第二章恒定电场-1_7515_341_20100402104354
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第二章恒定电场
恒定电场
Engineering electrical magnetic field
§2-1 导电媒质中的电流 §2-2 电源电动势与局外场强 §2-3 恒定电场基本方程· 分界面上的衔接条件
§2-4 导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟
§2-5 电导和部分电导
电源电动势与局外场强
Engineering electrical magnetic field
焦耳定律 最初
U2 Q W UIt I 2 Rt t R
由焦耳直接根据 实验结果确定
导电媒质中的电流
Engineering electrical magnetic field
电功率：电场在单位时间内所做的功， P W t UI 热功率：电流通过电阻时发热的功率，P Q t I 2 R U 2 R
注意：电功率和热功率有区别。UI 是一段电路所消耗 的全部电功率，而 I 2 R 或 U 2 R 是由于电阻发热而消耗 的电功率。
当电路中只有电阻元件时，消耗的电能全部转化成 热，这两种功率是一样的。但是，当电路中除电阻外 还有电动机、电解槽等转化能量的装置时，这两种功 率并不相等，需分别计算。
导电媒质中的电流
I J dS
S
导电媒质中的电流
Engineering electrical magnetic field
2.面电流密度
有时电流仅分布在导电媒质表面的薄层内， 为此，需要引入面电流密度的概念。
I
en 表示某点处的电流方向，取与 之垂直的线元 l ，若通过 l 的
电流强度为 I ，则该点的面电流 密度为：
2
1
1 J1
1 2
tan1 1 tan 2 2
高中物理 第二章静电场和恒定电流电场
第二章 静电场和恒定电流电场§2.1 静电场的基本方程1 静电场的定义：场的源－电荷，相对于观察者（坐标系）静止。
2 静电场的基本方程：0=∂∂t，因此有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅∇==⋅∇==⨯∇=⨯∇000B HB D E D E H μρε 可以发现电场量（ε,,D E ）与磁场量（μ,,B H）无耦合，故可以单独研究静电场和静磁场。
于是静电场的基本方程是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇==⨯∇ρεD ED E3 静电场的物理特性；1）场源：电荷，散度源，旋度为零，是保守场，可以定义势能。
2）电力线：非环，始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，终于负电荷或带负电荷的导体或无穷远。
3）与磁场关系：无关。
§2.2 电位1 为什么需要电位：1）电位作辅助量，简化求解过程，矢量变标量。
2）静电场电位有物理意义：电位是单位正电荷的势能。
3）电位比电场易测量。
2 电位定义：前提是旋度为零。
任何标量梯度的旋度恒等于零：0=∇⨯∇ϕ （梯度的物理解释：最陡）因此只要让ϕ-∇=E静电场的旋度方程自然满足。
3 电位的物理意义：任意一点A 的电位等于把单位正电荷从该点移到电位参考点P （零电位点）电场力所做的功，也就是外力克服电场力把单位正电荷从电位参考点（零电位点）移到该点所做的功。
数值上也就是单位正电荷所具有的势能。
⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==⋅∇=⋅∇-=⋅→⋅=⋅=PAA PA PA P A PAP AP AAP d l d l d l d E l d E q l d F W ϕϕϕϕϕϕ上式结果与A 点到P 点的具体路径无关，这是因为⎰=⋅=+=-AMPNAANPAMP ANP AMP l d E W W W W 0AMNP所以 A N P A M P W W =因此我们才可以说（在静电场条件下）电位是单位正电荷的势能。
势能本身就意味着它只与状态有关，与过程无关。
4 电位参考点的选择：1）电荷在有限区域，无穷远点为参考点。
第2章 静电场和恒定电场
定义：从闭合面内发出的总电通量，等于面内所
包围电荷总电量。
D
ds
Q
积分形式
s
D ds Q
s
vvdv
散度与场源的关系
此式说明：空间任意存在正电荷 密D度dv的点，都发出电
通量线（即电力线）
V
静电场是有散的 • D v 微分形式
例：用高斯定律求孤立点电荷q在任意点P点产生的 电场强度
lim W
Q E dl
E dl
P
E
dl
q qt 0 t
q
40R2 aR
aRdR
P
q1
40 R
1 V (r) dV ' 40 V R
1 S (r) dS 40 S R
E
1 l (r) dl
40 l R
例 真空中一个带电导体球，半径为a，所带电量为Q，试 计算球内外的电位与电场强度。
z ]
' dz
'
dE
1
4 0
l
R3
dz'
dEz
1
4 0
l
(
z R3
z'
)
dz
'
例 一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a，外半径为b，
