七年级压轴题24题,平行线的探索拐角问题
七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题
题压轴题平行线的拐角问题24 七年级下册第七下平行线，平面直角坐标系压轴题二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（）．DFP）（等量代换）∠+DFP=（∠BHP+∠∴∠HMF=∠BHP的度数；，求∠HMFHP）如图2，若⊥EF（2，试说Q⊥FM于点NHFE交AB于点N，过点作NQFNP3（）如图3，当点与点F 重合时，平分∠．EHF=2∠FNQ明无论点H在何处都有∠是射线H平分∠F，FMEFD，点、相交于点、分别与，直线∥．如图，已知直线14ABCDEFABCDE页（共121/ 1 12第页）题压轴题平行线的拐角问题24七年级下册第EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）．DFP）（等量代换）∠DFP=（∠BHP+∠∴∠HMF=∠BHP+的度数；，求∠HMF⊥）如图2，若HPEF（2，试说于点Q作NQ⊥FM平分∠重合时，FNHFE交AB于点N，过点N）如图（33，当点P与点F．FNQH明无论点在何处都有∠EHF=2∠）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；1【分析】（的度数；HMF，再根据（1）中结论即可得到∠∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°HP （2）先根据⊥EF，ABHFD=2平分∠EFD，即可得出∠FN平分∠HFE，FM，再根据（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∠FNQ+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠NFQ，最后根据∠EHF，其依据为：两直线平行，内错角相等；2=∠41=）由MQ∥CD，得到∠∠3，∠解：【解答】（1，其依据为：角平分线定义．DFP∠1=∠BHP，∠2=平分∠平分∠由FMEFD，HMBHP，得到∠故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．，⊥EFHP2（）如图2，∵，HPE=90°∴∠页（共122/ 2 12第页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．=45°．=×90°HMF=（∠EHP+∠DFP）由（1）得：∠，FMNQ3，∵⊥（3）如图．）=90°（三角形的内角和等于180°NFQ+∠FNQ=180°﹣90°∴∠．FNQ∴∠NFQ=90°﹣∠，EFD，FM平分∠∵FN平分∠HFE，HFD=∠HFE+∠EFD）又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠．NFQHFD=2∠∴∠，CDAB∥又∵，∠HFD=180°∴∠EHF+，∠FNQFNQ）=2﹣2∠NFQ=180°2（90°﹣∠∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣．FNQ∠H在何处都有∠EHF=2即无论点本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的【点评】关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．，连结并延长至点FEAC在直线n上，连结上，点∥mn，点B、F在直线mE、．如图151，直线．∠BAC和CA，使∠AEC=BA；BAC=180°+）求证：∠BFA∠（1相等的角，并加以证明；CAF）请在图1中找出与∠（2，请直接写ADC=α的角平分线交于点M，若∠CBFAF，连结BC交于点D，作∠和∠CEF23（）如图的式子表示）的度数（用含α出∠M3页（共12123 / 第页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题【分析】（1）根据平行线的性质即可得到∠AEC=∠AFM，再根据∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根据∠BFA+∠AFM=180°，可得结论；（2）根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到与∠CAF相等的角；（3）过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，根据平行线的性质，即可得到∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，再根据∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，可得∠CEM+∠FBM=（∠CED+∠FBD），进而得到∠M的度数．【解答】解：（1）如图1，∵直线m∥n，∴∠AEC=∠AFM，∵∠AEC=∠BAC，∴∠AFM=∠BAC，又∵∠BFA+∠AFM=180°，∴∠BFA+∠BAC=180°；（2）与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG．证明：∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，∵m∥n，∴∠ABF=∠ANC，∴与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG；（3）如图2，过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，∵BF∥CE，∴DH∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，4 / 12第4页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题∴∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°﹣∠ADC=180°﹣α，∵∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，，α=90°﹣﹣=（180°α）∴∠CEM+∠FBM=（∠CED+∠FBD），CEBF∥∵MG∥，GMBFBM=∠CEM=∠GME，∠∴∠．﹣αCEM+∠FBM=90°GMB=∴∠BME=∠GME+∠∠本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，解题时注【点评】意：两直线平行，内错角相等．上的点．，CDN分别是AB．已知直线AB∥CD，M，16内一点．CD是AB，（1）若E之间的数量关系，并证明．MENDNE，∠，∠①如图甲所示，请写出∠BME的数量关系．与∠MENF2=∠DNE，请利用①的结论探究∠∠②如图乙所示，若∠1=BME，∠外一点．，CD）若E是AB（2之间的数量关系．E，∠END，∠EMB①如图丙所示，请直接写出∠，请在图中画出点∠EMGN=，在射线MP上找一点G，使得∠BMP=②如图丁所示，已知∠∠EMB的值．：∠GNDG的大致位置，并求∠ENG，构造内错角，依据两直线平行，同旁内角互补进行推导，即可得到∥ABE（1）①过作EF【分析】5页（共12125 / 第页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②过F作FG∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠MFN=∠1+∠2，再结合①的结论，即可得出3∠MFN+∠MEN=360°；（2）①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行推导计算，即可得到∠DNE，∠E=4β可得∠EMQ=3α，EMB，∠G=∠E，∠﹣∠BME=MEN；②设∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠，β∠1=α+，根据三角形外角性质以及平行线的性质，得到∠8字形结构得到∠GNQ=3α+3βGND=根据的值．GND据此可得∠ENG：∠．MEN=360°DNE+∠（1）①∠BME+∠【解答】解：，AB作EF∥证明：如图甲，过E，CDAB∥∵，CDEF∥∴，FEN=180°+∠∠FEM=180°，∠DNE∴∠BME+，180°=360°+∠FEN=180°++∴∠BME∠FEM+∠DNE．∠MEN=360°∠DNE+BME即∠+，∥ABF作FG②如图乙，过，CD∵AB∥，CD∴FG∥，NFG2=∠∠∴∠1=MFG，∠，2+∠∴∠MFN=∠1，∠DNE∠BME，∠2=又∵∠1=，2DNE=31，∠∠∴∠BME=3∠，MEN=360°+∠∠又∵∠BME+DNE，MEN=360°∠∠2+33∴∠1+；∠MEN=360°+即3∠MFN12第6页（共6 / 12页）24七年级下册第题压轴题平行线的拐角问题．∠MEN之间的数量关系为：∠DNE﹣∠BME=（2）①∠EMB，∠END，∠E，∥AB理由如下：如图丙，过E作EF，∥CD∵AB，∥CD∴EF，∠FEMFEN，∠BME=∴∠DNE=∠，∠MENFEN﹣∠FEM=又∵∠；MENBME=DNE﹣∠∠∴∠的大致位置如图丁所示：G②点，G=β，设∠GMB=α，∠NG与AB交于点F，设MG与NE交于点Q，E=4βEMQ=3α，∠，∠EMBG=∠E，可得∠由∠BMP=∠，GQNEQM=∠∵∠，GNQ+∠∠EMQ=∠G∴∠E+，+3β+3α﹣β=3α+即∠GNQ=∠E∠EMQ﹣∠G=4β的外角，是△GFM∵∠1，+α+∠GMF=β∴∠1=∠G，CD∥又∵AB，β∠1=α+∴∠GND=+β）=3）：（α．（∴∠ENG：∠GND=3α+3β【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质的运用，过拐点作平行线，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解决问题的关键．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED=70°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；7 / 12第7页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．【分析】（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得∠D=∠AHE=40°，再根据∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°；（2）依据AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角，即可得到∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）设∠EAI=α，则∠BAE=3α，进而得出∠EDK=α﹣2°，依据∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，可得3α=22°+2α﹣4°，求得∠EDK=16°，即可得出∠EKD的度数．【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D=∠AHE=40°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°，故答案为：70；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．理由：∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）∵∠EAI：∠BAI=1：2，∴设∠EAI=α，则∠BAE=3α，∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，8 / 12第8页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，∴∠EDK=α﹣2°，∵DI平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，即3α=22°+2α﹣4°，解得α=18°，∴∠EDK=16°，∴在△DKE中，∠EKD=180°﹣16°﹣22°=142°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少9 / 12第9页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题度时，∠GDC=∠ADH．【分析】（1）依据AC平分∠DAB，∠1=∠2，即可得到∠2=∠BAC，进而判定CD ∥AB．（2）当∠ADC=120°时，∠1=∠2=30°，依据∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F=∠2=30°．（3）依据DH∥BC，AC⊥BC，可得DH⊥AC，进而得到∠ADH=∠CDH，据此可得当∠GDC=∠ADH时，∠CDG=∠CDH=∠ADH，即可得到∠CDH=×180°=60°．【解答】解：（1）如图，∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠BAC，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠BAC，∴CD∥AB．（2）当∠ADC=120°时，∠1=∠2=30°，∵点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，∴∠2是△CEF的外角，∴∠E+∠F=∠2=30°．（3）∵DH∥BC，AC⊥BC，∴DH⊥AC，又∵∠1=∠2，∴∠ADH=∠CDH，∴当∠GDC=∠ADH时，∠CDG=∠CDH=∠ADH，∴∠CDH=×180°=60°．故当∠CDH为60度时，∠GDC=∠ADH．【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质的运用，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．即内错角相等，两直线平行．10 / 12第10页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E，1第二次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E，211第三次操作，分别作∠ABE和∠DCE 的平分线，交点为E，…，322第n次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E．n11nn﹣﹣（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BEC=∠BEC；2（3）猜想：若∠E=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．n【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E，运用（1）中的结论，得出∠CEB=∠ABE+∠DCE=1111∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BEC=∠ABE+∠DCE=∠ABE+∠DCE=∠CEB=∠BEC；112122（3）根据∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E，得出∠BEC=∠BEC；…据此得到规律∠E=∠n3232的度数．BECBEC，最后求得∠，ABEF∥（解：1）如图①，过E作【解答】，CDAB∥∵，∥CD∴AB∥EF，∠21，∠C=∴∠B=∠，21+∠∵∠BEC=∠；∠+DCE∴∠BEC=∠ABE（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E，1∴由（1）可得，11 / 12第11页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题；BECDCE=∠=∠ABE+∠B=∠CE∠ABE+∠DCE111，EDCE的平分线交点为∵∠ABE 和∠211）可得，∴由（1；∠BEC∠CEB==DCE∠ABE+∠DCE=C=∠BE∠ABE+∠112122，E和∠DCE的平分线，交点为（3）如图2，∵∠ABE322；∠BEC∠CEB===ABE+∠DCE∠ABE+∠DCEC=∴∠BE∠223323…，BECE=∠以此类推，∠nn度．α度时，∠BEC等于2=α∴当∠E n本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决【点评】问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．第12页（共1212 / 12页）。
平行线中的拐点(拐角)问题
专题一平行线中的拐点问题【学习目标】1.复习巩固平行线的性质和判定，找到解决平行线间拐点问题的基本方法，学会运用平行线转移角，建立分散的角之间的练习，提高几何推理能力。
2.在探究的过程中，体会观察-猜想-实验-证明的探究过程，初步体会添加辅助线的目的。
【学习过程】一、复习填空.平行线的判定：①_____________________________________________.②_____________________________________________.③_____________________________________________.④_____________________________________________.平行线的定理：①_____________________________________________.②_____________________________________________.③_____________________________________________.二、探究新知假设，两根木杆AB与CD平行放置，木杆的两端B、D用一根橡皮筋连接，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P向里压：例1.如图，在平行线AB，CD内任取一点P，连接DP，BP.（1）若∠ABP=45°，∠CDP=15°则∠BPD=__________.（2）若∠BPD=50°，∠CDP=10°则∠ABP=__________.（3）试猜想∠BPD与∠ABP、∠CDP之间的数量关系，并说明理由.变式练习：1.如图，直线AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，则∠1的度数是__________. 2.如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1的度数是_____________.（1）（2）拓展提升：如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．（2）如果将折一次改为折三次，如图3，则∠BEO、∠O、∠P、∠Q、∠QFD之间会满足怎样的数量关系（直接写出结果不需证明）假设，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P水平向外拉：例2.如图，在平行线段AB、CD外取一点P，连接BP，DP，刚才的结论还成立吗？若不成立，你又有新的发现吗？变式练习：1.某小区地下停车场入口门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=110°，则∠ABC=__________.2.如图，如果a∥b，∠1=55°，∠2=130°，则∠3=___________.（1）（2）拓展提升：已知：如图，AB∥CD，试解决下列问题：（1）∠1+∠2＝；（2）∠1+∠2+∠3＝；（3）∠1+∠2+∠3+∠4＝_；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．假设，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P斜上右上方拉或者斜上左上方拉：例3.如图①②，在平行线AB、CD外取一点P，连接BP，DP，这时∠ABP，∠CDP，∠BPC之间又有怎样的数量关系呢？变式训练：1.如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为__________.2.如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝100°，∠CDE＝15°，则∠DEF的度数是___________.3.如图，已知直线a∥b，则∠1、∠2、∠3的关系是______________.（1）（2）（3）三、课后练习1.如图，直线l2∥12，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝．2.如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为．3.如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝140°．则∠BFD的度数为____________．（1）（2）（3）4.如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为．5.直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，则∠1+∠2=____________.（4）（5）6.如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝75°．求∠BFD的度数．7.如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B＝110°，第二次拐角∠C＝150°，为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数为__________.8．如图，AB∥EF，BC⊥CD于C，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，则∠CDE等于（）A．105°B．75°C．135°D．115°9．如图所示，两平面镜α、β的夹角为60°，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的反射光线O′B平行于α，则∠1的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．75°10．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°．若∠1+∠B＝70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°（8）（9）（10）11．阅读第（1）题解题过程，解答第（2）题．（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间的一点，已知∠B＝40°，∠C＝30°，求∠BEC的度数．解：过点E作EM∥AB，∴∠B＝（）．∵AB∥CD，AB∥EM，∴EM∥（）．∴∠2＝（）．∴∠BEC＝∠1+∠2＝∠B+∠C＝40°+30°＝70°．（2）如图2，AB∥ED，试探究∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系．。
专题 平行线间的拐点问题(解析版)--七年级数学下册
专题01平行线间的拐点问题类型一：“猪蹄”模型类型二：“铅笔”模型类型三：“鹰嘴”模型平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。
一．选择题1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】过B作BK∥m，推出BK∥n，由平行线的性质得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故选：B．2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．40°【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．【解答】解：延长AB交直线n于点D，∵m∥n，∠1＝50°，∴∠1＝∠BDC＝50°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，故选：D．3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（）A．62°B．58°C．52°D．48°【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解．【解答】解：过点E作直线HI∥AB．∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，∴CD∥HI，∴∠HEF＝∠EFD＝32°，∵GE⊥EF于点E，∴∠GEF＝90°，∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，∵AB∥HI，∴∠BGE＝∠GEH＝58°．故选：B．4．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED 与∠BFD的关系．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故选：C．5．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．【解答】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故选：D．6．（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（）A．120°B．130°C．140°D．150°【分析】过A作AB∥l1，得到AB∥l2，推出∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，即可求出∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．【解答】解：过A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l2，∴∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，∴∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．故选：D．二．填空题7．（2023•江油市开学）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝30°．【分析】过P作PQ∥AB，得到PQ∥CD，推出∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，求出∠BPQ＝∠BPC ﹣∠CPQ＝30°，即可得到∠1的度数．．【解答】解：过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，∵∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝58°﹣28°＝30°，∴∠1＝30°．故答案为：30°．8．（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，点F在射线BA上，且∠EDF＝125°，则∠DFB的度数为20°．【分析】过F作FM∥DE，推出FM∥BC，得到∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，求出∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，即可得到∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．【解答】解：过F作FM∥DE，∵DE∥BC，∴FM∥BC，∴∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，∵∠ABC＝105°，∠EDF＝125°，∴∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，∴∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．故答案为：20°．9．（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝35°．【分析】过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用平行线的性质求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，进而可求解．【解答】解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，故答案为：35°．10．（2022秋•雅安期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝100°．【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝60°，即可得到∠E的度数．【解答】解：如图，过F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴FH∥AB∥CD，∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，即∠E+2∠BFC＝180°，①又∵∠E﹣∠BFC＝60°，∴∠BFC＝∠E﹣60°，②∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣60°）＝180°，解得∠E＝100°，故答案为：100°．11．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，则∠G＝88°°．