空间曲线积分的计算方法

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空间曲线中对坐标的曲线积分的一题多解

空间曲线中对坐标的曲线积分的一题多
解
摘要：计算空间曲线中对坐标的曲线积分的计算较复杂，本文针对此类曲线积分提供了三种新的解法，为空间曲线中对坐标的曲线积分提供了新思路。

关键词：空间曲线；曲线积分；一题多解
一、预备知识
设空间曲线的参数方程为
法一
法二
法三
二、简单应用
应用1 计算曲线积分，其中是曲面
和曲面的交线,从轴正向看去为逆时针方向.
解法一：由题可知，作出曲线的图，见图1
图1
曲线的参数方程为
则
解法二：取为边界的曲面，取上侧在面上的投影区域为
的单位法向量为
且
则
解法三：
应用2 计算，其中是圆柱面和平面的交线,从轴正向看去为逆时针方向.
解法一由题可知，作出曲面的图，见图2
图2
曲线的参数方程为
则
解法二：取为边界的曲面，取上侧在面上的投影区域为
的单位法向量为
且
则
解法三：
四、结语
综上可知，本文给出了求空间曲线中对坐标的曲线积分的三种求解方法，针对两个典型应用题，并给出了相应的解法。

参考文献：
[1]同济大学数学系编,高等数学[M],-7版,北京:高等教育出版社，2014,07.
[2]齐小军.关于对坐标的曲面积分若干问题研究[J].华东纸业.2022,02.
[3]银俊成、蔡智辉.一题多解探讨曲线积分的计算[J].高等数学研
究.2023,02.。

曲线积分与曲面积分常见题型攻略

曲线积分与曲面积分常见题型攻略以心同学整理一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分t t g y t x L ,)()(:1.化简（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】Lds y x f ),(Lds t g t f )](),([ kskds L其中s 为积分曲线L 的长度。

（2）利用奇偶对称性化简①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为y 轴右边部分。

②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为x 轴上边部分。

（3）利用轮换对称性化简若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有Lds y x f ),( Ldsx y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程t t g y t x L ,)()(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：b x a x f y x x L,)(:，dy c y y y g x L,)(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分Lds y x f ),(dtt g t t g t f )()()](),([22注意：上限大于下限 4.计算定积分例1【2017-2018期末】设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则Lds y x )43(60；解：Lds y x )43( Lds12代入化简6012 s 。

例2【2018-2019期末】计算Lds x y)(2，其中L 为圆周422 y x .解：法一：L 的参数方程为sin 2cos 2y x （ 20 ），d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，于是Lds x y )(22022)cos 2sin 4(d 0sin 8202d822148 .法二：由对称性有Lds y 2 Lds x 2（轮换对称），0 Lxds （奇偶对称）所以Lds x y )(2 Lds y 2L ds y x )(2122 Lds 421（代入化简）8422 Lds .例3【2019-2020期末】计算曲线积分Lds y xy x )(22，其中L 为平面区域}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。

曲线、曲面积分方法小结

求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。

例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1：A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx xx x dy --=⎰+Lxdy ydx dx xx x x x x ⎰--+-=222]2)1(2[dx xx x x dx xx x x xx x ⎰⎰--+----=20220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2：在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= ⎰+Lxdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy yy ⎰-=102212dy y ⎰--10212dy yy ⎰-=10221210212yy --dyyy ⎰--+102212.0)011(2=---=分析：解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。

第二类空间曲线积分的投影算法

第二类空间曲线积分的投影算法第二类空间曲线积分是在三维空间中曲线上逐点积分，常用于求解场力沿着特定曲线的功。

在工程和物理学中，该类型的曲线积分广泛应用于电场、磁场、引力场等科学问题中。

在计算机图形学与计算机视觉中，第二类空间曲线积分的投影算法可以解决物体轮廓的计算问题。

一、定义对于参数化曲线C：r(t)，其中r(t)=(x(t),y(t),z(t))其中P(x,y,z)为场量，ds为曲线微元长度，r′(t)为曲线在参数为t时刻的单位切向量（即速度矢量与速率的比值）。

二、投影算法对于一个物体的三维数据，我们可以通过第二类空间曲线积分算法在二维空间中绘制出它的轮廓。

该算法的基本思路是将物体的边界曲线在一个平面上投影，然后根据投影线的连接关系绘制物体的轮廓。

以下是该算法的具体步骤：1.选择一个坐标系作为投影平面，并确定该坐标系的x和y轴。

这通常是根据常规绘图的要求来选择的。

3.将曲线C在投影平面上投影，将C的参数式变为C′：r′(t)=(x(t),y(t),0)5.计算曲线C′的单位切向量t(t)：t(t)=v(t)/|v(t)|7.根据切向量和法向量，计算出向后偏移量d和向前偏移量d′，即从投影点P(x,y)到曲线C上的投影点P′(x′,y′)的距离。

其中，d和d′可以根据需要进行调整，以达到更好的效果。

8.使用第二类空间曲线积分计算投影线上的轮廓点，并根据投影点连接关系绘制物体的轮廓。

三、总结第二类空间曲线积分的投影算法可以将三维物体的轮廓投影到二维平面上，使物体的形状更易于观察和处理。

该算法的核心是将曲线在投影平面上投影，并计算出投影点间的连接关系。

由于该算法基于第二类空间曲线积分的原理，因此计算精度较高，适用于需要高精度计算的应用场景。

第一类曲线积分计算

第一类曲线积分计算【原创实用版】目录一、曲线积分的概述二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程2.圆参数方程3.一般曲线参数方程三、第一类曲线积分的应用实例正文一、曲线积分的概述曲线积分是一种数学工具，用于计算空间曲线上的向量场在某一段曲线上的积分。

