完全平方公式经典题型 (1)
完全平方公式常考题型(经典)
完全平方公式典型题型一、公式及其变形1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2）公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意： 222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
2、公式变形 (1)+（2）得:2222()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22()()4a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=-3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++二、题型题型一、完全平方公式的应用例1、计算（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k =2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N =4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =题型三、公式的逆用1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2．5．代数式xy －x 2－41y 2等于－（ ）2题型四、配方思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____.2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy+=_______.5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？题型五、完全平方公式的变形技巧1、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
初中数学完全平方公式和平方差公式公式法
例3.知二求一 x+y x-y x2+y2 xy
②若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．
解：1 x y 3,
(x 2)(y 2) 12， xy 2x 2y 4 12， xy 2(x y) 8，
xy 2
2 x y 3，xy 2，
例4.整体带入
已知x y 6，x2 y2 24求代数式5x 3y的值
解答： x2 y2 24，x y 6， x y 4，
即xx
y y
6 4
解得：xy
5 1
5x 3y 28.
(3)(m+n)2=(m−n)2+4mn.
(4)(a−b)2=(a+b)2−4ab=29.
例6.辨公式 要使4x2+12x+m成为一个完全平方式，则m的值是__9_________ 若9x2+mx+4为完全平方式，则m=___+_1_2_________
三、平方差公式题型
例1.基本运算及变式
计算：（1）（3x+2）（3x-2） 解原式=9x2-4
∵(5a+3b)2=(5a−3b)2+A ∴A=(5a+3b)2−(5a−3b)2
=(5a+3b+5a−3b)(5a+3b−5a+3b) =60ab，
例3.知二求一
x+y x-y x2+y2 xy
①已知x﹣y=1，x2+y2=25，求xy的值
解∵(x-y)2 +(x2 +y2 )=2xy ∴1+25=2xy ∴xy 13
初中数学完全平方公式题型总结
一、简单型1、计算472﹣94×27+272．2、1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_________。
3、已知x2-2(m-3)x+9是一个多项式的平方，则m=_______。
二、x+y= xy= （x2+y2=）型（等式两边平方型）1、已知x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．2、已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．3、已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，则x-y=________。
4、设a﹣b=﹣2，求的值．三、观察特点，找出隐含条件。
1、已知a-b=b-c=53，a 2+b 2+c 2=1，则ab+bc+ca=___________。
2、已知x=b a b a -+，y=b a b a +- （b a ±≠），且19x 2+143xy+19y 2=2005，则x+y=_____。
3、若n 满足（n-2004）2+（2005-n ）2=1，则（2005-n ）×（n-2004）= （ ）4、已知a=201x+20，b=201x+19，c=201x+21，则代数式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值是（ ）四、先变形再代入型1、若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x 2+xy+y 2的值2、已知ax+by=3，a y －bx=5，则(a 2+b 2)(x 2+y 2)=________。
3、已知实数a 、b 满足（a+b ）2=1，（a ﹣b ）2=25，求a 2+b 2+ab 的值．4、已知a 2+a -1=0，求a 3+2a 2+2016的值五、x+ 型1、已知51=+a a ，则=++2241aa a __________。
2、已，求下列各式的值：（1）；（2）．3、若a 2﹣2a+1=0．求代数式的值．4、x 2﹣11x+1=0，求x 2+的值．六、非负数的性质（ a+b ）2 +（c+d ）2 = 0 |a+b | + |c+d |=0 |a+b |+（c+d ）2 =0 1、()()()()()的值。
平方差、完全平方公式专项练习题 经典
平方差公式专项练习题有关配方问题（一）对于a2+2ab+b2=(a+b)2、a2-2ab+b2=(a-b)2的配方问题是，对于a2，2ab，b2这三项，认准特点，式子中缺哪项就补哪项，但要保证式子相等。
具体操作：先确定第一项，再确定第三项，最后确定中间项，并且要检验中间项与原式中的中间项相等。
（二）练习: 1.若x2+mx+9是完全平方式，则m=_____.2. 若x2+12x+m2是完全平方式，则m=_____.3. 若x2-mx+9=(x+3)2，则m=_____.4. 若4x2-mx+9是完全平方式，则m=_____.5.若4x2+12x+m2是完全平方式，则m=_____.6.若(mx)2+12x+9是完全平方式，则m=_____.7.若mx2+12x+9是完全平方式，则m=_____.8.已知x2-2(m+1)xy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是_____.9.(1)化简(a-b)2+(b-c)2+(a-c).(2)利用上题的结论，且a-b=10，b-c=5，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.(3)已知a=2x-12,b=2x-10,c=2x+4,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值(4)已知a，b，c是三角形的三边且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，判断三角形的形状.10.已知x2-2x+y2+6y+10=0,求x=_____，y=_____，x+y=_____.11. 已知x2-4x+y2+6y+13=0,求x=_____，y=_____，xy=_____.12.试说明N=x2-4x+y2+6y+15永远为正值.平方差公式专项练习题一、基础题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a）D．（a2－b）（b2+a）3．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：2023×2113．10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．二、提高题1．计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n +1）+1（n 是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）利用平方差公式计算：22007200820061⨯+．3．解方程：x （x+2）+（2x+1）（2x －1）=5（x 2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题5．下列运算正确的是（）A．a3+a3=3a6B．（－a）3·（－a）5=－a8C．（－2a2b）·4a=－24a6b3D．（－13a－4b）（13a－4b）=16b2－19a26．计算：（a+1）（a－1）=______．拓展题型1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4．3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有:ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ab b a b a 4)(22=--+）（ bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
完全平方公式30道题
完全平方公式30道题一、完全平方公式基础计算（10道题）1. 计算(a + 3)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a=a，b = 3。
所以(a+3)^2=a^2+2× a×3 + 3^2=a^2 + 6a+9。
2. 计算(x 5)^2解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a=x，b = 5。
所以(x 5)^2=x^2-2× x×5+5^2=x^2-10x + 25。
3. 计算(2m+1)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 2m，b=1。
所以(2m + 1)^2=(2m)^2+2×2m×1+1^2=4m^2 + 4m+1。
4. 计算(3n 2)^2解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 3n，b = 2。
所以(3n-2)^2=(3n)^2-2×3n×2+2^2 = 9n^2-12n + 4。
5. 计算(a + b)^2，其中a = 2x，b=3y解析：先将a = 2x，b = 3y代入完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，得到(2x+3y)^2=(2x)^2+2×2x×3y+(3y)^2=4x^2 + 12xy+9y^2。
6. 计算(m n)^2，其中m = 5a，n=2b解析：把m = 5a，n = 2b代入完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 5a，b = 2b，所以(5a-2b)^2=(5a)^2-2×5a×2b+(2b)^2=25a^2-20ab + 4b^2。
7. 计算(4x+3)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 4x，b = 3。
完全平方公式-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
完全平方公式【知识梳理】一．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．二．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b 的长方形的面积和作为相等关系）【考点剖析】一．完全平方公式（共21小题）1．（2022秋•徐汇区期末）下列等式中，能成立的是（）A．（a+b）2＝a2+ab+b2B．（a﹣3b）2＝a2﹣9b2C．（1+a）2＝a2+2a+1D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；B、（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2，故本选项错误；C、（1+a）2＝1+2a+a2，故本选项正确；D、（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，注意：平方差公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，完全平方公式是：（a±b）2＝a2±2ab+b2．2．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b+c）2．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式＝（a﹣2b）2+c2+2c（a﹣2b）＝a2﹣4ab+4b2+c2+2ac﹣4bc．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b﹣3c）2＝．【分析】原式可化为[（a﹣2b）﹣3c]2，再应用完全平方公式进行计算即可得出答案．【解答】解：（a﹣2b﹣3c）2＝[（a﹣2b）﹣3c]2＝（a﹣2b）2﹣6c（a﹣2b）+9c2＝a2﹣4ab+4b2﹣6ac+12bc+9c2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式进行求解是解决本题的关键．4．（2022秋•静安区校级期中）已知a+b＝6，a2+b2＝20，则ab的值为．【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵a+b＝6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝20，即36﹣2ab＝20，解得ab＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．5．（2022秋•青浦区校级期末）计算：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2．【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．【解答】解：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2＝4x2﹣3x+8x﹣6﹣4x2+4x﹣1＝9x﹣7．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键．6．（2022秋•静安区校级期中）已知ab＝3，a﹣b＝4，求2a2+7ab+2b2的值．【分析】根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，由ab＝3，a﹣b＝4，即可算出a2+b2的值，再由2a2+7ab+2b2，可得2（a2+b2）+7ab，代入计算即可得出答案．【解答】解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝22，2a2+7ab+2b2＝2（a2+b2）+7ab＝2×22+7×3＝44+21＝65．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．7．（2022秋•宝山区校级期中）计算：（a+2b）2﹣2b（a﹣b）．【分析】根据完全平方公式及整式加减法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝a2+4ab+4b2﹣2ab+2b2＝a2+2ab+6b2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及整式加减法则进行求解是解决本题的关键．8．（2022秋•黄浦区期中）计算：（x+y）2﹣2（x﹣y）（2x+y）．【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣2（2x2﹣xy﹣y2）＝x2+2xy+y2﹣4x2+2xy+2y2＝﹣3x2+4xy+3y2．【点评】此题主要考查了完全平方公式和平方差公式，掌握其公式结构是解题关键．9．（2022秋•奉贤区期中）计算：（2a+b）（a﹣2b）﹣（2a﹣b）2．【分析】根据完全平方公式、平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣4a2+4ab﹣b2＝﹣2a2+ab﹣3b2．【点评】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．10．（2022秋•黄浦区期中）计算：（a﹣b+2c）2＝．