2011年学而思杯数学试题答案
2011学而思杯五年级试卷及详解
考试科目：数学考试时间： 80分钟总分： 120分填空题（共20题，每题6分直接写出答案）1.11111111 1357911131517 612203042567290 ++++++++=2.小镜是个小学生，最近参加一次数学竞赛，并获得了好成绩，小司问她：“姐姐，你考了多少分？得了第几名？”小镜说：“我的年龄、得分和名次相乘的积是776。
”小镜的年龄、得分、名次的和是。
3.布袋中有许多4种不同颜色的小球，每次摸两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，那么至少要摸次。
4.牧场上有一片匀速生长的草地，如果有30头牛吃，可以吃6天；如果有25头牛吃，可以吃8天。
那么20头牛吃，可以吃天。
5.用8个棱长是1厘米的小正方体拼成1个大的长方体，这个长方体的表面积最大与最小的差是平方厘米。
6.用绳子测井深，把绳对折一次来测量，井外余6米，将绳对折两次来测量，还差2米，那么井深米。
7.如图所示，正方形ABCD的面积是16平方厘米，5BE=厘米，三角形DOE的面积是平方厘米。
O AB DE8.在如图所示○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A、B、C的和为18，则三个顶点的三个数的和是_______。
2011第六届学而思综合素质测评五年级C BA9.将一张纸剪成6块，从所得纸片中取出若干块，每块各剪成6块，再从所得纸片中取出若干块，每块各剪成6块……如此进行下去，到剪完某一次后停止，所得纸块总数可能是2005、2006、2007、2008、2009、2010、2011、2012这几个数中的_________。
（写出所有可能的答案）10.一个四位数，减去它各个数位上的数字之和，差是四位数658 ， 中应填________。
11.如图所示，P为长方形ABCD内的一点，PAB∆的面积等于5，PBC∆的面积等于13，PBD∆的面积是。
AB CP12.将自然数N接在任一自然数的右面（例如将2接在35的右面得352），如果所得的新数都能被N整除，那么称N为神奇数，那么在小于100的自然数中，神奇数有1、。
五年级A
绝密★启用前2011年首届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（五年级A 卷） 时间：13:30~14:50 满分：150分考生须知： 1. 请在答题纸上认真填写考生信息；2. 所有答案请填写在答题纸上，否则成绩无效一．填空题（每题8分，共40分）1. （视听题）杯子中有浓度为5%的盐水150克，那么其中含有______克盐. 【分析】浓度问题求溶质。
浓度＝溶质÷溶液×100 ％。
因此溶质＝浓度×溶液。
1505%7.5⨯=克。
2. （视听题）杯子中有浓度为5%的盐水150克，向杯子中加入100克水，盐水的浓度变为______%. 【分析】浓度＝溶质÷溶液×100 ％。
()7.5150100100%3%÷+⨯=3. （视听题）杯子中有浓度为10%的盐水100克，向杯子中加入浓度为20%的盐水150克，混合均匀.新的盐水的浓度是______%.【分析】溶质总重量为10010%15020%40⨯+⨯=克；溶液总重量为100150250+=克。
因此溶液浓度为：40250100%16%÷⨯=4. 计算：10.253464155⨯+⨯+÷=______.【分析】=0.2(534641)28⨯++=原式5. 2011年3月11日，日本发生里氏9级大地震。
在3月15日，日本本州岛东海岸附近海域再次发生5级地震。
已知里氏地震级数每升2级，地震释放能量扩大到原来的1000倍，那么3月11日的大地震释放能量是3月15日东海岸地震的______倍. 【分析】差了4级，差了1000×1000=1,000,000倍. 二．填空题（每题10分，共50分）1. 横式“+=学理科到学而思学而思杯”中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的汉字，那么四位数“学而思杯”的最大值为______.【分析】确定“学”最大为8，那么到为7，而最大为6，此时有算式：825+7869=8694，那么四位数的最大值为86942.今天是2011年4月9日，20110409这个九位数是9的倍数，则方框里应填入的数字是______.【分析】容易得13.用若干个1×1×1的小立方体堆积成一个立体图形（小立方体不能悬空），它的正视图、左视图、俯视图都是下图的样子，那么堆积成满足条件的小立方体最少需要______个小立方体.【分析】如图，最小的体积为9立方厘米。
学而思答案
1、(1)可以，如(2011，211，11) →(2000，200，0)→(1000，200，1000)→(800，0，800)→(400，400，800)→(0，0，400)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有2011+211+11=2233，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．2、将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线．由于每人送出2件礼物，图中共有4×2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线．四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点(有一点可以与前面的点相同)之间也连了2条线．即为所证结论。
3、从A 点考虑起，从A 点出发的直线段有5条，那么至少有3条颜色相同，不妨设AB 、AC 、AD 为红色，那么BC 、BD 、CD 中只要有一条是红色就和前面的构成了同色三角形；如果BC ，BD ，CD 中没有红色，那只能都是蓝色，这样BCD 构成了蓝色三角形，证明完毕.4、不可能．因为每次加上的数之和都是123410+++=，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍．而99943996⨯=，不是10的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999．5、不能。
要使一个灯泡由亮变暗，需要拉动奇数次开关。
那么要让5个亮着的灯泡都变暗，共需拉动奇数次开关（5个奇数相加，和一定是奇数）。
而我们每次操作都是拉偶数个开关，因此不能经过若干次操作使得5个灯泡都变暗。
6、1，1，1，1，1，2，7或者3,4,1,1,1,1,17、设3个顶点填入的3个自然数数分别为,,a b c ，假设,,a b a c b c +++都为奇数，于是a b a c b c +++++也为奇数。
但是()2a b a c b c a b c +++++=++是一个偶数，矛盾。
2011年学而思杯数学试题答案