面电荷密度为 ，求zs轴上任意一点的电场强度
解题思路（步骤）：
1. 根据电荷分布形状，以及 它与所求点电场之间的相对 位置关系，选择并建立坐标 系。
2. 确定源点、场点，及其位 置矢量，距离矢量。
3. 代入电场强度计算式，确 定积分上下限，求解。
3、 电位函数 （Electric Potential）
“电面从正W在，—场，试P静并”强点则验电从负度移P电场点号电的到荷中处的位方参q，的t物高向从考某电理处；P点点点位意指电QP移为义向场的处到：电强过的Q电位度程电点位低的中位的的处方静定过增。向电义程加总力为中总是所把电是垂作单场朝直的位力着于功正作抗电。电功拒位荷为若
第二章恒定电场
第二章 恒定电场
1. 球形电容器内半径15cm R =，外半径210cm R =，内外导体间的非理性电介质
的电导率910S/m γ-=，若内外导体间电压01000V U =，求内外导体间的ϕ、E 、
J 和绝缘电阻R 。
2. 上题的电容器若有两层介质。
两介质分界面亦为球面，半径为08cm R =，若电导率10110
S/m γ-=，9210S/m γ-=，再求内外导体间的ϕ、E 、J 和绝缘电阻R 。
3. 在良导体的恒定电流场中放入一小块不良导体，从良导体一侧看，电流密度是趋向垂直于分界面还是平行于分界面？
4.在恒定电场的电源中，总的电场强度闭合线积分为零吗？局外电场强度的闭合线积分为零吗？库仑电场强度的闭合线积分为零吗？在电源之外，上述3个闭合线积分是否为零？
5.直径为3mm 的导线，如果流过它的电流是10A ，且电流密度均匀，导线的电导率为
5.8⨯107S/m ，导线内电荷的密度为9⨯109C/m 3。
求导线内部的电场强度以及电子的漂移速率。
（提示：电子的漂移速率即为导线内电子的运动速率。
）。
第二章-静电场恒定电场磁场-汪
D
介质中微分形式的高斯定律表明，某点电位移的散度等于该点 自由电荷的体密度。 电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该
点电位移的方向，这些曲线称为电位移线。若规定电位移线组成的
相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可 表示电位移的大小。值得注意的是，电位移线起始于正的自由电荷，
极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。可以证明
极化电荷可表示为
(r ) P(r ) en S
(r ) P (r )
右式又可写为积分形式
q P dS
S
由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表 面束缚电荷是等值异性的。
4. 介质中的静电场方程
q r r 4π 0 r r
若观察距离远大于两电荷的间距 l ，则可认为 e r ，er 与 er 平行，则
r r l cos
l l r r r cos r cos r 2 2 2
若B点为电位参考点 ，即 B 0 ，则A点电位为
B
A
B E dl A
若电荷以一定的密度分布在一个有限的体积内，电位与电荷体密 度的关系为：
1 将 R | r r | 带入上式 (r ) 4π 0
电场强度与电荷体密度的关系为
1 (r ) 4π 0
V R dV
在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为
S
E dS
1
0
(q q)
式中 q 为闭合面 S 中的自由电荷，q为闭合面S 中的束缚电荷。那么
令 D 0 E P，求得
介质中微分形式的高斯定律表明，某点电位移的散度等于该点 自由电荷的体密度。 电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该
点电位移的方向，这些曲线称为电位移线。若规定电位移线组成的
相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可 表示电位移的大小。值得注意的是，电位移线起始于正的自由电荷，
极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。可以证明
极化电荷可表示为
(r ) P(r ) en S
(r ) P (r )
右式又可写为积分形式
q P dS
S
由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表 面束缚电荷是等值异性的。
4. 介质中的静电场方程
q r r 4π 0 r r
若观察距离远大于两电荷的间距 l ，则可认为 e r ，er 与 er 平行，则
r r l cos
l l r r r cos r cos r 2 2 2
若B点为电位参考点 ，即 B 0 ，则A点电位为
B
A
B E dl A
若电荷以一定的密度分布在一个有限的体积内，电位与电荷体密 度的关系为：
1 将 R | r r | 带入上式 (r ) 4π 0
电场强度与电荷体密度的关系为
1 (r ) 4π 0
V R dV
