大学高等数学统考期中卷

大学期中考试高等数学试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，属于奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^42. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1在x=1处的导数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列极限中，属于无穷小的是（）A. lim x→0 (sinx/x)B. lim x→0 (1/x)C. lim x→0 (x^2)D. lim x→0 (x^3)4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1在区间[-2, 1]上的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是（）A. dy/dx = y^2B. dy/dx = 2xyC. dy/dx = x^2yD. dy/dx = 2y/x二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的导数为______。

7. lim x→0 (1 - cosx)/x^2 = ______。

8. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1的极值点为______。

9. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1的导数在x=1处的值是______。

10. 分离变量后，微分方程dy/dx = 2xy的解为______。

三、解答题（共50分）11. （10分）求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。

12. （10分）求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的极值。

13. （10分）求极限lim x→0 (sinx/x)。

14. （10分）解微分方程dy/dx = 2xy。

15. （10分）证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) < 0，f(b) > 0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。

注意：本试卷共75分，考试时间为120分钟。

2023秋高等数学(一)期中复习卷

高等数学（一）期中复习题一、选择题1.函数)(x f 在0x 处连续的是)(lim 0x f x x →存在的()．A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．无关条件2.)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在0x 处连续的()．A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．无关条件3.设22)(--=x x f ，则)(lim 2x f x →是()．A．1B．1-C．0D．不存在4.下列数列中收敛的是()．A．()nn x n 11+-=B．nx n =C．()211nn x -+=D．n25.在给定的变化过程中，()是无穷小．A．0,sin →x x xB．∞→x xx ,1sin C．∞→x xx ,cos D．0,tan →x xx6.函数()()412)(-++=x x x x f 的连续区间为()．A．[)()4,11,2--⋃--B．()()+∞⋃-,44,1C．[)()+∞⋃-,44,2D．[)),4()4,1(1,2+∞⋃-⋃--7.若,432lim 23=-+-→x kx x x 则()=k ．A．3B．3-C．1D．1-8.)(x f 在),(b a 内连续，且lim (),lim ()x ax bf x f x +-→→都存在，则)(x f 在),(b a 内()．A．有界B．无界C．有最大值D．有最小值9.若.)(lim )(lim 0A x f x f x x x x ==-+→→则下列说法中正确的是（）．A ．)(x f 在0x 处有定义B ．)(x f 在0x 处连续C ．Ax f =)(0D ．Ax f x x =→)(lim 010.函数xx x f 1sin)(=在点0=x 处（）．A ．有定义且有极限B ．无定义但有极限C ．有定义但无极限D ．既无定义又无极限11.设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ()A．()x x f ∆+0B．()xx f ∆+0C．()()00x f x x f -∆+D．()xx f ∆012.设()x f 在0x 处可导，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ()A．()0x f '-B．()0x f -'C．()0x f 'D．()02x f '13.函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14.设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=xy d d ()A．()2xf 'B．()2xf x 'C．()22xf x 'D．()22x f x 15.若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ()A．左导数存在；B．右导数存在；C．左右导数都存在D．有定义16.()2-=x x f 在点2=x 处的导数是()A．1B．0C．-1D．不存在17.曲线x y ln =上某点的切线平行于直线32-=x y ,该点的坐标是（）.A.)2ln ,21( B.)2ln ,21(- C.)21ln ,2( D.21ln ,2(-18.设函数)(x f y =在0x 处可导,且2)(0='x f ,则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 切线与x 轴（）.A.平行B.垂直C.夹角是锐角D.夹角是钝角19.函数x x f sin )(=在点0=x 处是（）.A.无定义B.有定义但不连续C.连续且可导D.连续但不可导20.导数等于x 2cos 21的函数是（）.A.x 2cos 21 B.x 2sin 41 C.x 2sin 21D.x 2sin 211-21.在区间[1,1]-上满足拉格朗日中值定理条件的函数是()A 1y x=B 23y x=C 43y x =D ln y x=22.下列函数为单调函数的是()A ()2ln 1y x =+B exy x =C y x=D sin y x x=+23.设函数22ln y x x =-,那么在区间()1,0-和()0,1内,y 分别为().A 单调增加,单调减少B 单调增加,单调增加C 单调减少,单调增加D 单调减少,单调减少24.下面结论正确的是()A 若()0'0f x =,则0x 一定是函数()f x 的极值点B 可导函数的极值点必是此函数的驻点C 可导函数的驻点必是此函数的极值点D 若0x 是函数()f x 的极值点,则必有()0'0f x =25.设在区间(),a b 内,函数()f x 的一阶导数()'0f x >,二阶导数()0f x "<,则曲线()y f x =在此区间内()A 单调下降且是凸的B 单调下降且是凹的C 单调上升且是凹的D 单调上升且是凸的26.函数sin y x x =-在()2,2ππ-内的拐点个数是()A 1个B 2个C 3个D 4个27.曲线31xy x =-的渐近线方程为()A 1x =和3y =B 3x =和1y =C 1x =D 3y =28.已知曲线3262a b y x x =-的拐点是()1,1-,则,a b 的值分别为()A 1,3B 3,1C 3,3D 3,-329.下列求极限问题不能使用洛必达法则的是()A 2tan limtan 3x x xπ→B 0limsin x x x→C cos lim x x x x →∞+D 432216lim 5616x x x x x →-+--30.设M 和m 分别是函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值,若m M =,则()'f x ()A 等于0B 小于0C 等于1D 不确定二、填空题1.已知函数f(x)=1x−1−x 2，则f(x)的定义域为；2.已知函数f(x)=1，则f(x)的定义域为；3.已知函数f(x)=f(x)的定义域为；4.函数2lglg xy =是由简单函数复合而成；5.函数31x y +=是由简单函数复合而成；6.函数()1sin 2+=x y 是由简单函数复合而成；7.设⎩⎨⎧<≤+<<-=20,1,02,sin )(2x x x x x f ，()ππf f f ,4,)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；8．已知函数2,10g()1+1,1--<<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩x x x x x ，则g(1)=____，g(3)=_____，g(2)-=____;9．已知函数31,3()2,0331,0⎧+≥⎪=--≤<⎨⎪-<⎩x x f x x x x x ，则(2)f -=____,(1)f =____,(2)f =_____;10.21()9=-f x x 的间断点是.11.21()4=-f x x 的间断点是.12.21()1=-f x x 的间断点是.13.当x →________时，函数12+=-x y x 是无穷大,当x →________时，函数12+=-x y x 是无穷小。

