数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)
数值分析期末考试复习题及其答案
数值分析期末考试复习题及其答案1.已知都有6位有效数字，求绝对误差限.（4分）解:由已知可知,n=62分2分2.已知求（6分）解：1分1分1分= 2分1分3.设（6分）①写出f(x)=0解的Newton迭代格式②当a为何值时，（k=0,1……)产生的序列收敛于解:①Newton迭代格式为： 3分② 3分4.给定线性方程组Ax=b，其中：，用迭代公式（k=0，1……）求解Ax=b,问取什么实数，可使迭代收敛（8分)解：所给迭代公式的迭代矩阵为2分其特征方程为2分即，解得2分要使其满足题意，须使,当且仅当2分5.设方程Ax=b，其中，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss—Seidel迭代格式（9分）解：3分2分即，由此可知Jacobi迭代收敛1分Gauss-Seidel迭代格式：（k=0,1,2，3 (3)6.用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组:(i=1，2,3)其中，（12分)解：①A= =LU 3分由Ly=b1，即y= 得y= 1分由Ux1=y，即x1= 得x1= 2分②x2=由Ly=b2=x1,即y= 得y= 1分由Ux2=y，即x2= 得x2= 2分③x3=由Ly=b3=x2，即y= 得y= 1分由Ux3=y，即x3= 得x3= 2分7.已知函数y=f（x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H插值多项式,使（6分）解：作重点的差分表，如下:3分=-1+（x+1)-x(x+1）+2x。
x（x+1)= 3分8.有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式（7分）解：由已知条件可作差分表，3分（i=0,1,2，3）为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:=4+5x+x（x—1)= 4分9.求f(x)=x在[—1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差（8分)解：令2分取m=1，n=x，k=,计算得:（m，m）==0 （m，n)= =1 （m，k)= =0（n,k）= =0。
数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差, （ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产生的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
07数分B第二学期期末试题解答（A卷）
¶u ¶y
-
2z
¶z ¶y
+
4y
=
0
…………
8
ï ïî
¶¶yz
=
2xy
+
ln
y
分 将 x = 2, y = 1, u = 1, z = 1代入得 ¶u = 2, ¶z = 4 ………… 10 ¶y ¶y
1
三、
ò ò I = 2 1dy 3-2y2 ( y2 - x)dx
0
y2
2
4
ò= 1(18y - 9y - 9)dy 0
24
=5
………… 3 分 ………… 6 分 ………… 8 分
四、设所求点为
(
x 0
,
y 0
,
z 0
)
，曲面在此点的法向量为
n
=
{y 0
,
x 0
,-1}
………… 3 分
由题设 n //{1,3,1}，故
y 0
=
x 0
=
-1
131
得
x
0
=
-3 ，
y
0
………… 2 分 ………… 3 分 ………… 4 分
………… 5 分
选择折线路径：(0,0) ® (t,0) ® (t,-t),则有
ò
()
I=
t , -t
(0 , 0)
(x2 y3
+
2x5
+ ky)dx + [xf
(xy) + 2y]dy
ò= (t , -t) (x2 y3 + 2x5 + ky)dx + [x(x2 y2 + k) + 2y]dy (0 , 0)
大连理工大学《矩阵与数值分析》2007年真题答案
大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A 卷答案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页一、填空（每一空2分，共42分）1．为了减少运算次数，应将表达式.543242161718141311681x x x x x x x x -+---++-改写为()()()()()()()1816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x ；2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dx e x ⎰-102求得的近似值为()15.02141--++ee， 用Simpson 公式求得的近似值为()15.04161--++ee。
1．设函数()1,0,1)(3-∈S x s ，若当1-<x 时，满足0)(=x s ，则其可表示为()()33323111)(+++-+++=x c x c x c x s 。
4．已知12)2(,6)1(,0)0(===f f f ,则=]1,0[f 6 ,=]2,1,0[f 0 ，逼近)(x f 的Newton 插值多项式为x 6。
5．用于求()01=--=x e x f x 的根0=x 的具有平方收敛的Newton 迭代公式为：1121---⨯-=+kkx kx k k e x ex x 。
6．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000101000-A ，则A 的Jordan 标准型是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000100000或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010；装订线7．设A 是n 阶正规矩阵，则=2A()A ρ；8．求解一阶常微分方程初值问题t u t t u +-=')1()(2，0)(u t u =的向后（隐式）Euler 法的显式化的格式为：()211111+++-++=n n n n t h ht u u 。
9．设001.211=a 12为x 的近似值，且2105.0-⨯≤-a x ，则a 至少有 5 位有效数字；10．将()T 4,3=x ，化为()T0,5=y 的Householder 矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-53545453； 11．=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=kk 0105.00⎪⎪⎭⎫⎝⎛1302； 12．用二分法求方程3()2510f x x x =--=在区间[1,3]内的根，进行一步后根所在区间为()2,1，进行二步后根所在区间为()2,5.1。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
数学分析第二学期期末考试题及答案
