2018年初三数学中考模型之费马点问题(含答案)

费马点的问题

定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：

1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；

2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。

性质：费马点有如下主要性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

3．费马点为三角形中能量最低点。

4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。

例1：已知：△ABH是等边三角形。

求证：GA+GB+GH最小

证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。

∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。

以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.

以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.

∵AH=BH=AB=12.

∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.

∴A、G、P三点一线。

再连PD两点。

∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.

∴∠PHD=30°,.

在△HGB和△HPD中

∵HG=HP

∠GHB=∠PHD；

HB=HD；

∴△HGB≌△HPD；（SAS）

∴∠HPD=∠HGB=120°；

∵∠HPG=60°.

∴G、P、D三点一线。

∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。

∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.

∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。

求证：GA+GB+GC最小

证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；

∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.

∵∠GCP=60°,

∴∠BCD=60°,

∴△GCP和△BCD都是等边三角形。

∵∠AGC=120°, ∠CGP=60°.

∴A、G、P三点一线。

∵∠CPD=120°, ∠CPG=60°.

∴G、P、D三点一线。

∴AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。

∵GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

∴G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。

但它不同于等边三角形的费马点是重心。

例3：已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。

求证：GA+GB+GC 最小

证明：将△BGC 逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB ≌△CPD ；

∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.

∵ ∠GCP=60°,

∴ ∠BCD=60°,

∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。

∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.

∴ A 、G 、P 三点一线。

∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.

∴ G 、P 、D 三点一线。

∴ AG 、GP 、PD 三条线段同在一条直线上。

∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。

但它不同于等边三角形的费马点是重心。

（费马点问题）如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.

解：Part1:将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60°得到''BP C ∆，易知'BPP ∆为等边三角形.从而''''PA PB PC PA PP P C AC ++=++≥（两点之间线段最短）

，从而3t ≥.

Part2:过P 作BC 的平行线分别交AB AC 、于点M N 、，易知MN AN AM ==.

因为在BMP ∆和PNC ∆中，PB MP BM <+①， PC PN NC <+②。 又APM ANM AMN ∠>∠=∠，所以PA AM <③. ①+②+③可得

()()()12t AM BM MP NP NC AB MN NC AN NC <++++=++=++=，

即2t <.综上，t PA PB PC =++的取值范围为32t ≤<.

“费马点”与中考试题

费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一． 费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点． 费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费

马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．

△三个顶点的距离之和P A+PB+PC最小？这就是所谓的费尔下面简单说明如何找点P使它到ABC

马问题．

图1

解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．

则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，

所以P A+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．

点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小．

这时∠BP A=180°-∠APP′=180°-60°=120°，

∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，

∠BPC=360°-∠BP A-∠APC=360°-120°-120°=120°

△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在因此，当ABC

AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考．

本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考．

例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值26