1.简单小数计算2011－201.1＋20.11－2.011+0.001【解析】18282.分小四则混合运算541??1)12.3?(3.85??1854541【解析】??1)??12.3?(3.8518544?(3.85?3.6?12.3?1.8)?94????1.8?12.37.7?94?36?9?16 3 已知N*等于N的因数个数，比如4*=3，则（2011*+10*+6*）*=_______【解析】（2011*+10*+6*）*=（2+4+4）*=44用字母表示数一个非等腰三角形，一边长为6，一边长为7，还有一边长为6k，已知k是自然数，则三角形的周长为______.【解析】k=2，周长为6+7+12=25.5基础类型应用题1红光大队用拖拉机耕地，2台3小时耕75亩，照这样计算，4台5小时耕____亩.【解析】2台1小时可耕75 ÷3＝25亩，4台5小时可耕地25×2×5＝250亩6基础类型应用题2一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这时他又说自己有零钱，于是给店员5元的零钱，并且要回了开始给出的50元。
则这个骗子一共骗了______钱？【解析】由于一开始骗子并没有骗钱，产生骗钱的是后用零钱换50元，所以共骗得50-5=45元。
7约数倍数已知A、B两数的最小公倍数是120，B、C两数的最小公倍数是180，A、C两数的最小公倍数是72，则A、B、C三数的最小公倍数是______.3×3×5【解析】120=222180=2×3×53272=2×332×3×所以最小公倍数是25=3608简单的逻辑推理2011年8月14日，伦敦羽毛球世锦赛进入最后一个比赛日。
在女单决赛中，中国选手王仪涵2比0完胜中华台北选手郑韶婕，首次夺得世锦赛冠军，中国队也实现了女单项目的八连冠。
2011 学而思综合测评
上图可知西院给东院 10 只
2011 年 学而思综合测评
三年级 教师版 第 3 页 共 4 页
后，西院的鸡有 8 份，东院的鸡有 4 份，8÷ 4=2（倍） ，10 只刚好对应了“ 1”份 东院现有 10× 4=40（只） ，西院现有 10× 8=80（只） ，两个院共有 120 只鸡。 18 有一块三角形地，三条边分别为 120 米、150 米、 80 米、每 10 米种一棵树，那么共种了 棵树。
14 某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共 19 人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排 ，现共有 _______名战士。
2011 年 学而思综合测评
三年级 教师版 第 2 页 共 4 页
报告长官， 又 来 19 人．
【分析】后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排的 交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算 ，也就是说现在每一排实际人数是
13 三棵树上共停着 43 只鸟，如果从第一棵树上飞 6 只到第二棵树上去，再从第二棵树上飞 4 只到第三棵 树上去，第三棵树上飞走了 10 只鸟，那么三棵树上小鸟的只数都相等，原来第二棵树上有 【分析】由题可知，现在每颗树上都有 (43 10) 3 11 （只） ，第二棵 11 6 4 9 只鸟． 只鸟。
19 1 2＝ 10 （人） ，因此可以求出总人数： 10 10＝ 100 （人） ．
15 聪明昊，智慧巍，帅气铮三个人称体重.聪明昊说，我比智慧巍重 .智慧巍说，如果我和帅气铮一起称， 那我们体重的和是聪明昊的两倍.帅气铮说，我比聪明昊重，我的体重等于智慧巍和聪明昊的体重和.小朋 友们，你知道帅气铮的体重是智慧巍的 倍。 【分析】巍+铮 =昊+昊；铮 =巍+昊；所以，巍+巍+昊 =昊+昊，昊 =2 巍，铮=3 巍 16 如下图，将一张长方形的纸横着对折一次，再竖着对折一次，然后沿着对边中点的连线剪开，问这张 纸被剪成 张。
”学而思杯“一年级数学知识点详解
2、 李叔叔把一根木头锯成 4 段，用了 3 分钟，如果把这根木头锯成 8 段，需要______ 分钟。 【知识点】一年级春季学期第十二讲：间隔之谜。尚未学到。 【解析】把一根木头锯成 4 段，只需要锯 3 下，用时 3 分钟，则锯一下需用时 1 分钟； 把木头锯成 8 段，需要锯 7 下，故需要 7 分钟。 【答案】7
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4、 下面算式是用火柴棒摆成的，可惜是错的，请你移动其中的一根火柴棒，使等号两 边相等，正确的算式是____________.
【知识点】一年级秋季学期第九讲：火柴棒游戏。 【解析】动手移一移即可发现正确算式为：11+1=12 【答案】11+1=12
5、 甲、 乙、 丙、 丁 4 只小动物站成一排， 已知甲在丙左边 5 米处， 丁在乙左边 3 米处， 丙在丁右边 2 米处，问最左边和最右边的两只小动物相距____________米。 【知识点】一年级秋季学期第五讲：方向与位置； 一年级春季学期第五讲：智趣推理。 【解析】分清楚左右位置，用画线段图的方向推理如下： 左 5米 3米 右
图二
如图二：包含两个基本三角形的三角形有 8 个；
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包含三个基本三角形的三角形有 0 个；
图三
如图三，包含四个基本三角形的三角形有 2 个； 包含五个及五个以上三角形的三角形有 0 个。 则一共有 8+8+2=18（个）三角形 【答案】18
5、已知：
+
2011学而思杯六年级试卷
2011 第六届学而思综合素质测评
六年级（B 卷）
解答题 1. 阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地， n 个相同的因数 a 相乘： a a
n个
a 记为 a n ．如 23 8 ，此时，3 叫做以 2 为底 8 的对数，记为
2011 学而思六年级综合能力测评试卷
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1 1 ， 而弟弟比哥哥少看了 ， 求妹妹比弟弟多看了 _______ 页. 6 6
3.
3 的分母增加了 16 ，要使分数的值不变，那么分子应增加（ 8
A. 6 4.
B.）
某股票 1 月底每股股价为 10 元， 2 月底比 1 月底上涨了 18% ，那么 2 月底的股价为（ A. 10.8 元 B. 11.8 元 C. 10.1 元 D. 11 元 如图，小圆的面积是大半圆面积的（ ）
1000 800 500
25. 已知猫跑 5 步的路程与狼跑 3 步的路程相同； 猫跑 7 步的路程与狗跑 5 步的路程相同。 而猫跑 3 步的时间与狼 跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与狗跑 7 步的时间相同，猫、狼、狗沿着周长为 300 米的圆形跑道，同 时同向同地出发。问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？
15. 速度为 60 千米/小时的火车从甲地开往乙地，出发 12 小时后，一架速度为火车 5 倍的飞机从甲地沿着和火 1 车同样的航线飞出，结果在全程 处飞机追上火车，则甲乙两地的距离是 千米。 4 16. 将 14 ， 30 ， 33 ， 35 ， 39 ， 75 ， 143 ， 169 八个数平均分成两组，使这两组数乘积相等，则这两组数分别 为 。 17. 用长和宽分别是 75 厘米和 45 厘米的长方形铁皮拼成一个正方形，需要 块这样的铁皮. 18. ⑴草坪上自动旋转喷灌装置喷灌的最远距离是 10 米，它的最大喷射面积是 平方米.
