方程)
4 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝cos θ. 由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)． 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB 的面积
Error!(t 为参数)． (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. x2 解：(1)曲线 C 的普通方程为 9 ＋y2＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0.
由Error!
解得Error!或Error!
| | 1
π
sinα－
S＝2|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
3
| | π 3
sin2α－ －
＝2
3 2 ≤2＋ 3.
π 当 α＝－12时，S 取得最大值 2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.
2．(2016·全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数，a>0)，
．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ. (1)判断直线 l 与圆 C 的交点个数； (2)若圆 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长度．
解：(1)∵直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． ∴消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 3x＋y－1＝0， ∵圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ，即 ρ2＝2ρsin θ， ∴由 ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，得圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0. ∵圆心(0,1)在直线 l 上， ∴直线 l 与圆 C 的交点个数为 2. (2)由(1)知圆心(0,1)在直线 l 上，
2018年高考试题分类汇编(坐标系与参数方程选讲)
2018年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程）1.（2018·北京卷理科）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__ _．解析：直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>化为普通方程为：0x y a +-=.圆2cos ρθ= 化为标准方程为：22(1)1x y -+=.因为直线圆相切，所以，圆心C (1,0)到直线0x y a +-=的距离等于圆的半径11=,又0a >,解得1a =2.（2018·天津卷理科）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线132x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)与该圆相交于,A B 两点，则ABC ∆的面积为 .解析：直线123x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程为：20x y +-=.圆2220x y x +-=化为标准方程为：22(1)1x y -+=.圆心(1,0)C到直线的距离为d =,圆的半径为1,利用勾股定理得弦AB =于是三角形ABC ∆的面积为：1122=. 3.（2018·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（Ⅰ）求2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 有且仅有三个的公共点时，求1C 的方程.解析：（Ⅰ）由22cos 30ρρθ+-=可得22230x y x ++-=即22(1)4x y ++=，曲线2C 是以(1,0)A -为圆心，2为半径的圆.（Ⅱ）由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 为2，所以2=，故故43k =-．经检验，当43k =-时，1l 与2C 2l 与2C 有两个公共点．4. （2018·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.（Ⅰ）求C 和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 截直线l 所得的线段的中点坐标为(1,2)，求直线l 的斜率.解析：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（Ⅱ）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )013cos t t ααα++=-=+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．A5. （2018·全国卷Ⅲ）在平面直角坐标系xoy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点. （Ⅰ）求α的取值范围；（Ⅱ）求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解析：（Ⅰ）O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =l 与O交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π． （Ⅱ）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，点P的轨迹的参数方程是2,x y αα⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．。
【配套K12】2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训20坐标系与参数方程不等式选讲文
专题限时集训(二十)坐标系与参数方程 不等式选讲[建议用时：45分钟] [A 组 高考题体验练]1．(2017·全国卷Ⅰ)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1．1分 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0．2分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425．4分(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.5分当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;7分当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.9分 综上，a ＝8或a ＝－16．10分(2017·全国卷Ⅰ)选修45：不等式选讲已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①1分当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；2分 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 3分当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172．4分所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. 5分 (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，6分所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.7分 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．10分2．(2017·全国卷Ⅱ)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．[解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ．1分 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0). 3分 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). 5分(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，6分于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 9分当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋3．10分(2017·全国卷Ⅱ)选修4－5：不等式选讲已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4， (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 62分 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. 5分(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )7分≤2＋a ＋b24(a ＋b )＝2＋a ＋b34， 所以(a ＋b )3≤8，所以a ＋b ≤2．10分3．(2017·全国卷Ⅲ)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt ，(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 1分 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．