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式＝（a﹣b）2+4c（a﹣b）+4c2＝a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．故答案为：a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．11．（2022秋•嘉定区校级期中）计算：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）．【分析】利用完全平方公式以及多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）＝4x2﹣20x+25﹣（6x2﹣4x+9x﹣6）＝4x2﹣20x+25﹣6x2﹣5x+6＝﹣2x2﹣25x+31．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．12．（2022秋•浦东新区期中）今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案．【解答】解：①（﹣3a2）3＝﹣27a6，原计算错误；②（﹣a2）⋅a3＝﹣a5，原计算错误；③（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，原计算错误；④a2+4a2＝5a2，原计算错误．所以小刚做对的题数是0个，故选：A．【点评】此题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项，正确掌握积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则是解题的关键．13．（2022秋•浦东新区期中）如果a﹣b＝4，ab＝1，则a2+b2＝．【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a﹣b＝4，ab＝1，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18，故答案为：18．【点评】本题考查了完全平方公式和立方差公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．14．（2022秋•闵行区期中）已知x+y＝6，xy＝7，那么（3x+y）2+（x+3y）2的值为．【分析】先利用完全平方公式展开合并得到原式＝10（x2+y2）+12xy，再进行配方得到原式＝10（x+y）2﹣8xy，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：原式＝9x2+6xy+y2+x2+6xy+9y2＝10x2+12xy+10y2＝10（x2+y2）+12xy＝10（x+y）2﹣8xy，当x+y＝6，xy＝7，原式＝10×62﹣8×7＝304．故答案为：304．【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．15．（2022秋•嘉定区校级期末）计算：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则和积的乘方的运算法则进行计算即可．【解答】解：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2＝4x2+4xy+y2﹣y2﹣4xy+4x2＝8x2．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．（2022秋•嘉定区期中）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）ab．【分析】（1）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相加即可求得a2+b2的值；（2）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相减即可求得ab的值．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴a2+b2＝[（a+b）2+（a﹣b）2]÷2＝（17+13）÷2＝15；（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴ab＝[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷4＝（17﹣13）÷4＝1．【点评】本题主要考查的是完全平方公式，能够运用完全平方公式对等式进行变形是解题的关键．17．（2022秋•闵行区期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则和完全平方公式计算，再合并同类项即可求解．【解答】解：原式＝6x²+4xy﹣9xy﹣6y²﹣（4x²﹣12xy+9y²）＝6x²﹣5xy﹣6y²﹣4x²+12xy﹣9y²＝2x²+7xy﹣15y²．【点评】本题考查整式的运算，正确使用多项式乘多项式的运算法则和完全平方差公式是求解本题的关键．18．（2022秋•宝山区校级月考）解方程：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5）．【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则解答即可．【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5），2（x2﹣6x+9）＝2x2﹣5x+6x﹣15，2x2﹣12x+18＝2x2+x﹣15，﹣13x＝﹣33，∴x＝．【点评】本题考查了完全平方公式和多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则．19．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣＝3，求x2+和x4+的值．【分析】把该式子两边平方后可以求得x2+的值，再次平方即可得到x4+的值．【解答】解：∵x﹣＝3，（x﹣）2＝x2+﹣2∴x2+＝（x﹣）2+2＝32+2＝11．x4+＝（x2+）2﹣2＝112﹣2＝119．【点评】本题考查了完全平方公式，利用x和互为倒数乘积是1与完全平方公式来进行解题．20．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣y＝2，xy＝80，求x2+y2的值．【分析】利用完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，即可求出答案．【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，（2分）∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy（2分），当x﹣y＝2，xy＝80时，x2+y2＝22+2×80＝164．（3分）若有其他方法，可参照答案，给分．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy是解决问题的关键．21．（2022秋•静安区校级期中）阅读并思考：计算472时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：47接近整十数50，50﹣47＝3；第二步：取50的一半25，25﹣3＝22；第三步：32＝9第四步：把第二、三步综合起来，472＝（25﹣3）×100+32＝2209．（1）依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；第三步：12＝1492＝（﹣）×100+2＝2401．（2）请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．（50﹣n）2＝（﹣）×100+2．（3）利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．（4）写出利用这个公式计算562＝3136的过程．（5）计算63×67也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：6×（6+1）＝42；第二步：3×7＝21第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．写出上述过程所依据的计算公式．（6）利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．【分析】（1）根据材料中的方法计算即可；（2）同理可得结论；（3）根据乘法运算分别计算（2）中等式的左边和右边，从而得结论；（4）代入（2）中的公式可得结论；（5）根据材料中的具体步骤可得计算公式即可；（6）根据多项式乘以多项式法则计算即可．【解答】解：（1）依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；第三步：12＝1；第四步：把第二、三步综合起来，492＝（25﹣1）×100+12＝2401．故答案为：25，1，1；（2）（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2．故答案为：25，n，n；（3）∵左边＝2500﹣100n+n2，右边＝n2﹣100n+2500，∴左边＝右边，∴（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2；（4）562＝（50+6）2＝（25+6．（5）写出上述过程所依据的计算公式：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；故答案为：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；（6）∵左边＝（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝（10a+b）（10a﹣b+10）＝100a2﹣10ab+100a+10ab﹣b2+10b＝100a2+100a+10b﹣b2，右边＝a（a+1）×100+b（10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b）＝100a2+100a+10b﹣b2，∴（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）．【点评】本题考查了有理数的乘方和乘法的简便算法，理解材料中计算的方法和运用是解本题的关键．二．完全平方公式的几何背景（共5小题）22．（2022秋•嘉定区校级期末）一个正方形的边长为acm，若它的边长增加5cm，则新正方形面积增加了（）cm2．A．25B．10a C．25+5a D．25+10a【分析】完全平方公式（a+b）＝a2+2ab+b2的应用．【解答】解：原正方形的面积＝a2（cm2）新正方形的面积＝（a+5）2＝（a2+10a+25）cm2所以增加的面积＝（10a+25）cm2．故本题选D．【点评】本题主要是考查了完全平方公式的应用．23．（2022秋•宝山区校级期中）如图，将一张正方形纸片剪成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一张小正方形纸片再剪成四个面积相等的小正方形纸片，如此剪下去，第n次剪好后，所得到的所有正方形纸片的个数是（）A．4n B．3n C．3n+1D．2n+2【分析】通过观察已知图形可得：每剪一次都比上一次增加3个正方形纸片；所以可得规律为：第n次操作后共得到4+3（n﹣1）．【解答】解：分析可得：每次都比上一次增加3个．∴第n次操作后共得到4+（n﹣1）×3＝（3n+1）个．故选：C．【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力．24．（2022秋•浦东新区期中）如果一个正方形的周长为（2a+b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为（）A．B．C．4a2+b2D．【分析】根据正方形的面积等于边长的平方求解．【解答】解：（）2＝＝++，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，正方形的面积是解题的关键．25．（2022秋•静安区校级期中）如果一个正方形的周长为（8a+4b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为．【分析】根据正方形的周长公式求出其边长，再根据面积公式进行计算即可．【解答】解：一个正方形的周长为（8a+4b），所以边长为（2a+b），所以面积为（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故答案为：4a2+4ab+b2．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．26．（2022秋•嘉定区校级期中）如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于b的等式．【分析】空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可．【解答】解：空白部分为正方形，边长为：（a﹣b），面积为：（a﹣b）2．空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：（a+b）2﹣4ab．∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海·七年级假期作业）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A ．()()4774x y y x −−− B ．()()4774x y x y −−+ C ．()()4774x y y x −−+ D ．()()4747x y x y −+【答案】C【分析】根据完全平方公式判断即可．【详解】A ：()()4774(47)(47)x y y x x y x y −−−=−−+，不能用完全平方公式运算，不符合题意； B ：()()()()47744774x y x y x y x y −−+=−++，不能用完全平方公式运算，不符合题意；C ：()()()2477447x y y x x y −−+=−+，能用完全平方公式运算，符合题意；D ：()()4747x y x y −+，不能用完全平方公式运算，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 2．（2018秋·上海浦东新·七年级校联考期中）已知5x y +=−，3xy =，则22x y +=（ ）【答案】C【分析】根据完全平方公式，即可解答． 【详解】解：∵5x y +=−，3xy =， ∴()()2222252325619x y x y xy +=+−=−−⨯=−=，故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 3．（2023秋·上海青浦·七年级校考期末）下列计算中错误的有（ ）①()23320x x x −+⋅=；②222()2x y x xy y −−=−+；③248236x x x ⋅=；④22()()x y x y x y −−+=−A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的计算法则计算出结果即可判断．【详解】解：①()2523630x x x x x −++=⋅≠，原计算错误；②22222()22x y x xy y x xy y −−=++≠−+，原计算错误；③24682366x x x x ⋅=≠，原计算错误；④()22222(2)()x y x y y xy x y x x y =−−+=−+−≠−−−，原计算错误．综上，四个计算都是错误的， 故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法，掌握运算法则是解题的关键．4．（2022秋·七年级单元测试）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a ，宽为b ，a b ＞）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28.下列结论中，正确的有（ ）.① ()228a b −=；② 26ab =；③ 2280a b +=；④ 2264a b −= A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】A【分析】根据拼图得出，（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=26，再根据公式变形逐项进行判断即可． 【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b ，中间的小正方形的边长为a-b ，∴（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=132284−=26，故①，②正确，∴a2+2ab+b2=132，∴a2+b2=132-2×26=80，故③正确， 由于（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，而a ＞b ，∴，∴a2-b2=（a+b ）（a-b ）=④不正确， 故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确判断的前提．