在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为
S
E dS
1
0
(q q)
式中 q 为闭合面 S 中的自由电荷，q为闭合面S 中的束缚电荷。那么
令 D 0 E P，求得
第二章 恒定电场
第 二 章
恒定电场
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
序 导电媒质中的电流 电源电动势与局外场强 基本方程 分界面衔接条件 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
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第 二 章
2.0 序
Introduction
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒 通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒 导电媒质中 定电场.恒定电场是动态平衡下的电荷产生的,它与 定电场.恒定电场是动态平衡下的电荷产生的, 静电场有相似之处. 静电场有相似之处. 本章要求: 本章要求: 理解各种电流密度的概念, 理解各种电流密度的概念,通过欧姆定律和焦耳 电流密度的概念 定律深刻理解场量之间的关系. 定律深刻理解场量之间的关系. 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 恒定电场基本方程 接条件. 接条件. 熟练掌握静电比拟法和电导的计算. 熟练掌握静电比拟法和电导的计算. 静电比拟法 的计算
导电媒质中的电流
恒定电场
Current in Conductive Media 导体或电解液 导体或电解液
传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动. 传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动. ——电荷在导电媒质中的定向运动 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动. 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动. ——带电粒子在真空中的定向运动 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流. 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流. ——随时间变化的电场产生的假想电流 定义:单位时间内通过某一横截面的电荷总量. 定义:单位时间内通过某一横截面的电荷总量.
dq I = dt
恒定电场
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
序 导电媒质中的电流 电源电动势与局外场强 基本方程 分界面衔接条件 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
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第 二 章
2.0 序
Introduction
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒 通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒 导电媒质中 定电场.恒定电场是动态平衡下的电荷产生的,它与 定电场.恒定电场是动态平衡下的电荷产生的, 静电场有相似之处. 静电场有相似之处. 本章要求: 本章要求: 理解各种电流密度的概念, 理解各种电流密度的概念,通过欧姆定律和焦耳 电流密度的概念 定律深刻理解场量之间的关系. 定律深刻理解场量之间的关系. 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 恒定电场基本方程 接条件. 接条件. 熟练掌握静电比拟法和电导的计算. 熟练掌握静电比拟法和电导的计算. 静电比拟法 的计算
导电媒质中的电流
恒定电场
Current in Conductive Media 导体或电解液 导体或电解液
传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动. 传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动. ——电荷在导电媒质中的定向运动 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动. 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动. ——带电粒子在真空中的定向运动 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流. 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流. ——随时间变化的电场产生的假想电流 定义:单位时间内通过某一横截面的电荷总量. 定义:单位时间内通过某一横截面的电荷总量.