大学高数期中考试试卷

大学高数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=$\frac{1}{x}$在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 可积2. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则：A. 必存在最大值B. 必存在最小值C. 必存在零点D. 以上都不对3. 微分方程$\frac{dy}{dx} + y = e^x$的解是：A. $y = e^x - xe^x$B. $y = e^x + ce^{-x}$C. $y = e^x - ce^x$D. $y = e^x$4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 无法确定5. 函数$\sin(x)$的原函数是：A. $x$B. $\cos(x)$C. $-\cos(x)$D. $\sin(x)$6. 若f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在该区间内：A. 必定单调递增B. 必定单调递减C. 必定连续D. 以上都不对7. 曲线y=$\sqrt{x}$与直线x=4所围成的面积是：A. $\frac{16}{3}$B. $\frac{32}{3}$C. $\frac{64}{3}$D. $\frac{128}{3}$8. 函数$\ln(x)$的泰勒展开式是：A. $x - 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + \cdots$B. $x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots$C. $x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots$D. $\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} -\cdots$9. 若$\int_{0}^{1} f(x)dx = 2$，则$\int_{0}^{1} x f(x)dx$的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定10. 函数$\frac{1}{1+x^2}$的不定积分是：A. $\ln(1+x^2)$B. $\arctan(x)$C. $\ln|x|$D. $\ln|x+1|$二、填空题（每空1分，共10分）1. 若$\frac{dy}{dx} = 3x^2$，则$dy$ = __________。

数学系期中考试题及答案

数学系期中考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是素数？A. 4B. 6C. 9D. 11答案：D2. 函数f(x) = 2x + 3在x = 1处的导数是？A. 2B. 3C. 5D. 7答案：A3. 集合{1, 2, 3}与{3, 4, 5}的交集是？A. {1, 2}B. {3}C. {1, 2, 3, 4, 5}D. 空集答案：B4. 以下哪个图形是正弦曲线？A. 直线B. 抛物线C. 正弦波形D. 指数增长曲线答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 圆的面积公式是______。