5．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）一个正方形的边长为cm a ，若它的边长增加5cm ，则新正方形面积增加了（ ）2cm ．A ．25B ．10aC ．255a +D ．2510a +【答案】D【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：22(5)1025a a a +−=+，即新正方形的面积增加了()2510a +2cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．（2023·上海·七年级假期作业）已知：3a b c ++=，2223a b c ++=，则201120112011a b c ++的值是（ ） A ．0 B ．3C ．20052D ．200532⋅【答案】B【分析】根据已知，得到()()222230a b c a b c ++−+++=，再利用完全平方公式，得出()()()2221110a b c −+−+−=，然后根据平方的非负性，求得1a b c ===，代入计算即可求出201120112011ab c ++的值．【详解】解：3a b c ++=，2223a b c ++=，()()2222332330a b c a b c ∴++−+++=−⨯+=，()()()2222121210a ab bc c ∴−++−++−+，()()()2221110a b c ∴−+−+−=，10a ∴−=，10b −=，10c −=， 1a b c ∴===，0201201120112111201120111111113a b c ∴++=+=++=+，故选B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，代数式求值，有理数的乘方，根据已知得出()()()2221110a b c −+−+−=是解题关键．二、填空题7．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）多项式291x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个答案即可）【答案】6x （答案不唯一）【分析】利用完全平方公式解答即可．【详解】解：()2296131x x x ++=+．故答案为：6x （答案不唯一）【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．8．（2022秋·上海·七年级校联考期末）若29x kx ++是完全平方式，则k 的值为__________． 【答案】6±【分析】这里首末两项是x 和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，故6k =±． 【详解】解：由题意可知，中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，6k ∴=±故答案为：6±．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．9．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）已知：二次三项式239x mx −+是一个完全平方式，则 m =__________． 【答案】2±【分析】由于m 的正负未知，根据完全平方公式可知()22239369x mx x x x −+=±=±+，从而得到2m =±．【详解】解：由完全平方公式可知()22239369x mx x x x −+=±=±+，36m ∴−=±，解得2m =±，故答案为：2±．【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟记并理解完全平方公式是解决问题的关键．10．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）已知3a b +=，2ab =，则代数式22a b +的值为_______． 【答案】5【分析】首先将22a b +变形为2()2a b ab +−，然后代入求解即可．【详解】∵3a b +=，2ab =，∴22a b +2()2a b ab =+−2322=−⨯5=．故答案为：5．【点睛】此题考查了代数式求值，完全平方公式，解题的关键是将22a b +变形为2()2a b ab +−．11．（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）已知6a b +=，2220a b +=，则ab 的值为________． 【答案】8【分析】先把6a b +=两边进行平方，再根据2220a b +=，即可得到ab 的值．【详解】解：∵6a b +=，2220a b +=，∴222()236a b a b ab +=++=，即20236ab +=，∴8ab =， 故答案为：8．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．【答案】2【分析】根据题意可知，12m m +=，将等式左右两边同时平方即可求出221m m +的值． 【详解】∵12m m +=， ∴21()4m m +=， ∴22124m m ++=， ∴2212m m +=【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记完全平方公式的常见变形公式是解此类题的关键． 13．（2023·上海·七年级假期作业）已知3x y −=，2229x y +=，那么xy =________． 【答案】10【分析】根据完全平方公式变形即可求解．【详解】解：∵3x y −=，2229x y +=，∴()()222292920x y x y xy −−+=−=−=−∴10xy =， 故答案为：10．【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．【答案】 14 194【分析】根据完全平方公式得出2221112x x x x x x ⎛⎫+=+−⋅⋅⎪⎝⎭，代入求出即可；根据完全平方公式得出2424211x x x x ⎛⎫+=+− ⎪⎝⎭ 2212x x ⋅⋅，代入求出即可．【详解】解： 14x x +=，∴2116x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴221216x x ++=，∴22114x x +=∴2221196x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴4412196x x ++=∴441194x x +=．故答案为：14；194．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，能正确运用完全平方公式进行变形是解答此题的关键，注意：完全平方公式为()2222a b a ab b +=++和()2222a b a ab b −=−+．本题主要考查完全平方公式的变形转换的能力以及注意积累1x x +的变化方式．15．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）若216x ax ++是一个完全平方式，则实数a 的值为___________ 【答案】8±/8−或8/8或8−【分析】根据完全平方式的一般形式222a ab b ±+求解即可．【详解】解：216x ax ++是一个完全平方式，248ax x x ∴=±⋅=±， 8a ∴=±,故答案为：8±．【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的一般形式是解答的关键．【答案】7【分析】将方程两边同时除以字母x ，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式及其变式即可求解． 【详解】解：将方程2310x x −+=两边同时除以字母x 得：130x x −+=，13x x ∴+=21()9x x ∴+=22129x x ∴++=2217x x ∴+=故答案为：7．【点睛】本题考查完全平方公式及其变式，掌握相关知识是解题关键．17．（2023·上海·七年级假期作业）如果25m m +=，那么代数式的()()222m m m −++值为___________． 【答案】14【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值． 【详解】解：()()222m m m −++22244m m m m =−+++ 2224m m =++∵25m m +=，∴原式()2=24=254=14m m ++⨯+．故答案为：14．【点睛】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题关键．18．（2023·上海·七年级假期作业）请同学运用计算()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++，解决问题：已知x 、y 、z 满足2224y x z ++=，求()()()222x y y z z x −+−+−的最大值是______． 【答案】12【分析】根据已知条件化简()()()222x y y z z x −+−+−，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解．【详解】∵2224y x z ++=， ∴()()()222x y y z z x −+−+−222222222x y y z z x xy yz xz =+++++−−−()2222x y z xy yz xz =++−−−()82xy yz zx =−++；∵()2222222x y z x y z xy xz yz++=+++++，∴()()2222222xy xz yz x y z x y z ++=+++−+∴原式=()22228x y z x y z +++−++()212x y z =−++， ()2x y z ++≥，∴原式12≤．故原式的最大值是12； 故答案为：12．【点睛】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．三、解答题【答案】222x y +，42【分析】根据完全平方公式展开，单项式乘以多项式把括号去掉，合并同类项，代入求值即可．【详解】解：22()[2()]x y x x x y −−−+22222(22)x xy y x x xy =−+−−− 2222222x xy y x x xy =−+−++222x y =+，把12x =，=2y −代入得，原式222211122(2)244242x y ⎛⎫=+=⨯+−=⨯+= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 20．（2022秋·上海·七年级校考期末）计算：()()()224321x x x +−−−． 【答案】97x −【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．【详解】解：()()()224321x x x +−−224386441x x x x x =−+−−+−97x =−．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键． 21．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）利用完全平方公式计算：230.2． 【答案】912.04【分析】根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：230.2()2300.2=+22302300.20.2=+⨯⨯+900120.04=++912.04=【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握2222a b a ab b ±=±+（）是解题的关键． 22．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）解方程：22(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+． 【答案】32x =【分析】利用完全平方公式及平方差公式去括号，再根据解方程的步骤求解即可．【详解】解：22(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+，2221441233x x x x x +−−−+=−，14123x x −−+=−， 23x −=−，解得：32x =．【点睛】此题考查了平方差公式，熟记平方差公式、完全平方公式及解一元一次方程的步骤是解题的关键．【答案】正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为268cm ．【分析】先根据题意列出长方形ABCD 关于周长和面积的代数式，再根据完全平方公式的变式应用即可求出答案．【详解】解：设长方形ABCD 的长为cm a ，则宽为cm b ， ∵长方形ABCD 的周长为20cm ，面积为216cm ， ∴1016a b ab +==，，正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为22a b +，∵()()2222221021668cma b a b ab+=+−=−⨯=．∴正方形ABGH和ADEF的面积之和为268cm．【点睛】本题主要考查完全平方公式变式应用，根据题意列出等式是解决本题的关键．24．（2023·上海·七年级假期作业）一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452cm．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了452cm，这时原来边长是多少呢？【答案】6cm；9cm【分析】设原来正方形的边长为x cm，根据：一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452cm，列出方程即可求解；同样的方法即可解答边长减少问题．【详解】设原来正方形的边长为x cm．则()22345x x+=+，解得：6x=．∴正方形原来的边长为6cm．设原来正方形的边长为y cm，则()22345y y−=−，解得：9y=．∴正方形原来的边长为9cm．【点睛】本题主要考查完全平方公式在实际问题中的运用，正确理解题意、得出方程是解题的关键．【答案】(1)12(2)①6；②17 (3)92【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；（2）注意整体法的运用，将（4-x ）、（5-x ）看成一个整体去求解；（3）表示两个正方形的面积1S 、2S ，得到2218AC BC +=，结合22()6AC BC +=，推出9AC BC =，再去计算阴影部分面积．（1）∵8x y +=，∴22()8x y +=，22264x xy y ++=， 又∵2240x y +=， ∴22264()xy x y =−+＝64－40＝24，∴12xy =；（2）①222(4)(4)2(4)x x x x x x −+=−+−−＝16－10＝6；②222(4)(5)[(4)(5)]2(4)(5)x x x x x x −+−=−−−+−−＝2(1)28−+⨯＝17；（3）∵AB ＝6，∴22()6AC BC +=，∴22236AC AC BC BC ++=，又∵1218S S +=，∴2218AC BC +=，∴9AC BC =，∵BC ＝CF ， ∴1922ACF S AC CF ∆==．【点睛】本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．26．（2022秋·七年级单元测试）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【答案】（1）5；（2）28．【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【详解】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）·（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析．。
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形公式及常见题型加法形式的完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²减法形式的完全平方公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²这两个公式可以用来解决一些常见的数学题型，包括因式分解、求根、化简等。
下面将分别介绍这些题型并给出解题方法和例题。
1.因式分解：如果一个二次多项式可以进行因式分解，它的形式可以表示为(x+a)²或者(x-a)²。
通过比较系数，可以求解出a的值。
例题：将多项式x²+6x+9进行因式分解。
