2423圆心角弧弦弦心距之间的关系精品PPT课件
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(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗? 为什么? OE﹦OF
证明:∵ OE⊥AB OF ⊥CD
A
E
B
∵ AB﹦CD ∴ AE﹦CF
O·
D
∵ OA﹦OC ∴ Rt△AOE≌Rt △COF
F
∴ OE﹦OF
C
五、例题
例1 如图,在⊙O中, AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角 _相__等__, 所对的弦___相__等___;
在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角 __相__等__,所对的弧____相__等___.
同圆或等圆中, 两个圆心角、两 条弧、两条弦、 两条弦的弦心距中 有一组量相等, 它们所对应的其 余各组量也相 等.
➢ 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,
条件: 在等圆或同圆中 圆心角相等
结论:
演示
圆心角所对弧相等
圆心角所对弦相等 圆心角所对的弦心距相等
猜想:把圆心角相等与三个结论的任何一个 交换位置,有怎样的结果?
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在自己的圆内作两条长度相同的弦,量一 量它们所对的圆心角
D B
C O A
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
︵︵ 所以AB=A`B`. (不对)
O B'
(2)在⊙O和⊙O’中,如果
A'
B
︵︵ AB=A’B’,那么AB=A`B`.
A
(不对)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
(1)定理:在同圆(或等圆)中,相等的圆心角 所对的弦 相等,所对的弧相等,所对的弦心 距相等。
思考定理的条件和结论分别是什么?并回答:
A
变式1:
B
M
A
·O
D
N
C
变式3:如图M、N为AB、
CD的中点,且AB=CD. 求证:∠AMN=∠CNM
AC
M• N O
B D
三、基础练习:
A⌒mB
1、一条弦把圆分成3:6两部分,则优弧所对
的圆心角为 240 °.
2、A、B、C为⊙O上三点,若 A⌒B 、B⌒C 、C⌒D 的度数之比为1:2:3,
如果设这个角是∠AOB,那 么OA、OB分别与⊙O相交于点
┌M O
A与点B
A
(
顶点在圆心的角称为圆心角,把以点A和点 B的端点的弧AB称为圆心角∠AOB所对的 弧,把象OM这样的以圆心O到弦AB的距 离称为弦AB的弦的弦心距.
练习:判别下列各图中的角是不是圆心角, 并说明理由。
O
O
①
②
O
O
③
④
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
24.2.3圆的对称性
圆心角、弧、弦、弦心距 之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
同圆
重合的两个圆
O
等圆
半径相等的两个圆
同圆或等圆的半径相等
O O'
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D
弦
C
弧
A
B
等弧
在同圆或等中,能够互相重合的两条弧叫做等弧
B
如图:以圆心O为顶点作一个
角,这个角的两边与圆O相交,
推 ➢ ②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中, 论 ➢ 有一组量相等,那么它们所对应的
➢ 其余各组量都分别相等.
A
D
B
●O
如由条件: ③AB=A′B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出 ⌒ ⌒ ②AB=A′B′
┏
A′ D′ B′
④ OD=O′D′
试一试你的能力
一.判断下列说法是否正确:
1相等的圆心角所对的弧相等。( ×)
A
P
O·
C
N
∴ OM⊥AB ∴ ON⊥CD
D
∴ OM=ON
∴AB=CD
例1:如图,点O是∠EPF平分线上的一点,以O为圆心的圆和角
的两边分别交于点A、B和C、D
求证:AB=CD B
M
A
P
O·
C
N
D
B CE
M •O PN
变式2:
已知:如图,
⊙O的弦AB, CD相交于点P, APO=∠CPO F 求证:AB=CD
︵︵
AB A' B '.
AB A' B '.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
A
D B
B'
B
O D' O
A
A'
B'
O'
A'
前提条件
在同圆或等圆中,
相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦相等,所对的弦心距相等
三、巩固应用、变式练习
1 、 判断题,下列说法正确吗?为什么?
(1)如图:因为∠AOB=∠A’OB’,
在等圆中
两位同学先作一个度数相同的圆心角!
B
O
A
B'
O'
A'
这两个相等的圆心角所对的弦分别是哪两条? 它们相等吗? 用尺量一量!
这两个相等的圆心角所对的弧分别是哪两条?
它们相等吗? 用什么方法验证的?
叠合法
二、
探究
如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置,你 能发现哪些等量关系?为什么?
则∠AOB= 60 °,
∠BOC= 120 °, ∠COA= 180 °.
3、在⊙O中,AB弧的度数为60°,AB弧的长
证明:
AC ,∠ACB=60°,
A
∵ AB = AC
∴ AB=AC. 又∠ACB=60°,
O·
B
C
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例1:如图,点O是∠EPF平分线上的一点,
以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B
和C、D 求证:AB=CD
证明:作OM⊥AB,
B M
ON⊥CD,M、N为垂足, ∵ ∠MPO=∠NPO
A′
B
B′
A′ B
B′
·
O
A
·
O
Aห้องสมุดไป่ตู้
根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的
位置时, ∠AOB=∠A′OB′,射线 OA与OA′重合,OB与OB′重
合.而同圆的半径相等,OA=OA′,OB=OB′,∴点 A与 A′重
合,B与B′重合.
∴A︵B与
︵
A'B
'
.
重合,AB与A′B′重合.
2相等的弧所对的弦相等。( √ )
B
二.如图,⊙O中,AB=CD,
1A
1 50, 则 2 _5_0_o_ .
C 2O
D
四、练习
如图,AB、CD是⊙O的两条弦. (1)如果AB=CD,那么__A ___B __=___C _,D _______A_O_B_____C__O_D.
(2)如果 AB= CD,那么____A__B_=__C_D__,____A__O_B______C.OD (3)如果∠AOB=∠COD,那么___A __B __= ___C ___D ,____A__B_=__C.D
两位同学作一条长度相同的弦,看一 看它们所对的圆心角是否相同
B
O
A
B'
O'
A'
(2) 推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,
那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
A
D B
O
B' D' A'
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等,所对的弦心距相等。