数学分析第二学期考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，共32分）1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ b ） A 、连续 B 、有界 C 、无间断点 D 、有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ b ） A 、⎰⎰=-a aa dx x f dx x f 0)(2)( B 、0)(=⎰-aa dx x fC 、⎰⎰-=-aaadx x f dx x f 0)(2)( D 、)(2)(a f dx x f aa=⎰-3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ a ） A 、⎰11dx xB 、 ⎰∞+11dx xC 、 ⎰+∞sin xdx D 、⎰-1131dx x 4、级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ c ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充分必要条件D 、无关条件 5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ） A 、10arcsin xdx ⎰B 、11ln eedx x x ⎰ C 、1-⎰D 、10sin x dx x ⎰ 6、下面结论错误的是（ b ）A 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界；B 、若)(x f 在),(b a 内连续，则 )(dx x f ba ⎰存在；C 、 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必可积；D 、 若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积。
7、下列命题正确的是（ d ）A 、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B 、)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 、 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛D 、)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为（ c ） A 、xe B 、x sin C 、)1ln(x + D 、x cos二、计算题：（每小题7分，共28分）9、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf 。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
期末考试 数值分析(I)(A卷)07级
八、 （10 分）试证 Newton 迭代法至少具有二阶收敛 九、 （10 分）证明方程 f x x 3 6 x 12 0 在区间 2,5 内有唯一实根 p，并对任意的初始值 x0 2,5 ， Newton 序列都收敛于根 p. 十、 （10 分）试证不动点定理： 设 f x Ca, b ，且 a f x b 对一切 x a, b成立，则 f x 在 a, b 上有不动点，并回答满足什 么条件不动点唯一（不要求证明） 。
课程名称:
数值分析（I）
（A 卷
闭卷）
⑴ A1 1 ⑵ A
1
A
适用专业年级 :信计 07 级
题号 一 10 二 10 三 10 四 10 五 10 六 10 七 10 八 10
考试时间 100 分钟
九 10 十 10 总分 100 统分人 签名
B 1 A 1 B 1 A B
1 ）（1，0）的插值多项式 ， 2
二、（10 分）设 l 0 x ， l1 x ， l n x 是以 x0 ， x1 ， xn 为节点的 n 次 Lagrange 插值问题 的基函数 n 1 ，证明 ax b
密封线
ax
i o
n
i
b li x
i 0
n
A
i 0
n
i
ba
五、（10 分）求系数 A1 , A2 和 A3 ,使求积公式
系(院) 理学院 课程名称
f xdx A f 1 A
1 1 1
2
1 1 f A3 f 3 3
对于次数 2 的一切多项式都是精确成立的。 六、 （10 分）已知矩阵 A
1 2 1,2,
2007-2008期末考试A卷答案及评分细则
2007年常微分方程评分标准一、填空题：1、''2()y xy y =+2、2(1)sin x y -+3、0y Cxx ==及4、22x y K -=5、(0,)+∞6、24x y =- 7、12n a xa xa x e e e ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭8、β 9、326x x x ++ 10、中心二解答题：11、令w 1＝x ， w 2＝'x ，w 3＝y ，w 4＝y ‘， 1分 则原初值问题可化为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-====+-+-====tw w w y w w y w e w w w x w w x t cos 15132675w 143'''44''3314'''22''1 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧========1)0()0(0)0()0(0)0()0(1)0()0('43'21y w y w x w x w 4分 即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=t e w w t cos 00132015100056070010'w(0)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001 其中 w ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321w w w w 5分 12、21(,)21,21(0)1,1141111,111(,).5lim lim x xxx x xx xx x y f x y xoy ce y cey c e y e e e e e →+∞→-∞-=+=-==--=+--=-=++∴-∞+∞ 在平面上满足解的存在唯一及延伸条件.其通解为分过初值得特解为分最大存在区间为分13、解法一：解：xe x xdxcos 1)(tan ==⎰μ __________________学院__________级___________班 姓名_______________ 学号_______________…………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………密 封 线 内 答 题 无 效dx x x x dx xx y dy x cos cos sin 2cos sin cos 12=+xdx x y d sin 2cos =⎪⎭⎫⎝⎛ 6分 c x xy+-=cos 2cos 8分 x x C y 2cos 2cos -= 10分解法二： 解：0tan =+x y dxdyxdy ydytan -= C x y +=cos ln lnx C y cos = 5分则为原方程的特解令,cos )(x x C y =x x x C 2sin cos )(='x x C cos 2)(-= 8分x x C y 2cos 2cos -=故 10分14、解：令2(,)(,)(2)y P x y yQ x y xy e -==-则有，1(,)(,)12,(,)Q x y P x y P x y xy y ⎡⎤∂∂-=-⎢⎥∂∂⎣⎦ 2分 故方程有积分因子：21()yy e yμ=4分 用21()y y e y μ=乘以方程两边，得221(2)0y y e dx xe dy y+-= 积分得：2ln .yxe y C -= 9分方程有特解0.y = 10分15、解：令'cos ,sin ;y t y t == 1分则当sin 0t ≠时，'1(cos )1sin dx dx dy t dt dy dt t===-， 5分 积分得：,x C t =- 7分 故，方程的通解为cos().y C t =- 8分 当sin 0t =时，得方程的特解为 1.y =± 10分16、解：系数矩阵110011001A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，对应的特征方程为：det （A E λ-）=0 即：11011001λλλ-----=2(1)(1)0,λλ-+-= 得A 的特征根为121,1λλ=-=（二重）. 