解：这个多项式可以整理成(x+3)²的形式，所以其因式分解为(x+3)²。
2.求根：可以利用完全平方公式来求解一个二次方程的根。
例题：求方程x²+6x+9=0的根。
解：可以通过变形公式x²+6x+9=(x+3)²得到，然后令(x+3)²=0，可以得到x=-3、所以方程的根为x=-33.化简：通过利用完全平方公式的变形，可以化简一个复杂的二次多项式。
例题：化简多项式x²+8x+16解：这个多项式可以整理成(x+4)²的形式。
4.求面积和周长：通过完全平方公式，可以求解一个平方区域的面积和周长。
例题：一个正方形的边长为x，求其周长和面积。
解：正方形的周长为4x，面积为x²。
5.求最值：通过完全平方公式，可以求解一个多项式的最大值或最小值。
例题：求多项式y = ax² + bx + c 的最小值。
解：可以通过完全平方公式将该多项式转化为(x+p)²+q的形式，从而得到最小值为q。
这只是完全平方公式的一些常见应用，还有很多其他的题型和解题方法。
希望这些例题和解题方法能够帮助你更好地理解和应用完全平方公式。
完整版)完全平方公式变形公式专题
完整版)完全平方公式变形公式专题半期复（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一、公式拓展：拓展一：$a+b=(a+b)^2-2ab$a-b=(a-b)^2-2ab$拓展二：$(a+b)-(a-b)=4ab$a+b)=(a-b)+4ab$拓展三：$a+b+c=(a+b+c)-2ab-2ac-2bc$拓展四：杨辉三角形a+b)^2=a^2+2ab+b^2$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$拓展五：立方和与立方差a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$二、常见题型：一）公式倍比已知$a+b=4$，求$\frac{a^2+b^2}{2ab}$ 1）$x+y=1$，求$x^2+xy+y^2$2）已知$x(x-1)-(x-y)=-2$，求$x^2-y^2$ 二）公式变形1）设$(5a+3b)^2=(5a-3b)^2+A$，求$A$2）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$3）如果$(x-y)+M=(x+y)$，求$M$4）已知$(a+b)=m$，$(a-b)=n$，求$ab$5）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$的代数式三）“知二求一”1.已知$x-y=1$，$x^2+y^2=25$，求$xy$的值2.若$x+y=3$，$(x+2)(y+2)=12$，求$xy$和$x^2+3xy+y^2$的值3.已知$x+y=3$，$xy=-8$，求$x^2+y^2$和$(x^2-1)(y^2-1)$的值4.已知$a-b=3$，$ab=2$，求$(a+b)^2$和$a^2-6ab+b^2$的值四）整体代入例1：已知$x-y=24$，$x+y=6$，求$5x+3y$的值例2：已知$a=x+20$，$b=x+19$，$c=x+21$，求$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值⑴若$x-3y=7$，$x-9y=49$，求$x+3y$的值⑵若$a+b=2$，求$a-4b$的值⑶已知$a^2+b^2=6ab$且$a>b$，求$a+b$的值已知$a=2005x+2004$，$b=2005x+2006$，$c=2005x+2008$，则代数式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$的值为：begin{aligned}a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca&=(2005x+2004)^2+(2005x+2006)^2+(2005x+2008)^2\\ quad-(2005x+2004)(2005x+2006)-(2005x+2006)(2005x+2008)-(2005x+2008)(2005x+2004)\\ 3\cdot(2005x)^2+3\cdot2\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2 +2008^2)-3\cdot(2004\cdot2006+2006\cdot2008+2008\cdot2004)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot(2004+2006+2008)^2+3\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot2018^2+6\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2004^2+2006^2+2008^2) -3\cdot2018^2\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2005^2-1)-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+10\cdot2005^2-10\cdot2005+10\cdot2005^2-10-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+20\cdot2005^2-10\cdot2005-3\cdot2018^2-10\\end{aligned}五）杨辉三角观察杨辉三角（1），发现每个数都是上面两个数之和，可以得到如下规律：a+b)^1=a+b$$a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$根据规律，$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6 $。
八年级数学上册完全平方公式同步练习含解析
完全平方公式一、单选题(共12小题）1．已知x+=6,则x2+=（）A.38B.36 C。
34 D。
32【答案】C【详解】把x+=6两边平方得:（x+）2=x2++2=36，则x2+=34，故选：C．【名师点睛】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．2．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（) A．2005B．2006C．2007D．2008【答案】A【解析】p=a2+2b2+2a+4b+2008，=(a2+2a+1)+（2b2+4b+2）+2005,=（a+1）2+2（b+1）2+2005，当(a+1）2=0，（b+1）2=0时，p有最小值，最小值最小为2005．故选A．3．已知(m－n)2＝36,（m＋n）2＝4000，则m2＋n2的值为( ）A.2016 B.2017 C.2018 D。
4036【答案】C【解析】∵,∴，∴，∴。
故选C.4．若有理数a，b满足a2+b2=5，(a+b)2=9，则－4ab的值为（）A．2B．－2C．8D．－8【答案】D【解析】（a+b）²=9，即a²+b²+2ab=9，又a²+b²=5，则2ab=9—5=4，所以—4ab=4×（—2)=-8.故选：D。
5．将9.52变形正确的是（）A．9.52=92+0.52B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）C．9.52=102﹣2×10×0。
5+0。
52D．9.52=92+9×0.5+0.52【答案】C【详解】9。
52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，或9.52=（9+0。
5）2=92+2×9×0.5+0.52，观察可知只有C选项符合，故选C．【名师点睛】本题考查的是完全平方公式,完全平方公式:（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为:“首平方，末平方，首末两倍中间放”．6．已知实数a、b满足a+b=2,ab=，则a﹣b=（）A．1 B．﹣C．±1 D．±【答案】C【解析】∵a+b=2，ab=，∴（a+b)2=4=a2+2ab+b2，∴a2+b2=，∴（a—b）2=a2-2ab+b2=1，∴a—b=±1，故选:C．7．(2019·耒阳市冠湘中学初二月考)已知，则的值是（）．A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】∵a+b=2，∴a2—b2+4b=(a—b)(a+b）+4b，=2(a-b）+4b，=2a—2b+4b,=2（a+b），=2×2,=4．故选C．本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．8．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则a+b的值为（)A．16B．﹣16C．4D．﹣4【答案】D【解析】已知等式整理得:x2+ax+19=（x-5)2—b=x2—10x+25-b,可得a=—10，b=6,则a+b=—10+6=-4，故选：D．9．若x+y+3=0，则x（x+4y）-y（2x—y）的值为A．3B．9C．6D．—9【答案】B【详解】∵x+y+3=0，∴x+y=﹣3,∴x(x+4y)﹣y(2x﹣y）=x2+4xy﹣2xy+y2=(x+y)2=9．故选B.【名师点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式以及完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．10．如图,边长为a，b的长方形的周长为13，面积为10，则a3b+ab3的值为（)A。
因式分解练习题(公式法)
因式分解习题——公式法分解因式专题训练一：利用平方差公式分解因式题型(一)：把下列各式分解因式1、24x -2、29y -3、2422a x b y - 解： 解： 解：4、224x y -5、2125b -6、222x y z - 解： 解： 解：7、2240.019m b -8、2219a x -9、2236m n - 解： 解： 解： 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 解： 解： 解： 13、41x - 15、4416a b - 16、44411681a b m - 解： 解： 解： 题型(二)：把下列各式分解因式1、22()()x p x q +-+2、 22(32)()m n m n +-- 解： 解：3、2216()9()a b a b --+4、229()4()x y x y --+ 解： 解：5、22()()a b c a b c ++-+-6、224()a b c -+ 解： 解：题型(三)：把下列各式分解因式1、53x x -2、224ax ay -3、322ab ab - 解： 解： 解：4、316x x -5、2433ax ay -6、2(25)4(52)x x x -+- 解： 解： 解：7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 解： 解： 解：10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、2216()9()mx a b mx a b --+ 解： 解： 解：题训练二：利用完全平方公式分解因式题型(一)：把下列各式分解因式1、221x x ++2、2441a a ++3、 2169y y -+ 解： 解： 解：4、214m m ++ 5、 221x x -+ 6、2816a a -+ 解： 解： 解： 7、2144t t -+ 8、21449m m -+ 9、222121b b -+ 解： 解： 解：10、214y y ++ 11、2258064m m -+ 12、243681a a ++ 解： 解： 解：13、2242025p pq q -+ 14、224x xy y ++ 15、2244x y xy +- 解： 解： 解：题型(二)：把下列各式分解因式1、2()6()9x y x y ++++2、222()()a a b c b c -+++ 解： 解：3、2412()9()x y x y --+-4、22()4()4m n m m n m ++++ 解： 解：5、()4(1)x y x y +-+-6、22(1)4(1)4a a a a ++++ 解： 解：题型(三)：把下列各式分解因式1、222xy x y --2、22344xy x y y --3、232a a a -+- 解： 解： 解：4、221222x xy y ++ 5、42232510x x y x y ++ 解： 解：6、2232ax a x a ++7、2222()4x y x y +- 解： 解：8、2222()(34)a ab ab b +-+ 9、42()18()81x y x y +-++ 解： 解：10、2222(1)4(1)4a a a a +-++ 11、42242()()a a b c b c -+++ 解： 解：12、4224816x x y y -+ 13、2222()8()16()a b a b a b +--+- 解： 解：题型(五)：利用因式分解解答下列各题1、已知： 2211128,22x y x xy y ==++，求代数式的值。
完全平方公式变形公式专题
完全平方公式变形公式专题文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形拓展五： 立方和与立方差二．常见题型：（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
(1)1=+y x ，则222121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式变形 (1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=(2)若()()x y x y a-=++22，则a 为 (3)如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于(4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于(5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 （三）“知二求一”1．已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy 的值；（2）求x 2+3xy+y 2的值．3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．4．已知a ﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b ）2（2）a 2﹣6ab+b 2的值．（四）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。
例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 ba b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．（五）杨辉三角请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b ）6= ．（六）首尾互倒1．已知m 2﹣6m ﹣1=0，求2m 2﹣6m+= ．2．阅读下列解答过程：已知：x ≠0，且满足x 2﹣3x=1．求：的值． 解：∵x 2﹣3x=1，∴x 2﹣3x ﹣1=0∴，即． ∴==32+2=11． 请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a ≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2=14a ﹣7，求：（1）的值；（2）的值．（七）数形结合1．如图（1）是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗三个代数式：（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．2．附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积来表示．（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．（八）规律探求15．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．。
(完整版)完全平方公式专项练习题(最新整理)
A.5
B. 1
C.－ 1
5
5
D.－5
11.下列四个算式:①4x2y4÷ 1 xy=xy3;②16a6b4c÷8a3b2=2a2b2c;③ 4
9x8y2÷3x3y=3x5y;
④(12m3+8m2－4m)÷(－2m)=－6m2+4m+2，其
中正确的有（我眼睛不行了，看不到上标）
A.0 个
B.1 个 C.2 个
试比较 M 与 N 的大小 略
5、已知 a 2 a 1 0 ，求 a3 2a 2 2007 的值.