dq I = dt
第2章 恒定电场
0 0 , U 0
通解 C1 C2
弧形导电片
U0 代入边界条件，得电位函数 ( )
U0 电场强度 E e e
第2章 恒定电场 U0 电场强度 E e e
恒定电流的形成
电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。
局外场强
fe Ee q
f e－局外力
总场强
E Ec Ee J ( Ec Ee )
第2章 恒定电场
电源电动势
e
l
Ee dl
电源电动势与局外场强
因此，对闭合环路积分
l E dl l ( Ec Ee ) dl Ec dl Ee dl
Байду номын сангаас
E2n
0 ＝ 0 2 0
J 2n
导体中
导体与理想介质分界面
E1n 0
D 2n D1n 2E 2n
表明2
导体与理想介质分界面上必有面电荷。
提问： 不同导体分界面 ＝0 ？
第2章 恒定电场
E1t E2t J1t / 1 0
表明3
若
电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面
（理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导 1
体表面，导体不损耗能量。
导体周围介质中的电场：
E2 E2t e x E2n e y
载流导体表面的电场
第2章 恒定电场
边值问题
由基本方程出发
E 0 J 0
得
E 常数 ( E ) E 0
工程电磁场-第二章恒定电场
ax
0, 0, U sin x , 0 x0
a 0 yb
y0 0 xa
yb
0
0 xa
xa 0 yb
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例3 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及面电荷的分布？
解：选用圆柱坐标，边值问题为： 0
0
21
1
(
1 )
1
2
21 2
21
z 2
0
( 1区域）
2 2
欧姆定律 导体内流过的电流与导体两端的电压成正比。
U RI I GU
设小块导体，在线性情况下
R 1 dl U E dl
ds I J dS
J 与 E 之关系
J E
Ohm’s Law 微分形式
说明 ① J 与 E 成正比，且方向一致。
① 上式也适用于非线性情况。
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tan 1 1 tan 2 2
γ1
γ2
J2
α2 α1
除α1＝90°外，无论α1为多大，
J1
α2都很小。
结论：电流由良导体进入不良导体时，电流密度线 与良导体表面近似垂直，可将分界面视为等位面。
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b.良导体和理想介质分界面衔接条件 理想介质 γ2 ＝0，J2=0
导体侧， J1n ＝J2n=0， E1n ＝0
三种电流： 传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。 运流电流——带电粒子在真空中的定向运动。 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
定义 单位时间内通过某一横截面的电量。
I dq A dt
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恒定电场基本方程
11
§2.5.1 电导例题
例二、导电片尺寸如图，半径为R1 、R2，厚度为d，
电导率为1 、2 。求导电片的电位、电场分布及其电导。
思路：解拉普拉斯方程
解： 取圆柱坐标系： = ()
▽
21 =
1
2
12 2
=
0
▽
22 =
1
2
2 2 2
=0
微分方程
y
1 1J
2
U0
45º 2
1 |( =/2) = U0 2 |( =0) =0
一、基本方程：
基本 方程
导电媒质内的恒定电场（电源外）
E = 0
• J =0
J = E
静 电 场（=0处）
E = 0
• D =0
D = E
导出 方程
边界 条件
E = -
=
l
E
•
dl
I = SJ • dS
E1t = E2t
J1n = J2n
▽ 2 = 0
2=1
2
2 n
= 1
1 n
E = -
2.电阻系数只和电极几何形状、尺寸、相互位置以及导电媒质的电阻率有
关，与电流量无关；
3. 互易性：Rij = Rji
14
§2.5.2 部分电导
2.由[U]=[R][I]得： [I]=[P][U’ ]
I1=P11U10+ P12U20+…+ P 1kUk0+… + P 1nUn0 ………………………………………… Ik=Pk1U10+ P k2U20+…+PkkUk0+… +PknUn0 ………………………………………… In=Pn1U10+Pn2U20+…+PnkUk0+… +PnnUn0
§2.5.1 电导例题
例二、导电片尺寸如图，半径为R1 、R2，厚度为d，