2分设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝1kx ＋消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．4分所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). 5分(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．6分联立⎩⎨⎧ρ22θ－sin 2θ＝4，ρθ＋sin θ－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 8分故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为5．10分(2017·全国卷Ⅲ)选修45：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2. 1分当x ＜－1时，f (x )≥1无解；2分当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1， 解得1≤x ≤2；3分当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2． 4分所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.5分(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ．6分而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，9分且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54．10分[B 组 模拟题提速练]1．(2017·南昌一模)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值. [解] (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，∴其普通方程为x －y －a ＋1＝0，2分由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， ∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .5分(2)设A ，B 两点所对应参数分别为t 1，t 2，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t得2t 2－22t ＋1－4a ＝0，∵两曲线有两个不同的交点，则Δ＝(22)2－4×2(1－4a )＞0，即a ＞0，由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1－4a2，根据参数方程的几何意义可知|PA |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|， 又由|PA |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|， 即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，7分∴当t 1＝2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2，t 1·t 2＝2t 22＝1－4a 2，解得a ＝136＞0，符合题意；8分当t 1＝－2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2，t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2，解得a ＝94＞0，符合题意.9分 综上所述，实数a 的值为136或94．10分(2017·南昌一模)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a ＜2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值． [解] (1)由题f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， 2分∵不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≤1，即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4].5分(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|的零点为a 2和1，当a ＜2时，a2＜1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜a 2，x －a ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a － 1 x ＞，7分由图可知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3， 解得a ＝－4＜2(符合题意)，即a ＝－4．10分2．选修4－4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m,0)，且倾斜角为π6.以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值. [解] (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，即ρ2＝2ρcos θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． 2分 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数). 5分(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ． 8分 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1,1＋2或1－2． 10分选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋6|－|m －x |(m ∈R )． (1)当m ＝3时，求不等式f (x )≥5的解集；(2)若不等式f (x )≤7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围.【导学号：04024171】[解] (1)当m ＝3时，f (x )≥5，即|x ＋6|－|x －3|≥5， ①当x ＜－6时，得－9≥5，所以x ∈∅；②当－6≤x ≤3时，得x ＋6＋x －3≥5，即x ≥1，所以1≤x ≤3； ③当x ＞3时，得9≥5，成立，所以x ＞3． 4分 故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≥1}. 5分(2)因为|x ＋6|－|m －x |≤|x ＋6＋m －x |＝|m ＋6|. 由题意得|m ＋6|≤7，则－7≤m ＋6≤7， 8分 解得－13≤m ≤1，故m 的取值范围是[－13,1]． 10分3．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，P 点的极坐标为(2，π)，曲线C的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)试将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C 的焦点坐标； (2)设直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，点M 为AB 的中点，求|PM |的值．[解] (1)把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρcos 2θ＝sin θ，可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＝y ，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.5分(2)点P 的直角坐标为(－2,0)，它在直线l 上，在直线l 的参数方程中， 设点A ，B ，M 对应的参数为t 1，t 2，t 0. 由题意可知t 0＝t 1＋t 22.7分把直线l 的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得t 2－52t ＋8＝0．8分因为Δ＝(52)2－4×8＝18＞0， 所以t 1＋t 2＝52，则|PM |＝|t 0|＝522．10分选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞0；(2)若f (x )＋3|x －4|≥m 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．[解] (1)当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5＞0，得x ＞－5，所以x ≥4成立．2分当－12≤x ＜4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3＞0，得x ＞1，所以1＜x ＜4成立．4分当x ＜－12时，f (x )＝－x －5＞0，得x ＜－5，所以x ＜－5成立．综上，原不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－5}．6分 (2)f (x )＋3|x －4|＝|2x ＋1|＋2|x －4|≥|2x ＋1－(2x －8)|＝9． 8分 当－12≤x ≤4时等号成立，所以m ≤9．10分4．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的任意点，求|AB |的最小值． [解] (1)C 1：x －2y －32＝0，C 2：x 24＋y 2＝1．4分(2)设B (2cos θ，sin θ)，则|AB |＝|2cos θ－2sin θ－32|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－325． 