4分当11λ=-时，由11()0A E r λ-=,可取1100r ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当21λ=（二重）时，210()0A E r λ-= ，可取10104r ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 20012r ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭从而，11240r -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 21120r ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭8分'y Ax =的基解矩阵 (12)()04(12)042xx xx x xx e x e xe t xe x e e e -⎡⎤-⎢⎥Φ=-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦则该方程组的通解为：(12)()04(12).042xx xx x xx e x e xe y t C xe x e C e e -⎡⎤-⎢⎥=Φ=-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦10分１7、解：3220λλλ-+=120;1λλ==（二重） 4分基解：1;;x x e xe通解：123x x y C C e C xe =++ 7分 将初值代入得，1231,1,1C C C ===故方程的解为 1x x y e xe =++ 10分 18、证明（一）：设y vx =,则由齐次方程的性质有，(1,)(1,)()0,m m x P v dx x Q v vdx xdv ++= 1分即， 1[(1,)(1,)](1,)0,m m x P v Q v v dx x Q v dv +++= 3分这是一个变量分离方程，它有积分因子：111(,)[(1,)(1,)](,)(,)m x y x P v vQ v xP x y yQ x y μ+==++. 5分证明（二）：方程两边乘以1(,)(,)(,)x y xP x y yQ x y μ=+，得0Pdx QdyxP yQ xP yQ+=++ 1分2()()P Q yQ Py PQP y y y xP yQ xP yQ ∂∂--∂∂∂=∂++， 2()()Q PxP Qx PQQ x x x xP yQ xP yQ ∂∂--∂∂∂=∂++， 3分 因为(,),(,)P x y Q x y 是,x y 的齐次函数，由欧拉定理有，,P P Q QP xy Q x yx y x y∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂， 所以，()()P Q y xP yQ x xP yQ∂∂=∂+∂+， 4分 故，1(,)(,)(,)x y xP x y yQ x y μ=+是方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P 的积分因子. 5分１9、证明：设)(),...,(1x y x y n 是y x A dx y d )(=的基解，)(0x y是)()(x f y x A dxy d +=的特解，则由线性方程组的性质得到)()(),...,()(001x y x y x y x y n ++，)(0x y是)()(x f y x A dxy d+=的n+1 个解. (1分)下面证明n+1 个解线性无关0))()((...))()(()(001100=+++++x y x y C x y x y C x y C n n0))(...)(()()...(11010=++++++x y C x y C x y C C C n n n若0)...(10≠+++n C C C ，则)(0x y 是)(),...,(1x y x y n的线性组合，这显然是)(0x y是)()(x f y x A dxy d +=的特解相矛盾。
数值分析试题及答案
武理数值分析考试试题纸（A 卷）课程名称 数值分析 专业年纪 一、计算题（本题满分100分，共5小题，每小题20分） 1． 已知函数表(1) 求f(x)的三次Lagrange 型插值多项式及其插值余项（要求化成最简形式）. (2) 求f(x)的Newton 插值多项式（要求化成最简形式）. 2. 已知A=[212013612]，求‖A ‖1，‖A ‖∞，A 的LU 分解.3. 叙述m 阶代数精度的定义，写出求∫f (x )dx ba 的Simpson 公式，并验证Simpson 公式的代数精度为3阶.4. 设矩阵A=012α11，求当α为何值时，解线性方程组Ax=b 的Gauss-Seidel 迭代法收敛.5. 叙述最小二乘法的基本原理，并举例说明其应用.参考答案一、计算题1、解：（1）L 3(x )=l 0(x )y 0+l 1(x )y 0+l 2(x )y 2+l 3(x )y 3=(x−0)(x−2)(x−2)(−1−0)(−1−1)(−1−2)×0+(x+1)(x−1)(x−2)(0+1)(0−1)(0−2)×(−1)+(x+1)(x−0)(x−2)(1+1)(1−0)(1−2)×2+(x+1)(x−0)(x−1)(2+1)(2−0)(2−1)×15=x 3+2x 2−1R 3(x )=f (x )−L 3(x )=f (4)(ε)4!ω4(x )(2) 均差表如下：N (x )=f (x 0)+f ,x 0,x 1-(x −x 0)+f ,x 0,x 1,x 2-(x −x 0)(x −x 1)+f ,x 0,x 1,x 2,x 3-(x −x 0)(x −x 1)(x −x 2)=0+(−1)(x +1)+2×(x +1)(x −0)+1×(x +1)(x −0)(x −1) =x 3+x 2−12、 解： ‖A ‖1=max 1≤j≤3∑|a ij |3i=1=2+0+6=8‖A ‖∞=max 1≤i≤3∑|a ij |3j=1=6+1+2=9A =LU =[1l 211l 31l 321][u 11u 12u 13u 22u 23u 33]=[212013612] 由u 11=2 u 12=1 u 13=2l 21=0 u 22=1 u 23=3 l 31=3 l 32=−2 u 33=2所以 A =LU =[1013−21][212132] 3. 解：定义：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次的多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
合工大2007数值分析试卷
合⼯⼤2007数值分析试卷Numerical AnalysisAnswers to Test A (June 29, 2007)1．Fill in the following blanks(1) Suppose 2007()35f x x x =+-, then the 2008th divided difference (差商(均差))[0,1,2,,2007,2008]f =0 .(2) Let * 3.200169x =，then the number 3.2001x = approximate *x with 4 significant digits. [ 13.20010.3200110x ==?, 1m =,*330.0000690.069100.510x x ---==?(3) Suppose321141810A ??=---.Then 1||||A = 12 , ||||A ∞= 9 .(4) The Trapezoidal rule (梯形求积公式) applied to20()f x dxgives the value 4,and Simpson ’s rule gives the value 2. Then (1)f = 1/2 .