电导率为1 、2 。求导电片的电位、电场分布及其电导。
思路：解拉普拉斯方程
解： 取圆柱坐标系： = ()
▽
21 =
1
2
12 2
=
0
▽
22 =
1
2
2 2 2
=0
微分方程
y
1 1J
2
U0
45º 2
1 |( =/2) = U0 2 |( =0) =0
一、基本方程：
基本 方程
导电媒质内的恒定电场（电源外）
E = 0
• J =0
J = E
静 电 场（=0处）
E = 0
• D =0
D = E
导出 方程
边界 条件
E = -
=
l
E
•
dl
I = SJ • dS
E1t = E2t
J1n = J2n
▽ 2 = 0
2=1
2
2 n
= 1
1 n
E = -
2.电阻系数只和电极几何形状、尺寸、相互位置以及导电媒质的电阻率有
关，与电流量无关；
3. 互易性：Rij = Rji
14
§2.5.2 部分电导
2.由[U]=[R][I]得： [I]=[P][U’ ]
I1=P11U10+ P12U20+…+ P 1kUk0+… + P 1nUn0 ………………………………………… Ik=Pk1U10+ P k2U20+…+PkkUk0+… +PknUn0 ………………………………………… In=Pn1U10+Pn2U20+…+PnkUk0+… +PnnUn0
第二章恒定电场
图2.1.3 电流线密度及其通量
τ 分布的线电荷沿着导线以速度 v 运动形成的电流I = τv 。
图2.1.4
媒质的磁化电流
图2-3 电流元示意
r r 注意： 电流密度的符号通常用 的符号通常用： 注意：1) 电流密度的符号通常用：J , K , I 2) 电荷密度的符号通常用： , σ , τ 电荷密度的符号通常用 ρ 的符号通常用：
γ 1 >> γ 2
α1 ≠ 90 o
α 2 ≈ 0o
J2 n°
例如，钢的电导率 γ1 = 5×106 S/m，周围土壤的电 例如 导率γ2 = 10-2 S/m，α1 = 89°，可知，α2 ≈ 8″。 良导体表面可近似看作为等位面 (3) 导体与理想介质分界面上的边界条件
J 2n = 0
γ2 γ1
γ 1 E1n = γ 2 E 2 n
J2
ε2E2n −ε1E1n =σ
γ2, ε2
P
σ
ε 2γ 1 − ε 1γ 2 σ= J 2n γ 1γ 2
γ1, ε1
J1
1-3-1 有恒定电流通过两种不同的导体媒质 介电常数和 有恒定电流通过两种不同的导体媒质(介电常数和 的分界面. 电导率分别是 ε1, γ 1和ε 2 , γ 2)的分界面 问若要使两种电解 的分界面 质分界面处的电荷面密度为零, 则应该满足何条件. 质分界面处的电荷面密度为零 则应该满足何条件
包括良导体和不良导体). 中(包括良导体和不良导体 包括良导体和不良导体 2) 前者场强处处为零并且为等位体；后者 库仑 场强 前者场强处处为零并且为等位体；后者(库仑 库仑)场强 一般不为零并且为非等位体. 一般不为零并且为非等位体 3) 电场为恒定电场的条件为任何闭合面电流量对 时间导数为零。 时间导数为零。
τ 分布的线电荷沿着导线以速度 v 运动形成的电流I = τv 。
图2.1.4
媒质的磁化电流
图2-3 电流元示意
r r 注意： 电流密度的符号通常用 的符号通常用： 注意：1) 电流密度的符号通常用：J , K , I 2) 电荷密度的符号通常用： , σ , τ 电荷密度的符号通常用 ρ 的符号通常用：
γ 1 >> γ 2
α1 ≠ 90 o
α 2 ≈ 0o
J2 n°
例如，钢的电导率 γ1 = 5×106 S/m，周围土壤的电 例如 导率γ2 = 10-2 S/m，α1 = 89°，可知，α2 ≈ 8″。 良导体表面可近似看作为等位面 (3) 导体与理想介质分界面上的边界条件
J 2n = 0
γ2 γ1
γ 1 E1n = γ 2 E 2 n
J2
ε2E2n −ε1E1n =σ
γ2, ε2
P
σ
ε 2γ 1 − ε 1γ 2 σ= J 2n γ 1γ 2
γ1, ε1
J1
1-3-1 有恒定电流通过两种不同的导体媒质 介电常数和 有恒定电流通过两种不同的导体媒质(介电常数和 的分界面. 电导率分别是 ε1, γ 1和ε 2 , γ 2)的分界面 问若要使两种电解 的分界面 质分界面处的电荷面密度为零, 则应该满足何条件. 质分界面处的电荷面密度为零 则应该满足何条件
包括良导体和不良导体). 中(包括良导体和不良导体 包括良导体和不良导体 2) 前者场强处处为零并且为等位体；后者 库仑 场强 前者场强处处为零并且为等位体；后者(库仑 库仑)场强 一般不为零并且为非等位体. 一般不为零并且为非等位体 3) 电场为恒定电场的条件为任何闭合面电流量对 时间导数为零。 时间导数为零。
第二章-5 恒定电场
电荷, 导线周围的介质为空气, 试求导线表面上的场强大小和方向。
E dl E l IR
t t
IR 20 1 Et 0.2 l 100
或者： E
V /m
I l ,R , E IR 0.2 S S l
J
16
(2) 因为在导体表面存在恒定电荷, 所以产生的场强是
恒定电流连续性方程的微分形式
E E E 0
均匀媒质：
J 0
0
E 0