答案：πr²2. 如果a = 3，b = 5，那么a² + b² = ______。

答案：343. 函数y = 4x - 6的图像通过点(2, ______)。

答案：24. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是______。

答案：17三、解答题（每题15分，共30分）1. 解方程：2x - 3 = 7答案：x = 52. 证明：如果a，b，c是正整数，且a² + b² = c²，那么a，b，c构成一个直角三角形。

答案：根据勾股定理，如果a² + b² = c²，则a，b，c构成一个直角三角形。

四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：对于任意实数x，y，有|x + y| ≤ |x| + |y|。

答案：根据三角不等式的性质，对于任意实数x，y，有|x + y| ≤ |x| + |y|。

五、应用题（15分）1. 一个工厂生产两种产品，产品A的利润是每单位10元，产品B的利润是每单位15元。

如果工厂每天生产产品A和产品B的总利润是1000元，且产品A的生产量是产品B的两倍，求产品A和产品B的生产量各是多少？答案：设产品A的生产量为2x，产品B的生产量为x，则有10 * 2x + 15 * x = 1000，解得x = 20，所以产品A的生产量为40，产品B的生产量为20。

大学高等数学高数期中考试试卷与答案 (1)

安徽大学2008—2009学年第一学期《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、下列陈述正确的是（）。

(A) 若方程组0m n A x ⨯=有唯一解，则方程组m n A x b ⨯=有唯一解(B) 若方程组m n A x b ⨯=有唯一解，则方程组0m n A x ⨯=有唯一解(C) 若方程组0m n A x ⨯=有无穷多解，则方程组m n A x b ⨯=有无穷多解(D) 若方程组m n A x b ⨯=无解，则方程组0m n A x ⨯=无解2、已知n 维向量组12,,,(2)s s ααα≥线性相关，则下列选项中必正确的是( )。

(A) 对于任何一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(B) 12,,,s ααα中任何两个向量线性相关 (C) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(D) 对于每一个i α都可以由其余向量线性表出3、设0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)1P A B P A B +=，则 ( )。

(A) 事件A 与事件B 互不相容 (B) 事件A 与事件B 对立 (C) 事件A 与事件B 不独立 (D) 事件A 与事件B 独立4、设~()X E λ（指数分布），n X X X ,,,21 是总体X 的样本，则参数λ的矩估计是( )。

(A) }{max 1i ni X ≤≤ (B) X 2 (C) X (D) 1/X5、设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，则下列结论正确的是( )。

(A) 22211()~()n i i X n μχσ=-∑ (B) 2211()~(1)ni i X X n nχ=--∑(C) 22211()~()ni i X X n χσ=-∑ (D) 2211()~(1)1nii X X n n χ=---∑院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------二、填空题（每小题2分，共10分）6、若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则k ＝。

高数期中考试题目及答案

高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。

答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。

答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。

答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。

答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。

答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。

2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。

答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。

答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。

5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。

答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。

答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。

大一高等数学期中试卷

高等数学期中试卷班级姓名计分一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．函数（）2．已知，2lim (2)0,2x x x →-=-则称函数当( )时为无穷小。

3．设x x x y arcsin 12-+=，则='y ______________________．4．设函数()x y y =由方程42ln 2x y y =+所确定，则=dx dy _______________．5.设 = _________．6.函数()22sin x x e x f x +--=在区间()∞+∞-，上的最小值为_____________． 7.3201sin limsin 2x x x x →=8.设()231ln e x y ++=，则='y 9.设⎩⎨⎧==t y t x ln 2 则=dxdy10.曲线23bx ax y +=有拐点()3,1，则，a= . b=二选择题（请选择一个正确答案序号填在括号中，共8小题，每小题3分共24分）1、指出下列哪些是基本初等函数（）（1）2y x =；(2) y =； 3；(sin y x = 4；)32ln(x y +=2、设在[0,1]上函数f(x)的图像是连续的，且()f x '>0,则下列关系一定成立的是( ) 1；f(0)<0 2；f(1)>0 3；f(1)>f(0) 4；f(1)<f(0)3、函数y=1+3x-x3有（）（A ）极小值-1,极大值1 （B ）极小值-2,极大值3 （C ）极小值-2,极大值2 （D ）极小值-1,极大值34、曲线1704,4y P x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭上一点处的切线方程是( )（A ）5x+16y+8=0 （B ）5x-16y+8=0 （C ）5x+16y-8=0 （D ）5x-16y-8=0351lim 232+--→x x x x5、31xy +=的反函数是（）A ；3ln 1y x =+（）B ；1y =C ；13-=x yD ；31x y e +=（）6、函数f(x)=xsinx+2x 2是（）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.有界函数7、设函数f(x)在区间I 连续,那么f(x)在区间I 的原函数（）A.不一定存在B.有有限个存在C.有唯一的一个存在D.有无穷多个存在8.函数y=ex-x-1单调增加的区间是（） A.[)+∞-,1 B.()+∞∞-, C.(]0,∞- D.[)+∞,0 三、求函数321)(2--+=x x x x f 的连续区间，并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x →（10分）四、求函数 y=e -x ×conx 的二阶及三阶导数（8分）五、判断曲线21y x x =- 的凹凸性和拐点（10分）六、某质点的运动方程是S=t 3-(2t-1)2,则在t=1s 时的瞬时速度为。