(5) A quadratic spline S for a function f on [0,3] is defined by()()()22,01,111,1 3.22. a) Show that the sequence 111322n n n x x x --=+is generated by Newton ’s methodfor finding the root of equation 230x -=. b) The sequence {n x} converges toof order 2 whenever 03[,3]2x ∈.c) Use 0 1.5x = to compute 2x with 6 significant digits.Proof : a) Define 2()3,f x x =-then the sequence generated by Newton’s method for finding the root of equation ()0f x = is 1n n x x -=-211111()3()2n n n n n f x x x f x x ------=-'that is111322n n n x x x --=+.b) Since 00x >, it is easy to get that 0n x >, and by induction it follows111322n n n x x x --=+≥=,and3130222n n n n n n x x x x x x -------=-=>.Therefore the sequence {}n x converges to some constant 0c > 1113lim lim 22lim 1322n n n n n n x x x c c c c -→∞→∞-→∞=+=+=Hence the sequence {}n xconverges toof order 2 which follows from21111(3)2lim lim1limnnxx xx--→∞→∞→∞--+-===>c) With1.5x=, from the iterative scheme, it follows 102111371.75,224131.73214.22x xxx xx=+==P x of degreefour so that4()()i iP x f x=for 0,1,2i=and 4()(),0,1j jP x f x j''==Solution: Build up the divided-difference table as follows : ix()if x0 00 0 01 1 1 11 1 1 0 -12 1 0 -1 -1/2 1/4So the polynomial4()P x interpolating the given data is24000000112222()()[,]()[,,]()[,,,]()()[,,,,]()()1(1)(1)4139.424P x f x f x x x x f x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+-+--+--=--+-=-+4. Find the constants 1c and 0x , 1x so that the quadrature formula （求积公式）101101()()()2f x dx f x c f x ≈+?has the highest possible degree of precision (代数精度).Solution : For 2()1,,f x x x =,we have by the definition of degree of precision1101010122201101,21,21.2dx c xdx x c x x dx x c x ?=+??=+=+Solving the equation systems for 1c 0x ,1x ,we get1011,2636c x x ?=??=5. The forward-difference formula can be expressed as23000001()[()()]()()().26h hf x f x h f x f x f x O h h''''''=+---+Use Richardson ’s extrapolation (Richardson 外推) to derive an 3()O h formula for 0().f x ' Solution : Define 1001()[()()]N h f x h f x h=+-. By Richa dson’s extrapolation,substituting h by2h into the forward difference formula gives2301001()()()()()2446hhhf x N f x f x O h ''''''=--+ (2)From 2(2)(1)?-, one gets23011023201()2()()()()2121()()()Similarly, changing h by2h into (3), we have230201()()()()2124hhf x N f x O h ''''=+?+ (4)From 4(4)(3)?-, we have22303300004()()2()()31[8()6()()]()3421[32()12()()21()]().342hN N h f x O h h h N N N h O h h h f x f x f x h f x O h h-'=+=-++=+-+++-+6. Use Euler ’s method and the Modified Euler method to approximate the solution for the initial-value problem 21(),23,(2)1,dy t y t y dt=+-≤≤= with 0.5h =0.5f t y t y y t h =+-===,then 122.5,3t t ==. By the Modified Euler method, we get the iterative scheme11110(,),[(,)(,)],21.i i i i i ii i i i y y h f t y h y y f t y f t y y ++++=+=++??=?? or110(,),(,),1(),21.p i i i c i i p i p c y y h f t y y y h f t y y y y y ++=+=+=+=?? Therefore11100.5[]1[2 1.625] 1.8125,22p c h y y y y =++=++= 22210.5[] 1.8125[2.54883 2.41428] 2.48155.22p c h y y y y =++=++≈7. Establish the convergent (收敛的) Jacobi iterative scheme (迭代格式) and Gauss-Seidel iterative scheme for the following linear system12312312310811,104313,41025.23104313,1081,41025.x x x x x x x x x ++=??++=??-+=? The corresponding coefficient matrix104311084110A ?? ?= ? ?-?is a strictly diagonal dominant matrix, so the Jacobi iterative scheme and Gauss-Seidel iterative scheme from the new linear system are convergent. Jacobi iterative scheme :(1)()()123(1)()()213(1)()()3121(4313),101(811),101(425).10k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++?=--+??=--+=-++Gauss-Seidel iterative scheme:(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121(4313),101(811),101(425).10k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=--+??