它可以用来求解物理量，如质点在曲线路径上的速度、加速度等。

曲线积分分为两类，本篇主要介绍第一类曲线积分的计算方法。

二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程假设有一条直线 L，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为直线上的点。

我们可以通过以下步骤计算直线 L 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在直线 L 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算直线 L 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。

2.圆参数方程假设有一个圆 C，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为圆上的点。

我们可以通过以下步骤计算圆 C 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在圆 C 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算圆 C 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。

3.一般曲线参数方程对于一般的曲线，我们可以将其参数方程表示为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为曲线上的点。

我们可以通过以下步骤计算一般曲线上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在曲线上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算曲线上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。

第一类曲线积分的计算

第一类曲线积分的计算第一类曲线积分是指对于一条空间曲线上的标量函数$f(x,y,z)$的积分。

通常情况下，计算第一类曲线积分可以分为参数化和积分两个步骤。

首先，我们需要用参数化的方式将曲线表示出来。

设曲线为$C$，则$C$可以用参数方程$\vec{r}(t)=(x(t), y(t), z(t))$来表示，其中$t$为曲线上的参数。

有了曲线的参数方程，我们可以得到曲线的切向量$\vec{T}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\fr ac{dz}{dt})$和曲线的长度$dS=|\vec{T}(t)|dt$。

然后，我们可以对函数$f(x,y,z)$在曲线$C$上进行积分，即：$$\int_Cf(x,y,z)ds=\int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))|\vec{T}(t)|dt$$其中$t_0$和$t_1$为曲线的参数范围。

如果曲线参数化时是按照弧长进行的，则有$dS=dt$，积分式可以简化为：$$\int_Cf(x,y,z)ds=\int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))dt$$接下来，我们来看一个计算第一类曲线积分的例子。

例：计算函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$在曲线$C$：$x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=2t$，$0\leq t \leq \pi$上的积分。

解：首先，我们需要将曲线$C$进行参数化。

由于$x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=2t$，所以可得：$$\vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, 2t)$$其中$0\leq t \leq \pi$。

其切向量为：$$\vec{T}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=(-\sin t, \cos t, 2)$$其长度为：$$|\vec{T}(t)|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+2^2}= \sqrt{6}$$因此，积分式为：$$\begin{aligned} \int_C f(x,y,z)ds & = \int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))|\vec{T}(t)|dt \\ & = \int_0^\pi (\cos^2 t + \sin^2 t + (2t)^2)\sqrt{6} dt\\ & = \int_0^\pi (4t^2 + 1)\sqrt{6} dt\\ & =\sqrt{6}\int_0^\pi 4t^2 dt + \sqrt{6}\int_0^\pi dt\\ & =\sqrt{6}(\frac{4}{3}\pi^3 + \pi) \approx 68.2525 \end{aligned}$$因此，函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$在曲线$C$：$x=\cos t$,$y=\sin t$, $z=2t$，$0\leq t \leq \pi$上的积分为约为$68.2525$。

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1空间曲线积分的计算方法.(1)曲线积分的计算例1 计算222222()()()C I y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 为平面1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形的边界，若从x 轴正向看去，定向为逆时针方向．方法一根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数．解法一：设(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D ，则0,1:==+z y x AB ，:1,0BD y z x +==，:1,0DA x z y +==，则:C AB BD DA ++．由曲线积分的定义，有 dz y x dy x z dx z y AB)()()(222222-+-+-⎰ 32])1[(0122-=+-=⎰dx x x ．同理可得：222222()()()BDy z dx z x dy x y dz -+-+-⎰ 2222222()()()3DA y z dx z x dy x y dz =-+-+-=-⎰．所以 2AB BD DA I =++=-⎰⎰⎰．方法二将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系．解法二：设)0,0,0(O ，OA BO AB L ++:1，则dy dx dz y x z --=--=,1，D 是1L 围成的区域．代入原积分由格林公式得原式))((])1[(])1([2222221dy dx y x dy x y x dx y x y L ---+---+---=⎰ ⎰⎰-=-=Ddxdy 24．化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算．方法三根据对称性求曲线积分．轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮助．我们主要在讨论单轮换对称的情形．解法三：由题目特征可知该积分及曲线C 都具有轮换对称性，因此由对称性知原式dz y x dy x z dx z y AB)()()(3222222-+-+-=⎰ 2])1[(0122-=+-=⎰dx x x ．同样由对称性知原式012222103()3{(1)(1)}2C I y z dx x dx x dx =-=---=-⎰⎰⎰．方法四根据Stokes 公式求曲线积分Stokes 公式建立了空间曲线积分和曲面积分之间的联系，从而将曲线积分和曲面积分有机联系起来．解法四: 设1S x y z ++=：，方向为上侧，曲面上一点的外法线向量的方向余弦为 31cos cos cos ===γβα 由Stokes 公式化为第一型曲面积分得原式222222cos cos cos SdS x yz y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰()2ABC S S x y z dS dS S ∆=++===-⎰⎰． ABC ∆为解法一中所设的点组成的三角形．另解: 根据上面解法中所设，并设xy D 为∑在xoy 面上的投影．用Stokes 公式化为第二型曲面积分得原式222222S dydz dzdxdxdy x yz y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰ 2()()()S y z dydz z x dzdx x y dxdy =-+++++⎰⎰2)(6-=+-=⎰⎰dxdy y x xyD ．用Stokes 公式将曲线积分化为曲面积分时，若曲面为平面化为第一型曲面积分较简单．。