【分析】过点G，F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，根据平行线的传递性得出AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；【解答】解：过点G、F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，∴∠BNN＝∠1，∠NMD＝∠4，∵BM平分∠ABG，MD平分∠CDE，∴，∵∠BMD＝45°，∴2∠1+2∠3＝90°，∴∠5＝2∠1，∠10＝2∠3，∠6＝∠7，∠8＝∠9，∴∠GFE＝∠7+∠8＝∠6+∠9＝64°，∠FED＝∠9+∠D＝∠9+2∠3＝66°，∴2∠3﹣∠6＝2°，∴2∠1+∠6＝90°﹣2°＝88°，∴∠BGF＝∠5+∠6＝2∠1+∠6＝88°．故答案为：88°．三．解答题12．（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．（1）求证：MN∥PQ；（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．【分析】（1）过C作CS∥MN，由已知可以得到PQ∥CS，从而得到MN∥PQ；（2）连接DC并延长交AE于点F，由已知可以得到∠DAC＝∠NAC，再由∠EAD＝∠EAC+∠CAD及平角的意义可以得到解答．【解答】（1）证明：过C作CS∥MN，如图，∵CS∥MN，∴∠NAC＝∠ACS，∵∠ACB＝∠ACS+∠BCS＝∠NAC+∠CBQ，∴∠BCS＝∠CBQ，∴PQ∥CS，∴MN∥PQ；（2）解：如图，连接DC并延长交AE于点F，则：∠ACF＝∠DAC+∠ADC，∠BCF＝∠DBC+∠BDC，∴∠ACB＝∠DAC+∠DBC+∠ADB＝2∠ADB，∴∠ADB＝∠DAC+∠DBC，∴2∠ADB＝2∠DAC+2∠DBC＝2∠DAC+∠QBC，又∠ACB＝∠NAC+∠CBQ＝2∠ADB．∴∠NAC+∠CBQ＝2∠DAC+∠QBC，即∠NAC＝2∠DAC，∴∠DAC＝∠NAC，∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠MAC+∠NAC＝（∠MAC+∠NAC）＝90°．13．（2022秋•莘县期末）综合与实践如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F．（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是∠PFD+∠AEM＝90°；（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算．【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，则∠AEM＝∠HPM，∵AB∥CD，PH∥AB，∴PH∥CD，∴∠PFD＝∠HPN，∵∠MPN＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝90°，故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD−∠AEM＝90°；理由如下：如图②，∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHN＝180°，∵∠BHN＝∠PHE，∴∠PFD+∠PHE＝180°，∵∠P＝90°，∴∠PHE+∠PEB＝90°，∵∠PEB＝∠AEM，∴∠PHE+∠AEM＝90°，∴∠PFD−∠AEM＝90°；（3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，∴∠PHE＝∠P−∠PEB＝90°−15°＝75°，∴∠BHF＝∠PHE＝75°，∵AB∥CD，∴∠DFH+∠BHF＝180°，∴∠DFH＝180°−∠BHF＝105°，∴∠OFN＝∠DFH＝105°，∵∠DON＝20°，∴∠N＝180°−∠DON−∠OFN＝55°．14．（2022秋•洛宁县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP ＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】（1）解：∠CPD＝∠α+∠β，理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β．15．（2023春•鼎城区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数；问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度数．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠APQ＝60°，∠CPQ＝50°，最后可以求出∠APC＝110°；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC＝∠A﹣∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，先证∠BEF＝∠PQB＝110°、∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，根据∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH可得答案．【解答】解：（1）∠A+∠C+∠APC＝360°如图1所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，∵∠A＝120°，∴∠APQ＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∵∠C＝130°，∴∠CPQ＝180°﹣∠C＝180°﹣130°＝50°，∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝60°+50°＝110°；（2）∠APC＝∠A﹣∠C，理由如下：如图2，作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，∴∠APC＝∠A﹣∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，∵∠APC＝20°，∠PAB＝150°，∴∠PCD＝130°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝130°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝130°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH＝∠FEG﹣∠BEG＝∠BEF＝65°．16．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP．（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP，∠DCP，∠APC的数量关系；（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求证：AC∥EF；（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK与CK交点K，连接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大小．【分析】（1）过P作PN∥AB，根据平行线的传递性得出PN∥CD，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；（2）过点Q作QN∥AC，证出∠PHQ＝∠2，根据平行线的传递性即可证明；（3）根据三角形内角和即可算出∠1＝21°，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出∠PQH＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，结合（2）即可解出∠5＝18°，过K作KM∥AC，证出∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3，根据平行线性质得出∠EGA＝∠EHC，即可得∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，即可求解；【解答】解：（1）过P作PN∥AB，∴∠BAP＝∠1，∵AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠DCP＝∠2，∴∠APC＝∠1+∠2＝∠BAP+∠DCP；（2）过点Q作QN∥AC，∴∠ACP＝∠1，∵∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，∠1+∠2＝∠CQH，∴∠PHQ＝∠2，∴QN∥EF，∴AC∥EF；（3）∵CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠AKC+∠KAC＝159°，∵∠1＝180°﹣159°＝21°，∴∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，由（2）知∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，即42°+∠5＝180°﹣∠PQH，∴180°﹣42°﹣∠5＝84°+2∠5，∴∠5＝18°，过K作KM∥AC，∵AC∥EF，∴KM∥AC∥EF，∴∠CKM＝∠1，∠GKM＝∠3．∴∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3．∵AB∥CD，∠CKG＝∠CHQ，∴∠EGA＝∠EHC，即2∠3＝∠5+∠CHQ＝∠5+∠CKG＝∠5+∠3+21°，∴∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，∵AC∥EF，∴∠BAC＝∠EGA＝2∠3＝78°．17．（2023秋•道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．【分析】（1）过点P作PF∥AB，推出∠PEC＝∠EPF，进而得PF∥CD，根据平行公理的推论即可得证；（2）分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，推出∠PEM＝∠FPE，进而得PF∥EM，根据平行公理的推论即可得证；（3）过点E作EN∥AB，根据（1）（2）的思路证∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，设∠EHD＝α，∠PBG ＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，结合角平分线的定义及（2）的条件得2β+2γ＝90°+α，接着分别用含α的式子代替β和γ，代入2β+2γ＝90°+α求出α的值即可．【解答】解：（1）证明：过点P作PF∥AB，∴∠B＝∠BPF，∵∠B+∠PEC＝∠BPE＝∠BPF+∠EPF，∴∠PEC＝∠EPF，∴PF∥CD，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，∴∠ABP＝∠BPF，∠MEH＝∠EHD，∵∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，即∠ABP+∠PEM+∠MEH＝∠BPF+∠FPE+∠EHD，∴∠PEM＝∠FPE，∴PF∥EM，∴EM∥AB，∴AB∥CD；（3）如图3，过点E作EN∥AB，由（2）得AB∥CD，∴EN∥CD，∠BFE＝∠FEN，∠NEH＝∠EHD，∴∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，设∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，∵BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，∴∠ABP＝2β，∠PEH＝2γ，∵BP⊥PE，∴∠P＝90°，由（2）得∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，∴2β+2γ＝90°+α，∵∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，∴γ＝α+10°+α＝2α+10°，∵∠BGE＝36°，∠FGB＝180°﹣（∠BFG+∠FBG），∠FGB＝180°﹣∠BGE，∴∠BFG+∠FBG＝∠BGE＝36°，∴α+10°+β＝36°，∴β＝26°﹣α，∴2（26°﹣α）+2（2α+10°）＝90°+α，∴α＝18°．18．（2023秋•南岗区校级期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥/EC交CF于点D，作AB∥/CF交CE于点B．（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ADF；（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MPA+∠PQF的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，即可得出结论；（2）过点A作AG平分∠BAD，由角平分线定义得出∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，证出∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，得出BM∥AG，DN∥AG，即可得出结论；（3）设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，得出∠BAD＝100°，∠BAQ＝100°+x，由平行线的性质得出∠BAC＝∠GCA＝50°+x，求出∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，由平行线的性质得出∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB ＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，求出∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+8°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD∥EC，AB∥CF，∴∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，∴∠ABE＝∠ADF；（2）证明：过点A作AG平分∠BAD，如图2所示：则∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∵射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，∴∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，∵∠ABE＝∠ADF＝∠BAD，∴∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，∴BM∥AG，DN∥AG，∴BM∥DN；（3）解：∵AQ平分∠GAD，∴∠GAQ＝∠QAD，设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，∴∠BAD＝100°，∴∠BAQ＝100°+x，∵AB∥CF，∴∠BAC＝∠GCA＝50°+x，∵∠BAP+∠BAQ＝180°，∴∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，如图3所示：∵AD∥EC，∴∠BAD＝∠ABE＝100°，∠ABM＝∠ABE＝50°，∴∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，∴∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+80°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，∴∠MPA+∠PQF＝130°﹣x+100°+x＝230°．19．（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．【分析】（1）过点E作EH∥AB，证明∠A＝∠AEF，再根据已知条件证明∠D＝∠DEF，从而证明EF ∥CD，最后根据平行公理的推论证明结论即可；（2）先根据平行线的性质证明∠A＝∠EHG，再根据外角性质证明∠A＝∠D+∠AED，通过变换得出结论即可；（3）设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，把∠BAI和∠EAB都用x表示出来，然后根据已知条件，找出角与角之间的关系，最后得出∠CHE＝∠CDE+∠AED，列出关于x的方程，求出x，最后根据∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I，求出答案即可．【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EH∥AB，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠EHG，∵∠EHG＝∠D+∠AED，∴∠A＝∠D+∠AED，∴∠A﹣∠D＝∠AED；（3）解：设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，则∠BAI＝，，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAB＝，∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，∴x+25°＝∠EDI+25°，∴∠EDI＝x，∵∠EDI＝∠CDE，∴∠CDI＝，∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，∴，解得：x＝60°，∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I＝180°﹣60°﹣25°＝95°．20．（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED 的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；解：过点E作EF∥AB∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）；∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）；∴∠CDE＝（∠DEF）（两直线平行，内错角相等）；又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（角的和与差）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（等量代换）；∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）；【问题迁移】：请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．（1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由；（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC 之间满足的数量关系．【分析】问题解决：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；∠DEF；两直线平行，内错角相等；角的和与差；等量代换；问题迁移：（1）∠APC＝a+β，理由见解析；（2）∠APC＝α﹣β或∠APC＝β﹣α【分析】问题解决：根据过程填写依据即可；问题迁移：（1）过点P作PQ∥AB，可证∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ+∠CPQ 即可求解；（2）①当P在BN上时，过点P作PQ∥AB，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC ＝∠CPQ﹣∠APQ，即可求解；②当P在OD上时，过点P作PQ∥CD，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，即可求解．【解答】问题解决：解：过点E作EF∥AB，∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（角的和与差），∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（等量代换），∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知），∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换），问题迁移：（1）解：∠APC＝a+β，理由：过点P作PQ∥AB，∴∠APQ＝∠BAP（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠CPQ＝∠DCP（两直线平行，内错角相等），又∵∠APC＝∠APQ+∠CPQ（角的和与差），∴∠APC＝∠BAP+∠DCP（等量代换），∵∠BAP＝α，∠DCP＝β（已知），∴∠APC＝α+β（等量代换），（2）如图所示：解：①如图，当P在BN上时，∠APC＝β﹣α，理由：过点P作PQ∥AB，由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，∴∠APC＝∠DCP﹣∠BAP，∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，∴∠APC＝β﹣α；②如图，当P在OD上时，∠APC＝α﹣β，理由：过点P作PQ∥CD，由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，∴∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，∴∠APC＝α﹣β．。
七年级平行线中的求角度问题技巧
七年级平行线中的求角度问题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平行线中的求角度问题是中学几何学习中的重要内容，也是学生们较为关注的难点之一。
在七年级阶段，学生们开始接触平行线及其相关概念，如同位角、内错角、同旁内角等。
要想顺利解决平行线中的求角度问题，首先需要掌握基本的平行线性质，然后灵活运用各种角度间的关系和性质，通过观察图形，巧妙运用角度规律，逐步深入解决问题。
下面将介绍七年级平行线中求角度问题的解题技巧。
一、掌握基本的平行线性质在解决平行线中的求角度问题时，首先要明确以下几条基本平行线性质：1. 同位角相等：同位角是指两条直线被一条截线分成的相对的对应角，它们的大小相等。
掌握以上几条基本的平行线性质，可以快速推导出很多角度之间的关系，为解题提供便利。
二、观察图形，找到已知信息在解决平行线中的求角度问题时，要先仔细观察图形，寻找已知信息，明确题目要求。
有时候，题目中已经给出了一些角度的大小或者角度之间的关系，这些信息是解题的关键。
只有先了解已知信息，才能有针对性地解题。
三、灵活运用角度间的关系和性质在解决平行线中的求角度问题时，要灵活运用各种角度间的关系和性质，例如同位角、内错角、同旁内角等，根据题目条件构建方程，推导出未知角度的大小。
要注意在运用角度性质时，要保持逻辑清晰，不要遗漏任何可能的角度关系。
四、根据题目要求作答，注意单位问题在解决平行线中的求角度问题后，要根据题目要求给出最终的答案。
要注意单位问题，有时题目要求给出的是度数或者比例关系，要保持统一单位，并注意标注解题过程，使得解答清晰易懂。
五、多练习，巩固技巧要通过大量的练习来巩固求角度的解题技巧，熟练掌握平行线中的角度性质，不断提高解题能力。
通过反复练习，逐渐提高解题的速度和准确性，达到熟练运用平行线角度性质的目的。
第二篇示例：平行线是几何学中常见的概念，指在同一个平面上，不相交且方向相同的两条直线。
对于七年级的学生来说，理解和运用平行线的性质非常重要，尤其是在求解求角度问题时。
七年级数学下册平行线中的“拐点”问题专题练习
七年级数学下册平行线中的“拐点”问题专题练习模型1M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．拓展平行线间有多个拐点2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？拓展平行线间有多个拐点3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NA n，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A n＝度．小专题(二)利用平行线的性质求角的度数类型1直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( ) A．52°B．54°C．64°D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是( )A．20°B．25°C．30°D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．类型2借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( ) A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是．类型4抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB 平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC ＝∠ODE.则∠DEB的度数是度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是．小专题(三)平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝．∵DF∥CA，∴∠A＝．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD( )，∴∠C＝．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝(垂直的定义)．②所以(同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝(两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°( )，⑤所以∠1＝∠3( )．⑥所以AB∥DG( )．⑦所以∠GDC＝∠B( )．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD∥BC.4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF与AB的位置关系吗？请说明理由．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．参考答案：小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．【解答】∠BED＝∠B＋∠D.理由：过点E作EF∥AB，则EF∥CD.∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF.∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D.变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D.(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.拓展平行线间有多个拐点2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.理由：过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD.∴∠BEM＝∠B，∠MEF＝∠EFN，∠NFG＝∠FGH，∠HGD＝∠D.∴∠BEF＋∠FGD＝∠BEM＋∠MEF＋∠FGH＋∠HGD＝∠B＋∠EFN＋∠NFG＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)在图2中，有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠E n＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠F n－1＋∠D.如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？【解答】∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由：过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°.∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.拓展平行线间有多个拐点3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝180度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝360度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NA n，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A n＝180(n－1)度．解：每增加一个角，度数增加180°.小专题(二)利用平行线的性质求角的度数类型1直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( C ) A．52°B．54°C．