=--+=-++8. Find the fifth Maclaurin polynomial for sin x , and use Chebyshev economization to obtain a lesser-degree polynomial approximation while keeping the error less than 0.01 on [1,1]-.Solution The fifth Maclaurin polynomial for sin x is3P x x x=-+and the error is(7)755sin()1()()(),[1,1].7!7!x R x f x P x xx =-=≤∈-Using Chebyshev economization, the less degree polynomial approximation is 353355554160383()()()()(16205)25!384x xP x P x a T x P x x x x -+=-=--+=,which generates the error approximating sin x by 3()P x3411()()0.017!25!f x P x -≤+≤?.In similar way,3133********()()()()(43)964192x P x P x a T x P x x x =-=--=,and1331()()()()()()0.01P x f x f x P x P x P x -≤-+->.Therefore the lesser-degree polynomial approximation keeping the error less than 0.01 on [1,1]- is 3336038315383()38496384x xP x x x -+==-+.。
数值分析报告期末考试复习题及其问题详解
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。
（4分）解：由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分） 解：{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解：①Newton 迭代格式为：xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b ，其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分 ③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式，使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分）解：作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分）解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x(x-1)=442++x x 4分9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x, k=2x ,计算得： (m,m)=dx ⎰-111=0 (m,n)=dx x ⎰-11=1 (m,k)= dx x ⎰-112=0(n,k)= dx x ⎰-113=0.5 (k,k)= dx x ⎰-114=0 (m,y)= dx x ⎰-11=1(n,y)=dx x⎰-112=0 (k,y)= dx x ⎰-113=0.5得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+= 1分 平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位） （8分）解：用复合梯形公式：)}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3.139 4分用复合Simpson 公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++==3.142 4分11. 计算积分⎰=20sin πxdx I ，若用复合Simpson 公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解： ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ 2分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯ 1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π，由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯ 1分12. 用改进Euler 格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分）解：改进Euler 格式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y 2分 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=0,1,2……） 2分 由y(1)=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y 2分 即y(1.1)的近似值为0.83813. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明：]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分14. 证明：设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数，则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值，x 为相对应的特征向量，则有Ax=λx 1分 且λρ=)(A ，若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ 1分而x x ⋅=λλ x A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax 2分由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以 1分故A A ≤)(ρ 1分 当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。
数值分析课程考试试卷(A)及答案
《 数值分析 》课程考试试卷（A ）考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带 计算器 入场考生姓名： 学号： 专业： 班级：一、填空（每个空3分，共30分）1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则*x 有__________位有效数字。
2，*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________. 3，已知=⎪⎭⎫⎝⎛-=1,4032A A 则_______， =∞A _______.4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=badx x f I )(的值的大小关系为___________.（大于或者小于）5, 已知,3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差],,,[3210x x x x f _______________.6, 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2021012a a ，为使A 可分解为TLL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________.7，若b a ,满足的正规方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i n i ni i i i i n i ni i i y x b x a x y b x na 1112111 则x y 与之间的关系式为______________________8，若1λ是1-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________二、设(1)0,(0)2,(1)4f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小 。