8分当且仅当θ＝2k π－π4(k ∈Z )时，|AB |min ＝25＝105．10分选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －1|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若∀x ∈R ，不等式f (x )≥a |x |恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)不等式f (x )≥2等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，1－x ＋1－2x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ＜1，1－x ＋2x －1≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x －1≥2，3分解得x ≤0或x ≥43，因此不等式f (x )≥2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43. 5分 (2)当x ＝0时，f (x )＝2，a |x |＝0，原式恒成立；6分当x ≠0时，原式等价转换为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≥a 恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x min ．8分∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＝1，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ≤0，即12≤x ≤1时取等号， ∴a ≤1．10分。
2018年高考数学二轮复习 专题8 选修系列 第1讲 坐标系与参数方程课后强化训练
专题八 第一讲 坐标系与参数方程A 组1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t ，y ＝12t .(t 为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系xOy 中相同)的极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝2a cos θ(a >0)，l 与C 相切于点P .(1)求C 的直角坐标方程； (2)求切点P 的极坐标．[解析] (1)l 表示过点(3,0)倾斜角为120°的直线，曲线C 表示以C ′(a,0)为圆心，a 为半径的圆．∵l 与C 相切，∴a ＝12(3－a )，⇒a ＝1．于是曲线C 的方程为ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 于是x 2＋y 2＝2x ，22－2x ＝0． OP ＝3． 22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0． 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为6．3．(2017·玉溪一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数).(1)求过椭圆的右焦点，且与直线m ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t ，(t 为参数)平行的直线l 的普通方程．(2)求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值．[分析] (1)由直线l 与直线m 平行可得l 的斜率，将椭圆C 的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l 方程．(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解．[解析] (1)由C 的参数方程可知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴右焦点F 2(4,0)，将直线m 的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0，所以k ＝12，于是所求直线方程为x －2y －4＝0．(2)由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分(令0≤φ≤π2)，则S ＝4|xy |＝60sin φcos φ＝30sin2φ，∴当2φ＝π2时，S max ＝30，即矩形面积的最大值为30．4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.C 的距离最小时，求P 的直角坐标． ρ2＝23ρsin θ， －3)2＝3． ，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12，点的直角坐标为(3,0)．B 组1．(2017·德州模拟)在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[解析] (Ⅰ)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|．当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12)．2．(2017·广州模拟)在平面直角坐示系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ(θ为参数，a >0).(1)若曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，求a 的值；(2)当a ＝3时，曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．[解析] (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t 的普通方程为y ＝3－2x ．曲线C 1与x 轴的交点为(32，0)．曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1．曲线C 2与x 轴的交点为(－a,0)，(a,0)．由a >0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，知a ＝32．(2)当a ＝3时，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ为圆x 2＋y 2＝9．圆心到直线y ＝3－2x 的距离d ＝|3|22＋12＝355．所以A ，B 两点的距离|AB |＝2r 2－d 2＝ 29－3552＝1255．3．(文)(2016·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，设直线l与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.[解析] 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1．将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋1232t 21，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167．所以AB ＝|t 1－t 2|＝167．(理)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.C 的标准方程；两点，求|PA |·|PB |的值．的普通方程：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l 的参数即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t .t 为参数．(2)将直线的参数方程代入圆的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1、t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3． 4．(2016·全国卷Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝1＋a sin t(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．[解析] (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．(Ⅱ)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1．a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1．。
2018届高考数学(全国通用)二轮复习中档大题精品课件 第7讲 坐标系与参数方程
1.已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2
解
π 2ρ· sinθ－4－4＝0，求圆 C 的半径.
以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴
的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2
2
2ρ
2 2 sin θ － cos θ －4＝0， 2 2
1 2 3 4
解答
4.在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是
π ρcosθ＋4＝3
2和 ρsin2θ＝8cos θ，直线 l 与曲线 C 交于点 A，B，求线段
AB 的长.
1
2
3
4
解答
考点二 参数方程与普通方程的互化
要点重组 常见曲线的参数方程
2 x ＝ 2 pt ， 2 (4)抛物线 y ＝2px(p＞0)的参数方程为 (t 为参数). y＝2pt
方法技巧
参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程
就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、
乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围 对x，y的限制.