在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有静电荷, 恒定电荷（静电 荷）只能分布在导体的表面上。
10
导体中的恒定电场分析
EE
J
在静电场中的导体： 若内部无恒定电流，导体表面产生感应电荷，感应电 荷激发的感应电场抵消原电场，内部总电场为零。 若内部有恒定电流，导体表面的感应电荷激发的感应 电场无法抵消原电场，内部电场不为零，这种由恒定 电流引发的电场称为恒定电场。
E 0
恒定电场也是位场。
E dl 0
l
这个特性只在电源外的导体中满足。
在电源内部, 不仅有电荷产生的电场（库仑场）, 还有其它局外 电场（非静电力，非库仑场) 。
13
(3) 均匀介质中恒定电场的电位
在电源外的导体内：
J E
J 0, E 0
2
E () 0
27
U 1 R () I 4 a
联合接地-形成均压体
VA VB I R1
R2
P
RG
R’ 联合接地后，接地电阻很小， P点电位低。VA、VB降低， 防止电位反击
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[理学]第二章恒定电场
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电流线密度
K v
l
Am
电流
I ( K en ) dl
en 是垂直于 dl，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量。
图2.1.3 电流线密度及其通量
第 二 章
恒定电场
工程应用
媒质磁化后的表面磁化电流；
同轴电缆的外导体视为电流线密度 分布； 高频时，因集肤效应，电流趋于导 体表面分布。
图2.1.4 媒质的磁化电流
E E dl E dl E dl 0 e e
E Ee dl
②环路不经过电源：
E dl 0
第 二 章
恒定电场
二、微分形式的基本方程：（由积分形式的基本方程利用 散度定理和斯托克斯公式推导出） 1、电源外导电媒质的恒定电场基本方程的微分形式：
U RI 欧姆定律 积分形式。
J 与 E 共存，且方向一致。
图2.1.5 J 与 E 之关系
简单证明： 对 J E 两边取面积分
左边 J dS I
S
S U U GU 右边 S E dS S dS l l 所以 U RI
2.1.4 焦尔定律的微分形式 导体有电流时，必伴随功率损耗（dt时间内，导体每一单 元体积dV内，由于电子运动而转换成得热能），其功率 体密度为
第 二 章
恒定电场
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
导电媒质中的电流
电源电动势与局外场强 基本方程 • 分界面衔接条件 • 边值问题
导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
第 二 章
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和 恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，电 荷作宏观运动，电荷的分布不随时间变化（即：恒定 ），它与静电场有相似之处。 本章要求: 理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳 定律深刻理解场量之间的关系。 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 接条件。 熟练掌握静电比拟法和电导的计算。
恒定电场
第二章恒定电场导电媒质中的电流电源电动势与局外场强恒定电场基本方程•分界面上的边界条件导电媒质中的恒定电场和静电场的比拟电导和接地电阻在静电场中，导体中没有电场，没有电荷的运动，导体是等位体，导体表面是等位面。
我们研究的是介质中的电场.当导体中有电场存在时，导体中的自由电荷在电场力的作用下就会作定向运动，形成电流。
如果导体中电场保持不变，那么，运动着的自由电荷在导体中的分布将达到一种动态平衡，不随时间而改变，这种运动电荷形成的电流称为恒定电流.维持导体中具有恒定电流的电场称为恒定电场.处于恒定电场中的导体表面，将有恒定的电荷分布，它们将在导体周围的介质中引起恒定电场，其性质与静电场类似，遵从与静电场相同的规律。
所以，本章的重点在研究导电媒质中的恒定电场（也称恒定电流场）。
基本物理量J欧姆定律J的散度 E 的旋度基本方程边界条件边值问题电位电导与接地电阻一般解法特殊解（静电比拟）图 2.0.2 恒定电场的知识结构框图I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。
1.电流面密度2.1.2 恒定电场的基本物理量——电流密度电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它与电场强度方向一致。
2.1.1 电流强度2.1 导电媒质中的电流图2.1.1 电流面密度矢量图2.1.2 电流面密度A dtdq I =单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
分布的体电荷以速度v 作匀速运动形成的电流。