07-10昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案
昆明理工大学数值分析考试题（07）一．填空（每空3分，共30分）1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则Ax 有 位有效数字。
2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。
3． A=1031⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,则1A = ；A ∞= ；2A =2()cond A = 。
4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。
5．设105%x =±，则求函数()f x =的相对误差限为 。
6．A=2101202a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,为使其可分解为TL L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范围应为 。
7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。
（注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。
）二．推导与计算（一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。
（12分）（二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。
请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。
（8分）（三）利用复化梯形公式计算21x I e dx -=⎰，使其误差限为60.510-⨯，应将区间[0，1]等份。
（8分）（四）设A= 1001005a b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。
（10分）（五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式111220()()dx A f x A f x ≈+⎰。
（10分）（六）对微分方程初值问题'00(,)()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩（１） 用数值积分法推导如下数值算法：1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。
A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。
A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。
A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。
A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。
A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。
A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。
A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。
A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。
A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。
A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。
答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。
答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。
答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。
07-10昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案
昆明理工大学数值分析考试题（07）一．填空（每空3分，共30分）1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则A x 有 位有效数字。
2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。
3． A=1031⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,则1A = ；A ∞= ；2A =2()cond A = 。
4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。
5．设105%x=±，则求函数()f x =的相对误差限为 。
6．A=2101202a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,为使其可分解为TL L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范围应为 。
7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。
（注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。
）二．推导与计算（一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。
（12分）（二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。
请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。
（8分）（三）利用复化梯形公式计算21x I e dx -=⎰，使其误差限为60.510-⨯，应将区间[0，1]等份。
（8分）（四）设A= 1001005a b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。
（10分）（五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式111220()()dx A f x A f x ≈+⎰。
（10分）（六）对微分方程初值问题'00(,)()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩（１） 用数值积分法推导如下数值算法：1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。
《数值分析》考试试卷(2007)(A)