2011学而思杯六年级10.26号样题详解
2011年京城六年级学员综合能力测评（学而思杯）数学试题（样卷答案）1. 简单小数计算0.365×1.2+31-0.438【解析】312. 分小四则混合运算 计算：(...)(..)⨯⨯-+÷-÷--1352433366712313500925183=_______ 【解析】原式=13(4.3 3.6 3.6 6.7 3.6)(1.2350.09)241⨯⨯-+⨯-⨯-- 1365218523=⨯+=+=3. 简单分数裂项11111122446182040+++++⨯⨯⨯ 【解析】原式1111111111()222446182040=+-+-++-+ 111111()2222040=+-+191124040=++1=4. 换元(10.20.340.567+++)⨯(0.20.340.56789+++)-(10.20.340.56789++++)⨯(0.20.340.567++)【解析】设0.20.340.567++=A ，0.20.340.56789+++=B ，则原式变为（1+A ）×B -（1+B ）×A =B -A =89 。
5. 定义新运算定义如下运算：a △b =kab ，a ☆b =ka -b ，已知1△x =2☆x ，x △1=x ☆2，x 是非零数，则x =_____【解析】已知kx =2k -x =2x -k ，则k =x ，则x 2=x ，x ≠0，所以x =1.6. 用字母表示数一个三角形，三个角度数分别为a 、2a 、3a ，则最小的角为_______度。
【解析】180÷（a +2a +3a ）×a =30,7. 整系数方程()()x x x --=-+6412022【解析】x x x x x -+=--==644202441238. 分数或比例方程x x x x +-++=+231764612【解析】()()1232321772x x x x +++-=+12692277213655x x x x x x +++-=+==9. 简单方程组11118131122x y x y +⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪-⎩则x y -=______.【解析】3223x y =⎧⎨=⎩9x y -=10. 简单的概率问题分别先后掷2次骰子，点数之和为5的概率为三十六分之______.【解析】先后掷2次，共可以掷出6×6＝36种可能情况，其中和为5的情况共有1+4＝2+3＝3+2＝4+1这四种情况，概率为436，答案为411. 基础类型应用题1一个农业专业户去年收小麦是玉米的4倍，小麦比玉米多13.5吨，去年收小麦___吨.【解析】差倍问题 13.5÷（4-1）×4＝ 18吨12. 基础类型应用题2商店运来83千克苹果，每5千克装成一个礼盒，已经卖出了9盒。
第六届学而思综合素质测评201109四年级答案
A A'
B'
C(C')
B
' ' 【分析】 已知 ACB ACB 90
' ' ' ' ' 所以 ACB ACB' ACB B' CB ACB' ACB ACB 180
1 2 3 4 1 2 3 60 个， 1 2 3 1 2 3 36 个
1 2 3 个， 1 2 4 2 14 个， 60 36 3 14 107 个
所以，图 1 中共有 107 个长方形。 18 桌上放着这样一道算术题： 89 16 69 6A B8 88 甲、乙两位同学面对面坐在桌子两侧，而他们计算这道题的结果恰好相同，则 A 和 B 的和是 __________ 【分析】 为了叙述方便，假设 A 倒过来的数字是 C ， B 倒过来的数字是 D ， 一个数字倒过来看还是数字的有 0,1,6,8,9 这 5 个， 其中 0 倒过来看还是 0 ，1 倒过来看还是 1 ，6 倒 过来看是 9 ， 8 倒过来看还是 8 ， 9 倒过来看是 6 ，这个算式正着看是 89 16 69 6A B8 88 ， 倒过来看变成了 88 8D C9 69 91 68 ，把这两个算式做如下变化， 89 16 69 6A B8 88 89 16 69 68 BA 88 88 8D C9 69 91 68 88 89 CD 69 91 68 这两个算式的结果是相等的，对于这两个算式，把两个算是中都有的数 89,88,68,69 抹掉不看，那
学而思杯11届数学试题
2014 年春·超常班&目标班选拔考试·数学·五升六
考试时间：120 分钟 考 生 须 知 考试科目：五升六数学 总 分：120 分 1． 请考生务必认真填写试卷上的考生信息以方便正常通知； 2． 请使用蓝色或黑色签字笔或者钢笔作答； 3． 请将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效；考试结束后需上交答题纸。
A
D
B
C
二、 解答题。 （每题 8 分，共 40 分） 21. 一个非零自然数， 如果从左到右顺读和从右到左逆读都是一样的， 则这个数称为“回文数”， 如 8 、66 、 151 、 5335 都是回文数，而 332 不是回文数．那么从小到大的第 2014 个回文数是多少？
22. 如图所示：在三角形 ABC 中， DC 3BD ，DE EA ，若三角形 ABC 的面积是 1 ，那么阴影部分的面 积是多少？
一、 填空题。 （每题 4 分，共 80 分） 1. 计算： 1 19 2 19 3 19 37 19 ________．
17 37 39 37 39 31 17 37 39 31 37 39 ________． 2. 计算： 31 53 91 53 91 51 31 53 91 51 53 91
15. 学校运动会开幕式的旗手们排成一行，首先从左向右 1 至 3 循环报数，最右端的旗手报 2 ；然后从右 向左 1 至 4 循环报数， 最左端的旗手报 3 ， 两次都报 1 的旗手有 12 人． 那么， 开幕式一共有旗手________ 人． 16. 正整数 A ，B 满足
1 1 1 ，其中 A 是一个三位数，则 A ________． A B 2014
2011年“学而思杯”初一数学试卷及答案
2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛初 一 数 学 试 卷学校______________ 姓名_________ 准考证号________ 成绩_________一、填空题（本题共60分，每小题5分）1. 计算：()3179111315231220304256⎛⎫-+-+-⨯-= ⎪⎝⎭ _________．2. 如图，MN PQ ∥，A B 、分别在MN PQ 、上，70ABP ∠=︒，BC 平分ABP ∠，且20CAM ∠=︒，则C ∠的度数为______________．3. 当2x =时，代数式31ax bx -+的值等于17-，那么当1x =-时，代数式31235ax bx --的值等于__________．4. 已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和3151128x a x +--=有相同的解，那么这个解是x =_______．5. 已知ABC △中，90BAC ∠≠︒，AD BC ⊥，BE AC ⊥，且AD BE 、交于点H ，连接CH ， 则ACH BAE ∠+∠=_______．6. a b c 、、三个有理数满足0a b c <<<，且1a b c ++=，b c M a +=，a c N b +=，a bP c+=， 则M N P 、、之间的大小关系是________________．7. 如图，ABC △中，D 在AC 上，E 在AB 上，且BD CE 、相交于O ，OB OD =，2OC OE =，若2BOC S =△，则ABC S =△__________．CBAQP N M OEDCBA8. 平面直角坐标系xOy 中有两个点()44A -，，()62B --，，则AOB △的面积为___________．9. 若关于x 的方程()42a x b bx a -+=-+-有无穷多个解，则323a b +的值为__________．10. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠和EAC ∠的平分线交于点D ，ABD ∠和BAD ∠的平分线交于点F ，则AFB ∠的度数为_________．11. 若21234m m --+=，则m 的取值范围是_____________12. 已知ABC △中，AB AC =，D 为BC 边上一点，若ACD △和ABD △都是等腰三角形，则C ∠的度数为_______________．二、解答题（本题共40分，每小题10分）13. 如图，M N 、为四边形ABCD 的边AD BC 、的中点，AN BM 、交于P 点，CM DN 、交于Q 点． 若四边形ABCD 的面积为150，四边形MPNQ 的面积为50，求阴影部分的面积之和．FEDC BA14. 数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题。
