基本不等式1(1)

变式: 求证:2a2+2b2+2c2 2ab 2bc 2ca
（２）已知 a,b, c, d 都是正数，求证
(ab cd)(ac bd) 4abcd
证明：由 a,b, c, d 都是正数，得
ab cd 2
ab cd 0
ac bd 2
(ab cd)(ac bd) abcd 4
即(ab cd)(ac bd) 4abcd
ac bd 0
练习1 1.巳知a 0, b 0, 求证 : (a b)( 1 1 ) 4.
ab
2.巳知a,b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2 求证：（1）在所有周长相同的矩形
中，正方形的面积最大；（2）在所有面 积相同的矩形中，正方形的周长最短。
a b 2 ab
基本不等式
定理２（均值定理） 如果 a, b 是正数，那么
a b ab 2
(当且仅当 a b时取“ = ”号）．
概念
如果ａ、ｂ都是正数，我们就称 a b 为ａ、ｂ
2
的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。
均值定理可以描述为： 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）
1 x-3
x的最小值( x
f
3)；
2、求函数y= x2 8的值域. x 1
3、求证 4 a 7(其中a f 3) a3
已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大 值．
例4
1若x f 0,求f (x) 12 3x的最小值；
x (2)若x p 0, f (x) 12 3x的最大值。
x
3求y sin x 2 （0 p x p ）
2
∴ xy2 P
∵上式当 x y时取“=” ∴当x y时，x y 有最小值2 P
2当x y S (定值)时， xy S ∴ xy 1 S 2
2
4
∵上式当
x
y时取“=”
∴当
x y 时，xy有最大值 1 S 2 4
注意：
1、最值的含义（“≥”取最小 值，“≤”取最大值） 2、用极值定理求最值的三个必要条 件：一“正”、二“定”、三“相等”
a b ab 2
重要不等式
定理１：如果a, b R ，那么 a2 b2 2ab
（当且仅当 a b 时取“=”
号）．
我们可以用比较法证明．
探究
你能从几何的角度解释定理１吗？ 几何解释１－课本第五页．
几
何
解
a2 b2
释
a
２
b
动画
几何解释３
a
1 b2
b2
1 a2
2
a
思考 1
当a 0,b 0,在a2 b2 2ab中 以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
变形. 已知 x, y 都是正数，求证：
1 如果积 xy 是定值 P, 那么当 x y时,和 x y
有最小值 2 P
2 如果和 x y 是定值 S ,那么当 x y时,积 xy
有最大值 1 S 2 4
证：∵ x, y R ∴ x y xy 2
1当 xy P（定值）时，x y P
此时x=_____.
3.巳知x, y都是正数,
求证: x y 2. y x
4.证明
（1）lg x log x 10 2 (x 1)
证：∵ x 1 ∴ lg x 0 log x 10 0 于是 lg x log x 10 2 lg x lg x 10 2
（2）lg x logx 10 _？≤_ 2 (0 x 1) 解：∵ 0 x 1 lg x 0 log x 10 0
由公式a2 +b2
2ab,a+b 2
ab
可得以下结论：
(1)a b
b a
2(a、b同号)；
（2）a b
b a
2(a、b异号)。
练习2
1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小 值 是 _______,此时x=___,y= _____
2.巳知x 0,则6x 24的最小值是____, x
2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
练习4
求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.
例5.
1、已知 a, b, x, y R 且
a b 1， xy
求 x y 的最小值
解：x y (x y) 1 (x y)( a b ) a b ay xb
1
a 2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca
a2 b2 c2 ab bc ca
1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
3ab 3bc 3ca
ab bc ca 1 3
注意:本题条件a,b,c为实数
练习5
(1)已知:x, y R ,且 1 9 1, 求x y的最小值. xy
于是 ( lg x) ( log x 10) 2 从而 lg x log x 10 2
5、求函数y x 1 的值域.
x
解: (1)当x 0时, x 1 2 x 1 2
x
x
(2)当x 0时,x, 1 R ,
x
x 1 2 (x)( 1) 2
x
1
x 2
y
x (,2] [2,).
它们的几何平均数
均值定理的 几何意义
OC CD
a b 2
A
ab
半径不小于半弦
C
aabb
22 aabb
a .o
D
B
D
E
思考 2
当且仅当 a b 时 a b
ab
2
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 a b a b ab
当 ab
2
ab a b
2
思考 3
a2 b2 2ab 和 a b ab
xy
xy
a b 2 ay xb ( a b)2 xy
当且仅当
ay x
xb y
即x a 时 yb
x y取最小值( a b )2
2、已知: a b c 1
求证：ab bc ca 1 3
证明： a b c 1
(a b c)2
a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
(2)已知:a,b R ,且a2 b2 1, 求a 1 b2的最大值. 2
(3)设为锐角,求(sin 1 )(cos 1 )的最小值.
sin
cos
x
例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时
x 1 x 1
有最小Hale Waihona Puke Baidu，最小值为几？
解：∵ x 1 ∴ x 1 0
1 0 x 1
∴ x 1 = x 1
x 1 1 1 2 (x 1) 1 1 2 1 1
x 1
x 1
当且仅当
x 1 1 x 1
即
x0 时 x 1
x 1
有最小值1
练习3
1、求函数y=
2
成立的条件相同吗？
如：(1)2 (5)2 2 (1) (5)成立， 而 (1) (5) (1) (5) 不成立。
2
a2 b2 2ab 成立的条件_a_，__b__R_
a b ab 成立的条件_a_，_b___R 2
典例探讨
例1 求证：
（1）a2 b2 c2 ab bc ac