空间曲线积分

空间曲线积分空间曲线积分是向量分析中的一个重要概念，用于描述曲线在三维空间中的积分性质。

它在物理学、工程学和数学等领域中具有广泛的应用。

在本文中，将介绍空间曲线积分的基本定义、计算方法以及一些实际应用。

一、基本定义空间曲线积分是对曲线上的向量场进行积分的一种方式。

设有参数化曲线C，可以用向量函数r(t)表示，其中t为参数。

向量函数r(t)的曲线可写为C:r(t)= (x(t), y(t), z(t))，t∈[a, b]，a和b为参数的起始和终止值。

向量函数r(t)描述了曲线上点的位置。

二、计算方法1. 第一种类型：标量场的空间曲线积分如果曲线积分中的被积函数为标量场，则空间曲线积分的计算方法如下：∫f(x, y, z) ds = ∫f(x(t), y(t), z(t)) |r'(t)| dt其中，f(x, y, z)为被积函数，|r'(t)|为曲线的切向量长度，也可以表示为|r'(t)|= √((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²)。

2. 第二种类型：向量场的空间曲线积分如果曲线积分中的被积函数为向量场，则空间曲线积分的计算方法如下：∫F · ds = ∫F(x(t), y(t), z(t)) · r'(t) dt其中，F(x, y, z)为向量场，F(x(t), y(t), z(t))为曲线上每一点的向量值，·表示向量的点乘运算。

三、实际应用空间曲线积分在物理学和工程学中有广泛的应用。

以下是几个实际应用的例子：1. 力学中的功在力学中，空间曲线积分可以用来计算力在曲线上的做功。

假设物体沿曲线C移动，受到力场F的作用，那么力在曲线上的做功可以表示为∫F · ds。

通过计算力场在曲线上的积分，可以得到物体在移动过程中所做的总功。

2. 电磁学中的感应电动势在电磁学中，当导体运动穿过磁感应线时，会感应出电动势。

空间第二型曲线积分的计算方法

１（狓２２
＋狔２
＋狕２）。
∫ ∫ 所以犐＝狓犱狓＋狔犱狔＋狕犱狕＝
（２，５，６）
狓犱狓＋狔犱狔＋狕犱狕
（１，３，３）
＝
［１２
（狓２
＋狔２
＋狕）］２（２，５，６）（１，３，３）
＝２３。
犔
２．２利用性质化成平面曲线积分
根据第二型曲线积分的性质［５］，如果空间第二型曲线积分的积分曲线的方程中出现狕＝犮（狔＝犮或狕＝犮）（这里犮是常数），这时可将狕＝犮（狔＝犮或狕＝犮）先代入空间曲线积分中去，化成平面第二型曲线积分来计算。当然，在适当的条件下，可以用格林公式计算平面第二型曲线积分。
犔
烆
０
犚（狓，狔，狕）＝犚（狓，狔，－狕）
烄狓２＋狔２＋狕２＝犪２
∮ 例６
计算曲线积分犐＝
（狓２
Γ
＋狔２
＋狕２）犱狓＋ｓｉｎ狔狕２犱狕，其中Γ
的方程为烅烆（狓－
犪）２２
＋狔２
＝
犪２４
，方
向
从
７８
西安航空学院学报
狕轴正向看去位于狓狅狔坐标面上方的部分取逆时针方向，下方的部分取顺时针方向（见图１）。
∮ 解根据命题１，犐＝犪２犱狓＝０。 Γ
３结语
本文主要归纳总结了空间第二型曲线积分的计算方法。首先从直接计算（选参代入）方法入手，然后采用曲线积分与路径无关的条件以及斯托克斯公式来求解空间第二型曲线积分，这样大大增强了计算空间第二型曲线积分的灵活性。最后又归纳总结了空间第二型曲线积分的一些解题技巧。