2011学而思数学及答案
绝密★启用前2011 年首届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（二年级A 卷）时间：13:30~14:50 满分：150 分考生须知：1. 请在答题纸上认真填写考生信息；2. 所有答案请填写在答题纸上，否则成绩无效一．填空题（每题8 分，共40 分）1. （视听题）82 - 47 +18 - 53 =2. （视听题）1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 =3. （视听题）5 个小朋友围成一圈。
球从A开始，按照A→B→C →D→E → A 的顺序传球，那么，传20 次后，球在哪个小朋友手里？4. （视听题）把小动物放在篮子里，篮子上面栓气球，让它们飞起来。
1 只猫1 只狗->5 个气球2 只狗1 只兔子->7 只气球2 只猫->4 个气球2 只兔子->几个气球5. （视听题）下面两个图形，可以分割成4 个大小相等，形状相同的图形。
下面A、B、C、D 四个选项中的哪个图形？二．填空题（每题10 分，共50 分）1. 106÷□，余数是7，□表示的数最小是．2. 一箱桔子，小玲第一次拿3 个，第二次拿6 个，以后每次比前一次多拿3 个，10 次拿完，这箱桔子有个．3. 下面的图中共有12 个小图形，每一个不同的小图形表示1 到9 这九个数字中的一个，每行三个小（A）（B）（C）（D）图形都表示一个三位数，这四行表示四个三位数：521，146，658 和692.那么第三行图形表示的三位数是．4. 图中总共包含有各种大小的正方形共个．5. 下图中，从整体上看第一幅图是五边形，第二幅图是五角星，第三幅图是五边形，第四幅图是五角星，……每幅图下方的数字是该图中基本线段的数量．请问，第40 幅图是图形，这个图中共有条基本线段.……5 15 20 30 35 45 50 ……三．填空题（每题12 分，共60 分）1. 康康在喝一杯饮料时做了实验，他将一根吸管垂直插入杯底，他量了一下被水浸湿部分，正好是8 厘米；他又把吸管调个头，将另一端垂直插入杯底，这时他发现现在吸管干的部分正好是整个浸湿部分的一半．这根吸管长有厘米．2. 小华、小俊都有一些玻璃球．如果小华给小俊4 个，小华的玻璃球的个数就和小俊一样多；原来小华的玻璃球的个数就是小俊的5 倍．小华原来有个玻璃球，小俊原来有个玻璃球．3. 农场里所有大鸭子的重量均相同，所有小鸭子的重量均相同．已知3 只大鸭子和2 只小鸭子共重32 千克，4 只大鸭子和3 只小鸭子共重44 千__________克，请问1 只大鸭子共重千克．4. 下面竖式中，“学理科到学而思”的每一个汉字表示0 到9 这10 个数字中的一个，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，四位数“学而思到”的最大值是_____.2 0 1 1学理科到学而思5. 甲、乙、丙、丁四个盒子中依次放：8 个、5 个、3 个、2 个玻璃小球，第一个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3 个小球放到其它盒子中各1 个球；第二个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3 个小球放到其它盒子中各1个球……当第83 个小朋友放完后，甲、乙、丙、丁四个盒子中各有玻璃小球个，个，个，个．2011年北京“学而思杯”二年级数学答案二年级答案第一题第1题第2题第3题第4题第5题答案0 80 A 2 D第二题第1题第2题第3题第4题第5题答案9 165 146 27 五角星、300第三题第1题第2题第3题第4题第5题答案24 10、2 8 1792 3、4、6、5。
第11届学而思数学联考XMO一试试题及答案
第十一届学而思数学竞赛联考一试试题时间：80分钟一、填空题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)1.方程2log2(x−2)+log2(x+1)=1的所有实数解为x=.2.已知实数k∈R，平面上的向量|−→b|=1，若满足−→a,−→b的夹角为150◦，且(−→a+−→b)⊥(−→a+k−→b)的非零向量−→a恰好有两个，则实数k的取值范围为.3.已知正实数a,b,c依次构成等比数列，并恰好是△ABC的三边长，则a+cb的取值范围是.4.已知F为椭圆C:x225+y216=1的右焦点，P为C上一点，Q(7,8)，则|P F|+|P Q|的取值范围是.5.如下图，对于正实数r(1<r<√2)，以点A为球心，半径为r的球面与单位立方体ABCD−A1B1C1D1的棱产生6个交点，不难发现这六个点在同一个平面上.则这六个点构成的凸六边形的面积与周长的比值的取值范围是.6.设集合A={x|ax2+3x−2a=0}（其中a为实常数）；集合B={x|2x2−5x−42≤0}，如果A∩B=A，则参数a的取值范围是.7.多项式(1+x+x2+···+x203)3的展开式在合并同类项以后，x300这一项的系数为8.从4×4的方格表中随机选5个不同的方格，则选出的5个方格构成连通区域的概率是.注：连通区域是指，对于区域内部(不含边界)任意两点，均存在一条完全落在区域内部(不含边界)的折线连接这两个点.二、解答题(本大题共3小题,第9题16分,第10,11题各20分,共56分)9.已知x,y∈R，且满足(4x3−3x)2+(4y3−3y)2=1.求x+y的最大值.10.设复数x,y,z满足：|x|=|y|=|z|=1，并且ty =1x+1z，其中t∈C为给定的复数；求|2xy+2yz+3xzx+y+z|的值.（用含t的代数式表示）11.设p 为给定的正整数，点F 是抛物线Γ:y 2=2px 的焦点，点S 在x 轴上，且满足−→OS =m −−→OF ，其中m 是给定的正奇数；设经过点S 且不与坐标轴垂直的动直线l 与抛物线Γ交于A,B 两点，线段AB 的中垂线与AB 以及x 轴分别交于M,T 两点，记N 为线段MT 的中点，点N 的轨迹记为ω.(1)确定ω的形状以及方程，并证明：在ω上存在无穷多个整点（整点就是横纵坐标都是整数的点）.(2)如果正整数p 满足：p 的任意大于1的因数都不是完全平方数，求证：ω上的任意一个整点到原点O 的距离都不是整数.第十一届学而思数学竞赛联考一试试题时间：80分钟一、填空题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)1.方程2log 2(x −2)+log 2(x +1)=1的所有实数解为x =.解答(刘涵祚陈乐恒供题)1+√3原方程可以转化为(x −2)2(x +1)=2，化简得(x −1)(x 2−2x −2)=0，得出x =1或x =1±√3，又由于x ≥2，得出原方程的解为x =1+√3.2.已知实数k ∈R ，平面上的向量|−→b |=1，若满足−→a ,−→b 的夹角为150◦，且(−→a +−→b )⊥(−→a +k −→b )的非零向量−→a 恰好有两个，则实数k 的取值范围为.解答(刘涵祚陈乐恒供题)(−∞,0]∪{13}∪{3}由于(−→a +−→b )⊥(−→a +k −→b )，则(−→a +−→b )·(−→a +k −→b )=0；即：|−→a |2−√3(k +1)2|−→a ||−→b |+k |−→b |2=0所以，|−→a |2−√3(k +1)2|−→a |+k =0.不难发现，上述方程在(0,+∞)上恰好有一个实根.当k ≤0时，显然该方程有一正根和一非正根，满足条件；当k >0时，该方程的判别式∆=34(k +1)2−4k =0，化简得：3k 2−10k +3=0解得：k =3或k =13.综上所述，k 的取值范围是(−∞,0]∪{13}∪{3}.3.已知正实数a,b,c 依次构成等比数列，并恰好是△ABC 的三边长，则a +cb的取值范围是.