64°D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是( D )A．20°B．25°C．30°D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝130°．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．∴∠BAC＋∠AGD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BAC＝80°，∴∠AGD＝100°.类型2借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( D ) A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( B )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是65°．类型4抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB 平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC ＝∠ODE.则∠DEB的度数是76度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是90°．小专题(三)平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝∠BFD(两直线平行，内错角相等)．∵DF∥CA，∴∠A＝∠BFD(两直线平行，同位角相等)．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD(对顶角相等)，∴∠C＝∠D．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝90°(垂直的定义)．②所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°(已知)，⑤所以∠1＝∠3(同角的补角相等)．⑥所以AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．⑦所以∠GDC＝∠B(两直线平行，同位角相等)．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.证明：∵DF∥AB(已知)，∴∠D＝∠BHM(两直线平行，同位角相等)．又∵∠B＝75°，∠D＝105°(已知)，∴∠B＋∠BHM＝75°＋105°＝180°.∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠AME＝∠AGC(两直线平行，同位角相等)．3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD∥BC.证明：∵AE平分∠BAD(已知)，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵AB∥CD(已知)，∴∠1＝∠CFE(两直线平行，同位角相等)．又∵∠1＝∠2(已证)，∠CFE＝∠E(已知)，∴∠2＝∠E(等量代换)．∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF与AB的位置关系吗？请说明理由．解：DF∥AB.理由：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵∠E＝∠1(已知)，∴∠E＝∠2(等量代换)．∴AE∥BC(内错角相等，两直线平行)．∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠3＋∠ABC＝180°(已知)，∴∠A＝∠3(等量代换)．∴DF∥AB(同位角相等，两直线平行)．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD(已知)，∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2(角平分线的性质)．∴∠BAC＋∠ACD＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)．∵∠1＋∠2＝90°(已知)，∴∠BAC＋∠ACD＝180°.∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠D＝180°－∠B(等式的性质)．∵AB⊥BD(已知)，∴∠B＝90°(垂直的定义)．∴∠D＝90°，即CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠2＝∠GED，∠DEF＝∠EFG＝55°(两直线平行，内错角相等)．由折叠，知∠GEF＝∠DEF＝55°.∴∠GED＝110°.∴∠2＝110°.∴∠1＝180°－∠2＝70°(两直线平行，同旁内角互补)．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．解：(1)证明：∵BC∥GE，∴∠E＝∠1＝50°.∵∠AFG＝∠1＝50°，∴∠E＝∠AFG＝50°.∴AF∥DE.(2)过点A作AP∥GE，∵BC∥GE，∴AP∥GE∥BC.∴∠FAP＝∠AFG＝50°，∠PAQ＝∠Q＝15°.∴∠FAQ＝∠FAP＋∠PAQ＝65°.∵AQ平分∠FAC，∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°.∴∠CAP＝80°.∴∠ACQ＝180°－∠CAP＝100°.。
七年级数学下册平行线中 “拐点”问题专题培优训练 含解析
平行线中“拐点”问题专题培优训练一．选择题1．如图，直线AB∥CD，AE⊥CE，∠1＝125°，则∠C等于（）A．35°B．45°C．50°D．55°2．如图，BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，则∠C的度数是（）A．10°B．35°C．70°D．80°3．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（）A．α，β的角度数之和为定值B．α，β的角度数之积为定值C．β随α增大而增大D．β随α增大而减小4．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．30°5．已知，如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（）A．∠α+∠β+∠γ＝360°B．∠α﹣∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β﹣∠γ＝180°D．∠α+∠β+∠γ＝180°二．填空题6．如图，a∥b，∠2＝95°，∠3＝150°，则∠1的度数是．7．如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数是．8．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝度．9．如图，AB∥CD，∠A＝75°，∠C＝30°，∠E的度数为．10．如图，AB∥CD，∠A＝20°，∠CDP＝145°，则∠P＝°．11．如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，则∠AEC ＝度．三．解答题12．看图填空：如图，已知AB∥CD，∠ABE＝130°，∠CDE＝152°，求∠BED的度数．解：过E点作EF∥CD∴∠CDE+＝180°∴∠DEF＝又∵AB∥CD，∴EF∥∴∠ABE+＝180°，∴∠BEF＝∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝．13．如图，已知直线AB∥CD，∠ABE＝60°，∠CDE＝20°，求∠BED的度数．14．如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于F．（1）如图1，若∠E＝80°，求∠BFD的度数．（2）如图2：若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论．15．先阅读下面的解题过程，再解答问题：如图①，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝30°，求∠BED的度数．解：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，因为EF∥AB，所以∠1＝∠B＝40°又因为CD∥EF，所以∠2＝∠D＝30°所以∠BED＝∠1+∠2＝40°+30°＝70°．如图②是小军设计的智力拼图玩具的一部分，现在小军遇到两个问题，请你帮他解决：（1）如图②∠B＝45°，∠BED＝75°，为了保证AB∥CD，∠D必须是多少度？请写出理由．（2）如图②，当∠G、∠GFP、∠P满足什么关系时，GH∥PQ，请直接写出满足关系的式子，并在如图②中画出需要添加的辅助线．16．如图（1）所示，AB∥CD，根据平行线的性质可知内错角∠B与∠C相等，观察图（2），（3）与（4），回答下列问题．①如图（2）所示，AB∥CD，试问∠E+∠C与∠B+∠F哪个大？请说明理由；②如图（3）所示，AB∥CD，试问∠E+∠G+∠C与∠B+∠H+∠F哪个大？（直接写出答案，不必说明理由）③根据第①，②小题的结论，在图（4）中，若AB∥CD，你又能得到什么结论？17．如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K．（1）求∠EKF的度数；（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．（3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数．参考答案一．选择题1．解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．∵EF∥AB，∴∠BAE＝∠AEF．∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF．∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，即∠AEF+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠C＝90°．∵∠1＝125°，∠1+∠BAE＝180°，∴∠BAE＝180°﹣125°＝55°，∴∠C＝90°﹣55°＝35°．故选：A．2．解：过点C作FC∥AB，∵BA∥DE，∴BA∥DE∥FC，∴∠B＝∠BCF，∠D＝∠DCF，∵∠B＝30°，∠D＝40°，∴∠BCF＝30°，∠DCF＝40°，∴∠BCD＝70°，故选：C．3．解：过C点作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠α＝∠BCF，∠β+∠DCF＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCF+∠DCF＝90°，∴∠α+180°﹣∠β＝90°，∴∠β﹣∠α＝90°，∴β随α增大而增大，故选：C．4．解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OM∥PN∥CD，∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，∴∠4＝50°．故选：B．5．解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD．∵EF∥AB∥CD，∴∠α+∠AEF＝180°，∠FED＝∠γ，∴∠α+∠β＝180°+∠γ，即∠α+∠β﹣∠γ＝180°．故选：C．二．填空题6．解：过点C作CD∥a，∵a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠1+∠ECD＝180°，∠3+∠DCF＝180°，∵∠2＝95°，∠3＝150°，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠1＝360°﹣∠2﹣∠3＝360°﹣150°﹣95°＝115°，故答案为：115°．7．解：如图，根据题意可知：AB∥EF，分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF，则∠B+∠BCG＝180°，∠GCD+∠HDC＝180°，∠HDE+∠DEF＝180°，∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF＝180°×3＝540°，∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E＝540°．故答案为540°．8．解：如图，连接BF，BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，∵∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，∴∠1＝30°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠2＝120°．故答案为：120．9．解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示.∵EF∥AB，EF∥CD，∴∠AEF＝∠A＝75°，∠CEF＝∠C＝30°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝75°﹣30°＝45°．故答案为：45°．10．解：如图，过点P作PE∥AB，∴∠APE＝∠A＝20°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠EPD＝180°﹣∠CDP＝35°，∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝20°+35°＝55°．故答案为：55．11．解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图所示．∵EM∥AB，AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD．同理，可得：∠AFN＝∠F AB，∠CFN＝∠FCD．又∵∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，∴∠EAB＝∠F AB，∠ECD＝∠FCD．∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠EAB+∠ECD＝（∠F AB+∠FCD）＝（∠AFN+∠CFN）＝∠AFC＝90°．故答案为：90．三．解答题12．解：过E点作EF∥CD∴∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝180°﹣152°＝28°，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠ABE+∠BEF＝180°，∴∠BEF＝180°﹣130°＝50°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝27°+50°＝77°．故答案为：∠DEF，180°﹣152°＝28°，CD，∠BEF，180°﹣130°＝50°，28°+50°＝78°．13．解：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠CDE，∴∠BED＝∠1+∠2＝60°+20°＝80°．14．解：（1）如图1，作EG∥AB，FH∥AB，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠CDE＝180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE＝360°∵∠BED＝∠BEG+∠DEG＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，∴∠ABF+∠CDF＝140°，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝140°；（2）∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∴∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM，∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，∴∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠E＝360°，∵∠M＝∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠E＝360°．15．解：（1）∠D＝30°，理由如下：过E作EM∥AB，如图，则∠B＝∠2＝45°，∴∠1＝∠BED﹣∠2＝30°，∴∠1＝∠D，∴EM∥CD，又∵EM∥AB，（2）当∠G+∠GFP+∠P＝360°时，GH∥PQ，理由如下：过F作FN∥GH，如图，则∠G+∠4＝180°，又∵∠G+∠GFP+∠P＝360°∴∠3+∠P＝180°，∴FN∥PQ，∴GH∥PQ．16．解：①如图，分别过E，F作AB的平行线EM，FN，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM∥NF，∴∠ABE＝∠BEM，∠MEF＝∠EFN，∠NFC＝∠FCD，∴∠BEF+∠C＝∠B+∠EFC，∴∠E+∠C＝∠B+∠F；②分别过E，F，G，H作AB的平行线EM，NF，GP，QH，和①的方法一样可得∠E+∠G+∠C＝∠B+∠H+∠F；③∠E1+∠E2+…+∠E n+∠C＝∠F1+∠F2+…+∠F n+∠B（开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等）．17．解：（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G，∵AB∥CD，∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，∵AB∥CD，∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠DFK）＝180°，∴∠BEK+∠DFK＝90°，则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，理由为：∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，同理得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，则∠K＝2∠K1；（3）如图（3），根据（2）中的规律可得：∠K2＝∠K1＝22.5°，∠K3＝∠K2＝11.25°，∠K4＝∠K3＝5.625°．。
初中数学平行线拐点问题(1)
二 例题讲解
如图，已知直线m∥n，∠1＝105°，∠2＝140°，求∠3的大小．
二 例题讲解
如图，已知直线m∥n，∠1＝105°，∠2＝140°，求∠3的大小．
解：如答图所示，作直线l∥m，则l∥n，
∴∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°， ∵∠1＝105°，∠2＝140°，∴∠4＝75°，∠5＝40°， ∵∠3为∠4＋∠5的邻补角， ∴∠3＝180°－75°－40°＝65°.
数量关系会发生变化吗？
E
A
B
A
B
C
D
C
图3
D
（3）犀牛角型
∠BED=∠B－∠D
图4 E
（4）锄头型 ∠BED=∠B－∠D
五 类题演练
1.如图，若AD∥BE，且∠ACB＝90°，∠CBE＝30°， 则∠CAD＝________．
2．如图9，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与 ∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度数．
3.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，
P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1、l2上的不动点．其
中PA与l1相交为∠1，PA、PB相交为∠2，PB与l2相交为
∠3．
（1）若P点在线段CD（C、D两点除外）
上运动，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？这种关系
是否变化？
（2）若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系
一 模型归纳
（2）燕尾型（猪手图） 如图2，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么
∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？
A
B
E
C
图2
D
一
模型归纳 A
七年级压轴题24题,平行线的探索拐角问题
拐角问题——基本图形及辅助线方法技巧方法技巧1.过折线的拐点作平行线，用平行公理推论得到多条平行线，再转化角．2.涉及到角平分线问题，往往设未知数导角或列方程求解．题型一平行线＋单拐点（＋角平分线等）模型【例1】如图1，点A，C，B 不在同一条直线上，AD∥BE．（1）求证：∠B＋∠ACB－∠A＝180°；（2）如图2，HQ，BQ 分别为∠DAC，∠EBC 的平分线所在的直线，试探究∠C 与∠AQB 的数量关系；题型二平行线＋双拐点（＋角平分线等）模型【例2】如图1，AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，求∠F 的度数；【解答】分别过点E，F 作EM∥AB，FN∥AB．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN．又∵AB∥CD，AB∥FN．∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN ＝＝70°，易得∠EFN＝∠MEF＝∠BEF－∠BEM＝50°－20°＝30°．∴∠EFD＝∠EFN＋∠NIFD＝30°＋70°＝100°．（2）如图2，探索∠E 与∠F 之间满足的数量关系，并说明理由；．【解答】分别过点E，F 作EM∥AB，FN∥A B．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF＋20°，∠EFD＝∠EFN＋70°，∴∠EFD＝∠MEF＋70°，∴∠EFD＝∠BEF＋50°．（3）如图3，EP 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，FG 的反向延长线交EP 于点P，求∠P 的度数．【分析】过点F 作FH∥EP，结合（2）中结论，运用模型求解．【解答】过点F 作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF＋50°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝(2x＋50)°，∵EP 平分∠BEF，GF 平分∠EFD，∴∠PEF＝1∠BEF＝x°，∠EFG＝1∠EFD＝(x＋25)°，2 2∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG－∠EFH＝25°，∴∠P＝25°．针对练习 51．如图，CD∥BE，则∠2＋∠3－∠1 的度数等于（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．如图，AB∥DE，∠C：∠D：∠B＝2：3：4，则∠B＝．3．如图，直线l3，l4 与l1，l2 分别相交于点A，B，C，D，且∠1＋∠2＝180°．（1）直线l1 与l2 平行吗？为什么？（2）点E 在线段AD 上，若∠ABE＝30°，∠BEC＝62°，求∠DCE 的度数．【解答】（1）直线l1 与l2 平行．理由如下：∵∠1＋∠BAE＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠BAE．∴l1∥l2．（2）过点E 作EF∥AB 交BC 于点F，可得∠BEF＝∠ABE＝30°．∴∠FEC＝62°－30°＝32°．∵l1∥l2，∴ EF∥CD，∴∠DCE＝∠FEC＝32°．5．将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，如图，将A，B，C，D，E，F 顺次首尾连结，若AF 恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD＋10°，∠CDE＝∠E＝105°．（1）求∠F 的度数；（2）计算∠B－∠CGF的度数是；（直接写出结果）（3）连接AD，∠ADE 与∠CGF 满足怎样数量关系时，BC∥AD？并说明理由．【解答】（1）∵AF∥DE，∴∠F＋∠E＝180°．∴∠F＝180°－105°＝75°．（2）作MC∥AF．∵AF∥DE，∴AF∥CM∥DE，∴∠BCM＝∠FGC，∠MCD＝∠CDE，∴∠BCD＝∠BCM＋∠MCD＝∠CGF＋∠CDE，∠B－∠CGF＝∠BCD＋10°－∠CGF＝∠CGF ＋∠CDE＋10°－∠CGF＝∠CDE＋10°＝115°．（3）当∠ADE＋∠CGF＝180°时，BC∥A D．理由如下：∵AF∥DE，∴∠GAD＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠CGF＝180"．∴∠GAD＝∠CGF．∴BC∥A D．整体思想求角题型一 设单个未知数求定角方法技巧巧设题目未知数，用该未知数表示其它未知角，然后运用角的和或差计算出定角【例 1】如图 1，直线 MN 与直线 AB ，CD 分别交于点 E ，F ，AB ∥CD ，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点 P ，EP 的延长线与 CD 交于点 G ，点 H 是 MN 上一点，且 CH ⊥EC ．（1） 求证：PF ∥GH ；（2） 如图 2，连接 PH ，K 是 GH 上一点，∠PHK =∠HPK ，作 PQ 平分∠EPK ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由图 1 图 2【分析】（1）过点 P 作 AB 的平行线交 MN 于点 T ，运用平行线+拐点模型求∠EPF ，再根据 ∠ECH 的大小关系求解；（2）设∠PHK =∠HPK =x ，用 x 表示未知角，运用整体思想求解。
七年级数学下册平行线中的“拐点”问题专题培优训练(解析版)