高等数学期中复习题加答案

高等数学期中复习题加答案# 高等数学期中复习题加答案一、选择题1. 函数f(x) = sin(x) + 2x^2在区间(-π, π)内是：- A. 单调递增- B. 单调递减- C. 有增有减- D. 常数函数答案：C2. 若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求导后f'(x) = 0的解为： - A. x = 1- B. x = 2- C. x = 1 或 x = 2- D. 无解答案：C3. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(2, 6)处的切线斜率为： - A. 0- B. 6- C. 12- D. 18答案：A4. 若∫(0 to 1) f(x) dx = 2，则∫(0 to 1) (2f(x) + 3) dx =： - A. 10- B. 8- C. 7- D. 无法确定答案：A5. 函数f(x) = e^x在区间[0, 1]的定积分的值为：- A. e - 1- B. 1 - e- C. 1- D. 0答案：A二、填空题1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5，则f''(x) = __________。

答案：6x + 22. 函数y = ln(x)的导数是 __________。

答案：1/x3. 若f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1，则f'(1) = __________。

答案：04. 定积分∫(1 to e) (x^2 - 1) dx的值是 __________。

答案：(e^3 - e^2 - 1)/35. 若曲线y = x^2与直线y = 4x相切于点(2, 8)，则切线方程是__________。

答案：y = 4x - 4三、解答题1. 求导数：给定函数f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1，求其导数f'(x)。

解答：\[ f'(x) = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 1 \]2. 求不定积分：计算不定积分∫(3x^2 - 2x + 1) dx。

高等数学期中复习题加答案

高等数学期中复习题加答案一、选择题1. 函数$ f(x) = x^2 - 3x + 2 $在区间$ (0, 2) $上的值域是：A. $ (-1, 1) $B. $ (-\infty, 1) $C. $ (-\infty, 2) $D. $ (-1, +\infty) $答案： A2. 极限$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $的值是：A. 0B. 1C. $ \frac{\pi}{2} $D. $ \infty $答案： B二、填空题1. 函数$ y = x^3 - 2x^2 + x $的导数是 $ y' =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$。

答案： $ 3x^2 - 4x + 1 $2. 定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ $。

答案： $ \frac{1}{3} $三、计算题1. 计算极限 $ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} $。