5 6 7
(t 为参数)，
8
解答
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|· |PB|的值.
x＝1＋ 3t， 2 解 把直线 l 的参数方程 1 y＝2＋2t
得1＋
代入 x2＋y2＝16，
3 2 1 2 ＋ 2＋ t ＝16， 2 t 2
由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，
3 4 又 sin θ＋cos θ＝1，得 sin θ＝5，cos θ＝－5.
2018届高考数学二轮温习专题八课时作业二十一坐标系与参数方程理
因为点P在曲线C上，设P(2s2,2 s)，
从而点P到直线l的距离d＝
＝ .
当s＝ 时，dmin＝ .
因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值 .
3．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴成立坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为 (t为参数)，两曲线相交于M，N两点．
(1)写出C的一般方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－ ＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
解析：(1)消去参数t得l1的一般方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m得l2的一般方程l2：y＝ (x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)，
解析：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中成立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径别离为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.
因此C的一般方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，
联立 得
cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．
故tanθ＝－ ，从而cos2θ＝ ，sin2θ＝ .
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
因此交点M的极径为 .
(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
通用2018高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测二十一坐标系与参数方程理
课时跟踪检测（二十一） 坐标系与参数方程1．(2017·宝鸡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(1)求C 的直角坐标方程； (2)直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点E ，求|EA |＋|EB |.解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)得ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 化简得t 2－t －1＝0， 点E 对应的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1，所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝ 5.2．(2017·张掖模拟)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α(α为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－22，曲线C 3：ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．解：(1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α消去参数α，得y ＋x 2＝1，x ∈[－1,1]．①曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－22⇒x ＋y ＋1＝0，②联立①②，消去y 可得x 2－x －2＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)，所以M (－1,0)． (2)曲线C 3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，是以(0,1)为圆心，半径r ＝1的圆．设圆心为C ，则点C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|0＋1＋1|2＝2，所以|AB |的最小值为2－1.3．(2018届高三·昆明一中调研)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)．(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0距离的最小值．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得点P 的直角坐标为(3，3)，由⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)得x 2＋(y ＋3)2＝4，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋3)2＝4. (2)直线l 的普通方程为x ＋2y ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)，设Q (2cos α，－3＋2sin α)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋cos α，sin α， 故点M 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋cos α＋2sin α＋112＋22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5α＋φ＋525≥－5＋525＝52－1⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝12，∴点M 到直线l 的距离的最小值为52－1. 4．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.5．(2017·成都模拟)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ－4sin θ＝0.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,0)．若点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ |的值．解：(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，∴直线l 的普通方程为y ＝tan α·(x －1)．由ρcos 2θ－4sin θ＝0得ρ2cos 2θ－4ρsin θ＝0， 即x 2－4y ＝0.∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)∵点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2， ∴点M 的直角坐标为(0,1)．∴tan α＝－1，直线l 的倾斜角α＝3π4.∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)．代入x 2＝4y ，得t 2－62t ＋2＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2. ∵Q 为线段AB 的中点， ∴点Q 对应的参数值为t 1＋t 22＝622＝3 2.又点P (1,0)，则|PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝3 2.6．(2017·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos β，y ＝a sin β(a ＞0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32.(1)若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值；(2)A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 面积的最大值．解：(1)由题意知，曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 只有一个公共点，可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1或a ＝－3(舍去)， 所以a ＝1.(2)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，且∠AOB ＝π3，由正弦定理得|AB |sinπ3＝2a ，所以|AB |＝3a .又|AB |2＝3a 2＝|OA |2＋|OB |2－2|OA |·|OB |·cos π3≥|OA |·|OB |，当且仅当|OA |＝|OB |时取等号，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3≤12×3a 2×32＝33a 24，所以△OAB 面积的最大值为33a24.。