解答(李纪琛供题)[2,√5)不妨设a =1,b =x,c =x 2(x ≥1)，则c 为该三角形的最长边，于是1+x >x 2，得出：1≤x <1+√52.而a +c b=1+x 2x=x +1x .设上述关于x 的对勾函数为f (x )，则不难发现在[1,1+√52)上，2≤f (x )<√5.第５页，共１２页4.已知F 为椭圆C :x 225+y 216=1的右焦点，P 为C 上一点，Q (7,8)，则|P F |+|P Q |的取值范围是.解答(刘涵祚陈乐恒供题)[4√5,10+2√41]不难发现，F (3,0)，一方面，|P F |+|P Q |≥|F Q |=4√5，并且在点P 位于线段F Q 与椭圆C 的交点时，可以取等；另一方面，考虑左焦点E (−3,0)，则|P F |+|P Q |=|P Q |+10−|P E |≤10+|EQ |=10+2√41在点P 位于QE 的延长线与椭圆C 的交点时可以取等；综上即得答案.5.如下图，对于正实数r (1<r <√2)，以点A 为球心，半径为r 的球面与单位立方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱产生6个交点，不难发现这六个点在同一个平面上.则这六个点构成的凸六边形的面积与周长的比值的取值范围是.解答(李纪琛供题)(√612,√68]如左图，不难发现这个六边形对边互相平行，并且每个内角均为120◦，并且其六条边长依次为x,√2−x,x,√2−x,x,√2−x ，其中x ∈R 且0<x <√2.于是，其周长C =3(x +(√2−x ))=3√2.如右图，我们将这个六边形补成一个正三角形，即可得出其面积S =√34(√2+x )2−3√34x 2=−√32(x 2−√2x −1)=−√32(x −√22)2+3√34于是我们有√32<S ≤3√34.再结合C =3√2，则√612<S C ≤√68第６页，共１２页6.设集合A ={x |ax 2+3x −2a =0}（其中a 为实常数）；集合B ={x |2x 2−5x −42≤0}，如果A ∩B =A ，则参数a 的取值范围是.解答(李纪琛供题)(−∞,−917]∪{0}∪[4241,+∞)不难得出，B =[−72,6]，我们需要A ⊆B ；当a =0时，A ={0}，满足条件；当a =0时，此时方程ax 2+3x −2a =0为二次方程，其判别式∆=9+8a 2>0并且根据韦达定理，其两个根x 1,x 2满足：x 1x 2=−2aa=−2<0则这两根必然是一正一负，再结合A ⊆B ，我们需要满足以下条件即可：f (0)=0;f (0)f (−72)≤0;f (0)f (6)≤0解得：a ≤−917或者a ≥4241综上所述，参数a 的取值范围是：(−∞,−917]∪{0}∪[4241,+∞).7.多项式(1+x +x 2+···+x 203)3的展开式在合并同类项以后，x 300这一项的系数为解答(李纪琛供题)31192根据乘法分配律，这个问题等价于求方程x +y +z =300满足0≤x,y,z ≤203的整数解的组数；首先，该方程的非负整数解的组数为(3022)=45451；下面来考虑该方程有超出203的解的组数，不难发现x,y,z 中恰有一个数超过203，不妨设为z ，我们设w =z −204，即转化为求方程x +y +w =96的非负整数解的组数，为(982)，再结合x,y,z,的对称性，则原方程有超出203的非负整数解的组数为3(982)=14259；那么满足条件的解的组数为：45451−14259=31192.8.从4×4的方格表中随机选5个不同的方格，则选出的5个方格构成连通区域的概率是.注：连通区域是指，对于区域内部(不含边界)任意两点，均存在一条完全落在区域内部(不含边界)的折线连接这两个点.解答(王正供题)611092.我们按照这5格的形状来分类计算个数(旋转后重合也视为不同的形状).(1)若包含一个1×4矩形，此时1×4矩形有横竖两种，剩下的一格有8种不同的位置可以选，因此共16种形状.而每种形状在4×4方格表中的位置有3种，因此共16×3=48种选法.(下面假设不含1×4矩形)(2)若包含两个1×3矩形，则其必为一横一竖且有一个交点，此时共9种形状，每种形状在4×4矩形中的位置有4种，因此共9×4=36种选法.(3)若只包含一个1×3矩形，且剩下两格在该1×3矩形的异侧，此时1×3矩形有横竖两种，剩下两格有6种选法，因此共12种形状.每种形状在4×4矩形中的位置有4种，因此共12×4=48种选法.第７页，共１２页(4)若只包含一个1×3矩形，且剩下两格在该1×3矩形的同侧且均和1×3矩形相邻，此时1×3矩形有横竖两种，剩下两格有6种选法，因此共12种形状.每种形状在4×4矩形中的位置有6种，因此共12×6=72种选法.(5)若只包含一个1×3矩形，且剩下两格在该1×3矩形的同侧且有一格不和1×3矩形相邻，此时1×3矩形有横竖两种，剩下两格有4种选法，因此共8种形状.每种形状在4×4矩形中的位置有3种，因此共8×3=24种选法.(6)若不含1×3矩形，则必为如图所示的形状旋转或对称得到，共4种形状.每种形状在4×4矩形中的位置有4种，因此共4×4=16种选法.综上，共244种选法构成连通区域，而总的选法有(165)种，因此构成连通区域的概率为244(165)=61 1092.二、解答题(本大题共3小题,第9题16分,第10,11题各20分,共56分)9.已知x,y ∈R ，且满足(4x 3−3x )2+(4y 3−3y )2=1.求x +y 的最大值.解答((刘涵祚陈乐恒供题))√6+√22令4x 3−3x =cos 3θ,3y −4y 3=sin 3θ,θ∈R .再设x =cos α，不难发现cos 3α=cos 3θ，类似的，设y =sin β，则sin 3β=sin 3θ.注意到用π−β来代替β不会影响y 的取值，则可以不妨设α−β=2tπ3(t∈Z )，此时会产生如下三种情况：情形一：α=β此时x +y =√2sin(α+π4)≤√2.情形二：α=β−2π3此时x +y =sin(α+2π3)+cos α=2cosπ12cos(α+π12)≤√6+√22.情形三：α=β−4π3此时x +y =cos α+sin(α+4π3)=2cos(α+π12)cos 5π12≤√6−√22.综上所述，x +y 的最大值为√6+√22.10.设复数x,y,z满足：|x|=|y|=|z|=1，并且ty =1x+1z，其中t∈C为给定的复数；求|2xy+2yz+3xzx+y+z|的值.（用含t的代数式表示）解答(刘涵祚陈乐恒供题)|2t+3t+1|先证明一个结论：|x+y+z|=|xy+yz+xz|结合|x|=|y|=|z|=1，我们有，|x+y+z|2=(x+y+z)(¯x+¯y+¯z)=3+∑cyc x¯y+∑cyc¯x y|xy+yz+zx|2=(xy+yz+zx)(¯x¯y+¯y¯z+¯z¯x)=3+∑cyc x¯y+∑cyc¯x y所以，|x+y+z|=|xy+yz+xz|.回到原题，则有|2xy+2yz+3xzx+y+z |=|2xy+2yz+3xzxy+yz+zx|=|2+zxxy+yz+zx|=|2+1yz+yx+1|又由于yz +yx=y(1x+1z)=y·ty=t；那么|2xy+2yz+3xzx+y+z|=|2+1yz+yx+1|=|2+1t+1|=|2t+3t+1|.11.设p 为给定的正整数，点F 是抛物线Γ:y 2=2px 的焦点，点S 在x 轴上，且满足−→OS =m −−→OF ，其中m 是给定的正奇数；设经过点S 且不与坐标轴垂直的动直线l 与抛物线Γ交于A,B 两点，线段AB 的中垂线与AB 以及x 轴分别交于M,T 两点，记N 为线段MT 的中点，点N 的轨迹记为ω.(1)确定ω的形状以及方程，并证明：在ω上存在无穷多个整点（整点就是横纵坐标都是整数的点）.(2)如果正整数p 满足：p 的任意大于1的因数都不是完全平方数，求证：ω上的任意一个整点到原点O 的距离都不是整数.解答(李纪琛供题)(1)不难得出F (p2,0)，则S (mp 2,0)，我们设直线l 的方程为：l :x =ky +mp 2(k =0)与抛物线Γ联立得：y 2−2pky −mp 2=0.由韦达定理，y 1+y 2=2pk ，则x 1+x 2=k (y 1+y 2)+mp =2pk 2+mp.点M 为线段AB 的中点，其坐标为(pk 2+mp 2,pk ).