空间曲线积分与曲面积分的计算方法

空间曲线积分与曲面积分的计算方法空间曲线积分与曲面积分是《数学分析》中的重要内容之一，但由于它计算的复杂性及灵活多变性，使我们在学习时感到很难掌握，缺乏必要而行之有效的方法，因此，本文将给出空间曲线积分与曲面积分的一些典型计算方法，为这部分的学习提供参考．1 空间曲线积分与曲面积分的定义及性质定义1.1[]()1981P 设L 为空间可求长度的曲线段，(),,f x y z 为定义在L 上的函数，对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L ()1,2,,i n =，i L 的弧长记为i s ∆，分割T 的细度为1max i i nT s ≤≤=∆，在i L 上任取一点()(),,1,2,,i i i i n ξης=，若有极限()01lim ,,ni i i i T i f s J ξης→=∆=∑ 且J 的值与分割T 与点(),,i i i ξης的取法无关，则称此极限为(),,f x y z 在L 上的第一型曲线积分，记作()⎰Lds z y x f ,,．第一型曲线积分具有和定积分类似的性质，略．定义1.2[]()2031P 设函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 为定义在空间有向可求长度曲线L ：弧AB 上．对L 的任一分割T ，它把L 分成n 个小曲线段弧i i M M 1-()1,2,,i n =，其中0,n M A M B ==，记各小曲线段弧i i M M 1-的弧长为i s ∆，分割T 的细度为1max i i nT s ≤≤=∆，又设T的分点i M 的坐标为(),,i i i x y z ，并记111,,i i i i i i i i i x x x y y y z z z ---∆=-∆=-∆=-()1,2,,i n =．在每个小曲线段弧i i M M 1-上任取一点(),,i i i ξης()1,2,,i n =，若极限()()()0111lim ,,lim ,,lim ,,nnni i i i i i i i i i i i T T T i i i P x Q y R z ξηςξηςξης→→→===∆+∆+∆∑∑∑存在且与分割T 与点(),,i i i ξης的取法无关，则称此极限为函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 沿有向曲线L 上的第二型曲线积分，记为()()(),,,,,,LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰或 ()()(),,,,,,ABP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰．常简写成LPdx Qdy Rdz ++⎰或⎰++ABRdz Qdy Pdx ．第二型曲线积分具有线性性质和积分区域的可加性．定义1.3[]()2801P 设S 是空间中可求面积的曲面，(),,f x y z 为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块i S ()1,2,,i n =，以i S ∆记小曲面块i S 的面积，分割T 的细度为{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，在i S 上任取一点(),,i i i ξης()1,2,,i n =，若极限()01lim ,,ni i i i T i f s ξης→=∆∑存在，且与分割T 与(),,i i i ξης()1,2,,i n =的取法无关，则称此极限为(),,f x y z 在S 上的第一型曲面积分，记作(),,Sf x y z ds ⎰⎰．第一型曲面积分具有和定积分类似的性质，略．定义1.4[]()2841P 设,,P Q R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块12,,,n S S S ，分割T 的细度为{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，以,,yz zx xy i i i S S S ∆∆∆分别表示i S 在三个坐标面上的投影区域上的面积，它们的符号由i S 的方向来确定，若i S 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面的投影区域面积xyi S ∆为正，反之，若i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时，它在xy 平面的投影区域面积xy i S ∆为负．在各个小曲面块i S 上任取一点()(),,1,2,,i i i i n ξης=，若()()(),0111lim ,lim ,,lim ,,yz zx xy nnni i i i i i i i i i i i T T T i i i P S Q S R S ξηςξηςξης→→→===∆+∆+∆∑∑∑存在，且与曲面S 的分割T 和(),,i i i ξης在i S 上的取法无关，则称此极限为函数,,P Q R 在曲面S 所指定一侧上的第二型曲面积分，记作()()(),,,,,,SP x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰．第二型曲面积分具有线性性质和区域可加性．2 三个重要定理定理2.1（Green 公式）[]()2241P 若函数()()y x Q y x P ,,, 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D L Qdy Pdx d y P x Q σ，这里L 为区域D 的边界曲线，并取正方向．定理 2.2（Gauss 公式）[]()2901P 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成．若函数R Q P ,,在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V SRdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ，其中S 取外侧．定理2.3（Stokes 公式）[]()2921P 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线，若函数P 、Q 、R 在S ()L 连同上连续，且有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S L Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ，其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定．定理3.2'（Stokes 公式）[]()9922P （1）设S 是3R 中的分片光滑曲面，（2）设S 的边界是有限条封闭光滑曲线L ，（3）设函数P 、Q 、R 是在曲面S 及其附近有定义，在S 直到L 上有连续的偏导数，则⎰⎰⎰++∂∂∂∂∂∂=++LS dS R Q P z y x Rdz Qdy Pdx γβαcos cos cos⎰⎰∂∂∂∂∂∂=sRQPz y x dxdy dzdx dydz，其中+S 与+L 呈右手关系（即站在+S 的法线上看，+L 为逆时针方向），αcos ，βcos ，γcos 为+S 的法线方向余弦．3 空间曲线积分的计算方法3.1 对称法对称方法是数学中的一种重要方法，在曲线积分的计算（证明）中注意到被积式与积分区域的对称性，运用对称性质计算，能够起到化繁为简的作用．例1 设L 为对称于坐标轴的光滑闭曲线，证明()()⎰=-+++Ly y dy y xe xy dx e y x0233．