课程名称数值分析拟题老师签名教研室主任签名《数值分析》考试试卷（A ）参考答案一、（12分） 1（×）；2（×）；3（√）；4（√） 二、解由表可知 可选三个节点 （1分）=)(2x L （3分）56464.0)7.06.0)(5.06.0()7.0)(5.0(47943.0)7.05.0)(6.05.0()7.0)(6.0(⨯----+⨯----=x x x x 6422.0)6.07.0)(5.07.0()6.0)(5.0(⨯----+x x =… 7分则 54714.0)57891.0()57891.0s i n (2=≈L 10分……… 12分三、由梯形公式])(2)()([21∑-=++=n i i n x f b f a f hT （2分）333.11== T ， 167.12== T ， 6分117.14== T ， ==8T ， 10分四、（1）取直角坐标系，描点，由图可知，这些点位于一条双曲线附近。
取 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=Φx span 1,11，即1)(0=x ϕ，xx 1)(1=ϕ 2分 （2） 4),(00=ϕϕ，∑===3001101),(),(i ix ϕϕϕϕ=1.842857, ∑==302111),(i ix ϕϕ=1.310408，∑==300),(i i y f ϕ=16，∑==301),(i ii x yf ϕ=11.542857 5分(3) 解方程组⎩⎨⎧=+=+542857.11310408.1842857.116842857.141010a a a a 得解165433.0*0-=a ，041247.9*1=a 8分 xx 041247.9165433.0)(*+-=ϕ 10分()=-∑=*302)(i ii y x ϕ12分五、 设13)(3+-=x x x f ，因 1)0(=f ，375.0)5.0(-=f且 033)(2<-='x x f ，对]5.0,0[∈∀x ，所以方程0133=+-x x 在[0，0.5]上有唯一正根 （4分） 迭代函数 )1(31)(3+=x x g ， （6分） 因 125.0)(2<≤='x x g ，]5.0,0[∈∀x ，]5.0,0[)(∈x g ，]5.0,0[∈∀x 所以结论成立。
数值分析期末考试复习题及其答案
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限.(4分）解：由已知可知，n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分)解:{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分) ① 写出f(x ）=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时,)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解:①Newton 迭代格式为:xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0，1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛 (8分）解:所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b,其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss —Seidel 迭代格式 （9分)解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式:⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1，2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1，2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f （x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式,使'11'33)(,)(y x H y x H i i == (6分）解:作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+（x+1）-x （x+1）+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表:试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分)解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 (i=0，1，2，3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x （x-1)=442++x x 4分9. 求f （x ）=x 在[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x ， k=2x ,计算得： （m ，m)=dx ⎰-111=0 (m,n ）=dx x ⎰-11=1 （m,k)=dx x ⎰-112=0(n,k ）=dx x ⎰-113=0。
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期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+= 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题(0)1y x yy '=+⎧⎨=⎩的数值解，其迭代公式为___________________________.三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）1. 以02x =为初值用牛顿迭代法求方程3()310f x x x =--=在区间(1,2)内的根，要求（1） 证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2） 给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算12,,x x 计算结果取到小数点后4位）。
2. 给定线性方程组1231231230.40.410.40.820.40.83x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（1） 分别写出用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。
3. 已知函数()y f x =在如下节点处的函数值（1） （2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2()P x ，并计算(1.1)y 的近似值； （3） 采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。
4.5. 已知函数()y f x =在以下节点处的函数值，利用差商表求(3)f '和(3)f ''的近似值。
6. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列常微分方程的数值解。
22(01,0.2)(0)0y x y x h y '⎧=+≤≤=⎨=⎩四、（8分）已知n+1个数据点(,)(0,1,2,,)i i x y i n ，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。