已知条件知：a2+a=1 a3+2a2+2007=a（a2+2a）+2007=a（a2+a+a）+2007=a（1+a）+2007 =a2+a+2007+1+2007=2008
Commented [焦文灿 7]: 自己计算
Commented [焦文灿 8]: 和第一页的提高题完全一样，又 一次出现，再次提醒归纳此类类型于重点题本上！！ Commented [焦文灿 10]: 和第一题类似，此类题目均无 所复杂的解的 x 数值，整体代换即可，也建议将此题作为 一个类型归纳！！
去较小的正方形的面积，差是__10___．
2007 （1）利用平方差公式计算： 20072 2008 2006 ．
已解决
20072
（2）利用平方差公式计算：
．
2008 2006 1
已解决 3．解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．
-1-
Commented [焦文灿 1]: 此三题一个类型，已给予详细解 析。此题应给予重点标记(最好记录在重点题本)，时常拿 出来看下。 中考卷参考
平方差和完全平方公式
诚美教育一对一个性化指导专家一、同步知识梳理知识点1：平方差公式是指(a b)(a b) a2b2就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
【注意】a,b不过是一个符号，它们能够表示数，也能够表示式子（单项式、多项式等），不过它们的和与差的积，必定等于它们的平方差。
知识点 2：完整平方公式： (a b)2a22ab b2(a b)2a22ab b2两数和 ( 或差 ) 的平方，等于它们的平方和，加( 或减 ) 它们的积的2倍 . 这两个公式叫做 ( 乘法的 ) 完整平方公式。
二、同步题型剖析题型 1：平方差公式例 1、以下能够用平方差公式计算的是()A、 ( x－y) ( x + y)B、 ( x－y) ( y－x)C 、 ( x－y)( －y + x)D、 ( x－y)( －x + y)例 2、以下各式中，运算结果是9a 216b2的是()A、( 3a4b)(3a 4b)B、 (4b3a)( 4b3a)C、( 4b3a)(4b3a)D、 (3a2b)(3a8b)例3、若(7 x25y)(________) 49x425 y 2，括号内应填代数式( )A、7x25y B 、7x25y C、 7x25y D、 7x2 5 y （5）例 4、计算⑴(3 5 )(53)⑵m n n m(0.2x 2 y)(2 y 0.2x)诚美教育一对一个性化指导专家(3)( 2a b) 2(b 2a)2（ 4）(3a 2b)(3a 2b)(9a24b 2 )（ 5） (2 x－ 1) (2 x + 1)－2(x－2) (x+ 2)例 5、用简易方法计算（1）60015992（ 2）(2 1)(221)(241)(281)(2161) 33题型 2：完整平方公式例 1、( m2n) 2的运算结果是()A、m24mn4n 2B、m 24mn4n2B、 C 、m24mn4n2D、 m22mn 4n2例 2、运算结果为(1)9a26ab b2的是()A、( 1 x2)2B、 (1x 2 )2 C 、(1x 2 ) 2 D 、(1 x)2例 3、已知a2Nab 64b 2是一个完整平方式，则N等于 ()A、 8B、± 8C、± 16 D 、±32诚美教育一对一个性化指导专家例 4、填空⑴ (x + y)2=_________________ ， (x －y) 2=______________________ ；⑵(3)2___________________,( 2)2______________________a b a b解： (1)x 22xy y2x 2 2xy y2（2）4a24ab b2例 5、用简易方法计算⑴ 98 2⑵ 20032⑶ 13.42－2×13.4 +3.4 2例 6、已知x(x1) (x2y)3，求 x 2y2xy 的值2三、讲堂达标检测1．计算题：（y＋ x）（ x－ y）＝ ______；（ x＋ y）（－ y＋ x）＝ ______；（－ x－ y）（－ x＋ y）＝ ______；（－ y＋ x）（－ x－ y）＝ ______；2．直接写出结果：（ 1）（2x＋ 5y）（ 2x－ 5y）＝ ________；（2）（x－ab）（x＋ab）＝______；（ 3）（3m＋ 2n） 2＝________；（4）（）２＝m2＋8m＋16；3．在括号中填上适合的整式：（ 1）（ m－n）（）＝n2－m2；（2）（－1－3x）（）＝1－9x2．诚美教育一对一个性化指导专家4．多项式 x2－8x ＋ k 是一个完整平方式，则 k ＝ ______．5． x 21( x 1 )2 ______＝ (x1) 2 ＋ ______．x 2xx6．以下各多项式相乘，能够用平方差公式的有（ ）①（－ 2ab ＋ 5x ）（ 5x ＋ 2ab ） ②（ ax － y ）（－ ax － y ） ③（－ ab － c ）（ ab －c ）④（ m ＋ n ）（－ m － n ）A ．4个B ．3 个C ．2 个D ．1 个7．以下计算正确的选项是（ ）A ．（ 5－ m ）（ 5＋ m ）＝ m2－ 25B ．（ 1－ 3m ）（ 1＋ 3m ）＝ 1－ 3m2C ．（－ 4－ 3n ）（－ 4＋ 3n ）＝－ 9n2＋ 16D ．（ 2ab － n ）（ 2ab ＋ n ）＝ 2a2b2－ n2 8．以下等式能够建立的是（ ）A ．（ a － b ） 2＝（－ a －b ） 2B ．（ x － y ） 2＝ x2－ y2C ．（m － n ） 2＝（ n － m ） 2D ．（ x －y ）（ x ＋ y ）＝（－ x － y ）（x － y ）9．若 9x2＋ 4y2＝（ 3x ＋2y ） 2＋M ，则 M 为（ ） A ． 6xy B ．－ 6xy C ．12xyD ．－ 12xy10．如图 2－ 1 所示的图形面积由以下哪个公式表示（ ）A ． a2－ b2＝a （ a － b ）＋ b （ a － b ）B ．（a － b ） 2＝ a2－ 2ab ＋b2C ．（a ＋ b ） 2＝ a2＋ 2ab ＋b2D ． a2－ b2＝a （ a ＋ b ）－ b （ a ＋ b ）图 2－111．（ xn － 2）（xn ＋ 2）12．（ 3x ＋ 0.5）（ 0.5－3x ）13．用适合的方法计算．（ 1） 1.02 × 0.982 11（2） 113131 2＋ 20062（3） (40 )（4） 20052－ 4010×2006 214．当 a ＝ 1， b ＝－ 2 时，求 [( a1 b)2 ( a 1b) 2 ]( 2a 21b 2 ) 的值．22 2一、能力培育综合题 1、已知m2n26m 10n 34 0 ，求m+n的值综合题 2、若 a＋ b＝17， ab＝60，求（ a－ b）2和 a2＋ b2的值．综合题 3、已知 x≠1，计算（1+x）（ 1－ x） =1－x2，（1－ x）（ 1+x+ x2） =1－x3，（1－ x）（ ?1+x+ x2 + x3） =1－x4，（1）察看以上各式并猜想：（ 1－ x）（ 1+x+ x2 + +x n） =______．（n 为正整数）（2）依据你的猜想计算：①（ 1－ 2）（ 1+2+22 + 23 + 24 + 25）=______．②2+ 22 + 23 + +2n =______（ n 为正整数）．③（ x－ 1）（x9989 x79x 2 ...x x +1）=_______．（3）经过以上规律请你进行下边的探究：①（ a－ b）（ a+b） =_______．②(a b)(a2 a b b2 ) =______．③ (a b)(a3a2 b a b2b3 ) =______．二、能力评论例题中波及到了完整平方公式的变形，要注意总结与运用，还有规律商讨题的方法。
完全平方公式专项练习50题(有答案)ok
完全平方公式专项练习50题(有答案)ok完全平方公式是数学中的一个重要概念。
它可以用来计算两数和（或差）的平方。
具体公式为(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。
这个公式可以逆用，即a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。
运用完全平方式的判定有两种情况，一是有两数和（或差）的平方，即(a+b)、(a-b)、(-a-b)、(-a+b)；二是有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同，即a²+2ab+b²、a²-2ab+b²、-a²-2ab-b²、-a²+2ab-b²。
以下是50道完全平方公式的专项练题，带有答案：1.(a+2b)²答案：a²+4ab+4b²2.(3a-5)²答案：9a²-30a+253.(-2m-3n)²答案：4m²+12mn+9n²4.(a²-1)²-(a²+1)²答案：-4a²5.(-2a+5b)²答案：4a²-20ab+25b²6.(-ab²-c)²答案：a²b⁴+2abc²+ c²7.(x-2y)(x²-4y²)(x+2y)答案：-12xy(x²-4y²)8.(2a+3)²+(3a-2)²答案：13a²+139.(a-2b+3c-1)(a+2b-3c-1)答案：a²-6bc+4b²+4c²+2ac-2a-2b+6c+1 10.(s-2t)(-s-2t)-(s-2t)²答案：-4st11.(t-3)²(t+3)²(t²+9)²答案：(t⁴-9t²+81)³12.972答案：(6³)²13.200²-2²答案：14.99²-101²答案：-40415.49×51-50²答案：116.(x-2y)(x+2y)-(x+2y)²答案：-4y²17.(a+b+c)(a+b-c)答案：a²+b²+c²-ab-ac-bc18.2a+1-1+2a答案：4a19.3x-y-2x-y+5xy-5x²答案：-2x²+4xy-y20.(x+2y)(x-2y)(x-4y)，其中x=2，y=-1 答案：12021.(x+1/x)-(x-1/x)((x+1/x)+1)答案：222.x-y=9，xy=5，求x+y答案：1423.a(a-1)+(b-a)-(ab)= -7，求-ab答案：-524.a+b=7，ab=10，求a²+b²，(a-b)²答案：a²+b²=33，(a-b)²=925.2a-b=5，ab=3/2，求4a²+b²-1答案：47/226.(a+b)²=9，(a-b)²=5，求a²+b²，ab 答案：a²+b²=7，ab=127.已知(a+b)²=25，求(a-b)²答案：928.已知(a+b)²=16，求(a-b)²答案：429.已知(a-b)²=9，求(a+b)²答案：2530.已知(a+b)²=36，求(a-b)²答案：031.已知(a+b)²=49，求ab答案：1232.已知(a-b)²=16，求ab答案：-1233.已知ab=3，a²+b²=13，求a-b答案：234.证明对于任意的x,y，代数式a=x²+2xy+y²+3x+2y+1的值总是正数。
初一数学完全平方公式(最全面的考点设计)
初一数学完全平方公式(最全面的考点设计)全新题型归类总结圆学霸之梦第三讲：完全平方公式一、常用公式1、完全平方公式两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。
a+b)²=a²+b²+2aba-b)²=a²+b²-2abx±a)²=x²±2ax+a²注意：上述中的a,b不仅可以是单独的一个数或一个字母，也可以是多项式或分式。
2、变形公式1）a+b=(a+b)-2ab=(a-b)+2ab2）a²+b²=1/2[(a+b)²+(a-b)²]3）(a+b)²-(a-b)²=4ab4）a²+2ab+b²=(a+b)²5）a²+b²+c²±2ab±2bc±2ca=(a±b)²+(b±c)²+(c±a)²3、补充公式：1)立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)2)立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)3)和立方：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³4)差立方：(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³5)三项的完全平方：(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac a-b-c)²=a²+b²+c²-2ab-2bc-2ac二、经典题型汇总题型一、完全平方公式的判断例1、下列哪个不是完全平方式？（）A、2x²B、x²-6x+9C、25x²-10x+1D、x²+22x+121 练：1、下列哪个不是完全平方式？（）A、x²+4B、x²+4x+4C、4x²+4x+1D、x²+x+2题型二、计算题专练例1、计算1）(-a-12)²（2）、(b+c)(-b-c) （3）(a+b-3)(a-b-3)4）(2m-3n)(2m+3n) （5）(x+5)-(x-2)(x-3) （6）(m+n-p)²练：剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。