ρ)(A/m 2 v ρJ =流过任意面积S 的电流⎰⋅=S S d J I 电流面密度的物理意义：描述某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流。
同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；•交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流趋於表面分布，可用电流线密度表示。
•媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电流线密度表示,如图示；图2.1.3 电流线密度及其通量工程意义：图2.1.4 媒质的磁化电流2. 电流线密度分布的面电荷在曲面上以速度v 运动形成的电流。
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说明分界面上电场强度的切向分 量是连续的，电流密度法向分量是连 折射定律为
tan α1 γ 1 = tan α 2 γ 2
图2.3.1 电流线的折射
仅供自学参考
讨论： 两种特殊情况分界面上的电场分布。 a ) 媒质1是良导体，如铜，媒质2是不良导体，土壤
γ 1 = 5 × 10 s / m γ 2 = 10 s / m γ 1
dq I = dt
单 位 ： 安 （ A）
I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。
仅供自学参考
2.1.2
恒定电场的基本物理量——电流密度
不同的电荷分布运动时形成不同的电流密度。 1.电流面密度
体密度ρ分布的电荷以速度v作匀速运动时，形成电流密度矢量J。
J = ρv
通过面积元dS的电流
A m2 亦称电流面密度
D2 n − D1n = σ J 2 n − J1n = 0
ε 2 E 2 n－ε1 E 1n = σ γ 2 E 2 n－γ 1 E 1n = 0
分界面上面电荷密度为
⎛ ⎛ ⎞ γ2 ⎞ γ1 − ε 1 ⎟ E1n σ = ⎜ ε 2 − ε1 ⎟ E2n = ⎜ ε 2 γ1 ⎠ ⎝ ⎝ γ2 ⎠
2 2 2
0
0
1 ∂2ϕ2 2 ∇ϕ2 = 2 2 =0 ρ ∂φ
图2.3.3 不同媒质弧形导电片
(γ2 区域）
场域边界条件 ϕ1 衔接条件
φ=
π
2
= U0
ϕ2 φ =0 = 0 ,
φ1 = φ2
仅供自学参考
∂ϕ1 ∂ϕ2 π = γ2 γ1 , (φ = ) ρ ∂φ ρ ∂φ 4
电位
4γ 2U 0 (γ 1 − γ 2 )U 0 ϕ1 = φ+ , π (γ 1 + γ 2 ) γ1 +γ 2
τ分布的线电荷沿着导线以速度 v 运动形成的电流I = v 。 τ
2.1.3 欧姆定律的微分形式 电场是维持恒定电流的必要条件。 电路理论中的欧姆定律： U=RI
l R = 式中γ 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。 γS
选择一段元电流管，长度dl，横 截面dS，流过该管的电流为 dI = J ⋅ dS
第二章
恒定电场
仅供自学参考
恒定电场的知识结构框图
基本物理量
J,E
欧姆定律
J 的散度
边界条件
基本方程 边值问题
E 的旋度
电位
一般解法
特殊解（静电比拟） 电导与接地电阻
仅供自学参考
2.1 2.1.1电流强度
导电媒质中的电流
电荷的定向运动形成电流。电流的强弱用电流强度 表示。 单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
仅供自学参考
2.2.3 恒定电场
恒定电场在恒定电流下，由分布不随时间变化 但做恒定流动的电荷产生的。 恒定电场分为两部分，一是导电媒质中恒定 电场（主要讨论） ；一是导电媒质周围电介 质或空气中的恒定电场。
仅供自学参考
2.3 2.3.1
恒定电场的基本方程 分界面上的衔接条件
恒定电场的基本方程
1. 电流连续性方程 由电荷守恒定律
仅供自学参考
图2.2.2
恒定电流的形成
2.2.2
电源电动势与局外场强
电源的电动势可以用局外场强表示，电源电动势与 局外场强的关系为
ε = ∫ Ee ⋅ d l (V )
l
电源电动势与有无外电路无 关，它是表示电源本身的特 征量。
考虑局外场强
Ee
图2.2.3 电源电动势与局外场强
J = γ (E + E e )
4γ 2U0 E1 = − eφ π (γ1 +γ 2 )ρ
4γ 1U 0 ϕ2 = φ π (γ 1 + γ 2 )
4γ1U0 E2 = − eφ π (γ1 +γ 2 )ρ
电场强度
电荷面密度
4ε 0U0 σ = ε 0 E1 − ε 0 E2 = (γ 1 - γ 2 ) π (γ 1 + γ 2 ) ρ
E, σ 与φ 无关，是 ρ 的函数。
仅供自学参考
作业： P73 2-1-3 P79 2-3-1 P91 习题2-9
仅供自学参考
流过任意线段的电流
I =
∫
l
(K ⋅ en )d l
仅供自学参考