再结合AB 的中垂线与l 垂直，则中垂线的方程为：y =−kx +pk 3+(m +2)pk 2得出点T (pk 2+(m +2)p 2,0)，则T M 中点N (pk 2+(m +1)p 2,pk 2).不难发现点N 的轨迹方程为：4y 2=p (x −(m +1)p 2)(y =0)其形状为一条去掉顶点的抛物线.并且由于m 为正奇数，则m +12为正整数，记它等于n ，则ω的方程可转化为：ω:4y 2=p (x −np )对于正整数t ，不难得知，点(p (4t 2+n ),pt )是ω上的整点，显然这样的点有无穷多个.(2)由(1)中的分析，我们得知ω的方程为：ω:4y 2=p (x −np ).反证法，若ω上存在整点到原点的距离为正整数；当p =1时，必然存在正整数x,y,a 满足：x 2+y 2=a 24y 2=x −n不难发现a ≥x +1，则x >x −n 4=y 2=a 2−x 2=(a −x )(a +x )≥a +x >x 产生矛盾.当p为大于1的奇数时，必然存在正整数x,y,a满足：x2+y2=a24y2=p(x−np)不难发现p|y2，又由于p没有平方因子，则p|y，进而得出p|x，则p|a.我们记x=px1,y=py1,a=pa1，其中x1,y1,a1∈Z+，那么x21+y21=a21 4y21=x1−n这转化为p=1的情况，产生矛盾.当p为偶数时，由于p无平方因子，设p=2q，其中q为不含平方因子的奇数，此时必然存在正整数x,y,a满足：x2+y2=a22y2=q(x−2nq)容易得出，x为偶数，记x=2x1，则4x21+y2=a2 y2=q(x1−nq)易证q|y,q|x1，则q|a，我们令y=qy2,x1=qx2,a=qa2，其中x2,y2,a2∈Z+，那么(2x2)2+y22=a22 y22=x2−n显然a2≥2x2+1，则2x2>x2−n=y22=a22−(2x2)2=(a2−2x2)(a2+2x2)≥a+2x2>2x2产生矛盾.综上所述，ω上不存在整点到原点的距离为整数.。
2011年学而思杯奥数试题及答案
绝密★启用前2011年首届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（六年级B 卷） 时间：13:30~14:50 满分：150分考生须知： 1. 请在答题纸上认真填写考生信息；2. 所有答案请填写在答题纸上，否则成绩无效一．填空题（每题8分，共40分）1. 计算：123136___.1234⎛⎫÷+⨯= ⎪⎝⎭【分析】原式= 1121368.1217⨯⨯=2. 如图，一个边长为10厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO 距离为8厘米，那么点C 距离地面的高度是 厘米。
【分析】6+8=14厘米3. 3月11日，日本发生里氏9级大地震。
在3月15日，日本本州岛东海岸附近海域再次发生5级地震。
已知里氏的震级数每升2级，地震释放能量扩大到原来的1000倍，那么3月11日的大地震BCODA810释放能量是15日东海岸地震的倍.【分析】差了4级，差了1000×1000=1,000,000倍.4. 今天是2011年4月9日，20110409这个九位数是9的倍数，则方框里应填入的数字是。
【分析】容易知道为15. 一列数，我们可以用：1x 、2x …表示，已知：12x =，112n nx x +=-()1,2,3n = ，如213222x =-=，则2011____x =。
【分析】由于213222x =-=；324233x =-=；435244x =-=；找规律，可知：1n n x n +=，所以201120122011x =。
二．填空题（每题10分，共50分）1. 在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O 点，而三角形ABO 的面积为9，三角形BOC 的面积为27，DO 上有一点E ，而三角形ADE 的面积为1.2，则阴影部分三角形AEC 的面积为【分析】根据题意，由于三角形ADO 的面积为3，则阴影三角形AEO 的面积为1.2，所以有三角形EOC 的面积为3.6，则阴影部分的面积为4.8.2. 有四个人说话，分别如下：A ：我们中至少有一个人说的是正确的B ：我们中至少有两个人说的是正确的C ：我们中至少有一个人说的是错误的D ：我们中至少有两个人说的是错误的 请问：说错话的有人.【分析】方法一：若没人说对，则CD 说对，矛盾；若1人说对，则ACD 说对，矛盾；若2人说对，则ABCD 说对，矛盾；若3人说对，则ABC 说对，D 错，成立；若4人说对，则AB 说对，CD 说错，矛盾，因此只能是ABC 说对，D 说错.方法二：因为四个人，所以至少有两人说错或两人说对，因此AB 一定是正确的，剩下的就容易知道D 是错的.3. n 是一个三位数，且组成它的各位数码是从左到右是从大到小的连续数字。
2011年“学而思杯”初二数学试卷及答案
2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛初 二 数 学 试 卷一、填空题（本题共60分，每小题5分）1. 点()1x x --，不可能在第________象限．2. 函数y =x 的取值范围是______________．3. 已知()2x y -+的算术平方根和()21x y +-互为相反数，则3yx-的平方根为___________．4. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，30BAE ∠=︒，2AE =， 则矩形ABCD 的面积为___________．5. 已知，函数y kx m =+和y ax b =+的图象交于点P ，则根据图象 可得不等式组0kx m ax b kx m +>⎧⎨+>+⎩的解集为___________．6. 如图，直线1y x =--交两坐标轴于A 、B 两点，平移线段AB 到CD ，使两点都落在反比例函数()0ky x x=>的图象上，DM y ⊥轴于点M ，DN x ⊥轴于点N ，则DM DN -= ．EDCBA7. 如果实数a b ，满足2840a a --=，2840b b --=，则b aa b+的值为 ．8. 已知x y a 、、都是实数，且1x a =-，()()2211y a a a =---，则31x y a +++的值为________．9. 设实数a b c ，，满足2142a b c +++=，那么ba c-的值为_______．10. 如图，Rt ABC △中，E D F 、、分别在AB BC AC 、、上，且四边形AEDF 是正方形．已知8CD =，12BD =，则阴影部分的面积为_____________.11. 若实数,x y 满足333333331343615456x y x y ⎧+=⎪⎪++⎨⎪+=⎪++⎩，则x y +的值是 _____ ．12. 已知正方形ABCD 所在平面内的直线满足：⑴ 正方形四个顶点到这条直线的距离只有两种； ⑵ 两种距离中，较大的是较小的三倍． 那么符合上述条件的直线一共有 条二、解答题（本题共40分，每小题10分）13. 如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90DAB ∠=︒，12CD AB =，2245BC AD =， ⑴ 求证：AD AB =．⑵ AC BD 、交于点E ，AO BD ⊥交BD 于O ，交BC 于F ，求证：CE CF =． ⑶ 作点F 关于点O 的对称点H ，试判断BH 与AE 的关系，并证明你的结论．HFEO DC BA14. 如图1，已知直线12y x m=-+与反比例函数kyx=的图象在第一象限内交于A B、两点（点A在点B的左侧），分别与x y、轴交于点C D、，AE x⊥轴于E．⑴若12OE CE⋅=，求k的值．⑵如图2，作BF y⊥轴于F，求证：EF CD∥．⑶在⑴⑵的条件下，EFAB=P是x轴正半轴上一点，且PAB△是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．15. 如图，D 为ABC △中线AM 的中点，过M 作AB 、AC 边的垂线，垂足分别为P 、Q ．过P 、Q分别作DP 、DQ 的垂线交于点N ．⑴ 求证：PN QN =； ⑵ 求证：MN BC ⊥．16. 若x y z ，，满足1x y z ++=，2222x y z ++=，3333x y z ++=，求444x y z ++的值．