(完整版)完全平方公式练习题
题型一：简单应用1．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ）A ．（x+y ）2=x 2+y 2B ．（x －y ）2=x 2－y 2C ．（－x+y ）2=x 2－2xy+y 2D ．（－x －y ）2=x 2－2xy+y 22.在括号内选入适当的代数式使等式(5x-y)·( )＝25x 2-5xy+y 2成立.A.5x-yB.5x+yC.-5x+yD.-5x-y3.填空：（1）（_____－y ）2=x 2－xy+______(2) ( -2)2＝ -x+4．若（3x+4y ）2=（3x －4y ）2+B ，则B=_____．5.计算：⑴2(811)a b -+⑵2(23)x y -- （3）()()a b a b +--；题型二：简化计算（1）1022 （2）992题型三：综合计算1.已知A=2x+y,B=2x-y,计算A 2-B 2.2.先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-3.计算（1) (a+2b+c)(a+2b-c) (2) (3)(22)(22)x y y x -+-+（4）2(3)(3)(9)a a a +-- （5）2222(1)(1)(1)x x x +-+．．题型四：整体计算1．已知a －b ＝3，ab ＝10，那么a 2＋b 2的值为（ ）A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 2.已知求a2b 2与a-b 的值。
3.已知求与的值。
4.A ．25 B ．23 C ．12 D ．115.已知y=x-1,则(x-y)2+(y-x)+1的值为________.题型五：完全平方式1．下列多项式不是完全平方式的是（ ）．A 、B 、C 、D 、2.若k x x ++22是完全平方式，则k= 。
3.如果2211()42x mx x ++=-，那么m 的值等于______． 4．如果是一个完全平方公式，那么a 的值是（ ）． A ．2 B ．－2 C ．D ．5．若一个多项式的平方的结果为 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．6.小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是42x +…+252y ,但中间一项不慎被污染了,这一项应是( )A 、10xy B 、20xy C 、±10xy D 、±20xy题型六：公式逆用1．已知x+y=1，求x 2+xy+y 2的值．2.已知，都是有理数，求的值。
专题讲练：平方差公式与完全平方公式
专题讲练：平方差公式与完全平方公式※题型讲练【例1】计算下列各题：(1) (x－ab)(x＋ab) (2) (x－ab)(－x－ab)(3) (12＋b2)(b2－12) (4)变式训练1：1．在括号中填上适当的整式：(1)（－2x+y）（－2x－y）=______．(2)(－1－3x)(______)＝1－9x2；(3)(a＋2b)(______)＝4b2－a2．(4)(a+b－1)(a－b+1)=( )2－( )22．计算下列各题：(1) (m－2n)(2n＋m)－(－3m－4n)(4n－3m)．(2) (a＋3)(a2＋9)(3－a)+(－a2+2)(－a2－2)【例2】(1)若x＋y＝6，x－y＝5，则x2－y2= ．(2)简便计算下列各题：① 103×97 ②2009×2007－20082变式训练2：1．若x＋y＝3，x2－y2＝12，则x－y＝．2．简便计算下列各题：(1) (2)【例3】计算下列各题：(1) (－x＋y)2 (2) (－x－y)2 (3) (－3x2＋5y)2 (4) (3mn－5ab)2 (5) (a＋b＋c)2 (6) (x－y＋1)2变式训练3：1．计算下列各题：(1) (y－3)2－2(y＋2)(y－2) (2) (2a＋1)2(2a－1)2 (3) (a＋b＋2c)(a＋b－2c) (4) (x＋2y－z)(x－2y＋z)【例4】已知a＋b＝8，ab＝12，求a2＋b2和a－b的值。
变式训练4：1．已知a2＋b2＝25，ab＝12，求a2－b2的值。
2．已知(a＋b)2＝100，(a－b)2＝16求ab和a2＋b2的值。
3．简便计算下列各题：(1) 1.982 (2) 3062※课后练习1．下列各式中能使用平方差公式的是( )．(A)(x2－y2)(y2＋x2) (B)(C)(－2x－3y)(2x＋3y) (D)(4x－3y)(－3y＋4x)2．下列计算正确的是( )．(A)(5－m)(5＋m)＝m2－25(B)(1－3m)(1＋3m)＝1－3m2(C)(－4－3n)(－4＋3n)＝－9n2＋16(D)(2ab－n)(2ab＋n)＝4ab2－n23．下列计算正确的是( )．(A)(a－b)2＝(－a－b)2 (B)(x－y)2＝x2－y2(C)(m－n)2＝(n－m)2 (D)(x－y)(x＋y)＝(－x－y)(x－y) 4．下列等式不能恒成立的是( )．(A)(3x－y)2＝9x2－6xy＋y2(B)(a＋b－c)2＝(c－a－b)2(C)(D)(x－y)(x＋y)(x2－y2)＝x4－y45．计算下列各题：(1) (2)(3) (3x＋2y)2－(3x－2y)2 (4) (a+2b－1)(a－2b－1)(5) (x＋1)(x2＋1)(x－1)－(x2＋1)26．用适当的方法计算下列各题：(1)1.02×0.98 (2) 20152－2014×2016 (3) 99727．当x＝1，y＝2时，求(2x－y)(2x＋y)－(x＋2y)(2y－x)的值．8．若a－b＝12，ab＝64，求a2－b2和a2＋b2的值．9．一长方形场地内要修建一个正方形花坛，预计花坛边长比场地的长少8米、宽少6米，且场地面积比花坛面积大104平方米，求长方形的长和宽．10．回答下列问题：(1)计算：①(x＋2)(x＋3)＝________；②(x＋3)(x＋7)＝______；③(a＋7)(a－10)＝_______；④(x－5)(x－6)＝______．(2)由(1)的结果，直接写出下列计算的结果：①(x＋1)(x＋3)＝______；②(x－2)(x－3)＝______；③(x＋2)(x－5)＝______；④＝______．(3)总结公式：(x＋a)(x＋b)＝____________．(4)已知a，b，m均为整数，且(x＋a)(x＋b)＝x2＋mx＋36，求m的所有可能值．。
完全平方公式经典题型
完满平方（和、差）公式：1．公式：a22ab b2逆用： a22ab b2a2 b a2b文字表达：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的２倍．口诀：首平方加尾平方，乘积二倍在中央。
其中 a, b 可以是数字、单项式和多项式。
其中a2 ,b2称为二次项，均为正项；2ab 为中间项，符号由括号里的符号确定。
扩展： ax by2a2 x22abxy b2 y2a,b为 x、 y 系数，那么张开式的中间项系数为2ab。
例： 1. 9a212ab4b2 2.4a24ab b23.(2 x 3) 2=4.( 2x1y)2=324.1022= 6.992=题型剖析：一、添括号运用乘法公式计算：（ 1）( a b) 2(2)(a b c) 2（ 4）5x24y25x 24y2（ 5）( a 2b 1)2（6）(2x y 1)2二、张开式系数的判断：公式逆用1、要使x26x k 是完满平方式，则k=________2、要使y2my 4 成为完满平方式，那么m=________3、将多项式x29 加上一个整式，使它成为完满平方式，这个整式可以是_______________4、多项式4a2ab9b2是完满平方差公式，则括号里应填。
5、将以下式子补充完满:（ 1）4x2xy +16y2=2（ 2）25a210ab +=2（ 3）-4ab+=a 2（ 4）16a2+=+22b（5）922 x2+=y 163三、利用公式加减变形例 . 已知a b 5 ab 3 ，求a2b2和 (a b)2的值1. 若 a+b=0， ab=11，求 a2﹣ab+b2的值。
2.已知 x + y = 8， xy = 12，求 x2+ y2的值3.已知，（ x+y）2=16，（ x﹣ y）2=8，那么 xy 的值是多少？4.若是，求和a-1的值。
5.已知x2+y2=13，xy=6，则x+y的值是多少？a6.已知 (a b)216, ab4,求 a23b2与 ( a b)2的值。
第10讲 2024-2025学年上海7年级数学上册期中复习专题完全平方公式压轴(九大题型)(原卷版)
第10讲完全平方公式（九大题型）一、知识引入计算下列各题，并观察乘式与结果的特征：(1)(a+b)²=(2)(2a+3b)²=(3)(x-y)²=(4)(2x-3y)²=通过计算你发现什么规律?比较等号两边的代数式，可以看到两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b².这两个公式叫做完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式.思考：你能根据图（1）和图（2）中的图形来说明完全平方公式吗?（1）（2）二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.【方法规律】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab=-+()()224a b a b ab+=-+三、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=± ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【即学即练1】下列四个多项式是完全平方式的是（）A ．22xy +B ．222x xy y --C ．22424m mn n ++D ．2214a ab b++【即学即练2】计算：(1)()27x y +；(2)()245a b -+；(3)()22m n --；(4)()()2323x y x y +--．【即学即练3】用简便方法计算：(1)202222021×2023+1；(2)20232−4046×2022+20222．【即学即练4】如果229x kxy y ++是一个完全平方式，那么k 的值为．【即学即练5】已知4mn =，1m n -=，则22m n +的值为（）A ．5B ．9C ．13D ．17题型1：利用完全平方公式计算【典例1】．计算：(1)()223y +；(2)2123a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(3)()()222332a a ++-【典例2】．计算：(1)()27x y +；(2)()245a b -+；(3)()22m n --；(4)()()2323x y x y +--．【典例3】．计算：(1)2198；(2)2918892-⨯；(3)220.2340.468 3.766 3.766+⨯+．题型2：利用乘法公式计算【典例4】．计算：(1)()()223125x x --+；(2)()()22m n m n +-；(3)()()()22a b a b a b +--；(4)()()()()222343332a a a a +-+-+-；(5)()()222112a a +--；(6)()()()2222111a a a +-+．【典例5】．计算：(1)()()221x x x +--；(2)()()()2112a a a +---；(3)()()()2232323x x x +-+-；(4)()()()()22224x y x y x y x x y ++-++-．【典例6】．