答案： 12. 求函数 $ f(x) = \ln(x) $ 在区间 $ [1, e] $ 上的定积分。

答案： $ x - e^x $ 在 $ [1, e] $ 上的定积分为 $ e - 2 $。

四、证明题1. 证明：函数 $ f(x) = x^3 $ 是严格递增函数。

答案：首先求导 $ f'(x) = 3x^2 $，由于 $ x $ 为实数，$ x^2 \geq 0 $，所以 $ f'(x) \geq 0 $。

当 $ x \neq 0 $ 时，$ f'(x) > 0 $，因此函数 $ f(x) = x^3 $ 是严格递增函数。

大学高等数学统考卷下13届期中考试附加答案

大学高等数学统考卷下 13届期中考试附加答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则下列极限存在的是（）A. lim(x→0) [f(x)/x]B. lim(x→0) [f(x)/x^2]C. lim(x→0) [f(x)/x^3]D. lim(x→0) [f(x)/x^4]2. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足0≤f(x)≤1，则下列不等式中正确的是（）A. ∫(0,1) f(x)dx ≤ 1B. ∫(0,1) f(x)dx ≥ 1C. ∫(0,1) f(x)dx = 0D. ∫(0,1) f(x)dx = 13. 设函数f(x)在区间[0,1]上可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（）A. f(0) > f(1)B. f(0) < f(1)C. f(0) = f(1)D. 无法判断4. 设行列式D=|a11 a12 a13|，则D的值等于（）A. a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32B. a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32C. a11a22a33 + a12a23a31 a13a21a32D. a11a22a33 a12a23a31 + a13a21a325. 设向量组α1, α2, α3线性相关，则下列结论正确的是（）A. α1, α2, α3线性无关B. α1, α2线性相关C. α2, α3线性相关D. α1, α2, α3线性独立二、填空题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，则f'(x) = ________。

2. 设函数f(x) = e^x，则lim(x→+∞) f(x) = ________。

3. 设行列式D=|a11 a12 a13|，若a11=a12=a13=0，则D=________。

4. 设矩阵A为3阶方阵，若|A|=0，则A的行列式等于 ________。

高数期中考试试题

高数期中考试试题高数期中考试试题一、概述高等数学是大学理工科专业中的一门重要课程，也是对学生数学思维和逻辑推理能力的一次全面考验。

期中考试是对学生基础知识和能力的一次检验，下面将给出一些典型的高数期中考试试题，帮助学生更好地复习和备考。

二、选择题1. 设函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 4，求f'(x)的导函数。

2. 已知函数f(x) = ln(x^2 + 1)，求f'(x)的导函数。

3. 求曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点坐标。

4. 设函数f(x) = sin^2(x)，求f''(x)的导函数。

5. 求函数f(x) = e^x在点x = 1处的切线方程。

三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。

解：首先求f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x = 1和x = 2。

将x = 1和x = 2代入f(x)得到f(1) = 0和f(2) = 2。

由于f''(x) = 6x - 6 > 0，所以x = 1是最小值点，x = 2是最大值点。

因此，f(x)的最小值为0，最大值为2。

2. 求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的反函数。

解：令y = ln(x^2 + 1)，则e^y = x^2 + 1，再令u = x^2 + 1，则e^y = u。

对u求导得到du/dx = 2x，对e^y = u求导得到d(e^y)/dy * dy/dx = 1，即e^y * dy/dx = 1。

将du/dx = 2x和e^y * dy/dx = 1代入，得到2x = 1，解得x = 1/2。

因此，函数f(x) = ln(x^2 + 1)的反函数为f^(-1)(x) = sqrt(e^x - 1)。

四、证明题证明：对任意实数x，有sin^2(x) + cos^2(x) = 1。

大学高等数学期中考试试卷及答案 (1)

2006—2007学年第一学期《本科高等数学(上)》试卷一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.)1. 设⎩⎨⎧>≤=1,01,1)(x x x f , 则{}=)]([x f f f .2. 设函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+=>-=⎰0,sin 0,80,)cos 1()(02x x dt e x b x x x x a x f x t连续，则=a ，=b .3．极限=+→xx x sin 20)31(lim .4．设 2)(lim0=→x x f x ,且)(x f 在0=x 连续,则)0(f '= .5．设方程0=--ye y x 确定函数)(x y y =, 则dx dy= .6．设x y x3cos 2-=, 则dy = .7．抛物线822++=x x y 在其顶点处的曲率为 .8．设)(x f 可导，{})]([x f f f y =，则='y .9．[]⎰-=-+-+aa dx x a x x f x f 22sin )()( .10．微分方程02=--'x x yy 的通解是 .二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）1. “数列极限存在”是“数列有界”的（）(A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件.2．极限=++∞→nn n n 32lim（）(A) 2; (B) 3; (C) 1; (D) 5;3．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（）(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.4．设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的( ). (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.5．设函数)(x f 二阶可导，且0)(0)(>''>'x f x f ，，令)()(x f x x f y -∆+=∆，当0<∆x 时，则( ).(A) ;0>>∆dy y (B) ;0<<∆dy y (C) ;0>∆>y dy (D) .0<∆<y dy6．若)()()(+∞<<-∞-=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)(>'x f ，0)(<''x f ，则)(x f 在),0(∞+内( ). (A) 0)(,0)(<''>'x f x f (B) 0)(,0)(>''>'x f x f(C) 0)(,0)(<''<'x f x f (D) 0)(,0)(>''<'x f x f7．设)(x f 在0x x =处二阶可导, 且1)(lim-=-'→x x x f x x ,则( ).(A) 0x 是)(x f 的极大值点; (B) 0x 是)(x f 的极小值点; (C) ))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点; (D) 以上都不是.8．下列等式中正确的结果是 ( ).(A)⎰=');()(x f dx x f (B) ⎰=);()(x f dx x df (C) ⎰=);(])([x f dx x f d (D) ⎰=');())((x f dx x f9．下列广义积分收敛的是( ).(A) ⎰∞+e dx x x ln (B) ⎰∞+e dx x x ln 1(C) ⎰∞+e dx x x 2)(ln 1 (D) ⎰∞+edx x x ln 110．设)(x f 在a x =的某个领域内有定义，则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是( ).(A) 存在)]()1([lim a f h a f h h -++∞→ (B)存在h h a f h a f h )()2(lim 0+-+→(C) 存在h h a f h a f h 2)()(lim 0--+→ (D)存在h h a f a f h )()(lim 0--→三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。