工程意义： • 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布； • 媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电 流线密度表示； • 交变电场的集肤效应，即高频情况下，电 流趋於表面分布，可用电流线密度表示。
3、线电流
仅供自学参考
图2.1.4
媒质的磁化电流
∂ = 0 在恒定电场中 ∂t
∫
∫
S
S
∂q J ⋅ dS = − ∂t
J ⋅ d S = 0 散度定理
∫
V
∇ ⋅ JdV = 0
故
∇ ⋅J = 0
恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。
仅供自学参考
2. 电场强度的环路线积分 所取积分路径经过电源。
∫
l
(E + Ee ) ⋅ dl = ∫ l E ⋅ dl +
焦尔定律的微分形式
导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。可 以证明其功率的体密度为
p = J ⋅E
单位 W/m
3
——焦耳定律的微分形式 电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即
P = UI = I 2 R （W）
—— 焦耳定律的积分形式
仅供自学参考
2.2 2.2.1 电源
电源电动势与局外场强
要想在导线中维持恒定电 流，必须依靠非静电力将B极 板的正电荷抵抗电场力搬到A 极板。这种提供非静电力将其 它形式的能量转为电能装置称 为电源。
dI = J ⋅ dS
I =
通过任意面积S的电流
学参考
图2.1.2
电流面密度
2. 电流线密度
按面密度 σ 分布的电荷以速度v运动,形成电流 线密度矢量。
K =σ v
Am
流过某元线段的电流 d I = ( K ⋅ e n ) d l
e 是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量 n
E2 E2t E1t
∵ γ 2 = 0 J2 = 0
∴ J2n = J1n = 0
∵E1n =
J
J1n
γ1
∴E1n = 0
J 1t J1
导体与理想介质分界面
E 1 = E 1t =
γ1
=
γ1
表明 导体侧只存在切向分量电流和电场强度, 导体表面是一条电流线
仅供自学参考
∵ J 2 n = E2 nγ 2 J 2 n = 0, γ 2 = 0,∴ E2 n不一定为0
∫
e
Edl = 0
导电媒质（电源外）中的恒定电场微分形式基本方程
∇⋅ J = 0
构成方程
J =γE
∇× E = 0
• 恒定电场是无源无旋场。
仅供自学参考
2.3.2
分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件
∫ ∫
续的。
L S
E⋅ dl = 0 J ⋅ dS = 0
⇒ E1t = E 2t ⇒
J1n = J 2 n
E2n等于多少呢？
D2n − D1n = σ ∵ D1n＝ε1E 1n＝0
表明
∴ D2n = ε 2 E 2n＝σ
导体与理想介质分界面上有恒定面电荷分布。
思考： 面电荷是静止的吗？
E2t＝E1t ≠ 0
表明 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位 面。
仅供自学参考
γ 不同导电媒质分界面处，区域1， γ 1，ε1 区域2，2，ε 2
两端电压为dU， dU = E ⋅ dl 利用欧姆定律
图2.1.6
J与E之关系
J = γE
dl E ⋅ dl = J ⋅ dS γ dS
欧姆定律的微分形式。
仅供自学参考
•
欧姆定律的微分形式 。 电流密度与电场强度方向一致。
J = γE
• 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即 U=RI
仅供自学参考
2.1.4
∫
l
Ee ⋅ dl = 0 + ε
∫
l
( E + Ee ) ⋅ dl = ε
所取积分路径不经过电源，则
∫
l
E ⋅ dl = 0
斯托克斯定理
∫ (∇ × E ) ⋅ d S = 0
s
得
∇×E = 0
仅供自学参考
3. 恒定电场的基本方程 导电媒质（电源外）中的恒定电场积分形式基本方程
∫
s
J ⋅ dS = 0
7
−2
γ2
由折射定理得 γ1 tan α 1 = → ∞ tan α 2 γ2
π
则
α2 ≈ 0
它表明，只要 α1 ≠ ，电流线垂直于良导体表面穿出，良 导体表面近似为等位面。 2
仅供自学参考
b）
( (γ 媒质1是导体， 1 ≠ 0 ) 媒质2是理想介质 γ 2 = 0 ) 情况。
E2n γ2(空气) γ1(导体)
ϕ1 = ϕ 2
∂ϕ 2 ∂ϕ 2 γ1 =γ2 ∂n ∂n
边界条件
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下， 求出拉普拉斯方程的解答（边值问题）。
仅供自学参考
例2.3.2 ？
试用边值问题求解电弧片中电位、电场及面电荷的分布
解：选用圆柱坐标，边值问题为：
1 ∂ ∂ϕ1 1 ∂ ϕ1 ∂ ϕ1 (ρ ) + 2 2 + 2 = 0 (γ1 区域 ∇ ϕ1 = ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z ）