综合运用乘法公式计算：(1)2(2)(2)(4)a a a -++；(2)(2)(2)x y z x y z ++--．题型3：乘法公式的化简求值型【典例7】．先化简，再求值：()()()22x y x y x y x +-++-，其中12x =，13y =．【典例8】．先化简，再求值：()()()()()22312132112x x x x x -+--+----，其中2x =-．【典例9】．先化简，再求值：2(23)3(2)(2)4(2)a b a b a b a a b +--+---，其中21|2|()02++-=a b ．题型4：根据完全平方公式求参数的值【典例10】．若多项式28x x k -+是完全平方式，则k =．【典例11】．若2144x ax ++是完全平方式，则常数=a （）A ．12B ．24C ．12±D ．24±【典例12】．若()223916x a x bx -=-+，则a b +的值为（）A ．28B ．28-C ．24或24-D ．28或28-【典例13】．关于x 的多项式291x ax ++是完全平方式，则实数a 的值是（）A ．3B ．3±C ．6±D ．6【典例14】．如果212x mx k ++是一个完全平方式，那么k 等于．【典例15】．如果()22116x k x +-+是一个完全平方式，那么k 的值是（）A ．5B ．-3C ．5或3-D ．3或5题型5：根据完全平方公式求代数式的值【典例16】．已知：1,6a b ab +=-=，求下列各式的值：(1)()2a b -；(2)22a b +．【典例17】．已知2225x y +=，1x y -=，求x y +的值．【典例18】．已知实数m ，n 满足6m n +=，3=-mn ．(1)求()()22m n --的值；(2)求22m n +的值．【典例19】．若5x y -=，4xy =-，则22x y +的值为（）A ．21B ．29C ．17D ．33【典例20】．已知2()16x y +=，且2()100x y -=，则2xy =．【典例21】．例：已知13x x -=，求221x x +的值．解：因为13x x -=，所以219x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则22129x x -+=，所以22111x x +=．观察以上解答，解答以下问题：已知13x x+=，求下列各式的值．(1)441x x +；(2)32223x x x --+．【典例22】．已知2510a a -+=，求441a a+的值．【典例23】．已知20192020a x =+，20192021b x =+，20192022c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值等于（）A ．6B ．3C ．2D ．0题型6：完全平方公式的图形应用【典例24】．如图，长方形ABCD 的周长为20cm ，面积为216cm ，以AB AD 、为边向外作正方形ABGH 和ADEF ，求正方形ABGH 和ADEF 的面积之和．【典例25】．如图，将4个长为a ，宽为b 的长方形木条拼成一个正方形相框．(1)若2a =，1b =，求正方形ABCD 和正方形EFGH 的面积；(2)用两种不同的方法计算大正方形ABCD 的面积，你发现了什么代数结论？【典例26】．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，例如：如图①是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：(1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______．(3)观察图②，请你写出2()a b +．()2a b -，ab 之间的等量关系______；(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若+7x y =，12xy =，则x y -=______．【典例27】．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ．(1)用含a 、b 的代数式分别表示1S 、2S ；(2)若8a b -=，13ab =，求12S S +的值；(3)用a 、b 的代数式表示3S ，并当1236S S +=时，求出图③中阴影部分的面积3S ．【典例28】．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：()()22232a b a b a ab b ++=++．(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a b c ++的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知10a b c ++=，30ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【典例29】．已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是边长为b 的正方形，C 型卡片是长为b ，宽为a 的长方形．(1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为3a b +，宽为2a b +的长方形，求嘉嘉需要A ，B ，C 各多少张？(2)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A 型卡片4张，再取B 型卡片1张，还需取C 型卡片多少张，并求所拼正方形的边长？(3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为2212a nab b ++的长方形，则满足条件的n 的整数值______个．【典例30】．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片______张．(3)根据()1题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2021)(2023)20x x -+-=，求2022x -的值．题型7：完全平方公式的代数应用【典例31】．已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，若22p ab a b =++，则p 的最小值为．【典例32】．不论a 、b 为任意有理数，多项式22427a b a b +-++的值总是不小于．【典例33】．实数a ，b ，c 满足20a b c -+=，则2b ac -0．（填“>”、“<”、“≥”、“≤”、“=”）【典例34】．已知26a b +=，3ab =，则224()3a b a +-的值为．【典例35】．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成²²a b +（,a b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为221031=+，所以10是“完美数”．解决问题：（1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）．①29；②48：③13：④28．探究问题：（2）若²48a a -+可配方成()22a m n -+（,m n 为常数），则mn 的值________；（3）已知22458S a ab b b k =++-+（,a b 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由．拓展应用：（4）已知实数,a b 满足2530a a b -++-=，求a b +的最小值．题型8：“杨辉三角”【典例36】．观察下列各式及其展开式：()2222a b a ab b +=++；()3322333a b a a b ab b +=+++；()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；()543225345510105a a b a b a a a b b b b =++++++；⋅⋅⋅⋅⋅⋅请你猜想()81x -的展开式中含2x 项的系数是【典例37】．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了()()1234na b n +=⋯，，，，的展开式的系数规律（按n 的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出()20213x -展开式中含2020x 项的系数是．题型9：完全平方公式的图形应用难点【典例38】．阅读材料：若x 满足()()944x x --=，求()()2294x x -+-的值．解：设9x a -=，4x b -=，则()()944x x ab --==，()()945a b x x +=--=，∴()()()22222294252417x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=请仿照上面的方法求解下列问题：(1)若x 满足()()522x x --=，求()()2252x x -+-的值．(2)()()22202320241n n -+-=，求()()20232024n n --．(3)已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD 、DC 上的点，且1AE =，3CF =，长方形EMFD 的面积是15，分别以MF ，DF 为边长作正方形，求阴影部分的面积．【典例39】．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2根据图②能得到的数学公式是__________．（2）如图③，请写出（a ＋b ）、（a ﹣b ）、ab 之间的等量关系是__________（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x ＋y ＝8，xy ＝2，求（x ﹣y ）2的值．（4）根据图④，写出一个等式：__________．（5）小明同学用图⑤中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a ＋b ）（a ＋3b ）长方形，请画出图形，并指出x ＋y ＋z 的值．类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．一、单选题1．下列式子满足完全平方公式的是（）A ．（3x ﹣y ）（﹣y ﹣3x ）B ．（3x ﹣y ）（3x +y ）C ．（﹣3x ﹣y ）（y ﹣3x ）D ．（﹣3x ﹣y ）（y +3x ）2．()2x y --展开后的结果是（）.A ．222---x xy yB ．222x xy y ++C ．222x xy y --+D ．222x xy y -+3．若x y ≠，下列等式：①22()()--=+x y y x ②22(())-=--x y y x ③33()()y x x y -=--④33()()x y y x -=-⑤22()()-+--=-x y x y x y ，其中错误的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（）A ．22()()4a b a b ab +=-+B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b -=+-D ．222()2a b a ab b +=++5．已知（a+b ）2=7，（a ﹣b ）2=4，则a 2+b 2的值为（）A ．11B ．3C ．32D ．1126．如果2925x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值是（）A ．30±B ．30C ．15D ．5±7．若10a b +=，2284a b +=，则ab 等于（）A ．7B ．8C ．9D ．108．如图所示，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片有1张，长为a 、宽为b 的矩形卡片有4张，边长为b 的正方形卡片有4张，用这9张卡片刚好能拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（）A ．