七年级数学下册平行线中的“拐点”问题专题培优训练典例题型一内凹型1．（2020•福州三模）如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°【点睛】首先过C作CF∥AB，再证明AB∥FC∥DE，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACF＝40°，∠D ＝∠FCD，进而得到答案．【解析】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥FC∥DE，∴∠A＝∠ACF＝40°，∠D＝∠FCD，∵∠ACD＝100°，∴∠FCD＝100°﹣40°＝60°，∴∠D＝60°．故选：C．2．（2020•覃塘区期末）如图，直线12∥12，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝30°．【点睛】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算即可得解．【解析】解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故答案为30°．3．（2020•濉溪期末）如图所示，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝115°，那么∠BFD的度数是（）A．62°B．64°C．57.5°D．60°【点睛】过E作E G∥AB，过F作FH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠ABE+∠CDE＝115°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得出∠BFD的度数．【解析】解：如图，过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥CD，FH∥CD，∴∠ABE＝∠GEB，∠CDE＝∠GED，∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝115°，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF∠ABE，∠CDF∠CDE，∴∠ABF+∠CDF（∠ABE+∠CDE）＝57.5°，∵AB∥FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝57.5°，故选：C．典例题型二外凹型4．（2020•沙坪坝区校级月考）如图，a∥b，∠1＝55°，∠2＝130°，则∠3＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【点睛】作平行线，构建平行线的性质可得∠5的度数，由平角的定义可得∠4的度数，从而得结论．【解析】解：过A作c∥a，∴∠3+∠4＝180°，∵a∥b，∴b∥c，∴∠2+∠5＝180°，∵∠2＝130°，∴∠5＝50°，∵∠1＝55°，∴∠4＝180°﹣55°﹣50°＝75°，∴∠3＝180°﹣75°＝105°，故选：B．5．（2020•黄冈期末）某小区地下停车场入口了栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD 平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝120°．【点睛】过点B作BF∥CD，则CD∥B F∥AE，得出∠CBF+∠BCD＝180°，∠FBA+∠BAE＝180°，由∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，得出∠CBF＝30°，∠FBA＝90°，即可得出结果．【解析】解：过点B作BF∥CD，如图所示：∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠CBF+∠BCD＝180°，∠FBA+∠BAE＝180°，∵∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，∴∠CBF＝30°，∠FBA＝90°，∴∠ABC＝∠CBF+∠FBA＝120°；故答案为：120．6．（2020•梁子湖区期末）如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为（）A．α+β+γ＝360°B．α﹣β+γ＝180°C．α+β+γ＝180°D．α+β﹣γ＝180°【点睛】首先过点E作EF∥A B，由AB∥CD，即可得EF∥AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得∠α+∠1＝180°，∠2＝∠γ，继而求得α+β﹣γ＝180°．【解析】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠α+∠1＝180°，∠2＝∠γ，∵∠β＝∠1+∠2＝180°﹣∠α+∠γ，∴α+β﹣γ＝180°．故选：D．典例题型三外错型7．（2020•凉山州）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（）A．135°B．125°C．115°D．105°【点睛】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．【解析】解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，∴∠ACD＝30°+75°＝105°，∵BD∥EF，∴∠E＝∠ACD＝105°．故选：D．8．（2020•襄汾期末）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝100°，∠CDE＝15°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°【点睛】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解析】解：延长FE交DC于点N，∵AB∥EF，∴∠BCD＝∠FND＝100°，∵∠CDE＝15°，∴∠DEF＝∠CDE+∠DNF＝115°．故选：B．9．（2020•鸡东期末）如图，已知直线a∥b，则∠1、∠2、∠3的关系是（）A．∠1+∠2+∠3＝360°B．∠1+∠2﹣∠3＝180°C．∠1﹣∠2+∠3＝180°D．∠1+∠2+∠3＝180°【点睛】过A作AB∥a，可得a∥AB∥b，依据平行线的性质，即可得到∠1+∠BAD＝180°，∠2＝∠BAC ＝∠3+∠BAD，进而得出∠1+∠2﹣∠3＝180．【解析】解：如图，过A作AB∥a，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠1+∠BAD＝180°，∠2＝∠BAC＝∠3+∠BAD，∴∠BAD＝∠2﹣∠3，∴∠1+∠2﹣∠3＝180°，故选：B．典例题型四综合型10．（2020•文登区期末）如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为（）A．97°B．117°C．125°D．152°【点睛】过B作BE∥m，过C作CF∥n，依据平行线的性质，即可得到∠DCF＝∠2＝62°，∠BCF＝∠EBC＝55°，进而得到∠BCD的度数．【解析】解：如图，过B作BE∥m，过C作CF∥n，∵m∥n，∴m∥BE∥CF∥n，∴∠ABE＝∠1＝35°，∠DCF＝∠2＝62°，又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°﹣35°＝55°，∴∠BCF＝∠EBC＝55°，∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝55°+62°＝117°，故选：B．11．（2020•北碚区期末）如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B＝120°，第二次拐角∠C＝140°，为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数应为（）A．130°B．140°C．150°D．160°【点睛】先延长BC，E D交于点F，根据平行线的性质，得出∠F＝∠B＝120°，再根据∠BCD＝140°，可得∠DCF＝40°，根据∠CDE＝∠F+∠DCF进行计算即可．【解析】解：如图，延长BC，ED交于点F，∵AB∥EF，∴∠F＝∠B＝120°，∵∠BCD＝140°，∴∠DCF＝40°，∴∠CDE＝∠F+∠DCF＝120°+40°＝160°，故选：D．12．（2020•潜江期末）如图，AB∥CD，∠BED＝60°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB的度数是150°．【点睛】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠EDC＝180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF（∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论．【解析】解：如图，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GE，∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠EDC＝180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°；又∵∠BED＝60°，∴∠ABE+∠CDE＝300°．∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴∠FBE+∠EDF（∠ABE+∠CDE）＝150°，∵四边形的BFDE的内角和为360°，∴∠BFD＝360°﹣150°﹣60°＝150°．故答案为：150°．巩固练习1．（2020•新乡二模）如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝120°，∠3＝40°，那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．102°【点睛】根据平行线性质求出∠A，根据三角形外角性质得出∠2＝∠1﹣∠A，代入求出即可．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠3＝40°，∵∠1＝120°，∴∠2＝∠1﹣∠A＝80°，故选：A．2．（2020•高明区期末）如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被BC所截，E点在BC上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（）A．65°B．70°C．75°D．80°【点睛】由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D．3．（2020•宿豫区期中）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在M、N的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AEN等于（）A．25°B．50°C．65°D．70°【点睛】根据平行线的性质可得∠DEF＝65°，再由折叠可得∠NEF＝∠DEF＝65°，再根据平角定义可得答案．【解析】解：∵∠EFB＝65°，AD∥CB，∴∠DEF＝65°，由折叠可得∠NEF＝∠DEF＝65°，∴∠AEN＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故选：B．4．（2020•稷山校级一模）如图，直线a∥b，∠1＝32°，∠2＝45°，则∠3的度数是（）A．77°B．97°C．103°D．113°【点睛】由直线a∥b，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠4的度数，结合对顶角相等可得出∠5的度数，再利用三角形内角和定理可求出∠3的度数．【解析】解：给图中各角标上序号，如图所示．∵直线a∥b，∴∠4＝∠2＝45°，∴∠5＝45°．∵∠1+∠3+∠5＝180°，∴∠3＝180°﹣32°﹣45°＝103°．故选：C．5．（2020•温岭市一模）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【点睛】先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【解析】解：如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝50°，故选：C．6．（2020•遂宁期末）如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝95°B．∠β﹣∠α＝95°C．∠α+∠β＝85°D．∠β﹣∠α＝85°【点睛】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，于是得到结论．【解析】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，∵∠BCD＝95°，∴∠1+∠2＝∠α+180°﹣∠β＝95°，∴∠β﹣∠α＝85°．故选：D．7．（2020•河南模拟）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C路在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝34°．则∠BHQ等于（）A．73°B．34°C．45°D．30°【点睛】由折叠可得，∠DGH＝∠EGH∠DGE＝73°，再根据AD∥BC，即可得到∠BHG＝∠DGH＝73°，根据EG∥QH，即可得到∠QHG＝180°﹣∠EGH＝107°，再根据角的和差关系即可求解．【解析】解：∵∠AGE＝34°，∴∠DGE＝146°，由折叠可得，∠DGH＝∠EGH∠DGE＝73°，∵AD∥BC，∴∠BHG＝∠DGH＝73°，∵EG∥QH，∴∠QHG＝180°﹣∠EGH＝107°，∴∠BHQ＝∠QHG﹣∠BHG＝107°﹣73°＝34°．故选：B．8．（2020•孟津期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（）A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90°C．x+y+z＝180°D．y+z﹣x＝90°【点睛】过C作CM∥AB，延长C D交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．【解析】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，则∠CDE＝∠E+∠CNE，即∠CNE＝y﹣z∵CM∥AB，AB∥EF，∴CM∥AB∥EF，∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，∵∠BCD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y﹣z＝90°．故选：B．9．（2020•福州期末）如图，BC⊥AE，垂足为C，过C作CD∥AB，若∠ECD＝43°，则∠B＝（）A．43°B．57°C．47°D．45°【点睛】利用平行线的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵CD∥AB，∴∠ECD＝∠A＝43°，∴∠B＝90°﹣∠A＝47°，故选：C．10．（2020•沙坪坝区校级期末）将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G、D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝52°，则∠2﹣∠1＝28°．【点睛】由折叠的性质可得，∠DEF＝∠GEF，根据平行线的性质可得，∠DEF＝∠EFG＝55°，根据平角的定义即可求得∠1，再由平行线的性质求得∠2，从而求解．【解析】解：∵AD∥BC，∠EFG＝52°，∴∠DEF＝∠FEG＝52°，∠1+∠2＝180°，由折叠的性质可得∠GEF＝∠DEF＝52°，∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝180°﹣52°﹣52°＝76°，∴∠2＝180°﹣∠1＝104°，∴∠2﹣∠1＝104°﹣76°＝28°．故答案为：28．11．（2020•泉州期末）如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若∠1＝116°，则∠2等于58°．【点睛】依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．【解析】解：如图，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BAC＝116°，由折叠可得，∠BAD∠BAC＝58°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BAD＝58°，故答案为：58°．12．（2020•开远市二模）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为55°．【点睛】先根据角平分线的定义，得出∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠ADE＝∠CDE∠ADC，再根据三角形内角和定理，推理得出∠BAD+∠BCD＝2∠E，进而求得∠E的度数．【解析】解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠ADE＝∠CDE∠ADC，∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE，∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，∴∠BAD+∠BCD＝2∠E，∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，∴∠E（∠BAD+∠BCD）（70°+40°）＝55°．故答案为：55°．。
专题：巧解平行线中的拐点问题(解析版)
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》专题 巧解平行线中的拐点问题【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB ∥CD ，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）A ．55°B ．75°C ．80°D ．105°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质得出∠3＝∠1+∠2＝75°．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解题的关键．【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 度．【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°，CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°，∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．故填65°．【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）A．360°B．300°C．270°D．180°【分析】先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC＝ ．【分析】根据平行公理推论得到EF∥AB，再根据平行线的x性质求解即可．【解答】解：过E点作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），∴∠EAB+∠AEF＝180°，∵EF∥CD，∴∠CEF+∠ECD＝180°，∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．【分析】过C作CF∥AB，得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质推出∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，求出∠ACF、∠DCF的度数，根据∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，即可求出答案．【解答】解：过C作CF∥AB，∴AB∥DE∥CF，∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，∵∠1＝120°，∠2＝110°，∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°，∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，＝180°﹣60°﹣70°＝50°，答：∠3的度数是50°．【点评】本题主要考查对平行线的性质平行公理及推论，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可．【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB∴∠3＝∠1＝25°∴DF∥CE，∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 ；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，∵MN∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案为：120°；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，理由如下：如图（2），过P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若选择思路三，理由如下：如图（3），过O 作ON ∥FG ，∵ON ∥FG ，∠1＝30°，∴∠PNO ＝∠1＝30°，∵AB ∥CD ，∴∠BON ＝∠PNO ＝30°，又∵EF ⊥AB ，∴∠EON ＝∠EOB +∠BON ＝90°+30°＝120°，∵ON ∥FG ，∴∠EFG ＝∠EON ＝120°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．【例题2】如图，直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，则∠1+∠2等于（ ）A ．40°B ．35°C ．36°D ．30°【分析】过点A 作l 1的平行线，过点B 作l 2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB +∠ABD ＝180°，然后计算即可得解．【解答】解：如图，过点A 作l 1的平行线AC ，过点B 作l 2的平行线BD ，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l 1∥l 2，∴AC ∥BD ，∴∠CAB +∠ABD ＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线．【变式2-2】如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 ．【分析】过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：如图1，过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．故答案为：900°.【点评】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG 和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝ °．【分析】过点G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠AEG+∠EGM＝180°，再结合已知可得CD∥GM，然后利用平行线的性质可得∠CFG+∠MGF＝180°，从而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分线的定义可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：过点G作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠CFG+∠MGF＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，∵EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线，∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=12∠CFG，∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+12∠CFG＝125°，∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠EGF＝125°，故答案为：125．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）【分析】（1）过点M作MP∥AB，则AB∥CD∥MP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；（2）过点N作NQ∥AB，则AB∥CD∥NQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案为：270°；（2）过点N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB=12∠MEB，∠DFN=12∠MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN=12（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF=12∠EMF=12n°．故答案为：12 n°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．【变式2-5】（1）填空：如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ °．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ °．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ °．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ °．（2）归纳：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝ °．（3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数．【分析】（1）①根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论；②根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论；③在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；④在③的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；（2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论．（3）运用上述结论和角平分线定义可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如图2，过点A2作A2C1∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，∵MA1∥NA4，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA4，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，过点A4作A4C3∥A1M，∵MA1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．故答案为：180；360；540；720；（2）∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）°．故答案为：180（n﹣1）；（3）根据上述结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴2∠ABF+∠E+2∠CDF＝360°，即2（∠ABF+∠CDF）+∠E＝360°，∴2（∠ABF+∠CDF）＝360°﹣∠E＝360°﹣80°＝280°，∴∠ABF+∠CDF=12×280°＝140°，即∠BFD＝140°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程．【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．【分析】（1）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（2）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（3）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，证明过程类似．【变式3-1】如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD.【分析】先过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，求出∠BME的度数，根据角平分线求出∠BEC的度数，从而求出∠CEM的度数，然后根据∠CEM=∠2，利用内错角相等，两直线平行得出EM∥AB.【解答】证明：如图，过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM∥CD,又∵EM∥AB∴AB∥CD.【点评】本题考查平行线的性质，角平分线等知识，解题的关键是过点E在∠BEC的内部作EM//AB．【变式3-2】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.【分析】过点E在∠BED的内部作EM∥AB，先根据平行线的性质得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根据∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，从而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可证明BE⊥DE.【解答】证明：过点E在∠BED的内部作EM∥AB，则∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB∥CD，EM∥CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.【点评】本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-3】（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【分析】（1）作OM∥AB，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根据平行线的传递性得OM∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式3-4】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC 度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．【变式3-5】阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题，并写出解答过程．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．【解答】解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠GEF=12∠BEF，∠GFE=12∠DFE，∴∠GEF+∠GFE=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°，在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为：EG⊥GF；（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=12（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．结论：∠EOF＝2∠EPF．理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为：A或B．