函数与不等式恒成立1

专题一： 函数与不等式恒成立

（一） 利用判别式

本类型题源自初中，对x ∈R 适用。

例1 若y=lg ［x 2 +（k+2）x+5

4］的定义域为R ，则求k 的取值范围。 解：转化为x 2 +（k+2）x+5

4＞0对x ∈R 恒成立。

∆= （k+2）2-4 ·5

4

＜0

（k+2）2＜5

∴k ∈（-2-5，5-2）

练习1若ax 2+x+a ＜0解集为∅，求a 范围。

解：转化为ax 2+x+a ≥0解集为R 。 ①a=0，x ≥0（舍） ②a ＞0，∆≤0 ∴a ≥12

综合得：a ≥

12

2 若x ∈R ，sin x 2 +2kcosx-2k-2＜0恒成立,求k 的取值范围。

解：转化为cosx 2-2k cosx+2k+1＞0

①∆＜0 即k ∈（1-2，1+2）成立 ②∆=0 即k=1-2，1+2代入得k=1+2

∆＞0

③ f （1）＞0 得k ＞1+2

k ≥1

综合得①②③：k ＞1-2

（二） 利用变量分离

练习2的另解：2k ＞2cos 1

cos 1

x x +-

令t=cosx-1∈【-2,0】 当cosx-1=0代回原式成立 当t= cosx-1∈【-2,0）时 2k ＞t+

2t

+2 （t+

2

t

+2）最大值为2-22 ∴k ＞1-

2

注：利用变量分离要擅长求各种基本函数的值域，诸如一次函数，二次函数， 反比例函数，耐克函数，幂指对数函数，三角及利用单调性求值域。 练习 1 已知f （x ）= 2x -

12

x ∣∣

。①若f （x ）=2，求x 的值。②若2t

f （2t ）+m f （t ）≥0 对于t ∈【1,2】恒成立，求实数m 的取值范围。（2008上海市高考题19）

解：①x ＜0，f （x ）=0（舍）；

x ＞0，f （x ）=2x -1

2

x =2, ∴x=㏒2(12)+ ②t ∈【1, 2】，2,t （2,2t - 212t ）+m （2t - 1

2

t ）≥0

2,t （2,t +1

2

t ）+m ≥0

2,2t +1≥-m ∴m ∈【-5,+∞】

注：去绝对值和对含字母代数式因式分解是基本功。

2 已知二次函数f （x ）=x 2+bx+1（b ∈R ）满足f （-1）= f （3）。x ＞1时f （x ）反 函数为f ,-1（x ），且f ,-1（x ）＞m （m-x ）在x ∈【14,1

2

】恒成立，求实数m 的取值 范围。 解：-

2

b

=1 ∴b=-2 ∴f （x ）= x 2-2x+1=（x-1）2

当x ＞1时，f ,-1（x ）= x +1（x ＞0）

x +1＞m 2-m x

（m+1）x ＞m 2-1

① m= -1（舍） ② m ＞-1，

x ＞m-1 ∴m -1＜12 ∴-1＜m ＜3

2

③ m ＜-1，x ＞m-1 ∴m ＞1+

2

2

（舍） 综合①②③得：m ∈（-1，,

32

） （三） 构造函数法

练习2的另解：x +1＞m 2-m x 对x ∈【14,1

2

】恒成立

x （1+m ）+（1+ m 2）＞0看作关于x 的一次函数

f （

1

4）＞0 f （12）＞0 ∴-1＜m ＜3

2

练习 1 已知函数f （x ）= ∣1-x ∣，g （x ）=2mx+m ，对满足∣m ∣＜1的一切 实数m 都有f （x ）＞g （x ），求x 的范围。

注：变量分离，构造函数都可以，答案：x ∈（-2，,0）

2 若关于x 的不等式x 2+

12x- 1()2

n ≥0对于任意n ∈*

N 在x ∈（-∞，m 】 恒成立，则实常数m 的取值范围：＿＿＿＿（答案：m ≤-1）

注：练习2中隐含A ⊆B 时A ⇒B 恒成立

（四） 数形结合法

例 （2009上海高考题11）当0≤x ≤1时，不等式sin 2

π

x ≥kx 成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿（答案：k ≤1）

（五） 恒成立在各章节中的综合应用 1恒成立在集合中

例 （2012虹口一模）已知集合A= {x ∣x 2- 4x+3<0,x ∈R }, B={x ∣1x

-2

+a ≤0且x 2- 2（a+7）x+5≤0，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a 的

取值范围：＿＿＿＿（答案：【-4,-1】）

注：A ⊆B 时A ⇒B 恒成立

2恒成立在数列中

例1 已知数列{a n }的前n 项和为s n ，对于任意m ，n ∈*

N 均满足s n + s m =

s m n +，且a 1=2，则a =＿＿＿＿（答案：2）

分析：恒成立隐含任意取值：s 1+ s 2010= s 2011⇒a 2011=2

例2 （2012宝山一模23）已知函数f （x ）= ㏒2x ，若2，f （a 1），f （a 2），

…，f （a n ），2n+4（n ∈*N ）成等差数列。（1）求数列a n 的通项公式；（2）设

g （k ）是不等式㏒2x + ㏒2(3)k a x -≥2k+3（k ∈*

N ）整数解的个数，求g （k ）； （3）记数列{

12

n

a }的前n 项和为s n ，是否存在正数m ，对任意正整数n ，k ，使得s n -m k a <2m 恒成立？若存在，求m 范围；若不存在，说明理由。

（3）解：s n =1-

14n

， k a =1

2k + 1- 1

4

n -m·12k +<2m ∴1-4m <2

m ∴m ≥-2+5

3恒成立在三角中

（2012杨浦21）若函数y= f （x ），存在给定实数对（a ，b ）使f （a+x ）f （a-x ） =b 恒成立，则称y= f （x ）为“Ω”函数。

⑴判断下列函数是否为“Ω”函数并说明理由：① f （x ）= 3

x ； ② f （x ）= 2x

⑵已知f （x ）=tanx 是一个“Ω”函数，求所有有序实数对。

解： ⑴ ① 不是； ② 是； ⑵ （k π+

4π，1）∪（k π-4

π

，1） 注：⑵ 解题理论突破口可结合mx+y+1-m=0恒过定点的类型。

4恒成立与有解的区别

例 k·

4x -k·1

2x ++6（k-5）＜0在[0,1]有解，则k 的取值范围：＿＿＿＿

（答案：k ＜6）