证明设L 为正向闭曲线，其包围的区域为D ，由Green 公式得()()⎰-+++Ly y dy y xe xy dx e y x233＝()33Dy x dxdy -⎰⎰＝33DDy dxdy x dxdy -⎰⎰⎰⎰因为L 是对称于坐标轴的光滑曲线，所以区域D 关于坐标轴对称．因为3y 是变量y 的奇函数，从而30Dy dxdy =⎰⎰，同理30Dx dxdy =⎰⎰，所以33D Dy dxdy x dxdy -⎰⎰⎰⎰0=．故()()⎰=-+++Ly y dy y xe xy dx e y x0233．除了上述对称性之外，还可利用轮换对称性．例2 计算积分2Lx ds ⎰，其中02222=++=++z y x a z y x L 与为的交线．解积分曲线L 关于,,x y z 有轮换对称性，因此2Lx ds ⎰=2Ly ds ⎰=2Lz ds ⎰=()22213Lx y z ds ++⎰ 22133L L a a ds ds ==⎰⎰232233a a a ππ==． 3.2 参数法根据积分路径或被积函数的特点选用适当的参数表示，化第二型曲线积分为定积分，有时多采用极坐标，或广义极坐标．例3 计算()⎰++L ds z y x222，其中L 是球面29222=++z y x 与平面1=+z x 的交线．解将L 的两个方程式联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=++129222z x z y x ，消去z ，得141212122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ．令θρθρsin 2,cos 221==-y x ，代入可知1=ρ，从而L 的参数方程为()．πθθθθ20cos 221,sin 2,cos 221≤≤-==+=z y x ()()()θθθθθd d ds 2sin 2cos 2sin 2222=++-=所以()πθπ1822920222=⋅=++⎰⎰d ds z y xL．例4[]()9252P 计算曲线积分Lydx zdy xdz ++⎰．其中L 是曲线0,0,0,1,1222222≥≥≥=+=++z y x c z a x c z b y a x （1）（0,0,0>>>c b a 为常数）从点)0,0,(a 到),0,0(c ．解方法一如图1所示(利用坐标面上的投影椭圆)在式（1）中消去z ，得2222212a x y a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=⎛⎫ ⎪⎝⎭ 这是xy 平面上，以,02a ⎛⎫⎪⎝⎭为中心，以2a 为半轴的椭圆，从而可改写成参数方程cos ,22a a x y θθ=+=，代入1x z a c +=，得cos 22c cz θ=-．因0x y z θπ≥≤≤、、，故0．则Lydx zdy xdz ++⎰θθθθθθθπd ca abc c a b ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=sin 2cos 22cos 2cos 22sin 2sin 2 ⎰⎰⎰+--=20202022sin 2cos 2sin 2πππθθθθθθd ac d bcd ab()c a bac +-=242π．图1方法二（在截平面上引用极坐标）令,,x ax y by z cz ===，则L 变成2221,1x y z x z ++=+=，作旋转变换，令,,22x z x zu y v ω+-===，这时L 变成2221,u v v ω++==，在v =L 是圆周222112u ω+=-=，引用极坐标,u ωθθ==，于是可得L 的参数方程()()()1cos 2221cos 22v ax ax aby bybu c cz czv ωθθωθ+===+=====-=-其余同方法一．方法三（因为曲线上,y z 都可写成x 的函数）令x at=，则()1,z c t y =-=点1t =，终点0t =．于是原积分=1112t t act dt ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 2θt 令=2220cos cos cos sin 2222ac d πθθθθθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ ()224ac c a b++-=π．3.3 Stokes 公式法在空间曲线积分的参数方程不易求得时，用Stokes 公式将第二型曲线积分化为曲面积分，常可使计算简单．例5 求曲线积分⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222，其中L 为球面在第一卦限部分的边界线，从球的外侧看去L 的方向为逆时针方向．解如图2所示不妨设球面在第一卦限部分为S ，其边界为L ，根据右手法则，S 取外法向，由Stokes 公式得⎰⎰+-+-+-=Sdxdy y x dzdx x z dydz z y I )(2)(2)(2．设S 三个坐标平面上的投影区分别为,,yz zx xy D D D ，则()()()222yzzxxyD D D I y z dydz z x dzdx x y =-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰由坐标的轮换对称性，得41212)(62101-=-=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-x D D xdy dx xdxdy dxdy y x I xyxy．图2例6 求⎰++=Lxdz zdy ydx I ，其中L 为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩，且从z 轴正向看去圆周L的方向为逆时针方向．解不妨设S 为平面0x y z ++=上以L 为边界的部分，其法向量为{}11,1,13n =．根据Stokes 公式得{}{}dSdxdy dzdx dydz I SS1,1,1311,1,1⎰⎰⎰⎰⋅---=---=233a dS Sπ-=-=⎰⎰．3.4 曲线积分与路径无关法当曲线积分与路径无关时，选择特殊的路径，例如选平行于坐标轴的直线段或折线段来计算曲线积分，会使计算变得容易．例7 求⎰-+-+-=Ldz xy z dy xz y dx yz xI )()()(222，其中L 是沿螺旋线,cos θa x =()πθπθθ202,sin ≤≤==h z a y 从点(),0,0A a 到(),0,B a h 的有向曲线．解这里()()()222,,,,,,,,P x y z x yz Q x y z y xz R x y z z xy =-=-=-．因为,,R Q P R Q P x y z y z z x x y∂∂∂∂∂∂==-==-==-∂∂∂∂∂∂，所以曲线积分与积分路径无关．分路径为有向线段AB :()h t t z y a x ≤≤===0,0,，则⎰-+-+-=Ldz xy z dy xz y dx yz x I )()()(222⎰-+⋅-+⋅-=ABdt t a )0(0)00(0)0(2230231h dt t h ==⎰．例8 验证：()()22cos sin y y xe dx x e z dy y z dz --+-++-是全微分，并求它的一个原函数．解这里()()()2,,2,,,cos ,,,sin y y P x y z xe Q x y z x e z R x y z y z --==-+=-，则sin ,0,2y R Q P R Q Pz xe y z z x x y-∂∂∂∂∂∂==-====-∂∂∂∂∂∂，所以()()22cos sin y y xe dx x e z dy y z dz --+-++-是全微分．