高等数学期中考试试卷及答案

高等数学期中考试试卷及答案XXX2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷一、判断题（每题2分，共10分）1、若数列{x_n}收敛，数列{y_n}发散，则数列{x_n+y_n}发散。

（×）2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x+)和limf(x-)都存在。

（×）3、limx→1 sin(πx/2) = limx→1 πx/2 = π/2.（√）4、limx→∞ sinx/x = 0.（√）5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有零点。

（√）二、填空题（每题2分，共10分）1、已知f'(3)=2，则lim(h→0) [f(3-h)-f(3)]/h = 2.（答案为2）2、y=π+xn+arctan(x)，则y'|x=1 = n+1.（答案为n+1）3、曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。

（答案为(1.e^1)）4、函数y=ln[arctan(1-x)]，则dy/dx = -1/(x^2-2x+2)。

（答案为-1/(x^2-2x+2)）5、当x→0时，1-cosx是x的阶一无穷小。

（答案为x^2/2）三、单项选择题（每题2分，共10分）1、数列有界是数列收敛的(必要条件)。

2、f(x)在x=x处有定义是limx→x f(x)存在的(必要条件)。

3、若函数f(x)=(x-1)^2/2(x+1)，则limx→1 f(x)≠f(1)。

(以上等式都不成立)4、下列命题中正确的是(无界变量必为无穷大)。

5、lim(n→∞) (1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。

四、计算下列极限（每题6分，共18分）1、lim(x+1-x^-1) = 2.2、lim(x→+∞) [sec(x)-cos(x)]/x = 0.3、lim(x→0) ln(1+x^2)/x = 0.五、计算下列各题（每题6分，共18分）1、y=e^(sin^2x)。

大学《高等数学》期中期末考试卷解析(共四套)

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大学《高等数学》期中期末考试卷解析（共四套）
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）………………………………2 《高等数学》期中考试试题及答案解析（B卷）………………………………10 《高等数学》期末考试试题及答案解析（上册）………………………………18 《高等数学》期中考试试题及答案解析（下册）………………………………26
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）
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高数期中考试及答案详解

高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。

二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为（） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点；C 第一类跳跃间断点；D 震荡间断点。

2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。

3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。

5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。

2023中国药科大学《高等数学》期中试卷(A1卷)