高考数学二轮复习第一部分专题八选修系列1.8.1坐标系与参数方程限时规范训练理(2021学年)
201８届高考数学二轮复习第一部分专题八选修系列1.8.1 坐标系与参数方程限时规范训练理编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（20１8届高考数学二轮复习第一部分专题八选修系列 1.８.1 坐标系与参数方程限时规范训练理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为２018届高考数学二轮复习第一部分专题八选修系列 1.8.１坐标系与参数方程限时规范训练理的全部内容。
限时规范训练坐标系与参数方程错误!解答题（本题共4小题，每小题１０分,共4０分)1.（2017·河南六市联考)在直角坐标系xＯy中,曲线Ｃ1的参数方程为错误!(其中α为参数)，曲线C２：(x-1）2+y２＝１,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1）求曲线C1的普通方程和曲线Ｃ2的极坐标方程．(2）若射线θ＝错误!（ρ>0）与曲线C１,Ｃ2分别交于A,B两点，求|ＡB|。
解：（１)因为曲线C1的参数方程为错误!(其中α为参数),所以曲线C1的普通方程为x2+（ｙ-2)２＝7。
因为曲线Ｃ２:（x-１)2＋y2＝１，所以把x＝ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-１)2＋y２＝1,得到曲线C2的极坐标方程（ρcos θ-1)2＋（ρｓin θ)2＝１，化简得ρ＝２cｏs θ.(2）依题意设A错误!,Ｂ错误!,因为曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρsin θ-３＝0,将θ＝＼f(π,6)(ρ>0）代入曲线C１的极坐标方程,得ρ2－２ρ－3＝0,解得ρ1＝３,同理，将θ＝＼ｆ(π,６)（ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程．得ρ2=错误!,所以｜ＡＢ|＝|ρ１－ρ2|＝3－错误!。
2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析
2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析1、（2018年高考数学全国卷I理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．2、（2018年高考数学全国卷II理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．3、（2018年高考数学全国卷III理科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=ta nα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．4、（2018年高考数学天津卷理科12）（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．5、（2018年高考数学北京卷理科10）（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=1+．【解答】解：圆ρ=2cosθ，转化成：ρ2=2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：=1，解得：a=1±．a＞0则负值舍去．故：a=1+．6、（2018年高考数学江苏卷理科23）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．6、（2018年高考数学全国卷I文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．7、（2018年高考数学全国卷II文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．8、（2018年高考数学全国卷III文科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）。
2018版高考数学一轮复习 选修系列 14.1 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程 理
第2讲 参数方程一、填空题1．直线x －y ＋1＝0与参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋5cos t y ＝3＋5sin t的曲线的交点个数：________．解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋5cos t y ＝3＋5sin t ⇒(x ＋4)2＋(y －3)2＝25则圆心(－4，3)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|－4－3＋1|2＝32＜5 ∴直线与圆相交，故交点个数是2个． 答案 22．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，(α为参数)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α ①y －1＝sin α ②(α为参数)①2＋②2得x 2＋(y －1)2＝1，此即为所求普通方程． 答案 x 2＋(y －1)2＝13．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________．解析 曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l ＝2r 2－d 2＝85.答案 854．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析 将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1.答案 4 －15．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2y ＝4t －3(t 为参数)与x 轴交点的坐标是________．解析 令y ＝0，得t ＝34，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2516，交点为(2516，0)．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2516，06．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 40°y ＝－1＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．解析 将参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 50°，y ＝－1＋t sin 50°，得直线的倾斜角为50°.答案 50°7．已知在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围为________．解析 曲线C 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)化为普通方程：x 22＋y 2＝1，故曲线C 是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入椭圆的方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，所以Δ＝8k 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22.即k 的取值范围为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 8．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．解析 将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜2a 2＜4， ∴0＜a 2＜8，解得0＜a ＜22或－22＜a ＜0. 答案 (－22，0)∪(0,22) 二、解答题9．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解 (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．10．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 故直线OP 的直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r .故直线l 与圆C 相交．。
2018届高三数学二轮复习课件：专题八选修系列8.1坐标系与参数方程
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
◎ 变式训练 (2017· 福建省普通高中质量检查)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程
x＝2＋2cos t， 为 y＝2sin t
(t 为参数)．在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极
π π (2)法一：依题意，设点 P，Q 的极坐标分别为ρ1，6，ρ2，6.