设所求的原函数为()z y x I ,,，点()()()12,0,0,,,0,,,,M x M x y M x y z 取积分路径为折线段12OM M M 得()z y x I ,,()()()()⎰-++-+=--z y x y y dz z y dy z e x dx xe ..0,0,02sin cos 2()()dz z y dy z e x dx xe y y MM M M OM sin cos 2)(22211-++-+++=--⎰⎰⎰()⎰⎰⎰-++-+=-zyvxwdw y dv ex udu 020sin 12z y e x ycos 2+=-．4 曲面积分的计算方法4.1 对称法例9 计算()⎰⎰+Sdydz z yx 22，其中S 为2222R z y x =++的外侧．解设V 为球：2222R z y x ≤++，则由Gauss 公式及对称性，得()⎰⎰+Sdydz z y x 22()⎰⎰⎰+=Vdxdydz z y 22⎰⎰⎰=Vdxdydz z 22()⎰⎰⎰++=Vdxdydz z y x 22232 523983432R R R ππ=⋅⋅=．例10 设()f z 为奇函数，试求积分()()()22;;SSSI f z dS J f z dS K yf z dS ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中S 为锥面22z xy =位于球面2222x y z a ++=内的部分．解如图3所示 22z xy =是以原点为顶点的双叶锥面，对称轴是xy 平面上1、3象限的分角线． S 关于xy 平面上、下对称，在对称点上()f z 的大小相等，符号相反，因此积分()0sI f z dS ==⎰⎰．又由于S 在1、3卦限内的部分与它在7、5卦限内的部分关于原点对称，在对称点上()2yf z 的大小相等，符号相反，所以积分()20SK yf z dS ==⎰⎰．除了上、下对称，原点对称之外，S 还关于y x =平面（前后）对称．在对称点上()z f 2大小相等符号相同，因此()128S J f z dS =⎰⎰，其中1S 表示S 位于第一卦限内夹于0y y x ==与之间的部分．图34.2 直接使用公式法可以选择适当的坐标平面，利用直角坐标方程求解曲面积分，也可利用参数方程把曲面积分化为二重积分求解曲面积分．例11 计算曲面积分⎰⎰+++=Sa z y x dS I 222)(，其中S 为以原点为中心，()0a a >为半径的上半球面．解上半球面ϕθϕθϕcos ,sin sin ,cos cos :a z a y a x S === ，0,022πϕθπ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭因此⎰⎰++++=Saaz z y x dSI 2222220202πϕθπ≤≤≤≤=⎰⎰202aππϕ=⎰22ππ=-(22a π=．例12 计算积分()⎰⎰+=Szds y xI 22，S 是上半球面()02222≥=++z R z y x ，含在柱面Rx y x =+22的内部．解 S :222y x R z --=在xy 平面上的投影D :Rx y x ≤+22，222221yx R R y z x z --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+()⎰⎰--⋅--⋅+=Ddxdy yx R R y x R y x I 22222222()⎰⎰+=Ddxdy y xR22（令θcos r x =，θsin r y =）52244cos 0322323cos 41R d R R dr r d RR πθθθππθππ===⎰⎰⎰--． 4.3 Gauss 公式法利用Gauss 公式将曲面积分化为三重积分，使被积函数简化，从而使计算简单化．例13 试证：若S 为封闭的光滑曲面，l 为任意固定的已知方向，则()⎰⎰=SdS l n 0,cos ，式中n为曲面的外法线向量．证明设),,(1c b a l = 为l 方向的单位向量，1n 是外法线的单位向量：()γβαcos ,cos ,cos 1=n，则()γβαcos cos cos ,cos 11c b a n l l n ++=⋅=．应用Gauss 公式()()⎰⎰⎰⎰++=SsdS c b a dS l n γβαcos cos cos ,cos ⎰⎰++=Scdxdy bdzdx adydz00V Va b c dxdydz dv x y z ⎛⎫∂∂∂=++== ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰．例14 记()ϕθ,r r =为分片光滑封闭曲面S 的球面坐标方程．试证明S 所围的有界区域V 的体积⎰⎰=SdS r V φcos 31，其中φ为曲面S 在动点的外法线方向与向径所成的夹角．证明 ()z y x r ,,=表示动点的径向量，则模222z y x r ++=，()γβαcos ,cos ,cos =n表示S 的外法线单位向量，则γβαφcos cos cos cos rzr y r x n r r ++=⋅=因此()⎰⎰⎰⎰++=S S dS z y x dS r γβαφcos cos cos 31cos 31⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz 31 V dxdydz V==⎰⎰⎰所以原题得证．5 空间曲线积分与曲面积分之间的关系Stokes 公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系．例15 试计算积分()⎰+-+-+-=L dz x y dy z x dx y z I )()(，其中L +是从(),0,0A a 经 ()0,,0B a 到()0,0,C a 回到(),0,0A a 的三角形．解方法一如图4所示+S 表示ABC ∆所围平面块之上侧，则⎰⎰+---∂∂∂∂∂∂=S xy zx yz z y x dxdydzdx dydz I ⎰⎰+++=S dxdy dzdx dydz 2 轮换对称⎰⎰∆=⋅ABCa dxdy 3332．图4方法二 ()().1,1,1,,,0:='''=-++≡z y x F F F a z y x F S ，因此法线方向余弦()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31,31,31cos ,cos ,cos γβα， 23323323cos cos cos a S dS dS xy zx yz z y x I ABC S S=⋅=⋅=---∂∂∂∂∂∂=∆⎰⎰⎰⎰γβα．例16 计算积分⎰+++=L xdz zdy ydx I ，其中+L为圆周0,0,2222=++>=++z y x a a z y x从z 轴正方向看为逆时针方向．解方法一如图5所示（用Stokes 公式化为第一型曲面积分）+S 表示L 所围成的平面圆块（上侧），())1,1,1(,,,0:='''=++≡+z y x F F F z y x F S ，()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31,31,31cos ,cos ,cos γβα，故dS xzyz y x I S ⎰⎰+∂∂∂∂∂∂=313131()⎰⎰+⋅-⋅=S dS 3113 233a dS S π-=-=⎰⎰+．图5方法二（用Stokes 公式化为第二型曲面积分） +S 表示L 所围成的平面圆块（上侧），⎰⎰+∂∂∂∂∂∂=S xzy z y x dxdy dzdx dydz I ⎰⎰+---=S dxdy dzdx dydz轮换对称性⎰⎰⎰⎰∆-=-+dxdy dxdy S 33，其中∆是+S 在xy 平面的投影区域：2222a xy y x ≤++．令2,2ηξηξ+=-=y x ，则121212121=-=J ，(){}2223:,a ≤+=∆'ηξηξ ，故 ππ2233133a a S I -=⋅-=⋅-=∆'．通过上面讨论，总结归纳了一些空间曲线积分与曲面积分的典型计算方法，希望本文对学习《数学分析》的同学提供参考和帮助．。