期末考试答案及评分标准（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析一、判断题：（每小题2分，共10分）1. ×2. √3. ×4. ×5. ×二、填空题：（每空2分，共36分） 1. 0.005或20.510-⨯ ，0.5 2.3. 0,24. 1,0,1,35. ()A A ρ≤6. ()1M ρ<7. 1042,,1,10212⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8. 11()(1)2n n n n n n y y x y x y +=+++++或1 1.5 2.50.5,0,1,2,n n n y x y n +=++=三、解答题（第1～4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分） 1. （1）证明：3()31f x x x =--，由于a) (1)30,(2)10,f f =-<=> b) 2()330((1,2)),f x x x '=-≠∈c)()60((1,2)),f x x x ''=>∈ 即()f x ''在(1,2)上不变号，d) 对于初值02x =，满足(2)(2)0,f f ''> 所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。
………………………………………4分（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为312()31()33n n n n n n n n f x x x x x x f x x +--=-=-'- ………………………………………2分取初值02x =进行迭代，得1 1.8889,x =………………………………………1分2 1.8795.x =………………………………………1分2. 解：（1）Jacobi 迭代公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3120.40.410.40.820.40.83k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--+⎪=--+⎨⎪=--+⎩ ……………………………2分 Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3120.40.410.40.820.40.83k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--+⎪=--+⎨⎪=--+⎩……………………………2分 （2）Jacobi 迭代矩阵的特征方程为0.40.40.40.800.40.8λλλ=，展开得30.960.2560λλ-+=，即(0.8)(0.40.40λλλ-+++-=，从而得 123-1.0928,0.8000,0.2928λλλ===，（或由单调性易判断必有一个大于1的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi 迭代法发散。
……………………………2分Gauss-Seidel 迭代矩阵的特征方程为0.40.40.40.800.40.8λλλλλλ=，展开得2(0.8320.128)0λλλ-+=，解得1230,0.628,0.204,λλλ=≈≈迭代矩阵的谱半径小于1，所以Gauss-Seidel 迭代法收敛。
……………………………2分3. 解：（1）建立差分表………………………………………2分 （2）建立牛顿后插公式为2232022********()()()()!!()()()P x x x x x x x x =-----=-----=-+ 则所求近似值为211279(.).P =………………………………………3分（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为1221431112312124()()()()!!()()P x x x x x x x x x =----=----=-++ 则 1211268()(.).P = 根据事后误差估计法1222209091()()(.)(.)x R x P P x -⎡⎤≈-⎣⎦+ 故截断误差209112792680047121.(.)(..)..R -≈⨯-≈- ………………………………………3分4. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为22012().P x a a x a x =++ 根据已知数据，得01211111002,,11151240a M A a Y a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……………………………2分则4268268,468186M M M Y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……………………………1分建立法方程组为0124268268468186a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ……………………………2分解得0123.5, 1.5, 1.5.a a a ===-……………………………1分从而得所求一次最小平方逼近多项式为21() 3.5 1.5 1.5.P x x x =+-……………………………1分5. 解：设2()P x 为已知节点数据的插值二次多项式。
构造如下差商表：……………………………2分因为二次多项式的二阶差商为常数，又2()P x 是()f x 的插值函数，故有225[4,3,3][3,3,3]2P P ==……………………………2分而22[3,3]75[4,3,3]342P P -==-，因此得29[3,3]2P =， ……………………………1分由于1()()![,,,,]k n k f x k P x x x x +≈，从而得293332()[,],f P '==2323335()![,,].f P ''==……………………………2分6. 解：前进欧拉公式：221(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +=+⋅=++…………1分后退欧拉公式：2211111(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +++++=+⋅=++ ……1分预估时采用欧拉公式*2210.20.2n n n n y y x y +=++……………………………1分校正时采用后退欧拉公式()22*1110.20.2n n n n y y xy+++=++……………………………1分由初值000002,,.x y h ===知，节点分别为0.2,(1,2,3,4,5)i x i i ==当10.2,x =*2210000.20.20,y y x y =++=()22101102020008*...y y x y=++=，……………………………1分当20.4,x =*2221110.20.20.0160,y y x y =++≈()222122020200401*...y y x y =++≈.……………………………1分当30.6,x =*2232220.20.20.0724,y y x y =++≈ ()223233020201131*...y y x y =++≈.……………………………1分当40.8,x =*2243330.20.20.1877,y y x y =++≈()224344020202481*...y y x y=++≈.……………………………1分当51.0,x =*2254440.20.20.3884,y y x y =++≈()225455020204783*...y y x y=++≈.四、（8分）答：1、可以建立插值函数： （1）Newton 基本差商公式00100121001110()()()[,]()()[,,]()()()[,,,]n n n P x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++---……………………………1分（2）Lagrange 插值多项式0011()()()()() n i i n n L x a f x a f x a f x a f x =+++++其中01101101()()()(),(,,,)()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x a i n x x x x x x x x -+-+----==----.……………………………1分这两类插值函数的适用条件是：n 不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。