2+a bB ．22a b +C ．2a b+D ．a b+9．不论x ，y 为何有理数，x 2+y 2﹣10x+8y+45的值均为（）A ．正数B ．零C ．负数D ．非负数10．已知20052004,20052005,20052006a x b x c x =+=+=+．则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．（1）()()--+=x y x y ；（2）()()---=x y x y ；（3）111144⎛⎫⎛⎫-+--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x ；（4）111144⎛⎫⎛⎫--+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x ．12．（1）2()++a b 2()=-+a b 22a b =+；（2）22()()a b a b +=-+；（3）222()+-=+-a b ab a b ；（4）22()()++-=a b a b ；（5）22()()+--=a b a b ．13．要使2161x +成为一个完全平方式，可以加上一个单项式.14．已知222220x x y y ++++=，则20192020x y +=．15．如果()222125x k xy y -++是一个完全平方式，那么k 的值为．16．代数式()24a b -+的最大值是，当取得最大值时，a 与b 的关系是.17．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ．若810a b ab +==，，则1S ＋2S ＝；当1S ＋2S ＝40时，则图3中阴影部分的面积3=S ．18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了()(na b n +为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：()01a b +=，它只有一项，系数为1；系数和为1；()1a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；()2222a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；()3322333a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；L ；则()na b +的展开式共有项，系数和为．三、解答题19．运用完全平方公式计算：（1）2(25)a b +；（2）2(43)x y -；（3）2(21)m --；（4）221.53a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（5）263；（6）298．20．运用完全平方公式计算：（1）2(6)x +；（2）2(5)y -；（3）2(25)x -+；（4）23243x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．21．运用乘法公式计算：（1）22(35)(27)x x --+；（2）(1)(1)x y x y +++-；（3）2(23)x y --；（4）2[(2)(2)]x x +-．22．计算：（1）22(1)2(1)++--x x x ；（2）2(2)(2)(2)a a a +---；（3）2(13)2(13)---a a ；（4）22()()()2m n m n m n m -+++-；（5）22(21)(21)+-x x ；（6）22(2)2(2)(2)(2)-++-++x y x y x y x y ；（7）(2)(2)+++-a b c a b c ；（8）(2)(2)+--+a b c a b c ．23．（1）若2221060-+++=x x y y ，求2(2)x y -的值；（2）若44225a b a b ++=，2ab =，求22a b +的值．24．甲、乙两人各持一张分别写有整式A 、B 的卡片．已知整式225C a a =--，下面是甲、乙二人的对话：甲：我的卡片上写着整式2410A a a =-+，加上整式C 后得到最简整式D ；乙：我用最简整式B 加上整式C 后得到整式2628E a a =-+．根据以上信息，解决下列问题：（1）求整式D 和B ；（2）请判断整式D 和整式E 的大小，并说明理由．25．阅读材料：若x 满足()()210200204x x --=-，试求()()22210200x x -+-的值．解：设210x a -=，200x b -=，则204ab =-，且21020010a b x x +=-+-=．∵()2222a b a ab b +=++，∴()()22222102204508a b a b ab +=+-=-⨯-=，即()()22210200x x -+-的值为508．同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：若x 满足()()22202020184042x x -+-=，试求()()20202018x x --的值．26．如图，在正方形ABCD 中放入两张边长分别为a 和b 的正方形纸片，已知HK c =，正方形ABCD 的面积记为S ，阴影部分面积分别记为1S ，2S ．(1)用含a ，b ，c 的代数式分别表示KI ，GD ；(2)若2c =，且12S S =，求22a b ab +-的值；(3)若a b =，试说明()123S S S --是完全平方式．27．例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：∵2222690m mn n n ++-+=，∴2222690m mn n n n +++-+=，∴()()2230m n n ++-=，∴0,30m n n +=-=，∴3,3m n =-=．问题：若2222440x xy y y ++-+=，求xy 的值．28．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：图1是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．(1)观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式()2a b +，()2a b -，ab写出这个等式_____________．(2)运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且3=-mn ，4m n -=，试求()2m n +的值．(3)如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形，设8AB =，两正方形的面积和1238S S +=，求图中阴影部分的面积．29．综合与探究【阅读理解】图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x 的正方形，乙种纸片是边长为y 的正方形，丙种纸片是长为y 、宽为x 的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______．（2）利用（1）中的等式解决问题：若1019x y xy +==，，则²²x y +的值为_______．【拓展探究】该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解．例：若x 满足()()203010x x --=，求(()()20²30²x x -+-的值．解：设2030a x b x =-=-，，则()()()()2030102030203010x x ab a b x x --==+=-+-=-=-，．∴()()()()222222030²21021080x x a b a b ab -+-=+=+-=--⨯=．（3）如图3，将正方形EFGH 叠放在正方形ABCD 上，重叠部分LFKD 是一个长方形，26AL CK ==，．沿着LD KD ，所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形ELDN 和四边形DKGM 恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形NDMH 的面积．。
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完全平方（和、差）公式：
1． 公式：()2222a b a ab b ±=±+ 逆用：()2
222a ab b a b ±+=±
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的２倍．
口诀：首平方加尾平方，乘积二倍在中央。
其中,a b 可以是数字、单项式和多项式。
其中22,a b 称为二次项，均为正项；2ab 为中间项，符号由括号里的符号确定。
扩展：()222222ax by a x abxy b y ±=±+ a,b 为x 、y 系数，那么展开式的中间项系数为2ab 。
例：1.229124a ab b -+= 2. 2244a ab b -+=
3. 2(23)x -=
4. 221()32x y -= 4. 2102= 6. 299=
题型解析：
一、添括号运用乘法公式计算：
（1）2)(b a -- (2)2)(c b a ++ （4） ()()22
225x 4y 5x 4y --+
（5）2)12(-+b a （6）2)12(--y x 二、展开式系数的判断：公式逆用
1、要使k x x +-62是完全平方式，则k=________
2、要使42++my y 成为完全平方式，那么m=________
3、将多项式92+x 加上一个整式，使它成为完全平方式，这个整式可以是_______________
4、多项式()2249a ab b -+是完全平方差公式，则括号里应填 。
5、将下列式子补充完整: （1）24x - xy +216y =( )
2 （2）225a +10ab + =( )2 （3） -4ab + =(a - )2 （4）216a + + =( +)22b
（5）2916x - + =( 223y ⎫-⎪⎭
三、利用公式加减变形
例.已知5=+b a 3ab =，求22b a +和 2)(b a -的值
1. 若a+b=0，ab=11，求a 2﹣ab+b 2的值。
2.已知 x + y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值
3. 已知，（x+y ）2=16，（x ﹣y ）2=8，那么xy 的值是多少？
4. 如果，求和1a-a
的值。
5. 已知x 2+y 2=13，xy=6，则x+y 的值是多少？
6. 已知 2
()16,4,a b ab +==求22
3a b +与2()a b -的值。
7.已知2a －b ＝5，ab ＝
2
3，求4a 2＋b 2－1的值．8. 已知16x x -=，求221x x +，441x x + 9. 0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x x + 10.已知x 2－5x +1=0,则2x +21x 。
四、完全平方的非负性：()2a b ± 0≥
1.若x=a 2﹣2a+2，则对于所有的x 值，一定有（ ）
A ．
x ＜0 B ． x ≤0 C ．
x ＞0 D ． x 的正负与a 值有关 2.已知2294650x y x y +-++=，求x y 的值。
3.对任意的实数x,求245x x -+-的最大值是多少？
4.已知 22966100a b a b +--+=，求2014()
ab 的值。
5.若 222220a b a b +++=－，则20042005_____.a
b += 6.已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.
7.已知222450x y x y +--+=，求
21(1)2x xy --=_______. 8. 已知x 、y 满足x 2十y 2十4
5＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______. 9. 已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角
形是什么三角形？。