空间第二类曲线积分计算方法

空间第二类曲线积分计算方法作者：董红昌来源：《课程教育研究》2017年第37期【摘要】研究了空间第二类曲线积分的三种基本计算方法，并通过实例来说明每种方法的具体应用和解题时需注意的问题。

【关键词】第二类曲线积分参数方程斯托克斯公式【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）37-0151-02初学者对平面第二类曲线积分计算掌握比较熟练，对处理空间第二类曲线积分问题往往无从下手。

本文介绍计算空间第二类曲线积分常用的三种方法，并说明具体解题时需注意的问题。

一、参数方程法根据曲线参数方程计算空间第二类曲线积分是参数法计算平面曲线积分情形的推广，也是计算空间第二类曲线积分最常用的方法之一。

参数方程法内容如下：设有向曲线的参数方程为x= （t）y=？鬃（t）z=？棕（t），则 P （x，y，z）dx+Q（x，y，z）dy+R（x，y，z）dz= {P[ （t），？鬃（t），？棕（t）] '（t）+Q[ （t），？鬃（t），？棕（t）]？鬃'（t）+R[ （t），？鬃（t），？棕（t）]？棕'（t）]}dt.其中下限？琢对应的起点，上限？茁对应的终点。

用参数法计算空间第二类曲线积分，关键是写出曲线的参数方程。

高等数学习题和考研题中，第二类曲线积分涉及的空间曲线最常见的是线段和圆两种类型。

下面各举一例说明算法和需要注意问题。

例1 计算 xdx+ydy+（2x+y-z）dz，其中为由A（1，1，1）到B（2，3，4）的直线段。

解直线段AB的方程是 = = ，化为参数方程得：x=t+1，y=2t+1，z=3t+1，t从0变到1.所以 xdx+ydy+（2x+y-z）dz= [（t+1）+（2t+1）·2+（t+2）·3]dt=13.注1 当直线段垂直某个坐标轴时，则直线段对该坐标的第二类曲线积分为零。

例2 计算 xyz d z，其中是由平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得曲线，从z轴正向看去，沿逆时针方向。

空间闭曲线积分的计算公式及其应用

P′y = 2 y , P′z = - 2 z , Q′x = - 2 x , Q′z = 2 z , R′x = 2 x , R′y = - 2 y , z′x = - 1 , z′y = - 1.Γ在 x oy 面上的投影所围区域为 D xy .
由第三格林公式
∮ ( y2 - z2 ) d x + ( z2 - x2 ) d y + ( x2 - y2 ) d z Γ
3 收稿日期 :2007 - 03 - 09 33 基金项目 :河南省自然科学基金项目 (0611056100)
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高等数学研究
2008 年 3 月
∮ κ Pd x + Qd y + Rdz = ± ( R′y - Q′z ) + ( P′z - R′x ) ·( - x′y ) + ( Q′x - P′y ) ·( - x′z ) d ydz
d xd y
=
3 2
D xy
D xy
例 2 Γ为平面 x
+
y+z
=
3 2
截立方体 :0
≤x
≤1 ,0
≤y
≤1 ,0
≤z
≤1 的表面所得的截
痕 ,从 z 轴的正方向看Γ的方向为正 ,求
∮( y2 - z2 ) d x + ( z2 - x2 ) d y + ( x2 - y2 ) d z
Γ
解 P = y2 - z2 , Q = z2 - x2 , R = x2 - y2 , z = 3 - x - y. 2
11 引理 11 1 引理 1[1 ] ( Sto kes 公式) 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线 , ρ 是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面 , Γ的正向与 ρ 的侧符合右手规则 , 函数 P ( x , y , z) , Q ( x , y , z) , R ( x , y , z) 在包含曲面 ρ 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数 , 则有

