第五章 梁的应力

1
q=60 kN/m
120
30
180
20 180 30
1
z
A
1
1m
B
2
2m
y
解：画M图：
12
qlx qx2
M
M1 ( 2 2 ) x1 60kNm
120
ql2/ 8
Mmax ql2 / 8 67.5kNm
1
q=60 kN/m
A
1
1m
B 2m
12
M
(kNm)
60
M1
67.5
120
Mmax
求曲率半径
1
EIz M1
200 5.832 10 60
194.4m
30
180
20 180 30
120
求应力
1
z
2
y
Iz
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832105m4
1
M1 y1 Iz
60 60 5.832
105
61.7MPa
2
M1 y2 Iz
60 70 105 5.832
72MPa
Wz
bh2 6
900 15.6 106
1.17kNm
57.7 MPa
轴的最大正应力发生在B截面处，其值为57.7MPa。
最大弯曲正应力不一定发生在弯矩最大的截面上。
例5-3简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得
其应变=6×10-4，材料的弹性模量 E=200GPa，
材料力学
第五章 梁的应力
§5–1 概述 §5–2 梁在平面弯曲时横截面上的正应力 §5–3 梁的正应力强度条件 §5–4 弯曲切应力 §5–5 梁的切应力强度校核 §5–6 非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心 §5–7 提高弯曲强度的措施
§5-1 概述
F
F
A
C
D
a l-2a a
F Fs +
F
+
M Fa
z x
y
(三)静力学关系：
M
σ E y (2) ρ
zM x
y
x
Aσ
dA
A
E ρ
y dA
E ρ
A y dA
E ρ
Sz
0
则Sz 0 z轴 (中性轴)过形心
z O
y
x
dA
z
y
M y
A (dA)z
A
Eyz dA
ρ
E ρ
E
yzdA
A
ρ I yz
y轴为对称轴
0
M z
(σdA) y
A
平面弯曲的分类：
B
纯弯曲(pure bending) (CD段)：
Fs=0，M=const≠0
横力弯曲（transverse bending） (AC、DB段) ： Fs、M同时存在。
§5-2 平面弯曲时横截面上的正应力
一、纯弯曲时横截面上的正应力
mn
aa
bb
mn
M
mn
aa
bb
mn
横 线 （ mm 、 nn ） ： 仍 为 直 线，发生了相对转动，仍与 M 变形之后的梁轴线垂直。
y
d
yd d y
d
(1)
式(1)表明线应变ε与它到中性层的距离 y 成正比。
yd d y
d
(1)
说明：式 (1) 由平面假设和几何条件推得，与梁的材 料性质无关，故不论材料的应力、应变关系如何，此 式均适用。
（二）物理关系：
E
y
M
E y
(2)
在中性轴上：y =0， =0。
横力弯曲：平面假设和单向受力假设不再成立。
对于跨高比 l/h>5 梁，剪力Fs的影响很小，可推广使用 纯弯曲梁的正应力公式。
[例5-1] 受均布载荷作用的简支梁如图，试求：
（1）1-1截面上1、2两点的正应力；
（2）1-1截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半径。
纵线（aa、bb）：变为曲线， 凹侧缩短，凸侧伸长。
压缩区
纵向对称面
中性层
拉伸区
中性轴
平面假设：(plane assumption) ：梁的横截面在弯曲变 形后仍然保持平面，且与变形后的梁轴线垂直， 只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。
单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
中性层(neutral surface) ：中间既不伸长亦不缩短的 一层纤维。
Ey 2 dA E
Aρ
ρ
y2dA EI z M
A
ρ
1 M （3） EIz－梁的抗弯刚度
ρ EI z
1/ρ为梁弯曲变形的中性层的曲率
E y (2)
z
My (4)
M
1 M (3)
Iz
x EIz
符号：拉为正，压为负。
y
压应力（c ）
通常用M、y的绝对值来计算 正应力的大小，再由弯曲变形 判定是拉应力还是压应力。
0.90kNm -
是空心圆轴。试求轴内的 最大正应力。
解：(1)由弯矩图判断危险截面 RA=2.93kN; RB=5.07kN 向上
危险截面可能在C、B截面
1.17kNm
(2)计算抗弯截面模量
实心圆轴Wz ： 空心圆轴Wz’：
Wz
D3
32
63 32
21.2 cm3
Wz
D 32
3
1
d D
4
6.48 104m3
1max
M1 Wz
60 107 6.48
92.6MPa
max
Mmax Wz
67.5 107 6.48
104.2MPa
A
5kN C φ60
[例5-2]如图所示圆轴，
B
3kN φ43
在A、B两处的轴承可简化 为铰支座，轴的外伸部分
400 RA
M +
1000 300 RB
拉应力（t ）
★ 适用条件：①平面假设；②单向受力假设； ③服从虎克定 律； ④拉伸与压缩时的弹性模量相等。
★ 只要梁有一纵向对称面，且荷载作用在这个平面内，公式 (3)、(4) 就可适用。
（四）最大正应力：
Wz
Iz ymax
max
Mmax ymax Iz
Mmax Wz
抗弯截面模量（section modulus in bending）
63 32
1
43 60
4
15.6
cm 3
(3)计算最大正应力
5KN
3KN
A
C φ60
B φ43
400 RA
M +
1000 300
RB 0.90kNm
-
C截面的最大正应力：
max
C
MC Wz
1.17 103 21.2 106
55.2 MPa
B截面的最大正应力：
max
B
MB Wz
y
Wz
Iz ymax
bh3 12 bh2 h2 6
Wz
Iz ymax
D4 64 D3
D2
32
Wz
Iz ymax
D3 (1 4 )
32
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Ch z b
D
d
DdDd
D
梁的横截面不对称于 z 轴(中性轴)：
max
M y1 Iz
M
max
max
M y2 Iz
二、 横力弯曲时的正应力
max
y2 y1 z y
中性轴(neutral axis) ：中性层与梁横截面的交线，垂 直于梁的纵向对称面。（横截面绕中性轴转动）
（一）变形几何关系
纵向对称面
M
z 中性轴 O
中性层
x
OO
b by
dx
曲率半径
M
O 曲率 中心
d
M
y
O b
O b
曲率 K 1 d
y 对称轴
dx
bb dx OO OO d
bb