【点评】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【例题4】（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB ∥CD ，点P 的位置如图所示，连结PA ，PC ，试探究∠APC 与∠A 、∠C 之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P 作PE ∥AB∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD （ ），∴∠A ＝∠APE ，∠C ＝∠CPE （ ），∴∠A +∠C ＝ + （等式的性质）．即∠APC ，∠A ，∠C 之间的数量关系是 ．（2）类比探究：如图2，已知AB ∥CD ，线段AD 与BC 相交于点E ，点B 在点A 右侧．若∠ABC ＝41°，∠ADC ＝78°，则∠AEC ＝ ．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC 与∠ADC 的角平分线相交于点F ，请直接写出∠BFD 与∠AEC 之间的数量关系 ．【分析】（1）利用题干中的思路，依据两条直线平行的判定，平行线的性质和等式的性质解答即可；（2）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法解答即可；（3）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法分别计算∠BFD 与∠AEC ，观察结论即可得出结论．【解答】解：（1）过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；（2）过点E作EP∥AB，如图，∵AB∥CD（已知），∴∠ADC＝∠BAD＝78°，∴PE∥CD，∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，故答案为：119°；（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．过点F作FP∥AB，如图，则∠ABF＝∠BFP，∵AB∥CD，∴FP∥CD，∴∠PFD＝∠FDC，∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，∴2∠BFD＝∠AEC，故答案为：2∠BFD＝∠AEC．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，利用类比的方法解答是解题的关键．【变式4-1】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【分析】猜想：过点P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，从而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度数；拓展：分情况讨论，当点P在线段CD上时，当点P在射线DF上时，当点P在射线CE上时，然后过点P 作PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系．【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如图2，当点P在射线DP上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如图3，当点P在射线CE上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB ＝∠PBD﹣∠PAC．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等．【变式4-2】（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD 之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF ＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【分析】（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；（2）过点O作OT∥AB，则OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根据平行线的性质求得α+β＝80°，进而根据3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；∴∠BEP=12∠BEG，∠PFD=12∠GFD，∴∠EPF=12（∠BEG+∠GFD）=12∠EGF＝45°，故答案为：45°；②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，设∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴12∠OEA+∠OFC＝80°，∴∠OEA+2∠PFC＝160°．【点评】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-3】（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．请在①②任选一个问题进行解答．（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+CPE＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，即可得出答案；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，∠BAP+∠APE＝180°，∠EPQ+∠PQF＝180°，∠FQC+∠QCD＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，即可得出答案；（3）如图4，根据平行线模型﹣锯齿模型定理，朝向左边的角的和＝朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，120°角的邻补角为60°，所以可列x+48°＝60°+30°+30°，求出x即可得出答案．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥PE，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵CD∥PE，∴∠DCP+CPE＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，∵PE∥AB，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵AB∥CD，∴PE∥QF，∴∠EPQ+∠PQF＝180°，∵QF∥CD，∴∠FQC+∠QCD＝180°，∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；（3）x＝72°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式4-4】（2022春•兴国县期末）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF 的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．解：如图①，过点P作PM∥AB，【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．（4）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数；（3）如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数；（4）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解．【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，∴PM∥CD（平行于同一直线的两条直线平行），∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°，∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°；（2）如图②，过点P作PM∥AB，∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．（3）如图③所示，∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，∴∠AEG=12∠AEP＝25°，∠GFC=12∠PFC＝60°，过点G作GM∥AB，∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等），∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°；（4）当点A在B左侧时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABE＝∠BEF=12α，∠CDE＝∠DEF=12β，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=αβ2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB上方时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，∠ABG＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠DEF＝∠CDE=12β，∠ABG＝∠BEF=12α，∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=α−β2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB下方时，同理可求∠BED=β−α2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD内时，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF+∠CDE＝180°，∠ABE＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠CDE=12β，∠ABE＝∠BEF=12α，∴∠DEF＝180°−12β，∴∠BED＝∠DEF+∠BEF＝180°−12β+12α，或∠BED＝360°﹣（∠DEF+∠BEF）＝180°+12β−12α，综上，∠BED的度数为αβ2或α−β2或180°−12β+12α或180°+12β−12α．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．。
几何综合压轴题专项练习+2023-2024学年人教版七年级数学下册期末复习
几何综合压轴题专项练习期末压轴题一 (1)类型一平行拐角求角度关系1.(1)如图1,已知AB∥CD,求证:∠BED=∠B+∠D;(2)如图2,AB∥CD,且∠BAP=60°-2α,∠APC=45°-α,∠PCD=30°-α,求α的度数;(3)如图3,AB∥CD,∠AEF=150°,∠DGF=60°,试判断EF 和GF 的位置关系,并说明理由.类型二平行拐角求角度大小2.如图,AB∥CD,点E、F 分别在直线AB、CD 上,点O在直线 AB、CD 之间,∠EOF=100°.(1)求∠BEO+∠DFO的值;(2)如图2,直线MN 交∠BEO、∠CFO 的角平分线分别于点M、N,求∠EMN-∠FNM的值；(3)如图3,EG 在∠AEO 内,∠AEG=n∠OEG,FK 在∠DFO 内,∠DFK=n∠OFK,直线 MN 交 FK、EG 分别于点M、N,若∠FMN-∠ENM=50°,则 n 的值是 .期末压轴题二几何综合(2)类型一作平行线转化角度关系1.如图,已知直线AB∥CD.(1)在图1中,点 M 在直线AB 上,点 N 在直线CD 上, ∠BME,∠E,∠END的数量关系是 (不需证明)；(2)如图 2,若GN 平分∠CNE,FE 平分∠AMG,.且∠G+12∠E=60∘,求∠AMG 的度数;(3)如图3,直线 BM平分∠ABE,直线 DN 平分∠CDE,BM 与DN 相交于点 F,求∠F :∠E 的值;(4)如图 4,若∠ABM=1n ∠MBE,∠CDN=1n∠NDE,则∠F∠E=¯(用含有 n 的代数式表示).类型二字母表示角度大小用整体代换求角度2.已知 HD∥GE,点 A 在 HD 上,∠DAB=120°.(1)如图1,∠BCG=∠BCF,AF 平分∠BAH,点C 在EG上,∠BCG=20°,求∠F 的度数;(2)如图 2,P 是AB 上一点,Q 是GE 上一点,PN 平分∠APQ,QN 平分∠PQE,探究∠HAP 与∠N 的数量关系，并说明理由；(3)如图3,若∠HAP=60°,点Q在GE上,∠PQN=2∠EQN,∠QPN=2∠APN,则∠N的度数是 .期末压轴题三几何综合(3)——探究角度间的关系类型一平行拐角探求角度关系1.如图1,直线 l 分别交AB,CD 于点M,N,若∠1=∠2.(1)求证: AB‖CD;(2)如图 2,点 E、F 在AB,CD 之间,且在 MN 的左侧,若∠MEF+∠EFN=255°,求∠AME+∠FNC的度数；(3)如图3,点 H 在直线AB 上,且位于点 M 的左侧;点 K 在直线MN 上,且在直线AB 的上方.点 Q 在∠MND的角平分线NP 上，且∠KHM=2∠MHQ,若∠HQN+∠HKN=75°,直接写出∠PND和∠QHB的数量关系类型二注意分类讨论2.如图1,已知a‖b,,点A、B 在直线a 上,点C、D 在直线b上,且. AD⊥BC于E.(1)求证: ∠ABC+∠ADC=90°;(2)如图 2,BF 平分∠ABC交 AD 于点 F,DG 平分∠ADC交 BC 于点G,求∠AFB+∠CGD的度数；∠BCN,则∠CIP, (3)如图3,P 为线段AB 上一点,I 为线段BC 上一点,连接 PI,N 为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD=12∠IPN、∠CNP之间的数量关系是 .期末压轴题四几何综合(4)——坐标系中的几何问题1.在平面直角坐标系中,已知点A(a,0),B(0,b).(1)若|a+b+1|+√3a+4b=0,已知点C(m,−m).①AC‖y轴,求m 的值;②若△ABC的面积不超过8，求m 的取值范围；(2)若∠ABO=60°,,射线 BA 以每秒9°°的速度绕点 B 顺时针方向旋转至射线. BA₁,M 为x轴正半轴上一点，同时射线MO以每秒6°的速度绕点M 逆时针方向旋转到MO₁,，设运动时间为 t 秒( (0<t<30),，求 t 为多少秒时，直线.BA₁‖MO₁.2.如图,在平面直角坐标系中,A(0,1),B(5,0),将线段AB 向上平移到DC,D 点在第二象限,CD 交y 轴于点E,D 点坐标为( (−2,a).(1)直接写出点 C 的坐标 (C 的纵坐标用a 表示)；(2)若四边形 ABCD 的面积为18,求a 的值;(3)如图 2,F 为AE 延长线上一点,H 为OB 延长线上一点,EP 平分. ∠CEF,BP 平分∠ABH,求∠EPB的度数.期末压轴题五代几综合(1)——动点中的面积变化类型一注意点的位置变化1.在平面直角坐标系中,A(0,a),B(5,b),且a、b 满足|3a+2b+14|+√a−2b−6=0,平移线段 AB 至CD,其中A、B的对应点分别为C、D,CD 交y 于点E.(1)a=,b=;,,求点 D 的坐标;(2)若点 C 的坐标为( (−2,m),△DOE△DOE 的面积为245(3)若点 P、F 在射线OD(不与D 重合)上,且 P 为一动点, ∠CDF与∠PAB的平分线所在直线相交于点 Q，试探究∠DPA与∠AQD之间的数量关系并说明理由.类型二结合平移与面积平行转换2.在平面直角坐标系中,已知点A(a,0)、B(b,0)、C(0,c),且√a+1+(b−3)2+|c+2|=0,E 为 AB 的中点.(1)直接写出a=,b=,c=;(2)如图 1,过点 E 的直线( l‖y轴,平移CE 至AH,直线AH 交直线l 于点F,求 F 点的坐标;个单位长度到点 D，动点 P 从点 A 出发，同时动点 M 从点E出发，都沿x 轴正方向以每(3)如图2，将点E 向下平移83秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t秒，CM 交DP 于点 N.若S CDN=S MNP,求 t 的值.期末压轴题六代几综合(2)——动点的变化范围1.如图,平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),C(m,n),已知a=√b−3+√3−b−4.(1)求点 A、B 的坐标;(2)如图 2,若m+n=0,且m>0,点 D 为 x 轴正半轴上一点，∠BAO=∠CDO,，三角形ABD 的面积为13,求点 C 的坐标;(3)如图 3,若n=5,，三角形 ABC 的面积小于 7，求m 的取值范围；期末压轴题七代几综合(3)——探索角度关系1.如图1,在平面直角坐标系中,A,B 在坐标轴上,其中点A(0,a),B(b,0)满足|a−3|+√b−4=0.(1)求 A,B两点的坐标;(2)将AB 平移到CD,点 A 对应点( C(−2,m),,CD 交y 轴于点E,若. △ABC的面积等于13,求点 E 的坐标;(3)如图2,若AB‖CD,C,D 都在坐标轴上,F 为线段AB 上一动点,(不包括点A,点 B),连接OF,FP 平分. ∠BFO,∠BCP=2∠PCD,试探究∠COF,∠OFP,∠P之间的数量关系.2.已知直线 EF 分别交直线AB、CD 于点G、H,∠AGF+∠DHF=180°.(1)如图1,求证:AB//CD;(2)如图 2,M、N 分别为直线AB、CD 上的点,P、Q 为直线AB、CD 之间不同的两点,∠PMQ=2∠BMQ,∠PNQ=2∠DNQ,∠MQN=30°.①求证:PM⊥PN;②如图3,∠EGB 的平分线GL 与∠MPN 的邻补角∠MPT 的平分线 PL 交于点 L,∠PNH 的平分线NK 交 EF 于点 K.若∠EKN+∠GLP =170°,求∠PNH-∠EHD 的值.期末压轴题八代几综合(4)1.如图1,在平面直角坐标系中,三角形 ABC 的顶点坐标分别为A(a,5),B(4,2),C(c,5),且√2a+c−1+|3a−c−9|=0.(1)直接写出a=,c=;;三角形 ABC 的面积为 ;(2)如图2,将线段AB 平移至对应线段CD,y 轴上点E(0,-1),满足 BE=5,F 为线段DE延长线上一点,FM⊥直线AC于M,FN⊥直线BE 于N,试求 FM-FN的值;≤S<14,直接写出 n 的取值范围 .(3)如图3,点 P(n,0)在x 轴上,记三角形ABP 的面积为S,若232.在平面直角坐标系中,点A(a,0)、B(a,3)、C(0,c)的坐标满足: √2a−5c+(c−2)2=0.(1)求点 A、C 的坐标;(2)如图1,连接AB,BC,点 P 在四边形ABCO外且在第一象限,再连 PO,PC,PB,PA,若S PCO=S PBA,S PAO=3S PBC,求 P 点坐标;(3)如图2，D 为线段BC上一动点，E(在A 右侧)为x 上一动点，使 x 轴始终平分∠DEF,连 DF,且. ∠BDE=∠CDF,∠BCO=α,，那么∠F是否为定值?若为定值，请直接写出定值，若不是，请简单说明理由.。
七年级(下)数学重难点专题训练：平行线中拐点问题模型汇总(40道经典题)
七年级下数学重难点专题训练：平行线拐点问题模型汇总模型一：“Ｍ”型（猪蹄模型）例：1．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．【分析】（1）过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠3+∠4＝∠1+∠2，进而得出∠BED＝∠1+∠2；（2）分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，进而得到∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）分别过平行线间的折点作AB的平行线，依据平行线的性质，即可得到∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系．【解答】解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∴∠3+∠4＝∠1+∠2，即∠BED＝∠1+∠2；（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，理由如下：如图，分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥CD，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．通关训练：2．如图，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°．（1）若∠E＝60°，则∠F＝．（2）请探索∠E与∠F之间满足何数量关系？并说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P 的度数．3．如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．（1）如图1，求证：∠E+∠C﹣∠A＝180°（2）如图2．直线F A，CP交于点P，且∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE．①试探究∠E与∠P的数量关系：②如图3，延长CE交P A于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），则∠PQC的度数为（用含α的式子表示）4．如图，已知AB∥CD，现将直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当直角三角形PMN所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM存在怎样的数量关系？请说明理由．（2）当直角三角形PMN所放位置如图②所示时，请直接写出∠PFD与∠AEM之间存在的数量关系．（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠AEM＝40°，∠DON＝20°，则∠N的度数为．5．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．6．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．求证：∠AEC＝∠A+∠C．小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点E作EF∥AB，∴∠1＝∠A．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD．∴∠2＝∠C．∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠C．请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝．（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H 共线，F、C、H共线，则∠H＝．7．如图1，已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．（1）∠BPD＝°；（2）如图2，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED＝140°，求∠BPD的度数；（3）如图3，若∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，其余条件不变，那么∠BPD＝°．8．已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．（1）图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．（3）图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．9．已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG （1）如图1，AB∥CD，求证：∠AEF+∠FGC＝∠EFG；（2）若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由．10．如图，已知AB∥CD．（1）发现问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠F与∠E的等量关系为．（2）探究问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．猜想：∠F与∠E的等量关系，并证明你的结论．（3）归纳问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．直接写出∠F与∠E的等量关系．11．【引入】如图1，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，求证：∠1＝∠2．【变式】如图2，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠Ｍ模型二：铅笔模型例：12．模型与应用．【模型】（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1+∠MEN+∠2＝360°．【应用】（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为．如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为．（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1O与∠CM n M n﹣1的角平分线M n O 交于点O，若∠M1OM n＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n ﹣1的度数．（用含m、n的代数式表示）【分析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的判定得出EF∥AB，根据平行线的性质得出即可；（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可；（3）过点O作SR∥AB，根据平行线的性质得出即可；【解答】（1）证明：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1+∠MEF＝180°，同理∠2+∠NEF＝180°，∴∠1+∠2+∠MEN＝360°；【应用】（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°，同理∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1），故答案为：900°，180°（n﹣1）；（3）解：过点O作SR∥AB，∵AB∥CD，∴SR∥CD，∴∠AM1O＝∠M1OR同理∠C M n O＝∠M n OR∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OR+∠M n OR，∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OM n＝m°，∵M1O平分∠AM1M2，∴∠AM1M2＝2∠A M1O，同理∠CM n M n﹣1＝2∠CM n O，∴∠AM1M2+∠CM n M n﹣1＝2∠AM1O+2∠CM n O＝2∠M1OM n＝2m°，又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n﹣1+∠CM n M n﹣1＝180°（n﹣1），∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n﹣1＝（180n﹣180﹣2m）°．通关训练：13．如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝度．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝度．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝度．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝度．从上述结论中你发现了什么规律？如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝度．14．如图，AB∥CD，点F在CE上，∠EAF＝∠BAF，若∠AEC＝105°，∠DCE＝115°，求∠AFC的度数．15．直线AB∥CD，E为直线AB、CD之间的一点，完成以下问题：（1）如图1，若∠B＝15°，∠BED＝90°，则∠D＝；（2）如图2，若∠B＝α，∠D＝β，求出∠BED的度数（用a、β表示）；（3）如图3，若∠B＝α，∠C＝β，则a、β与∠BEC之间有什么等量关系？请猜想证明．16．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．17．如图，BN∥CD，点A是直线BN上一点，P是直线AB与直线CD之间一点，连接AP，PC．（1）求证：∠BAP+∠C＝∠P；（2）过点C作CM平分∠PCD，过点C作CE⊥CM交∠NAP的角平分线于点E，过点P作PF∥AE交CM于点F，探索∠CFP和∠APC的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若2∠AEC﹣∠CPF＝240°，Q是直线CD上一点，请直接写出∠PFQ和∠FQD的数量关系．模型三：钩型（臭脚模型和骨折模型）例：18．