两类空间曲线积分关系

两类空间曲线积分关系一、引言空间曲线积分是向量分析中的重要概念，它描述了沿着曲线的矢量场的积累效应。

在本文中，我们将讨论两类空间曲线积分关系，即第一类和第二类空间曲线积分关系。

二、第一类空间曲线积分关系第一类空间曲线积分是指沿着曲线对矢量场进行的工作或能量的测量。

它可以用以下公式表示：∫C F · dr其中，F是矢量场，r是曲线C上的参数化向量函数。

这个公式可以被理解为在沿着曲线C移动时对矢量场F所做的功。

三、第二类空间曲线积分关系第二类空间曲线积分是指沿着闭合曲线上对矢量场进行的工作或能量的测量。

它可以用以下公式表示：∮C F · dr其中，F是矢量场，r是闭合曲线C上的参数化向量函数。

这个公式可以被理解为在沿着闭合曲线C移动时对矢量场F所做的功。

四、两种类型之间的联系虽然第一类和第二类空间曲线积分看起来非常不同，但它们之间有一些联系。

特别是，在某些情况下，第一类空间曲线积分可以转化为第二类空间曲线积分。

具体来说，如果曲线C是一个简单闭合曲线，那么第一类空间曲线积分可以转化为第二类空间曲线积分。

这可以通过斯托克斯定理来证明。

斯托克斯定理表明，对于一个向量场F和一个简单闭合曲面S，有以下关系：∫C F · dr = ∫S curl(F) · dS其中curl(F)是F的旋度。

这个公式表明，在某些情况下，第一类空间曲线积分可以通过计算矢量场F的旋度在简单闭合曲面S上的面积来计算。

五、结论在本文中，我们讨论了两种类型的空间曲线积分关系：第一类和第二类。

虽然它们看起来非常不同，但在某些情况下它们之间有联系。

特别是，在某些情况下，第一类空间曲线积分可以转化为第二类空间曲线积分。

这个联系是通过斯托克斯定理得出的。

求曲线、曲面积分的方法与技巧概要

例一．计算曲线积分其中是圆上从原点到的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1：的方程为由由分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2：在弧上取点，的方程为由由的方程为由由分析：解2是选用参变量为利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。

不同的是以为参数时，路径不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。

解3：的参数方程为由由解4：的极坐标方程为因此参数方程为由由分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。

可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解5：添加辅助线段，利用格林公式求解。

因于是而故得分析：在利用格林公式将所求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。

是的正向边界曲线。

解5中添加了辅助线段使曲线为正向封闭曲线。

解6：由于于是此积分与路径无关，故分析：由于在闭区域上应具有一阶连续偏导数，且在内因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在上的积分为在上积分，注意点对应的起点。

一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。

计算空间曲线积分的向量点积法-精选文档

空间曲线积分的“向量点积法”是斯托克斯公式的一种改进的方法。
在计算空间曲线积分时，通常是先利用斯托克斯公式把曲线积分化为曲面积分，再将曲面积分化为二重积分。
而“向量点积法”则是直接将曲线积分化为二重积分，减少了中间环节。
四川大学数学学院
徐小湛
May 2012
11.7 斯托克斯公式 3
空间曲线积分的向量点积法
空间曲线积分的向量点积法rotrotds117斯托克斯公式rotds其中单位法向量教材98页再利用对面积的曲面积分的计算公式教材217页rot117斯托克斯公式pdxqdyrdz以上公式可以写成行列式的形式
11.7 斯托克斯公式 1
空间曲线积分的
向量点积法
四川大学数学学院
徐小湛
May 2012
11.7 斯托克斯公式 2
例1 计算积分
zdxxdyydz

其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个边界, 方向如图所示. z
解: 记三角形域为 , 取上侧
1
z z z 1x y 1 , 1 x y
O
1
zdxxdyydz 由前面的公式

1 y
{ z ,z , 1 } x y 2 2 原式 r o t Α 1 z z d x d y x y 2 2 1 z z D x y
r o t Α { z , z , 1 } d x d y x y
徐小湛四川大学数学学院
D
May 2012

Dxy
1 x y2 z2
1 y z2 x2
1 dxdy z x2 y2

空间曲线弧长积分公式

空间曲线弧长积分公式
空间曲线弧长积分公式：ds=√(dx²+dy²)，在数学中，曲线积分是积分的一种。

积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。

曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。

空间曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分f(x，y)ds。

在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。

积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。

带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。

曲线积分计算公式

曲线积分计算公式曲线积分是微积分中的重要概念，可以用于计算曲线上的一些向量场沿曲线的积分。

在学习曲线积分之前，我们首先需要了解曲线的参数化表示和向量场的概念。

曲线的参数化表示:在平面或者三维空间中，曲线可以通过参数化来表示。

具体来说，如果曲线是平面上的曲线，可以使用以下形式的参数方程来表示：r(t)=(x(t),y(t))其中，t是参数，x(t)和y(t)是关于t的函数。

类似地，如果曲线是三维空间中的曲线，可以使用以下形式的参数方程来表示：r(t)=(x(t),y(t),z(t))向量场的概念：向量场是一个定义在多维空间上的向量函数，它将每个点映射到一个向量。

在曲线积分中，我们通常考虑的是二维空间中的向量场。

一个二维向量场可以表示为：F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))其中，P(x,y)和Q(x,y)是关于x和y的函数。

对于三维空间中的向量场，可以使用类似的方式表示。

曲线积分的计算公式：有两种类型的曲线积分：第一类是沿曲线的标量场积分，第二类是沿曲线的向量场积分。

第一类曲线积分（标量场积分）的计算公式是：∫(r(t)) f(r(t)) ，r'(t)， dt其中，r(t)是曲线的参数化表示，r'(t)是r(t)的导数向量，f(r(t))是定义在曲线上的标量函数。

第二类曲线积分（向量场积分）的计算公式分为两种类型：第一种是切向量场沿曲线的积分，第二种是法向量场沿曲线的积分。

第一种情况下的计算公式是：∫(r(t)) F(r(t)) • T(t) ds其中，r(t)是曲线的参数化表示，F(r(t))是定义在曲线上的向量函数，T(t)是单位切向量。

第二种情况下的计算公式是：∫(r(t)) F(r(t)) • n(t) ds其中，r(t)是曲线的参数化表示，F(r(t))是定义在曲线上的向量函数，n(t)是单位法向量。

在实际应用中，曲线积分的计算可以根据具体情况和曲线的参数化表示选择合适的公式进行计算。