中国药科大学《高等数学》期中试卷(A1卷)2022-2023学年第一学期专业班级考试号姓名一．单项选择题（每小题4分，共36分）1．极限 limx→0sin2x x=（）．A ．0B ．12C ．2D ． ∞ 2．关于函数arctanx ,下列说法错误的是（）．A ．它是有界函数 B. 由 y =arc u 和u =tan x 复合而成 C. lim n→∞arctan n =π2D ． lim x→∞arctanx 不存在3.《庄子·天下篇》有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”关于这段话的理解，错误的是（）．A ． 2天以后就取完了 B. 蕴含了丰富的极限思想 C. 第10天取了1210尺 D. 第n 天取后剩下了12n 尺 4. 已知f (x )在点x =1处可导且f ′(1)=2，则limℎ→0f(1−ℎ)−f(1+ℎ)ℎ=（）．A ．4B ．-1C ．1D ． -4 5. 关于x →0的等价无穷小，下列说法正确的是（）．A. e x ~1+xB. 1−cosx~x2 C. √1+x −1~x D. ln (1+x)~x6. 已知f (x )={0 x <12x +1 1≤x <2x 2+1 x >2，它的间断点为（）．A. x =1B. x =2C. x =1和x =2D. 没有7.已知f ′(x 0)=1，当自变量的增量∆x →0时，那么y dy ∆−是比∆x （）的无穷小．A .高阶 B. 等价 C ．同阶但不等价 D ．低阶 8.已知一个函数的微分为1x dx ，那么该函数是（）（选最佳的）.A . ln (−x)+C B. ln |x|+C C . lnx +C D . −1x 2+C9. 下列导数计算正确的是（）．A．(tan2x)′=2sec 2x B．(arctanx2)′=√1+x4C．(arcsin√x)′=2√x√1−x D．(sec1x)′=1x2sec1xtan1x二．填空题（每小题3分，共32分）10. 极限limx→∞(1−1x)x= .11. 函数y=(4，2)处的切线方程为 y=．12. 已知f(x)=sinx,那么f(2022)(π2)= .13. 极限limx→0√1−cos2xx= .14. 极限limx→∞2x+sinx2x−sinx= .15．V和S分别是半径为r的球体积和表面积，那么dvds|r=2= .16．已知函数f(x)可导，F(x)=f(sin2x)+f(cos2x)，那么F′(π4) = .17.已知极限limx→−1x3−ax2−x+4x+1=b，那么a+b= .三．计算证明题（每小题8分，共32分）18. 求极限limx→∞xx2+1cos√x19. 已知xe y+y=1,求 y′|x=0．20. 已知函数f(x)在区间[0,1]上连续,且f(0)=0，f(1)=1(1) 如果f(x)=x,求x∈(0,1),使得f(x)=1−x(2) 证明:至少存在一点x∈(0,1),使得f(x)=1−x.21. 已知f(x)={ 2x x≥1x2 x <1,试利用导数的定义，判断f(x)在x=1处是否可导，如果可导求出导数的大小，如果不可导，请说明理由.。