（1）如图1，AB∥CD，CF平分∠DCE，若∠DCF＝30°，∠E＝20°，求∠ABE 的度数；（2）如图2，已知AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；（3）如图3，若P是（2）中的射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【分析】根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【解答】解：（1）过E作EM∥AB∵AB∥CD∴CD∥EM∥AB∴∠ABE＝∠BEM∠DCE＝∠CEM∵CF平分∠DCE∴∠DCE＝2∠DCF∵∠DCF＝30°∴∠DCE＝60°∴∠CEM＝60°又∵∠CEB＝20°∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°∴∠ABE＝40°，（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB∵∠EBF＝2∠ABF∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x ∵CF平分∠DCE∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y∵AB∥CD∴EM∥AB∥CD∴∠DCE＝∠CEM＝2y∠BEM＝∠ABE＝3x∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x同理∠CFB＝y﹣x∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°∴x＝10°∴∠ABE＝3x＝30°，（3）过P作PL∥AB∵GM平分∠DGP∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y ∵PQ平分∠BPG∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x∵PQ∥QN∴∠PGN＝∠GPQ＝x∵AB∥CD∴PL∥AB∥CD∴∠GPL＝∠DGP＝2y∠BPL＝∠ABP＝30°∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG∴30°＝2y﹣2x∴y﹣x＝15°∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x∴∠MGN＝15°．通关训练：19．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．20．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，求∠E的度数．21．如图，BE∥CF，∠A＝30°，∠C＝80°，求∠B的度数．22．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．23．已知AB∥CD，点E在AB上，点G在CD上，点F在直线AB、CD之间，分别连接EF、FG，∠BEF+∠DGF＝2∠EFG．（1）如图1，求∠EFG的度数；（2）如图2，若∠BEF的角平分线与FG的延长线交于点M，求证：∠AEF﹣2∠FME ＝60°；（3）如图3，已知点P在FG的延长线上，点K在CD上，点N在∠PGC内，分别连接NG，NK．若NK∥EF，∠PGN＝2∠NGC，请直接写出∠AEF﹣∠GNK的值．24．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，请写出∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系（不必说明理由）；（2）如图2，将直线AB绕点B逆时针方向转一定角度交直线CD于点Q，利用（1）中的结论求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，设BF交AC于点M，AE交DF于点N．已知∠AMB＝140°，∠ANF＝105°，利用（2）中的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数和∠A比∠F大多少度．25．综合探究：已知，AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数．26．已知直线AB∥CD．（1）如图1，请直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F ＝10°，求∠E的度数；（3）如图3，∠BME的角平分线所在的直线与∠CNE的角平分线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论．27．如图，已知直线AB∥CD．（1）在图1中，点M在直线AB上，点N在直线CD上，∠BME、∠E、∠END的数量关系是；（不需证明）（2）如图2，若GN平分∠CNE，FE平分∠AMG，且∠G+∠E＝60°，求∠AMG的度数；（3）如图3，直线BM平分∠ABE，直线DN平分∠CDE相交于点F，求∠F：∠E的值；（4）若∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，则＝．（用含有n的代数式表示）28．如图1所示，AB∥CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE．（1）求证：∠ABE+∠C﹣∠E＝180°．（2）如图2，EG平分∠BEC，过点B作BH∥GE，求∠FBH与∠C之间的数量关系．（3）如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E+∠M＝130°，请直接写出∠E的度数．29．如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠BPD＝∠B+∠D；（提示；可过点P作PO∥AB）（2）如图②，已知AB∥CD，求证：∠B＝∠P+∠D．30．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠A，∠C的关系，请你从所得的关系中任意选取一个加以说明．图（1）结论：；图（2）结论：；图（3）结论：；图（4）结论：．你准备证明的是图，请在下面写出证明过程．31．如图1，将两根笔直的细木条MN，EF用图钉固定并平行摆放，将一根橡皮筋拉直后用图钉分别周定在MN，EF上，橡皮筋的两端点分别记为点A，点B．（1）图1中，点P在AB上，若∠1＝110°，则∠2＝°；（2）P为橡皮筋上一点，用皮筋的弹性拉动橡皮筋，使A，B，P三点不在同一直线，后用图固定点P．①如图2，若点P在两根细木条所在直线之间，且∠1+∠2＝90°，试判断线段AP与BP所在直线的位置关系，并说明理由；②如图3，若点P在两根细木条所在直线的同侧，且∠1+∠2＝90°，∠1＝31°，试求∠APB的度数；（3）如图4，P1，P2两点在两根细木条所在直线之间，拉动橡皮筋并固定，若∠1+∠2＝90°，则∠AP1P2+∠BP1P2＝°．32．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明．小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC＝100°，BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP交于点M，求∠M的度数．33．如图，已知直线MB∥ND，A、C分别为MB、ND上的点，E为直线MB、ND外的一点，连接AE、EC．（1）E在直线MB的上方（如图1），求证：∠AEC+∠ECD＝∠EAB；（2）若∠MAE与∠NCE两角的角平分线交于F点，请在图2中将图形补充完整，并直接写出∠AEC与∠AFC之间的数量关系；（3）若∠EAB的角平分线的反向延长线与∠NCE的角平分线交于G点（如图3），且∠AGC比∠AEC的倍多50°，求∠AEC的度数．34．已知直线AB∥CD，E为直线AB、CD外的一点，连接AE、EC．（1）E在直线AB的上方（如图1），求证：∠AEC+∠EAB＝∠ECD；（2）∠BAF＝2∠EAF，∠DCF＝2∠ECF（如图2），求证：∠AEC＝∠AFC；（3）若E在直线AB、CD之间，在（2）条件下（如图3），且∠AFC比∠AEC的倍少40°，则∠AEC的度数为（不用写出解答过程）．35．如图：已知AB∥DE，若∠ABC＝60°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．36．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．（1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD；（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．37．如图，平面内有两条直线同AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到如图（1）的位置时，这时∠APC与∠A，∠C有怎样的关系？并说明理由；（2）当点P移动到如图（2）的位置时，这时∠APC与∠A，∠C又有怎样的关系？说明你的理由；（3）当点P移动到如图（3）的位置时，直接写出∠APC与∠A，∠C的关系式；（4）当点P移动到如图（4）的位置时，直接写出∠APC与∠A，∠C的关系式．38．如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面四个图形中，∠APC，∠P AB与∠PCD的关系．39．已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP、CP．（1）探究：如图（1）∠P AB＝145°，∠PCD＝135°，则∠APC的度数是；如图（2）∠P AB＝45°，∠PCD＝60°，则∠APC的度数是．（2）在图2中试探究∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展探究：当点P在直线AB，CD外，如图（3）、（4）所示的位置时，请分别直接写出∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系．40．探究：（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？（2）反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；（3）若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明；（4）若将E点移至图c所示位置，情况又如何？（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？七年级下数学重难点专题训练：平行线拐点问题模型汇总1．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．【分析】（1）过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠3+∠4＝∠1+∠2，进而得出∠BED＝∠1+∠2；（2）分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，进而得到∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）分别过平行线间的折点作AB的平行线，依据平行线的性质，即可得到∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系．【解答】解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∴∠3+∠4＝∠1+∠2，即∠BED＝∠1+∠2；（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，理由如下：如图，分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥CD，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．2．如图，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°．（1）若∠E＝60°，则∠F＝90°．（2）请探索∠E与∠F之间满足何数量关系？并说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P 的度数．【分析】（1）分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM ＝30°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，根据角平分线的定义得到∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，于是得到结论．【解答】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案为：90°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD＝∠BEF+30°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．3．如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．（1）如图1，求证：∠E+∠C﹣∠A＝180°（2）如图2．直线F A，CP交于点P，且∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE．①试探究∠E与∠P的数量关系：②如图3，延长CE交P A于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），则∠PQC的度数为180°﹣8α（用含α的式子表示）【分析】（1）如图1，过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；（2）①设∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），如图2，过P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；②如图3，过P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠AEF＝∠A，∠C+∠FEC＝180°，∴∠E＝∠AEF+∠FEC＝∠A+180°﹣∠C，即∠E+∠C﹣∠A＝180°；（2）①∵∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE，∴设∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），如图2，过P作PG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥PG，∴∠GP A＝∠BAF＝x，∠GPC＝∠PCD＝y，∴∠APC＝y﹣x，即∠E＝180°﹣3∠P；②如图3，过P作PG∥CD，∵∠BAQ＝α，∴∠QAE＝2α，∵AE∥PC，∴∠QAE＝∠APC＝2α，由①知，∠AEC＝180°﹣3∠APC＝180°﹣6α，∴∠PQC＝∠AEC﹣∠QAE＝180°﹣6α﹣2α＝180°﹣8α，故答案为：180°﹣8α．4．如图，已知AB∥CD，现将直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当直角三角形PMN所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM存在怎样的数量关系？请说明理由．（2）当直角三角形PMN所放位置如图②所示时，请直接写出∠PFD与∠AEM之间存在的数量关系．（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠AEM＝40°，∠DON＝20°，则∠N的度数为30°．【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；（3）根据对顶角相等，直角三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质计算即可求解．【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，则∠AEM＝∠HPM，∵AB∥CD，PH∥AB，∴PH∥CD，∴∠PFD＝∠HPN，∵∠MPN＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝90°，故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD﹣∠AEM＝90°；理由如下：∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHN＝180°，∵∠BHN＝∠PHE，∴∠PFD+∠PHE＝180°，∵∠P＝90°，∴∠PHE+∠PEB＝90°，∵∠PEB＝∠AEM，∴∠PHE+∠AEM＝90°，∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）∵∠P＝90°，∠PEB＝∠AEM＝40°，∴∠PHE＝90°﹣∠PEB＝90°﹣40°＝50°，∵AB∥CD，∴∠HFO＝∠PHE＝50°，∵∠DON＝20°，∴∠N＝∠HFO﹣∠DON＝30°．故答案为：30°．5．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：∠BME＝∠MEN﹣∠END；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：∠BMF＝∠MFN+∠FND；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；（3）根据培训心得性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝∠BME，进而可求解．【解答】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，∵2∠MEN+∠MFN＝180°，∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME+∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME+∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．6．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．求证：∠AEC＝∠A+∠C．小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点E作EF∥AB，∴∠1＝∠A．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD．∴∠2＝∠C．∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠C．请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝240°．（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H 共线，F、C、H共线，则∠H＝51°．【分析】（1）由EM∥AB，FN∥EM，FN∥CD分别得∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4+∠C＝180°，由角的和差计算∠B+∠C+∠F的度数为240°；（2）由角平分线得∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，根据直线EF∥AB，EF∥CD得2∠1+∠7＝180°，2∠4+∠8＝180°，等式的性质得2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°；直线MN∥AB，MN∥CD得∠1＝∠5，∠4＝∠6，等量代换2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，又因∠BGC＝∠BHC+27°求得∠BHC的度数为51°．【解答】解：（1）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示：∵EM∥AB，∴∠1＝∠B，又∵FN∥AB，∴FN∥EM，∴∠2＝∠3，又∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠4+∠C＝180°，又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BEF＝60°∴∠B+∠EFC+∠C＝∠1+∠3+∠4+∠C＝（∠1+∠2）+（∠4+∠C）＝60°+180°＝240°；（2）过点G、H作EF∥AB，MN∥AB，如图3所示：∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，又∵EF∥AB，∴2∠1+∠7＝180°，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴2∠4+∠8＝180°，∴∠7+∠8＝360°﹣2（∠1+∠4），又∵∠7+∠8+∠BGC＝180°，∴2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°，又∵MN∥AB，∴∠1＝∠5，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠4＝∠6，∴2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，又∵∠5+∠6+∠BHC＝180°，∴∠BGC+2∠BHC＝180°，又∠BGC＝∠BHC+27°，∴3∠BHC+27°＝180°，∴∠BHC＝51°；故答案为：240°，51°．7．如图1，已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．（1）∠BPD＝90°°；（2）如图2，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED＝140°，求∠BPD的度数；（3）如图3，若∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，其余条件不变，那么∠BPD＝54°．【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC＝∠180°，再根据角平分线的定义得出∠PBD+∠PDB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）连接BD，先求出∠EBD+∠EDB的度数，再由平行线的性质得出∠ABD+∠CDB的度数，由角平分线的性质得出∠PBE+∠PDE的度数，根据∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB即可得出结论．（3）连接BD，先求出∠EBD+∠FDB的度数，再求出∠PBE+∠PDF的度数，再利用三角形内角和定理即可解决．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝∠180°，∵BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC，∴∠PBD+∠PDB＝90°，∴∠BPD＝180°﹣90°＝90°．（2）连接BD，∵∠BED＝140°，∴∠EBD+∠EDB＝40°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，∴∠PBE＝∠ABE，∠PDE＝∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB＝70°．（3）连接BD，∵∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，∴∠EBD+∠FDB＝360°﹣（152°+136°）＝72°，∵BP、DP分别平分∠ABE、∠FDC，∴∠PBE＝∠ABE，∠PDF＝∠CDF，∴∠PBE+∠PDF＝×（180°﹣72°）＝54°，∴∠BPD＝180°﹣（∠EBD+∠FDB）﹣（∠PBE+∠PDF）＝54°．故答案为：90；54°．8．已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．（1）图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．（3）图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．【分析】（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG＝∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG＝∠CDE，进而可得∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED＝2∠BFD；（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE＝180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE ＝180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG＝∠ABE，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG＝∠CDE，所以∠BEG+∠DEG＝∠ABE+∠CDE，即∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，因为BF平分∠ABE，所以∠ABE＝2∠ABF，因为DF平分∠CDE，所以∠CDE＝2∠CDF，所以∠ABE+∠CDE＝2∠ABF+2∠CDF＝2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因为AB∥CD，所以∠BED＝∠ABE+∠CDE，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，所以∠BED＝2∠BFD．（3）∠BED＝360°﹣2∠BFD．图3中，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE＝180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE＝180°，所以∠BEG+∠DEG＝360°﹣（∠ABE+∠CDE），即∠BED＝360°﹣（∠ABE+∠CDE），因为BF平分∠ABE，所以∠ABE＝2∠ABF，因为DF平分∠CDE，所以∠CDE＝2∠CDF，∠BED＝360°﹣2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因为AB∥CD，所以∠BFD＝∠ABF+∠CDF，所以∠BED＝360°﹣2∠BFD．9．已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG （1）如图1，AB∥CD，求证：∠AEF+∠FGC＝∠EFG；（2）若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由．【分析】（1）过F作FQ∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠AEF+∠FGC＝∠EFQ+∠GFQ＝∠EFG；（2）延长AB，CD，交于点P，依据∠FEP＝180°﹣∠AEF，∠FGP＝180°﹣∠FGC，即可得到∠FEP+∠FGP＝360°﹣（∠AEF+∠FGC），再根据四边形内角和，即可得到四边形EFGP中，∠F+∠P＝360°﹣（∠FEP+∠FGP）＝∠AEF+∠FGC，进而得出结论．【解答】解：（1）如图1，过F作FQ∥AB，∵AB∥CD，∴FQ∥CD，∴∠AEF＝∠QFE，∠FGC＝∠GFQ，∴∠AEF+∠FGC＝∠EFQ+∠GFQ＝∠EFG；（2）如图2，延长AB，CD，交于点P，∵EG同时平分∠BEF和∠FGD，∴∠FEG＝∠PEG，∠FGE＝∠PGE，∴∠F＝∠P，∵∠FEP＝180°﹣∠AEF，∠FGP＝180°﹣∠FGC，∴∠FEP+∠FGP＝360°﹣（∠AEF+∠FGC），∵四边形EFGP中，∠F+∠P＝360°﹣（∠FEP+∠FGP）＝360°﹣[360°﹣（∠AEF+∠FGC）]＝∠AEF+∠FGC，即2∠EFG＝∠AEF+∠FGC．10．如图，已知AB∥CD．（1）发现问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠F与∠E的等量关系为∠BED＝2∠BFD．（2）探究问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．猜想：∠F与∠E的等量关系，并证明你的结论．（3）归纳问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．直接写出∠F与∠E的等量关系．【分析】（1）首先连接FE并延长，易得∠BED＝∠BFD+∠EBF+∠EDF，又由BF、DF 分别平分∠ABE、∠CDE，以及（1）的结论，易证得∠BED＝2∠BFD；（2）过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，根据平行线的性质得到∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，根据已知条件即可得到结论．（3）由（1）（2）即可得出∠F与∠E的等量关系．【解答】解：（1）∠BED＝2∠BFD．证明：连接FE并延长，∵∠BEG＝∠BFE+∠EBF，∠DEG＝∠DFE+∠EDF，∴∠BED＝∠BFD+∠EBF+∠EDF，∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，∴∠ABE+∠CDE＝2（∠EBF+∠EDF），∵∠BED＝∠ABE+∠CDE，∴∠EBF+∠EDF＝∠BED，∴∠BED＝∠BFD+∠BED，∴∠BED＝2∠BFD；（2）过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，∴∠BED＝3∠BFD．（3）由（1）（2）可得∠BED＝n∠BFD．11．