2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛初二数学答案一、填空题（每小题5分，答对得5分，答错、不答或答不全均不得分）QP N M DCB A二、解答题（每小题10分，按解题过程分步给分，若只有答案且正确，给2分） 13. ⑴ 过C 点作CM AB ⊥于M ，∵AB CD ∥，90DAB ∠=︒，∴四边形AMCD 是矩形，∴AM CD =………………………………………………………………1分∵12CD AB =，∴AM BM = ∴AC BC =………………………………………………………………2分 ∵在Rt ACD △中，90ADC ∠=︒，∴2222AD CD AC BC +==， ∵2245BC AD =，∴2214CD AD =，即12CD AD =， ∴AD AB =．……………………………………………………………4分 ⑵ 由⑴知：45ADB ABD ∠=∠=︒，又AC BC =，∴CAB CBA ∠=∠，∴CAF CBE ∠=∠，……………………………………………………5分 ∴在ACF △和DCE △中， ACF BCE AC BCCAF CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ACF BCE △≌△， ∴CE CF =．……………………………………………………………7分 ⑶ 解法一：延长BH 交AE 于N ．由⑵可得：AE BF =，∵F H 、关于点O 对称，∴BH BF =，OBF OBH ∠=∠，∴BH AE =………………………………………………………………8分 ∵CAF CBE ∠=∠，∴OBH CAF ∠=∠，∴90ANH BOH ∠=∠=︒，即BH AE ⊥．……………………………10分 解法二：延长BH 交AE 于N ，∵F H 、关于点O 对称，∴BH BF =，OBF OBH ∠=∠， ∵CAF CBE ∠=∠，∴OBH CAF ∠=∠，∴90ANH BOH ∠=∠=︒，即BH AE ⊥．…………………………9分 ∵AO BD ⊥，∴AO BO =，90AOE BOH ∠=∠=︒， ∴AOE BOH △≌△，∴AE BH =．………………………………………………………10分 14. ⑴ 设OE a =，∴12A a a m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，∵点A 在反比例函数图象上，∴12a a m k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即212k a am =-+，……2分由一次函数解析式可得()20C m ，，∴2CE m a =-， ∴()22212OE CE a m a a am ⋅=-=-+=，……………………3分∴()211212622k a am =-+=⨯=．……………………………4分 ⑵ 连接AF BE 、，过E F 、分别作FM AB ⊥，EN AB ⊥， ∴FM EN∥．∵AE x ⊥轴，BF y ⊥轴，∴AE BF ⊥N MA BCD OE F H122AEF k S AE OE =⋅=△，122BEF k S BF OF =⋅=△， ∴AEF BEF S S =△△， …………………………………………5分 ∴FM EN =，∴四边形EFMN 是矩形，∴EF CD ∥．………………………………………………7分 ⑶由⑵可知，EF AD BC ==，∴CD =．由直线解析式可得OD m =，2OC m =， ∴4OD =，又EF CD ∥，∴2OE OF =，∴1OF =，2OE =，………………………………………8分 ∴3DF =，∴3AE DF ==，∵AB =AP =∴1EP =，…………………………………………………9分∴()30P ，．………………………………………………10分 15. ⑴ 连接DN ，由已知得APM △和AQM △都是直角三角形，AM 是公共斜边，∵D 是AM 的中点，∴12PD AM QD ==，……………………………………2分 ∵PN PD ⊥，QN QD ⊥，∴DPN DQN ∠=∠，∴Rt Rt DPN DQN △≌△()HL ，∴NP NQ =．……………………………………………………………………4分 ⑵ 取BM 、MC 的中点S 、T ，连结SP 、SN 、TQ 、TN ． 1122SP BM MC TQ ===，…………………………………………………………5分9090SPN BPS NPM B DPA ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠ 9090B BAM AMC =︒-∠-∠=︒-∠9090DMQ QMT DQM MQT =︒-∠-∠=︒-∠-∠TQN =∠．………………………………………………7分∴SPN TQN △≌△()SAS ．∴SN TN =，……………………………………………8分 ∵SM TM =，∴MN BC ⊥．…………………………10分16. ∵()2222222x y z x y z xy yz zx ++=+++++， ∴()111222xy yz zx ++=-=-，…………………………………2分 ∵()()3332223x y z xyz x y z x y z xy yz zx ++-=++++---， ∴16xyz =．………………………………………………………4分 ()()24442222222222x y z x y z x y y z z x ++=++-++，…………6分又()()22222222111222612x y y z z x xy yz zx xyz x y z ⎛⎫++=++-++=--⨯=- ⎪⎝⎭，……………8分∴444212522126x y z ⎛⎫++=-⨯-= ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分NQ。
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1. 简单小数计算2011－201.1＋20.11－2.011+0.001【解析】18282. 分小四则混合运算(..)÷+⨯÷254138512311854【解析】541(3.8512.31)1854÷+⨯÷2 ()4(3.85 3.612.3 1.8)941.87.712.39436916⨯+⨯⨯=⨯+⨯=⨯== 3 已知N *等于N 的因数个数，比如4*=3，则（2011*+10*+6*）*=_______【解析】（2011*+10*+6*）*=（2+4+4）*=44 用字母表示数一个非等腰三角形，一边长为6，一边长为7，还有一边长为6k ，已知k 是自然数，则三角形的周长为______.【解析】k =2，周长为6+7+12=25.5 基础类型应用题1红光大队用拖拉机耕地，2台3小时耕75亩，照这样计算，4台5小时耕____亩.【解析】2台1小时可耕75 ÷3＝25亩，4台5小时 可耕地25×2×5＝250亩6 基础类型应用题2一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这时他又说自己有零钱，于是给店员5元的零钱，并且要回了开始给出的50元。
则这个骗子一共骗了______钱？【解析】由于一开始骗子并没有骗钱，产生骗钱的是后用零钱换50元，所以共骗得50-5=45元。
7 约数倍数已知A 、B 两数的最小公倍数是120，B 、C 两数的最小公倍数是180，A 、C 两数的最小公倍数是72，则A 、B 、C 三数的最小公倍数是______.【解析】120=23×3×5180=22×32×5 72=23×32所以最小公倍数是23×32×5=3608 简单的逻辑推理2011年8月14日，伦敦羽毛球世锦赛进入最后一个比赛日。
在女单决赛中，中国选手王仪涵2比0完胜中华台北选手郑韶婕，首次夺得世锦赛冠军，中国队也实现了女单项目的八连冠。
已知二人共得到67分，其中第二局，王仪涵竟然赢了整整11分，请问，第一局郑韶婕得了______分。
（羽毛球为21分制）【解析】第二局相差11分，因此比分为21:10，第一局总分为：67-21-10＝36，比分为21：15，所以第一局郑韶婕得了15分9 简单的一半模型下图为面积100的平行四边形，则阴影部分的面积和是_____.【解析】阴影部分的面积为总面积的一半。