安徽大学20-21第一学期高数A(一)期中试卷答案详解

安徽大学2020—2021学年第一学期《高等数学A （一）》期中考试试卷答案详解一、填空题（每小题2分，共10分）1.C2.B3.C4.A5.D 二、选择题（每小题2分，共10分）6.127.2y x e π=-+8.32-9.231t t +-10.2(21)t t e dt+三、计算题（每小题9分，共63分）11、（1）【证明】因为00>a ，由递推公式可知：0>n a而1191322n n n a a a +⎛⎫=+≥⋅= ⎪⎝⎭，所以n a 有下界为3；又1121911(11)122n n n n n a a a a a ++⎛⎫=+≤+=⇒≤ ⎪⎝⎭，所以n a 单调递减；由单调有界必有极限可知n n a ∞→lim 存在.5分（2）【解】令A a n n =∞→lim ，对1192n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边取∞→n 的极限，即得：1932A A A A ⎛⎫=+⇒=± ⎪⎝⎭所以lim 3n n a →∞=9分12.【解】sin sin sin 00022(1)sin lim lim 11sin 22x x x x x x x x e e x x x x x x -→→→--==⋅⋅302116lim 132x x x x →==⋅9分13.【解】001(1)1lim lim 1(1)x x x x x x x x e xe xe x e e x x e →→⎛⎫+++--= ⎪--⎝⎭2200(1)13lim lim 2x x x xx x xe x e xe x e x x→→++-+==20353lim 22x x x x e xe x e →++==9分14.224424424400111111()1()cos 22!42!4!lim lim x x x x x o x x x o x e x x x -→→⎡⎤⎡⎤-+⋅+--++⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=44401()112lim 12x x o x x →+==9分15.【解】在方程中令0x =可得(0)0y =；将方程两边对x 求导，得6620y e y y xy x ''+++=，（*）将0x =和(0)0y =代入，有(0)0y '=；4分将（*）式两边再对x 求导，得()212620y y e y e y y xy '''''++++=，将0x =，(0)0y =和(0)0y '=代入，有(0)2y ''=-9分16.【解】11arctan arctan dy d x x ϕ⎛⎫⎛⎫'=⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭2111arctan 11d x x x ϕ⎛⎫⎛⎫'=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭22111arctan 11dx x x x ϕ⎛⎫⎛⎫'=⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭211arctan 1dx x x ϕ⎛⎫'=-⋅⋅ ⎪+⎝⎭9分17.【解】(1)0(1)11(2)1111()()()()()(1)2()()n n n n n n n n n f x C x a g x C n x a g x C n n x a g x --------=-+-++-- (1)11(2)1()()()()!()()n n n n n x a g x C n x a g x n x a g x ----=-+-++- (1)()0n f a -=11()()()()lim lim !()!()n n n x a x a f x f a f a n g x n g a x a --→→-===-9分四、综合分析题（每小题10分，共10分）18.120,0,1()arctan 1,0,x x f x e x x x >⎧⎪⎪=⎨⋅+⎪<⎪⎩4分1112220001arctan 1lim ()lim lim lim 044x t x x t t x x x e e t x f x x x eππ----=→+∞→→→⋅+====，0lim ()0x f x +→=，则0x =为第一类的可去间断点；12101arctan 1lim ()lim 2x x x e x f x x e π--→-→⋅+==，12101arctan 1lim ()lim 2x x x e x f x x eπ+-→-→⋅+==-，则1x =-为第二类的跳跃间断点.10分五、证明题（每小题7分，共7分）19.【证明】〖证明〗（1）（零点定理）构造辅助函数()()a F x f x a b =-+，因为()F x 在[0,1]上连续，(0)(0)0a a F f a b a b =-=-<++，而(1)(1)0a b F f a b a b =-=>++，由零点定理可得至少存在一点(0,1)c ∈，使得()0F c =，即()a f c a b=+3分（2）拉格朗日中值定理()f x 分别在[0,]c 和[,1]c 上应用拉格朗日中值定理，得()(0)()()f c f a f c a b c ξ-'==+，1(1)()()11()(1)a f f cb a b fc c a b c η--+'===--+-其中01c ξη<<<<于是有()()a b a b f f ξη+=+''.7分。

高等数学期中考试练习题

高等数学练习题
一、单选题 1．设 | a | 3 , | b | 4 , 且 a b , 则 | (a b ) (a b ) | (
)．
(A) (C)
4
24
(B) 14 (D) 25
2．已知直线 l1 :
x 4 y 1 z 2 x 1 y 1 z 3 和 l2 : , 则它们是( 2 3 5 3 2 4
1 y sin
x
.
x2 y2 2 f 2 f 17．设 f (u, v) 有二阶连续偏导数, 且满足 2 2 1 , 又 g ( x, y ) f xy, , 则 u v 2
2
2 g 2 g x 2 y 2
三、综合题
．．
18. 函数 u ln( x 2 y 2 z 2 ) 在点 M(1,2, 2 )处的梯度 gradu M
12．设 l0 是直线 l :
.
x 1 y z 1 在平面 : x y 2 z 1 0 上的投影直线, 则 l0 绕 y 轴旋 1 1 1
．
转一周而成的曲面方程为
13．设 0 是曲面 z 4 x 2 y 2 的平行于 : 2 x 2 y z 3 0 的切平面, 则与 0 的距离
19 ．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品 , 两个市场需求函数分别是
p1 18 21 , p2 12 2 , 其中 p1 , p2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨),
1 和 2 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量, 单位: 吨), 并且该企业生产这种产
d
.
14 ．设 u f ( x, y, z ) 有一阶连续偏导数 , 又函数 y y ( x) 与 z z ( x) 分别由下列两式确定,

大一第二学期高等数学期中考试试卷(答案)

大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()ex y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面1222=--z y x 是（）（A ）．x O z坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成；（B ）．x O y坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成；（C ）．x O y坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成；（D ）．x O z 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（）其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++;(C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;(D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则（）(A).L 在π内; (B).L 与π不相交;(C).L 与π正交; (D).L 与π斜交.4、下列说法正确的是（）(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz ∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂y x z 2（）(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++;(C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。