【引入】如图1，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，求证：∠1＝∠2．【变式】如图2，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠Ｍ【分析】【引入】先判定AB∥DE，则∠ABC＝∠BCD，再由∠P＝∠Q，则∠PBC＝∠QCB，从而得出∠1＝∠2．【变式】延长EF交CD于G，利用平行线的性质得出∠1＝∠EGD，进而得出∠EGD＝∠2，再利用平行线的判定方法得出答案．【解答】【引入】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°，∴AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠P＝∠Q，∴PB∥CQ，∴∠PBC＝∠BCQ，∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2＝∠BCD﹣∠BCQ，∴∠1＝∠2．【变式】证明：延长EF交CD于G，如图：∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD∵∠1＝∠2，∴∠EGD＝∠2∴EF∥MN，∴∠EFM＝∠M．12．模型与应用．【模型】（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1+∠MEN+∠2＝360°．【应用】（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为900°．如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为180°（n﹣1）．（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1O与∠CM n M n﹣1的角平分线M n O 交于点O，若∠M1OM n＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n ﹣1的度数．（用含m、n的代数式表示）【分析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的判定得出EF∥AB，根据平行线的性质得出即可；（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可；（3）过点O作SR∥AB，根据平行线的性质得出即可；【解答】（1）证明：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1+∠MEF＝180°，同理∠2+∠NEF＝180°，∴∠1+∠2+∠MEN＝360°；【应用】（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°，同理∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1），故答案为：900°，180°（n﹣1）；（3）解：过点O作SR∥AB，∵AB∥CD，∴SR∥CD，∴∠AM1O＝∠M1OR同理∠C M n O＝∠M n OR∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OR+∠M n OR，∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OM n＝m°，∵M1O平分∠AM1M2，∴∠AM1M2＝2∠A M1O，同理∠CM n M n﹣1＝2∠CM n O，∴∠AM1M2+∠CM n M n﹣1＝2∠AM1O+2∠CM n O＝2∠M1OM n＝2m°，又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n﹣1+∠CM n M n﹣1＝180°（n﹣1），∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n﹣1＝（180n﹣180﹣2m）°．13．如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝180度．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝360度．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540度．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720度．从上述结论中你发现了什么规律？如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）度．【分析】首先过各点作MA1的平行线，由MA1∥NA2，可得各线平行，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案，注意找到规律：MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）度是关键．【解答】解：如图1，∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如图2，过点A2作A2C1∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，过点A4作A4C3∥A1M，∵MA1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．从上述结论中你发现了规律：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n ﹣1）度．故答案为：180，360，540，720，180（n﹣1）．14．如图，AB∥CD，点F在CE上，∠EAF＝∠BAF，若∠AEC＝105°，∠DCE＝115°，求∠AFC的度数．【分析】过点E作EM∥AB，由平行线的性质得到∠MEC＝65°，从而得到∠AEM＝40°，再根据平行线的性质得到∠EAB＝180°﹣∠AEM＝140°，进而得到∠EAF＝35°，最后根据三角形的外角定理即可求解．【解答】解：如图，过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MEC+∠DCE＝180°，∵∠DCE＝115°，∴∠MEC＝180°﹣115°＝65°，∵∠AEC＝∠MEC+∠AEM，∠AEC＝105°，∴∠AEM＝40°，∵EM∥AB，∴∠AEM+∠EAB＝180°，∴∠EAB＝180°﹣∠AEM＝140°，∵∠EAB＝∠EAF+∠BAF，∠EAF＝∠BAF，∴∠EAF+3∠EAF＝140°，∴∠EAF＝35°，∴∠AFC＝∠EAF+∠AEC＝35°+105°＝140°．15．直线AB∥CD，E为直线AB、CD之间的一点，完成以下问题：（1）如图1，若∠B＝15°，∠BED＝90°，则∠D＝75°；（2）如图2，若∠B＝α，∠D＝β，求出∠BED的度数（用a、β表示）；（3）如图3，若∠B＝α，∠C＝β，则a、β与∠BEC之间有什么等量关系？请猜想证明．【分析】（1）过E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等进行计算；（2）过E作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补进行计算；（3）过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，以及两直线平行，同旁内角互补进行计算．【解答】解：（1）过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵∠B＝15°，∴∠BEF＝15°，又∵∠BED＝90°，∴∠DEF＝75°，∵EF∥CD，∴∠D＝75°，故答案为：75°；（2）过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°，又∵∠B＝α，∠D＝β，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝360°﹣α﹣β，故答案为：∠BED＝360°﹣α﹣β；（3）猜想：∠BEC＝180°﹣α+β．证明：过点E作EF∥AB，则∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣α，∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CEF＝∠C＝β，∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝180°﹣α+β．16．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：。
湘教版七下数学 平行线拐点问题专题
平行线拐点问题专题作平行线的技巧当两条平行线间遇到拐点时，常过拐点作平行线构造出同位角、内错角和同旁内角．通过平行线的性质，得到题目中所求角与已知角之间的关系，从而解决问题．一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线．类型1形图(燕尾型)1．如图，AB ∥CD ，P 为AB ，CD 之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，则∠BPC＝ .2．如图，已知AB ∥CD ，∠1与∠D ，∠B 之间存在怎样的数量关系？解： 类型2形图(铅笔型)3．(1)如图1所示，若AB ∥DE ，∠B ＝135°，∠D ＝145°，求∠C 的度数；(2)如图1所示，在AB ∥DE 的条件下，你能得出∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系吗？请说明理由；(3)如图2所示，AB ∥EF ，根据(2)中的结果，直接写出∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数．解：类型3形图4．(2019·河南鹤壁一模)如图，已知AB ∥CD ，若∠A ＝25°，∠E ＝50°，则∠C ＝ .5．(2019·安徽淮北五校联考)小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B ，∠D 和∠BOD的关系进行了探究：(1)如图1，若点O 在CD 的上侧，试探究∠B ，∠D 和∠BOD 之间有什么关系，并说明理由；(2)如图2，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系，请直接写出它们的关系式．解：类型4形图(靴子型)6．如图，直线AB∥CD，若∠A＝100°，∠E＝15°，则∠ECD＝.7．如图，已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点，探究∠CDE与∠B，∠E之间的数量关系，并说明理由．解：类型5形图8．(2019·江苏南京二十九中模拟)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．解：方法1：如图1，过点C作FG∥AB.方法2：如图2，反向延长DE交BC于点M.类型6形图9．(2019·湖北武汉蔡甸区期末)如图，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝36°，求∠BEC的度数．解：如图，过点E作直线EF∥AB.类型7多拐点型10.如图所示，AB∥EF，∠B＝45°，∠E＝35°，则∠C＋∠D的值为.11．如图，m∥n，试说明：∠1＋∠3＝∠2＋∠4.解：如图，分别过点P1，P2作P1C∥m，P2D∥m.类型8复合“拐点”型12．已知直线AB∥CD.(1)如图1，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由；(3)如图2，若点E在直线BD的右侧，BF，DF仍分别平分∠ABE，∠CDE，求∠BFD 和∠BED的数量关系．解：(1)∠BFD＝12∠BED.理由：因为BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，所以∠ABF＝12∠ABE，∠CDF＝12∠CDE，所以∠ABF＋∠CDF＝12∠ABE＋12∠CDE＝12(∠ABE＋∠CDE)．因为∠ABE＋∠CDE＝∠BED，∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，所以∠BFD＝1 2∠BED.(2)过点E作EG∥CD，如图所示．因为AB∥CD，EG∥CD，所以AB∥CD∥EG，所以∠ABE＋∠BEG ＝180°，∠CDE＋∠DEG＝180°，所以∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝360°.因为∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，所以∠ABF＝12∠ABE，∠CDF＝12∠CDE.所以∠BFD＝12(∠ABE＋∠CDE)，所以2∠BFD＋∠BED＝360°.。
坐标规律探究,平行线拐角问题
坐标规律探究
平行线拐角问题（初一）
1．如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第10次相遇地点的坐标是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，0）
2．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）
A．（13，13）B．（﹣13，﹣13）C．（14，14）D．（﹣14，﹣14）3、一个点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接
着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0），且每秒移动一个单位，那么第30秒时点所在位置的坐标是（）
A．（0，5）B．（5，5）C．（0，11）D．（11，11）
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七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题
七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题work Information Technology Company.2020YEAR七下平行线，平面直角坐标系压轴题二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．（2）如图2，∵HP⊥EF，∴∠HPE=90°，∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．由（1）得：∠HMF=（∠EHP+∠DFP）=×90°=45°．（3）如图3，∵NQ⊥FM，∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°，∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2（90°﹣∠FNQ）=2∠FNQ，即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）【分析】（1）根据平行线的性质即可得到∠AEC=∠AFM，再根据∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根据∠BFA+∠AFM=180°，可得结论；（2）根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到与∠CAF相等的角；（3）过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，根据平行线的性质，即可得到∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，再根据∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，可得∠CEM+∠FBM=（∠CED+∠FBD），进而得到∠M的度数．【解答】解：（1）如图1，∵直线m∥n，∴∠AEC=∠AFM，∵∠AEC=∠BAC，∴∠AFM=∠BAC，又∵∠BFA+∠AFM=180°，∴∠BFA+∠BAC=180°；（2）与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG．证明：∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，∵m∥n，∴∠ABF=∠ANC，∴与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG；（3）如图2，过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，∵BF∥CE，∴DH∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，∴∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°﹣∠ADC=180°﹣α，∵∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，∴∠CEM+∠FBM=（∠CED+∠FBD）=（180°﹣α）=90°﹣α，∵MG∥BF∥CE，∴∠CEM=∠GME，∠FBM=∠GMB，∴∠BME=∠GME+∠GMB=∠CEM+∠FBM=90°﹣α．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，解题时注意：两直线平行，内错角相等．16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．（2）若E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．【分析】（1）①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，同旁内角互补进行推导，即可得到∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②过F作FG∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠MFN=∠1+∠2，再结合①的结论，即可得出3∠MFN+∠MEN=360°；（2）①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行推导计算，即可得到∠DNE﹣∠BME=∠MEN；②设∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，根据8字形结构得到∠GNQ=3α+3β，根据三角形外角性质以及平行线的性质，得到∠GND=∠1=α+β，据此可得∠ENG：∠GND的值．【解答】解：（1）①∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．证明：如图甲，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠BME+∠FEM=180°，∠DNE+∠FEN=180°，∴∠BME+∠FEM+∠DNE+∠FEN=180°+180°=360°，即∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②如图乙，过F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠1=∠MFG，∠2=∠NFG，∴∠MFN=∠1+∠2，又∵∠1=∠BME，∠2=∠DNE，∴∠BME=3∠1，∠DNE=3∠2，又∵∠BME+∠DNE+∠MEN=360°，∴3∠1+3∠2+∠MEN=360°，即3∠MFN+∠MEN=360°；（2）①∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系为：∠DNE﹣∠BME=∠MEN．理由如下：如图丙，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠DNE=∠FEN，∠BME=∠FEM，又∵∠FEN﹣∠FEM=∠MEN，∴∠DNE﹣∠BME=∠MEN；②点G的大致位置如图丁所示：设MG与NE交于点Q，NG与AB交于点F，设∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，∵∠EQM=∠GQN，∴∠E+∠EMQ=∠G+∠GNQ，即∠GNQ=∠E+∠EMQ﹣∠G=4β+3α﹣β=3α+3β，∵∠1是△GFM的外角，∴∠1=∠G+∠GMF=β+α，又∵AB∥CD，∴∠GND=∠1=α+β，∴∠ENG：∠GND=（3α+3β）：（α+β）=3．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质的运用，过拐点作平行线，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解决问题的关键．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED=70°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．【分析】（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得∠D=∠AHE=40°，再根据∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°；（2）依据AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角，即可得到∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）设∠EAI=α，则∠BAE=3α，进而得出∠EDK=α﹣2°，依据∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，可得3α=22°+2α﹣4°，求得∠EDK=16°，即可得出∠EKD的度数．【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D=∠AHE=40°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°，故答案为：70；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．理由：∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）∵∠EAI：∠BAI=1：2，∴设∠EAI=α，则∠BAE=3α，∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，∴∠EDK=α﹣2°，∵DI平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，即3α=22°+2α﹣4°，解得α=18°，∴∠EDK=16°，∴在△DKE中，∠EKD=180°﹣16°﹣22°=142°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．【分析】（1）依据AC平分∠DAB，∠1=∠2，即可得到∠2=∠BAC，进而判定CD∥AB．（2）当∠ADC=120°时，∠1=∠2=30°，依据∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F=∠2=30°．（3）依据DH∥BC，AC⊥BC，可得DH⊥AC，进而得到∠ADH=∠CDH，据此可得当∠GDC=∠ADH时，∠CDG=∠CDH=∠ADH，即可得到∠CDH=×180°=60°．【解答】解：（1）如图，∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠BAC，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠BAC，∴CD∥AB．（2）当∠ADC=120°时，∠1=∠2=30°，∵点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，∴∠2是△CEF的外角，∴∠E+∠F=∠2=30°．（3）∵DH∥BC，AC⊥BC，∴DH⊥AC，又∵∠1=∠2，∴∠ADH=∠CDH，∴当∠GDC=∠ADH时，∠CDG=∠CDH=∠ADH，∴∠CDH=×180°=60°．故当∠CDH为60度时，∠GDC=∠ADH．【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质的运用，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．即内错角相等，两直线平行．22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；（3）猜想：若∠E n=α度，那∠BEC等于多少度（直接写出结论）．【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；（3）根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；…据此得到规律∠E n=∠BEC，最后求得∠BEC的度数．【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴由（1）可得，∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴由（1）可得，∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；（3）如图2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；…以此类推，∠E n=∠BEC，∴当∠E n=α度时，∠BEC等于2nα度．【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．。
(完整版)平行线中常见拐角问题