100÷2＝5010 平均速度AB 间的路被平均分成三段，王先生驾车从A 地开往B 地，已知他这三段路上的平均速度分别为30 km /h ，40 km /h 和60km /h ,则王先生在AB 间的平均速度为______km /h .【解析】设每段路都为120km ，则王先生在这三段路的时间分别为4h ,3h ,2h 。
因此总时间为9h ，而总路程是120×3＝360km ，最终的平均速度为360÷9＝40km /h11 简单分数裂项15191113()142612203042+--+-⨯ 【解析】原式11111111111(1)1422334455667=-++-+--++--⨯ 6147=⨯ 12= 12 换元111113572011113572011++⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】设13572011⨯⨯⨯⨯⨯＝A ，则原式变为11111111111A A A A A AA++=+==+++++ 13 整系数方程[(8)88]88x +⨯-÷=【解析】(856)88x +÷=78x +=1x =14 分数或比例方程()x x ⎡⎤⨯⨯++-=⎢⎥⎣⎦321321223423【解析】13213423x x ++-=x x ==65512215 简单方程组292232202a b c a c b b c a +⎧+=⎪⎪+⎪+=⎨⎪+⎪+=⎪⎩ 则b =_______【解析】三式相加()27236a b c a b c +++=⇒++=每个式子都乘2减去上式，得41022a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩b =10 16 简单的概率问题分别先后掷2次骰子，点数之积为8的概率为三十六分之______.【解析】先后掷2次，共可以掷出6×6＝36种可能情况，其中积为8的情况共有2×4＝4×2这2种，概率为三十六分之2，答案为2.17 分百应用题小明看一本书，计划每天看全书的九分之一。
按计划看了3天后，由于急于知道结局，于是跳过了200页，并将看书速度提高了一倍，又看了1天，把书看完。
已知小明计划每天看书的页数相同，则这本书共______页。
【解析】速度提高了一倍 ，看了1天，相当于原计划的2天，因此小明看了原计划3+2＝5天的书，还有9－5＝4天没看，所以原计划一天看书200÷4＝50页，这本书共有50×9＝450页18 枚举法一次超难的数学考试，某班前五名同学共得20分（得分是任意正整数），并且分数各不相同，也没有得0分的，则有_______种得分的情况。
【解析】有序枚举：1、2、3、4、101、2、3、5、91、2、3、6、81、2、4、5、81、2、4、6、71、3、4、5、72、3、4、5、6共7种19 排列组合用1、2、3、4、5这几个数字组成一个5位数，要求每个数字均出现1次，且3必须在2前面（但它们不一定相邻），2必须在1前面，则共能组成____个不同的五位数。
【解析】插空法 先将321按顺序排好，然后把4和5插到空里去。
第一个数有4种插法，第二个数有5种插法，一共有4×5=20种插法20 弦图或勾股定理如图所示，直角三角形PQR 的短直角边长为5厘米．正方形EFRQ 的面积是89平方厘米，则正方形PQDC 的面积为______。
【解析】由勾股定理可知222289564PQ QR PR =-=-=，正方形的面积即为6421 简单的数论题 今天是2011年10月6日，已知六位数2011WW 能被106整除，则该六位数是______. 【解析】用试除法，易知被除数是20118822 浓度问题1000千克青菜早晨测得它的含水量为90%，这些菜到了下午测得含水量为80%，那么这些菜的重量减少了_____千克.【解析】上下午时菜的果肉含量是不变的。
早晨时有果肉1000×（1-90%）＝100千克，因此下午菜的重量为100÷（1-80%）＝500千克，共减少了1000-500=500千克23 工程问题一项工程，乙单独做要12.5天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，第三天一起做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天一起做，第三天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法少用半天完工．已知甲乙工效不相等，则甲单独做需要______天.【解析】有两种可能，第一种，第一次最后一天甲完成的，那么甲一天做的相当于乙半天做的，乙做12.5天相当于甲做25天的；第二种：最后一天是乙完成的，那么甲一天和乙一天共做的相当于乙一天和合作半天做的，于是甲乙工效相同，与已知矛盾，所以只能是第一种情况，答案是25.24 加乘原理用0、1、2、3、4这5个数字（可以重复），共能组成______个比2011小，比1006大的偶数。
【解析】千位为1时，2,3位均有5个数字可以选，第四位有3个数字可以选，去掉1000,1002,1004这3数，共有5×5×3-3=72（个）。
千位为2时，共有2000、2002、2004、2010这4个数，总计72+4=76个。
25 余数问题有一个三位数，它们除以2、4、6、7所得到的余数互不相同（不能余0）。
这样的三位数中最大的是_____【解析】除以2只能余1，除以4就只能余3，除以6只能余5，除以7可以余2、4、6，三位数中除以2只能余1，除以4就只能余3，除以6只能余5的数最大的是995，每小12都成立，就看余7，995除以7余1,983除以7余3,959除以7余0,947除以7余2，成立了，所以最大的是947。
26 公式类行程小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可跨越3级阶梯，警察每秒可跨越4级阶梯。
已知该自动扶梯每秒运行1.5级阶梯，警察要想在自动扶梯上抓住小偷的话，自动扶梯至少要有_____级。
【解析】小偷逆行1秒上1.5级阶梯，30秒上45级阶梯，警察1秒多比小偷上1级台阶，45秒即可追上，则至少需要454 1.5=112.5⨯-（），台阶必然是整数，所以最少113个台阶。
27 立体几何有一座圆柱塔，在地面到塔顶要通过塔内部的螺旋形通道上去，如图，已知塔内底面圆周长为30米，塔高140米，通道共转了三圈半。
问：通道共长____米【解析】将圆柱展开成长方形（图1），可发现通道的长度就是展开图中斜线的长度，即QM 长度的7倍。
将三角形QMN 分离出来（图2），利用勾股定理可知：QM ＝25，所以通道全长为25×7＝175米图（1） 图（2）28 曲线形面积如右图，以直角三角形ABC 的两条直角边为直径作两个半圆，已知这两段半圆弧的长度之和是75.36厘米，那么三角形ABC 的面积最大是______平方厘米(π取3.14)．【解析】根据条件3.14()275.36AB AC ⨯+÷=,所以48AB AC +=，三角形ABC 的面积为：2AB AC ⨯÷，最大是24242288⨯÷=平方厘米．29 钟表问题学而思杯数学考试时间为8：00－9：30，请问在考试时间内分针与秒针共重合了____次。
（8点为第一次） 【解析】分针和秒针每6060(601)59÷-=分钟重合一次，609088.559÷=，算上8点的1次，0.5舍去，共重合了89次30 压轴行程题B 地在A ，C 两地之间．甲从B 地到A 地去送信，甲出发10分后，乙从B 地出发到C 地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用_____分钟。
（注：甲，乙出发后不停留也不转向）【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：（1） 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信当丙再回到B 点用5分钟，此时甲已经距B 地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信，再给乙送信，此时乙已经距B 地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B 地需要25分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）同理先追及甲需要时间为120分钟因此至少需要90分钟C B A5分钟5分钟10分钟。