复变函数第六节优秀课件

考虑从z 0出发方向角为0的射线l0 ,我们有
lim
z0
f
(
z
)
cos( 20
)
i
sin( 20
),
zl0
如取0
4
, 则lim z0
f(z
)
cos 2
i sin 2
i.
如取0 0, 则lim f ( z ) cos0 i sin0 1. z0
证明对于不同的0，上述极限不相同，故在z 0, f ( z )不
复变函数第六节
一 函数的极限
定义设函数w f ( z )定义在z0的去心领域0 z z0 内，若有一确定的数A存在，对于任意给定的 0，相应地
必有一函数( ),0 ,使得当0 z z0 时，
有 f z A , 则称A为当z趋向于z0时f z的极限，
记作 lim zz0
f
(z)
A,记作当z
z0时，f
(z)
A.
y z0
v f (z) A
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0
x
0
u
注1 这个定义的几何意义为：当变点z在z0的一个 充分小的邻域时，它们的象就在A的一个给定的 邻域.
注2 由于z0是复平面上的点，因此z可以任意方式 趋近于z0，(在一元实函数时只有两 个方向), 但不论怎样 趋近，f ( z )的值总是趋近于A.
f ( z ) A ( u u0 ) i( v v0 ) u u0 v v0 即lim f ( z ) A.
z z0
注1该定理将复变函数f ( z ) u( x , y ) i( x , y )的
极限问题转化成为两个 二元实变函数 u u( x , y )及
v v( x, y )的极限问题.
)
u0
, lim x x0
v(
x,
y
)
v0
.
y y0
y y0
充分性
设 lim u( x x0
x,y
)
u0
, lim v( x x0
x,y
)
v0，
y y0
y y0
即当0 x x0 2 y y0 2 时, 就有
u u0
2 , v v0
. 2
于是有
当0 z z0 x x0 2 y y0 2 时,
zz0
当0 z z0 x x0 2 y y0 2 时，则有
f ( z ) A ( u iv ) ( u0 iv0 ) u u0 2 v v0 2
于是可见，当0 x x0 2 y y0 2 时,有
u u0
, v v0
.即 lim x x0
u(
x,
y
z 0处不连续.当z0为负实轴上的点,即z0 x0时,( x0 0 )
定理3 函数f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )在z0 x0 iy0处 连续 u( x , y )和v( x , y )在( x0 , y0 )处连续.
例5 证明arg z在原点与负实轴上不连续.
证明 设f ( z ) arg z ,因f ( 0 )无定义,故f ( z ) arg z在
t
lim
z
1
1 z
2
lim 1
t0
1
1 t2
t2
lim
t0
1
t
2
0.
(2)
因
zz
2z-zz-2 z2 1
( z 2 )( z 1 )
( z 1 )( z 1 )
z 2， z1
故
lim
z1
zz
2z z2
zz 1
2
lim
z1
z z
2 1
3 2
二 函数的连续性
若f
(定z )义在若区zl域 imz0Df内( z处) 处f连( z续0 )，，则则称称ff
定理1 设f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ), A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 ,则 lim f ( z ) A的充分条件是 zz0
lim
x x0
u(
x,
y
)
u0
, lim x x0
v(
x,
y
)
v0
.
y y0
y y0
证明 必要性 若 lim f ( z ) A,根据极限定义，
x
x0 ( ykx )
x0 ( ykx )
x2 y2
lim
x
1 ，
x0 ( 1 k 2 )x2
1 k2
显然,它随k的不同而不同, 故 lim u( X ,Y )不存在. x0
y0
据定理1知,lim f ( z )不存在. z0
证法二 令z r(cos i sin ),则f ( z ) r cos cos.
存在极限。
例2 证明函数f ( z ) Re( z )当z 0时的极限不存在。 z
证法1 令z x iy, 则f ( z ) x
由此得u( x , y )
x
x2 y2 ,v( x , y ) 0.让z沿直线y kx趋
x2 y2 近于零,则有 lim u( x , y ) lim
r
当z沿不同射线arg z 0趋于零时，f ( z )趋于不同的值.
如arg
z
0,
则f
(
z
)
1.
arg
z
2
, 则f
(
z
)
0.
故由定义lim f ( z )不存在. z0
例3计算下列极限( 1
)lim z
1
1 z2
;(
2
)lim z1
zz
2z z2
zz 1
2
解 （1）令z 1 ,则z 时，t 0,故有
( (
z z
)在z0处连续， )在D内连续.
例4 讨论函数w a0 z n a1z n1 an1z an在全 平面上的连续性.
解 在z平面上任取一点z0 , 有
lim
zz0
w
lim
zz0
(
a0
z
n
a1z n1
a n1 z
an
)
a0 z0n
a1
z
n1 0
a n1 z0
a
，故
n
w a0 z n1 a1z n1 an1z an在z平面上处处连续 .
注2 关于含的极限可作如下定义
lim t0
f
(
1 t
)
a
zlim
f
(
z
)
a
(a为有限复数）
1 zlimz0 f ( z ) 0 zlimz0 f ( z )
1
lim t0
f
(1)
0
zlim
f
(
z
)
t
定理2 若 lim f ( z ) A,lim g( z ) B则.
zz0
zz0
( 1 ) lim [ f ( z ) g( z )] A B zz0
( 2 ) lim f ( z )g( z ) AB zz0
f(z) A
( 3 ) lim
(B 0)
zz0 g( z ) B
例1 问函数f ( z ) z 在z 0有无极限. z
解 f ( z )的定义域是全平面除去z 0的区域，当z 0时，
设z r(cos i sin ), 则f ( z ) cos( 2 ) i sin( 2 ),