π 将 θ＝6代入 ρ＝4cos θ，得 ρ1＝2 3， π 将 θ＝6代入 ρ＝2sin θ，得 ρ2＝1， 所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2 3－1， π π 依题意，点 A(2,0)到曲线 θ＝6(ρ>0)的距离 d＝|OA|sin 6＝1， 1 1 1 所以 S△APQ＝2|PQ|· d＝2×(2 3－1)×1＝ 3－2.
2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为 α，则它的方程为：ρsin(θ －α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π＋θ0； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
π (3)直线过 Mb，2且平行于极轴：ρsin θ＝b.
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
题型二 参数方程 几种常见曲线的参数方程 (1)圆
x＝a＋rcos α， 以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是 y＝b＋rsin α，
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
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课时作业(二十一) 坐标系与参数方程
1．(2017·郑州市第二次质量预测)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直
线l ：ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2
＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圆O 的直角坐标方程为：x 2
＋y 2
＝x ＋y ，即x 2
＋y 2
－x －y ＝0，
直线l ：ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，
即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.
(2)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
－x －y ＝0
x －y ＋1＝0得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0
y ＝1，
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝
⎛
⎭⎪⎫
1，π2.
2．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－8＋t ，y ＝t 2
(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2s 2
，
y ＝22s
(s 为参数)．设P 为曲线
C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
解析：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P(2s 2,
22s)， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|
12＋－22
＝2
s －2
2
＋45
.
当s ＝2时，d min ＝45
5
.
因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值45
5.
3．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲
线C 的极坐标方程为ρsin 2
θ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2＋2
2
t ，y ＝－4＋2
2
t (t
为参数)，两曲线相交于M ，N 两点．
(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若P(－2，－4)，求|PM|＋|PN|的值．
解析：(1)曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝4x ，直线l 的普通方程为x －y －2＝0. (2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2＋2
2
t ，y ＝－4＋2
2
t (t 为参数)，
代入y 2
＝4x ，得到t 2
－122t ＋48＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝122，t 1t 2＝48>0， 所以|PM|＋|PN|＝|t 1＋t 2|＝12 2.
4．(2016·全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2
＋y 2
＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α
(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，
求l 的斜率．
解析：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2
＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．
设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2
＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ2
2
－4ρ1ρ2
＝144cos 2
α－44.
由|AB |＝10得cos 2
α＝38，tan α＝±153.
所以l 的斜率为
153或－153
. 5．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ，
y ＝at (t 为参数)，曲线C 1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，
定点A (6,0)，点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．
(1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)直线l 与直线C 2交于A ，B 两点，若|AB |≥23，求实数a 的取值范围． 解析：(1)根据题意，得
曲线C 1的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－4y ＝12， 设点P (x ′，y ′)，Q (x ，y )， 根据中点坐标公式，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x －6，
y ′＝2y ，
代入x 2＋y 2
－4y ＝12，
得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为(x －3)2
＋(y －1)2
＝4，
(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝ax ，根据题意，得圆心(3,1)到直线的距离
d ≤22－
3
2
＝1，即|3a －1|a 2＋1
≤1，解得0≤a ≤3
4.
∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34.
6．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2＋t ，y ＝kt ，
(t 为
参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2＋m ，y ＝m
k
，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变
化时，P 的轨迹为曲线C .
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
解析：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1
k
(x ＋2)．
设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k x －2，y ＝1
k
x ＋2，
消去k 得x 2
－y 2
＝4(y ≠0)，
所以C 的普通方程为x 2－y 2
＝4(y ≠0)．
(2)C 的极坐标方程为ρ2
(cos 2
θ－sin 2
θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，
联立⎩⎨
⎧
ρ2cos 2θ－sin 2
θ＝4，ρcos θ＋sin θ－2＝0
得
cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2
θ＝110.
代入ρ2
(cos 2
θ－sin 2
θ)＝4得ρ2
＝5， 所以交点M 的极径为 5.。