2018年05月24日初中数学的初中数学组卷评卷人 得分.选择题（共60小题）1.如图：已知 AB// CD// EF, EH 丄CD 于 H ,则/ BAG /ACE+/CEH 等于（ ）A . 180°B. 270°. 360° D. 4503.学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时， 需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角Z A 是120°,第二次拐的角Z B 是150°,第 三次拐的角是Z C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则Z C 是多 少度？请你帮小明求出（）A . 120°B. 130°C. 140° D. 150°4.如图，已知 AB// CD,Z EBA=45,那么Z E+Z D 的度数为（）a 、ZB Z 丫之间关系是（）C. Za-Z B +Z 丫 =180°.Z a +Z B _Z 丫 =180A . Z a +ZB +Z 丫 =180° B.D . 906.如图，直线 / 2=22°则/ 3的度数为（2=30°则/ 3的度数为（3a /b ,Z 1=50°/ C=45°,则/ E 的度数是（A DOA . 60° B.70 C . 110° D. 80°8.如图所示, AB// DE,Z 1= 130° / 2=36° 则/ 3 等于(ZL D E A . 50° B.86 C. 94°D .166° 9 .已知，如图，AB / CD, / DCF=100,则/AEF 的度数为（A . 72° B. 68° C. 63° D . 18° 11.如图，AB// DE,/ B+Z C+Z D=()13.女口图，AB / EF, BC 丄CD 于 C , Z ABC=30, Z DEF=45,贝UZ CDE 等于( )14.如图，AB// CD,且Z BAP=60- a, Z APC=45+ a, Z PCD=30- a,则 a ()/ D=43°, / B=25°,则/ DEB 的度数为(A . 180°B. 360°C. 5400 D. 270Z ECD=25,则Z E=(A . a + Y -B B .供厂口 C. 180 + 丫- a- B D. 180 + a + B~ 丫16.如图，AB// MP // CD, MN 平分/ AMD ,/ A=40°, / D=60°,那么/ NMP 的 度数是()A . 40° B. 30° C. 20° D . 10°17.如图所示，AB// CD,/ 2=- / 1,/ 4=100°,则/3=()19.如图，B, 丫的式子表示9,贝U B=a,30A . 100°B. 120°C. 140° D. 160A . 180°B. 360°C. 540° D. 720°AB// EF// CD,/ ABC=46, / CEF=154,则/ BCE等于（）AC --------------------- DA. 23°B. 16°C. 20°D. 26°20. 如图所示，OP// QR// ST,若/ 2=110° / 3=120° 则/ 1 的度数为（）21. 如图，已知AB// ED,则/ B+/ C+/D的度数是（）A. 180°B. 270°C. 360°D. 450°22. 如图，已知△ ABC中，AB// EF, DE// BC,则图中相等的同位角有（）A. 二组B.三组C.四组D.五组23. 如图，/ ABE=110,若CD// BE,则/ 1 度数为（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°24. 如图，在△ ABC中，/ C=90°,若BD// AE,Z DBC=20,则/ CAE的度数是0'A . 40° B. 60° C. 70° D . 8025.在△ABC 中，/ ABC=90, / A=50°, BD// AC,则/ CBD 等于()C.Z A+Z E-Z D=180o D .Z A+Z E+Z D=270° 28.（经典题）如图所示，两平面镜 a B 的夹角为60°,入射光线AO 平行于B 入射到a 上，经两次反射后的反射光线 O 呼行于a,则Z 1的度数为（）A . 40° B. 50° C. 45° D . 60°/ ABF=-/ ABE / CDF=_ / CDE 则/ E:Z F=(^5 327.如图所示，若AB//CD,则/ A ,Z D ,Z E 之间的度数关系是（ ）( )ACS DC. 3: 2 D . 4: 3B.Z A -Z E+Z D=180°A. 60°B. 45°C. 30°D. 750'29.如图，已知 AB// DC, AD // BC,Z B=80°, / EDA=40 ,则/CDO=( )30. 如图，已知/ AOP=/ BOP, PC// OA , PD 丄 OA,若/OPD=75 ,则/BCP 等于A . 15° B. 30° C. 35° D . 7531.如图，已知 AB// DE / B=20°, / D=130°,那么/ BCD 等于()A . 60° B. 70° C. 80° D . 90° 32.如图 AB// CD, / 仁 140° / 2=90° 则/3 的度数是()C DA . 40° B. 45° C. 50° D . 60°33. 如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过.如果第一次拐 的角A 是130°,第二次拐的角B 是150°,而第三次拐的角是C ,这时的道路恰D . 40 60°好和第一次拐弯之前的道路平行，则/ C等于（）O D.160°D=2/ DBC, / 1=/ 2,则/ DEB的度数为(35.如图,已知 AB// DE, / A=136° ° / C=164° ° 则/ D 的度数为（ ）36.如图，AB// CD,若EM 平分/ BEF FM 平分/ EFD, EN 平分/ AEF,则与/A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个丄CD 于 N ,/ EMB a ，则/ EFG 等于（） EF/nGA . 180°- a90 + a C . 180°+a D. 270°- a c , EO 丄b 于点D , OB 交直线C 于点B ,Z 仁130°,则/2等 40 D . 30°A . 30° B. 45° C. 60° D .无法计算 100° D. 120° D B. b //38.如图所示,o C .于（ ）39. 如图，如果AB// CD, CD// EF,那么/ BCE等于（）A.Z 1 + Z 2B.Z 2-Z 1C. 180°-/2+Z 1D. 180°-/ 1+Z 240. 如图，直线a// b, Rt A BCD 如图放置，/ DCB=90.若/ 1 + / B=70°,则/2 的度数为( )A. 20°B. 40°C. 30°D. 25°41. 已知，如图，AB// CD,/ A=70°, / B=40°,则/ ACD=( )A. 55°B. 70°C. 40°D. 110°那么/ D=( )43.如图，已知AB// CD, BC平分/ ABE / C=33°，则/ BED的度数是（）A . 16° B. 33° C. 49° D . 66°44.如图所示，直线a // b ，/ B=16°, / C=50°,则/ A 的度数为( )A . 24° B. 26° C. 34° D . 3647.已知：如图，AB / CD// EF, / ABC=50, Z CEF=150,则/BCE 的值为(49.如图，已知 AB// CD,/ DAB=60, / B=80°, AC 是/ DAB 的平分线，那么/)oC. 40° D .45° 20° D .60°ACE 的度数为（50.如图，直线a // b ,射线DC 与直线a 相交于点C ,过点D 作DEIb 于点E, 已知/仁25°,则/ 2的度数为（ ）—akDEA . 115°B. 125°C. 155°D. 165 51 .如图，直线 a / b ，直角三角形如图放置，/ DCB=90 .若/ 1+Z B=70°,则 /2的度数为（ ）53.将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置.已知/仁30°,则/2的度数为（ ） A . 80° B. 60 C. 110° D. 120/ ECF=70,则/ FAG 的度数是（54.如图，/仁40°如果CD// BE,那么/ B 的度数为（ ）Kb. _______ DR EA .160°B. 140°C. 60° D . 5055. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若/ 56. 如图，已知 AB// CD, / 2=120°则/ 1的度数是（ ）A . 30° B. 60° C. 120° D. 15057. 如图，桌面上有木条b 、c 固定，木条a 在桌面上绕点O 旋转n° （0v n v 90）58. 如图所示，已知 AB// CD, CE 平分/ ACD,当/A=120°时，/ ECD 的度数是 （ ）1= 65°则/ 2的度数D . 25°A . 45° B. 40° C. D . 30 35° 则/ 口为（ D . 40 D . 80BAC=120,则/ C 的度数是（2018 年05 月24 日初中数学的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共60 小题）1．【解答】解AB//CD,•••/ BAC+Z ACD=180,同理/ DCE+Z CEF=180,•••Z BAC+Z ACE+Z CEF=360;又••• EH丄CD于H,•Z HEF=90,,•Z BAC+Z ACEV CEH Z BAO Z ACEV CEF-Z HEF=360 - 90°270°.故选：B．2．【解答】解：如图,作EF/ AB,••• AB// CD,•EF/ CD,••• EF// AB,•Z a+Z AEF=180,••• EF// CD,•Z 丫= DEF,而Z AEF+Z DEF=/ B,•Z a+Z B =18（+Z Y即Z a+Z B_Z Y= 180°故选：D．3.【解答】解：作BD// AE,如图, ••• AE/ CF,••• BD// CF,••• BD// AE,•••/ ABD=Z A=120°,•••/ DBC=150- 120°30°,••• BD// CF,•••/ C+Z DBC=180,•••/ C=180 - 30°150°.4.【解答】解：：AB//CD, •••Z ABE=/ CFEvZ EBA=45,•Z CFE=45,•Z E+Z D=Z CFE=45, 故选：B.5.【解答】解：如图，•••直线h// 12,.•./ 4=Z 仁50°, vZ 4=Z 2+Z 3,:丄 3=50°- 22°=28°.6.【解答】解：v a/ b,.Z 1=Z 4,vZ 4为三角形外角，.Z 4=Z 2+Z 3,即Z 1=Z 2+Z 3,vZ 仁50°, Z 2=30°,.Z 3=20°,7.【解答】解：过点E作一条直线EF// AB,则EF// CD, .Z A=Z 1, Z C=Z 2 ,.Z AEC Z 1+Z 2=Z A+Z C=70 .故选：B.8.【解答】解：过点C作平行于AB的直线MN，则MN // DE, ••• MN // DE,Z 2=36°,•••/ MCD=Z 2=36°,••• AB// MN，/ 仁130°,•••/ MCB^Z 1= 180°,•••/ MCB=5° ;•••/ 3=Z MCB^Z MCD=50 +36°=86°.故选：B.D E9.【解答】解：I/ DCF=100,•••/ DCE=80,••• AB// CD,•••/ AEF=/ DCE=80.故选：D.10.【解答】解：T AD//CB,/ D=43 ,•••/ C=/ D=43 ,•••/ DEBECB的外角，且/ B=25,•••/ DEB=/ B+/ D=68 ,故选：B.11.【解答】解：过点C作CF// AB,••• AB// DE,••• AB// DE// CF•••/ 1+Z B=180°, / 2+Z D=180 ,•••/ B+Z BCD F Z D=Z B+Z 1 + Z 2+Z D=180+180°360°. 故选：B.12.【解答】解：过点E作EF/ CD,••• AB// CD,••• EF// AB,vZ ABE=120 ,•••Z BEF=60,v EF// CD, Z ECD=25 ,•Z FEC Z ECD=25 ,•Z E=Z BEF+Z ECD=60+25°85°.故选：C.13.【解答】解：作CM // AB, DN// AB,由AB// EF,得至U AB// CM // DN// EF,• Z ABC=/ BCM=3° , Z DEF=/ GDE=45 , Z MCD=Z CDQ••• BC丄CD,：/ BCD=90,•••/ MCD=/ CDG=6°,CDE/ CDG F/GDE=105.故选：A.14.【解答】解：过点P作PM// AB,••• AB// PM // CD,BAP=/ APM,/ DCP=/ MPC,APC=/ APM+/ CPM=/ BAP+/ DCR• •• 45° a = 60°- a) + (30°- a),解得a =15故选：B.15.【解答】解：过点E作EM// AB,过点F作FN//CD,由平行线的传递性得，AB // EM// NF// CD,••• EM// AB,•••/ a = AEM,••• FN// CD,•••/ B = CFN,••• EM// FN,•••/ MEF+/EFN=180,又/ 9 = AEM+Z MEF=Z a+180°-(/ 丫-/® =180°/ a+Z p-Z Y故选：D.16.【解答】解：T AB// MP//CD, •••Z AMP=Z A=40°, Z PMD=Z D=60 ,•••Z AMD=Z AMP+Z PMD=100 ,••• MN 平分Z AMD,•Z AMN=50 ,•Z NMP=Z AMN-Z AMP=10 .故选：D.17.【解答】解：：AB//CD,•Z 仁Z 5,vZ 4+Z 5=180°, Z 4=100°,•Z 仁Z 5=80°,•Z 2丄Z 仁40°,2v AB// CD,•Z 2+Z 3=180°°则Z 3=140°.故选：C.18.【解答】解：作EM// AB, FN// AB,••• AB// CD,：AB// EM// FN// CD.•••/ A+Z AEM=180 ,Z MEF+Z EFN=180, / NFO Z C=180,•••/ A+Z AEF+Z EFG Z C=540.19.【解答】解：T AB// EF// CD,Z ABC=46,Z CEF=154,•••Z BCD=/ ABC=46,Z FEG Z ECD=180,•••Z ECD=180-Z FEC=26,• Z BCE Z BCD-Z ECD=46- 26°=20°.故选：C.20.【解答】解：T OP// QR// ST, Z 2=110°,Z 3=120°,•Z 2+Z PRQ=180,Z 3=Z SRQ=120,•Z PRQ=180- 110°=70°,•Z 1=Z SRQ-Z PRQ=50,故选：B.21.【解答】解：过点C作直线MN // AB,则MN // ED.•••/ MCBi■/B=180°, / MCD+Z D=180.•••/ B+Z BCD F Z D=Z MCB+Z MCD+Z B+Z D=180+180°=360°.故选：C.A B22.【解答】解：T AB// EF, DE// BC,•••Z EFC Z B,Z CEF Z A,Z AED=Z C,Z ADE=/ B,共4对同位角，故选：C.23.【解答】解：：CD// BE,•Z AFD=/ ABE=11O, vZ 1+Z AFD=180,•Z 1= 180°—110°=70°.24.【解答】解：过点C作CF// BD,贝U CF// BD// AE. • Z BCF Z DBC=20,vZ C=90,•••/ FCA=90- 20=70°.v CF// AE ,•••Z CAEN FCA=70.25.【解答】解：vZ ABC=90,Z A=50,• Z C=180 -Z A -Z ABC=40,v BD// AC,• Z CBD=/ C=40.故选：A .26.【解答】解：过点E 、F 分别作AB 的平行线EG FH ,由平行线的传递性可得AB // EG// FH// CD,v AB// FH,：Z ABF=Z BFH,v FH// CD,：Z CDF=/ DFH,• Z BFD=/ DFH+Z BFH=/ CDF+Z ABF ;同理可得Z BED=/ DEG Z BEG=/ ABE^Z CDEvZ ABF 二 Z ABE, Z CDF 二 Z CDEV J• Z BFD=/ DFH+Z BFH=/ CDF+Z ABF 壬（Z ABE^Z CDE • Z BED Z BFD=3 2.故选：C.Z BED0'29.27.【解答】解：过点E 作AB// EF,••• AB// CD,••• AB// CD// EF,•••/ A+Z AEF=180, / D=Z DEF•••/ A+Z AEF+Z DEF=180+Z D , 即 Z A+Z E-Z D=180.28.【解答】解：如图，由光学原理知, V all O ,•••Z 3=60°,•••Z 仁 180°- 60° X 2=60°.故选：A .2=Z 3;【解答】解：V AB// DC,0'29.:丄 DCON B=80 °••• AD// BC,•••/ ADCN DCO=8D,又/ EDA=40,•••/ CDO=180-Z EDA- / ADC=60故选：C.30.【解答】解：：PC//OA,•••/ BCP=/ BOA=/ BOP+/ AOP, 又v/ AOP=/ BOP,•••/ BCP=/ AOP;在Rt A OPD 中，PD丄OA,/ OPD=75 ,/ AOP=90 -/ OPD=90 - 75°=15°°•••/ BCP=/ AOP=30.故选：B.31.【解答】解：过点C作CF// AB,v AB// DE,••• AB// DE// CF•••/ B=/ BCF / FC&/D=180,•••/ BCD=180-/ D+/ B=180°-130°+20°=70°.32.32.【解答】解：过E作直线EF// AB, ••• AB// BC,••• EF// CD;•••/ 1+Z 4=180°,又/仁140°,•••/ 4=40°,vZ 2=90°°•••/ 5=90°-Z 4=90°- 40°=50°.v EF// CD,•••Z 3=Z 5=50°.故选：C.33.【解答】解：过点B作ED// AF, v GC// AF,•ED// CGv ED// AF,•Z 3=Z A=130°,于是Z 2=150°- 130° =20°,又ED// CG•Z C=180-Z 2=180°- 20°=160°.故选：D.34.【解答】解：T DE// BC,A Z D+Z DBC=180; 又•••/ D=2Z DBC •••/ D=120 , Z DBC=60;vZ 仁Z 2,：Z 1=Z 2=30°,•••Z 2=Z DEB=30 （两直线平行，内错角相等）故选：A.35.【解答】解：过点C作CF// AB,•Z ACF=180-Z A=180°- 136°=44°,vZ ACD=164,•Z DCF=164-Z ACF=164 - 44°=120°,v AB// DE,•CF// DE,•Z D=180 -Z DCF=180 - 120°=60°.B A36.【解答】解：v AB//CD,•Z AEF+Z EFC=180, Z BEf+Z EFD=180, Z AEN=Z ENF,v EM 平分Z BEF, FM 平分Z EFD, EN 平分Z AEF,•Z AEN=/ FEN, Z BEM=Z FEM , Z EFM=Z DFM,•Z BEM+Z MFD=90 ,vZ AEF+Z BEF=180,•Z AEh+Z BEM=90 ,则与Z BEM互余的角有Z AEN,Z NEF, Z ENF, Z EFM,Z MFD 共 5 个.第32页（共35页）40.第33页（共35页）故选：B.37.【解答】解：过F 作FH// AB ,由AB //CD,得至U FH// CD,•••/ a= EFH / HFN ■/ FND=180 ,••• FG 丄CD,A Z FND=90,•••/ HFN=90,•••/ EFG W EFF+Z HFN=90 + a.故选：B.38.【解答】解：如图所示，过点0作OA// b ，则Z DOA=90,OA // c , 所以Z 2=Z 3=Z 1-Z DOA=130 - 90°40 度.故选 C .39.【解答】 解：T AB// CD, CD// EF. •••Z BCD=/ 1,Z ECD=180-Z 2. •••Z BCE=180-Z 2+Z 1.故选：C.【解答】解：TZ 3为三角形的外角,•••/ 3=Z 1 + Z B=70°,a// b,•••/ 3+Z 4+Z 2=180°,vZ 4=90°, / 3=70°,•••/ 2=20°.故选：A.41.【解答】解：v AB//CD,•••Z A=Z ACD,又vZ A=70°,•Z ACD=70.故选：B.42.【解答】解：vZ 1与Z 2为对顶角, •Z 仁Z 2=50°,v AB// DE,•Z 2+Z D=180 ,则Z D=130 ,故选：C.43.【解答】解：T AB//CD,/ C=33,•••/ ABC=/ C=33,••• BC平分/ ABE•••/ ABE=2/ ABC=66,••• AB// CD,•••/ BED=/ ABE=66.故选：D.44.【解答】解：•••直线a// b, •••/ 仁/ C=50,1=/ A+/B,•••/ A=50°- 16°=34°.故选：C.45.【解答】解：：BC// DE,•••/ 仁/ B=70°,••• AB// EF,•••/ E+/ 1=180°,•••/ E=180 -/ 1= 180 - 70°=110°.故选：B.46.【解答】解：：AB//CD,•••/ BEF=/ C=70,vZ BEF=/ A+Z F,•••/ A=70°- 30o=40°.故选：C.47.【解答】解：v AB//CD// EF,•••Z ABC=Z BCD=50,Z CEI+Z ECD=180;•••Z ECD=180-Z CEF=30,•Z BCE=Z BCD-Z ECD=20.故选：C.48.【解答】解：v a// b,•Z DBC=80,•Z ABD=180 - 80°100°.故选：D.49.【解答】解：v AB//CD,•Z DCA=Z CAB Z ECD=Z B=80,又v AC平分Z DAB,•Z DCA=Z CAB丄Z DAB=30 .2第36页（共35页）第37页（共 35页）•••/ ECA W DCA+Z ECD=11O.故选：C.50.【解答】解：如图，过点D 作c// a.则/ 仁/ CDB=25.又 a / b , DE !b ,••• b // c , DE !c ,•••/ 2=Z CDB F 90°115°.51.【解答】解：由三角形的外角性质，/ 3=Z 1 + ZB=70O ,••• a / b ,Z DCB=90,•••/ 2=180° -Z 3 -90°180° - 70° - 90°20°.故选：A .52.【解答】解：如图，T AB / ED,Z ECF=70,•••Z BAC=ZECF=70,:丄 FAB=180-/ BAC=11O.又••• AG平分/ BAC •••/ BAG=-/ BAC=35,2•••/ FAG=z FAB F Z BAG=145.故选：B.53.【解答】解：：a// b,:丄 2=Z 3,vZ 1+Z 3=90°,•••/ 3=90°- 30°=60°,•••Z 2=60°.54.【解答】解：如图，vZ 仁40°,•Z 2=180°- 40°=140°,v CD// BE,•Z B=Z 2=140°.55.【解答】解：v AB//CD,•••/ 3=Z 仁65°,•••/ 2=180°-Z 3 -90°=180°- 65° - 90°=25°.故选：D.56.【解答】解：：AB//CD,•••Z仁Z 3,vZ 2=120°, Z 3+Z2=180°,• Z 3=60°.故选：B.57.【解答】解：木条a在桌面上绕点O旋转30° (0v n v90)后与b平行，理由为: 旋转30°后，得到一对内错角都为70°,利用内错角相等两直线平行得到 a / b.故选：B.58.【解答】解：v AB//CD,Z A=120 ,•Z DCA=180-Z A=60°,v CE平分Z ACD,•Z ECD丄Z DCA=30 ,故选：D.■/ m II n,• ••/ a=仁50°,故选：c.60.【解答】解：：AB//CD, •••/ A+Z C=180而/ BAC=120,•••Z C=180 - 120°=60°.故选：B.。
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拐角问题——基本图形及辅助线方法技巧方法技巧1．过折线的拐点作平行线，用平行公理推论得到多条平行线，再转化角．2．涉及到角平分线问题，往往设未知数导角或列方程求解．题型一平行线＋单拐点（＋角平分线等）模型【例1】如图1，点A，C，B不在同一条直线上，AD∥BE．（1）求证：∠B＋∠ACB－∠A＝180°；（2）如图2，HQ，BQ分别为∠DAC，∠EBC的平分线所在的直线，试探究∠C与∠AQB 的数量关系；题型二平行线＋双拐点（＋角平分线等）模型【例2】如图1，AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，求∠F的度数；【解答】分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN．又∵AB∥CD，AB∥FN．∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN ＝＝70°，易得∠EFN＝∠MEF＝∠BEF－∠BEM＝50°－20°＝30°．∴∠EFD＝∠EFN＋∠NIFD＝30°＋70°＝100°．（2）如图2，探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；．【解答】分别过点E，F作EM∥AB，FN∥A B．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF＋20°，∠EFD＝∠EFN＋70°，∴∠EFD＝∠MEF＋70°，∴∠EFD＝∠BEF＋50°．（3）如图3，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．【分析】过点F作FH∥EP，结合（2）中结论，运用模型求解．【解答】过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF＋50°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝(2x＋50)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF ＝21∠BEF ＝x °，∠EFG ＝21∠EFD ＝(x ＋25)°，∵FH ∥EP ，∴∠PEF ＝∠EFH ＝x °，∠P ＝∠HFG ，∵∠HFG ＝∠EFG －∠EFH ＝25°，∴∠P ＝25°．针对练习51．如图，CD ∥BE ，则∠2＋∠3－∠1的度数等于（）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°2．如图，AB ∥DE ，∠C ：∠D ：∠B ＝2：3：4，则∠B ＝．3．如图，直线l 3，l 4与l 1，l 2分别相交于点A ，B ，C ，D ，且∠1＋∠2＝180°．（1）直线l 1与l 2平行吗？为什么？（2）点E 在线段AD 上，若∠ABE ＝30°，∠BEC ＝62°，求∠DCE 的度数．【解答】（1）直线l 1与l 2平行．理由如下：∵∠1＋∠BAE ＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠BAE ．∴l 1∥l 2．（2）过点E作EF∥AB交BC于点F，可得∠BEF＝∠ABE＝30°．∴∠FEC＝62°－30°＝32°．∵l1∥l2，∴EF∥CD，∴∠DCE＝∠FEC＝32°．5．将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，如图，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD＋10°，∠CDE＝∠E＝105°．（1）求∠F的度数；（2）计算∠B－∠CGF的度数是；（直接写出结果）（3）连接AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD？并说明理由．【解答】（1）∵AF∥DE，∴∠F＋∠E＝180°．∴∠F＝180°－105°＝75°．（2）作MC∥AF．∵AF∥DE，∴AF∥CM∥DE，∴∠BCM＝∠FGC，∠MCD＝∠CDE，∴∠BCD＝∠BCM＋∠MCD＝∠CGF＋∠CDE，∠B－∠CGF＝∠BCD＋10°－∠CGF＝∠CGF＋∠CDE＋10°－∠CGF＝∠CDE＋10°＝115°．（3）当∠ADE＋∠CGF＝180°时，BC∥A D．理由如下：∵AF∥DE，∴∠GAD＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠CGF＝180"．∴∠GAD＝∠CGF．∴BC∥A D．整体思想求角题型一设单个未知数求定角方法技巧巧设题目未知数，用该未知数表示其它未知角，然后运用角的和或差计算出定角【例1】如图1，直线MN 与直线AB ，CD 分别交于点E ，F ，AB ∥CD ，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 的延长线与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且CH ⊥EC ．（1）求证：PF ∥GH ；（2）如图2，连接PH ，K 是GH 上一点，∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由图1图2【分析】（1）过点P 作AB 的平行线交MN 于点T ，运用平行线+拐点模型求∠EPF ，再根据∠ECH 的大小关系求解；（2）设∠PHK =∠HPK =x ，用x 表示未知角，运用整体思想求解。
【解答】（1）过点P 作AB 的平行线交MN 于点T ，∵AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°。
∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，∴∠BEP +∠PFD =12（∠BEF +∠EFD ）=90°．易证∠EPF =∠BEP +∠PFD =90°。
∵GH ⊥EG ，∴∠EGH =∠EPF =90°，∴PF ∥GH（2）∠HPQ 的大小不发生变化，理由如下：设∠PHK =∠HPK =x ．∵PF ∥GH ，∴∠FPH =∠PHK =x ．易得∠FPK =2x ，∠EPK =90°+2x ．∵PQ 平分∠EPK ，∴∠QPK =12∠EPK =45°+x 。
∴∠HPQ =∠QPK －∠HPK ＝45°+x -x =45°。
∴∠HPQ 的大小不变，∠HPQ =45°题型二设两个未知数求定角方法技巧题目中未知角与某两个未知的角有关，此时设两个未知数求定角【例2】如图，AB∥CD，∠DBC=2∠ABC，∠BCD的平分线CE交BD于点E，连接AE，∠BDC=6∠BAE，求∠AEC的度数【分析】本题有两个未知角，∠BAE和∠BCE，设两个未知数，建立角的联系，整体求解【解答】过点E作EF∥AB,∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF．∴∠A＝∠AEF，∠DCE=∠CEF∴∠AEC=∠AEF＋∠CEF＝∠A＋∠DCE∵∠BCD的平分线CE交BD于点E．∴可设∠DCE＝∠BCE＝x，则∠AHC＝2x∴∠DBC＝2∠ABC＝4x设∠BAE＝y，则∠BDC＝6∠BAE＝6y，易得∠ABD＋∠BDC＝180°，∴2x+6y+4x=180°，∴x＋y＝30°，∴∠BAE＋∠DCE=x＋y=30°，∴∠AEC=30°，题型三求角的和、差、倍、分为定值方法技巧设未知数，列式将所求角的和差整体计算出来【例3】如图，AB∥EF，∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，GF∥DE，已知∠ACD＝90°，求2∠AGD＋∠GFE的值【分析】过拐点C，D，G分别作AB的平行线，设∠BAC=2x，∠CDE=2y，其它角用x，y 表示出来。
【解答】过点C，D，G分別作AB的平行线CM，DN，GT设∠BAC=2x，∠CDE=2y，易得∠BAG=∠GAC=x，∠CDG=∠GDE=y，∠BAC＋∠CDN=∠ACD=90°，∴∠CDN＝90°－2x∴∠TGD=∠GDN=90°-2x-y，∠NDE=y-（90°-2x-y）=2x＋2y－90°，易证∠NDF＋∠E=180°=∠GFE＋∠E.∴∠GFE=∠NDE=2x＋2y－90°∴∠AGD=∠AGT+∠TGD=∠BAG+∠GDN=x+90°-2x-y=90°-x-y．∴∠AGD+∠GFE=180°-2x-2y+2x+2y-90°=90°题型四求角的比值为定值设未知数，列式将所求角的比值整体计算出来【例4】如图，已知AM∥BN，∠DAB＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），∠ABP和∠PBN的平分线分别交射线AM于点C，D．∠DAB的平分线与∠DBN的平分线交于点H，在点P运动的过程中，∠CBN与∠AHB的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出其变化规律【分析】过点H作HG∥AM．设∠DBN＝2x，导角可求出比值【解答】设∠DBN=2x，过点H作HG∥AM，∵AM∥BN，∴AM∥BN∥GH，易证∠PBD＝2x，∠ABN＝120°，∠ABP＝120°－4x，BC平分∠ABP，∴∠ABC＝∠CBP＝60°-2x，∴∠CBN=∠CBP+∠PBN＝60°-2x+4x＝60°+2x，易证∠AHB＝∠DAH＋∠HBN=30°+x，∴∠CBN：∠AHB＝（60°+2x）:(30°+x)=2针对练习1.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分线交于点F，求∠MFN的度数．【解答】过点E作EH∥AB，过点F作FQ∥AB．设∠AMF=∠EMF=x，∠ENF=∠FND=y，则∠MEH=180°-2x，∠NEH=180°-2y∠MEN=180°-2x+180°-2y=90°，x+y=135°∴∠MFN=∠AMF+∠FND=x+y=135°2.点A，C为射线l上两点，且AB∥CD（1）如图1，点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED；（2）如图2，若点E，F在线段AC上，且∠ABE=3∠ABF，DE平分∠FDC，∠ABE=60°，求2∠BED-∠BFD的度数。